Cylindre de volume maximal inscrit dans une sphère.

Cylindre de volume maximal inscrit dans une sphère.
Etant donné un cylindre de hauteur h, inscrit dans une sphère, pour quelle
valeur de h le volume du cylindre est-il maximal ?
C
o
B
A
x
Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur BC = h et
de rayon r = AB (voir figure GeospacW ci-dessus).
Le volume V = π × r ² × h .
Dans le triangle ABO, rectangle en B, on peut y appliquer le théorème de
Pythagore et on obtient :
OA² = OB² + AB².
h²
h²
R² =
+ r² d’où r² = R² et r =
4
4
R² −
h²
.
4
Vérification avec la HP 49G+ pour l’expression de r.
Procédure calculatrice
Affichage à l’écran
h²
S.SLV SOLVE (R² =
+ r², r)
4
ENTER
Le menu S.SLV s’obtient en
appuyant sur la flèche : puis sur
la touche 7. Pour obtenir le h ou le
r minuscule, on appuie sur la
touche ALPHA, la flèche : puis la
touche H ou R du clavier
alphabétique.
h² 
πh

V(h) = π ×  R ² −  × h = π R ² h −
.
4
4

3π h 2
V’(h) = π R ² −
.
4
2R 3
2R 3
V’ s’annule pour h =
et h = , V’ est positive pour
3
3
2R 3
2R 3
0<h<
, négative pour h >
.
3
3
2R 3
V est donc maximal pour h =
.
3
3
Vérification avec la HP 49G+ pour le calcul de la valeur de h
annulant V’.
Procédure calculatrice
Affichage à l’écran
h² 

CALC DERIV( π ×  R ² −  × h ,h)ENTER
4

S.SLV SOLVE (ANS, h) ENTER
Le menu S.SLV s’obtient en appuyant
sur la flèche : puis sur la touche 7.
A l’aide de GeospacW nous allons conjecturer-vérifier ce problème en
prenant R = 3 cm
En pilotant au clavier le volume semble atteindre sa valeur maximale pour
V = 65,293477.
Une activité avec GeospacW (construction de la figure puis conjecture sur
le fait que le volume prenne une valeur maximale) peut-être effectuée
avant la résolution du problème, ou après, pour dans ce cas vérifier les
calculs effectués en trouvant une valeur approchée du résultat.
Ainsi ici puisque R = 3 cm, la valeur de h pour laquelle V est maximal est,
d’après ce qui précède, h = 2 3 cm.
Soit Vmax
Soit Vmax
(
)

2 3 ²

 × 2 3 = 12π 3.
= π × 3² −

4 


≈ 65,2967771125
Vérification avec la HP 49G+ la valeur approchée de Vmax.
Procédure calculatrice
12π 3 ENTER
pour obtenir une valeur
approchée de 12π 3 on va
cocher dans le MODE CAS la
case correspondant aux
approximation
Affichage à l’écran
Procédure calculatrice
MODE CAS
Arrivé dans ce MODE CAS on
coche la case APPROX puis on
appuie sur OK deux fois puis
sur ENTER
Affichage à l’ écran