Déterminer si deux événements sont incompatibles

PROBABILITES
Déterminer si deux événements sont incompatibles
Définition : Deux événements incompatibles sont deux événements dont l’intersection est
vide.
Théorème : A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si P(A
B) = 0
Théorème : A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si P(A
B) = P(A) +
P(B)
Exemple :
On lance un dé à huit faces numérotées de 1 à 8.
On considère les événements :
A : « Le résultat est inférieur ou égal à 3 »
B : « Le résultat est pair »
C : « Le résultat est un multiple de 4
Les événements A et B sont-ils incompatibles ? A et C ?
On a A = {1, 2, 3} ; B = {2, 4, 6, 8} et C = {4, 8}
A et B ne sont pas incompatibles car leur intersection n’est pas vide, 2 appartient aux deux
ensembles.
A et C sont incompatibles car ils n’ont aucun élément commun
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Déterminer si deux événements sont incompatibles
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Déterminer si deux événements sont incompatibles
Exercice 1
On lance un dé à 8 faces numérotées de 1 à 8. On considère les événements :
A : « le résultat est impair »,
B : « le résultat est 7 »,
C = {3, 4, 5, 6}.
Les événements A, B et C sont-ils incompatibles 2 à 2 ?
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Exercice 2
Dans une classe de seconde de 36 élèves un quart des élèves sont inscrit en LV2 Espagnol, et
3 élèves ont choisis l’option facultative histoire des arts.
Pour un voyage scolaire un professeur emmène les élèves faisant LV2 Espagnol ou l’option
facultative histoire des arts. Bien sur ceux qui feraient LV2 Espagnol et l’option facultative
histoire des arts seraient concernés.
On choisi un élève au hasard dans la classe on considère les événements :
A : « l’élève est inscrit en LV2 espagnol »
B : « l’élève est inscrit en option facultative histoire des arts »
V : « l’élève est concerné par le voyage ».
On constate que P(V) = 1/3.
Les événements A et B sont ils incompatibles ?
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Corrigé 1
On lance un dé à 8 faces numérotées de 1 à 8. On considère les événements :
A : « le résultat est impair »,
B : « le résultat est 7 »,
C = {3, 4, 5, 6}.
Les événements A, B et C sont-ils incompatibles 2 à 2 ?
On a A = {1, 3, 5, 7} ; B = {7} et C = {3, 4, 5, 6}
A et B ne sont pas incompatibles car leur intersection n’est pas vide, 7 appartient aux deux
ensembles.
A et C ne sont pas incompatibles car leur intersection n’est pas vide, 3 et 7 appartiennent aux
deux ensembles.
B et C sont incompatibles car ils n’ont aucun élément commun.
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Corrigé 2
Dans une classe de seconde de 36 élèves un quart des élèves sont inscrit en LV2 Espagnol, et
3 élèves ont choisis l’option facultative histoire des arts.
Pour un voyage scolaire un professeur emmène les élèves faisant LV2 Espagnol ou l’option
facultative histoire des arts. Bien sur ceux qui feraient LV2 Espagnol et l’option facultative
histoire des arts seraient concernés.
On choisi un élève au hasard dans la classe on considère les événements :
A : « l’élève est inscrit en LV2 espagnol »
B : « l’élève est inscrit en option facultative histoire des arts »
V : « l’élève est concerné par le voyage ».
On constate que P(V) = 1/3.
Les événements A et B sont ils incompatibles ?
On a V = A B
P(A) = 1/4, P(B) = 3/36 et P(V) = P(A B) = 1/3.
1/4 + 3/36 = 1/3 donc P(A B) = P(A) + P(B)
or
A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si P(A
Donc
Les événements A et B sont incompatibles.
B) = P(A) + P(B)
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