Théorie des groupes et Rubik`s cube

Théorie des groupes et Rubik's cube
Introduction
Permutations
Notations et Définitions
Générateurs du groupe du cube
Etats possibles et Cardinal du groupe
Calcul de mouvements utiles pour Halberstadt
Structure du groupe et Halberstadt
Cubes de taille supérieure
Bibliographie
Annexes Maple
Introduction
Le Hongrois Ernö Rubik créa un cube constitué de petits cubes élémentaires, appelé le Rubik's
cube, afin d'aider ses élèves à mieux percevoir la géométrie dans l'espace. Cet objet fascinant,
qui fut à une époque très à la mode, est souvent considéré comme un jeu; mais sous son aspect
ludique se cache une des nombreuses applications de la théorie des groupes, que j'ai donc
utilisée pour mettre en place des algorithmes de reconstruction du cube, notamment en
décomposant l'action des mouvements des faces sur deux catégories différentes de cubes
présentées dans la suite.
J'ai d'abord programmé en Maple une fonction analyse donnant l'état du cube après un
enchaînement quelconque de mouvements, ce qui m'a aidé par la suite dans mon travail.
Après avoir rappelé quelques notions de la théorie des groupes, on expliquera deux types de
mouvements importants en les illustrant par une méthode de recherche de mouvements, puis on
étudiera la structure du groupe du cube, ce qui permettra d'établir un algorithme de
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reconstruction, ensuite on détederminera les ordres possibles des éléments du groupe en
s'appuyant sur des procédures en Maple, et pour finir on s'intéressera aux cubes de taille
supérieure.
Les éléments de la théorie des groupes utilisés sont : homomorphismes, noyaux, groupes
symétriques et alternés, signature d'une permutation, opération d'un groupe sur un ensemble,
produits de groupes (direct, semi-direct).
Les résultats donnés en termes de construction de mouvements et décomposition du groupe du
cube R3 ont été calculés à l'aide de programmes Maple .
Permutations
Soit Sn. le groupe symétrique des permutations de E=<1,2,...,n>. Un élément de Sn est une
application bijective p: E-->E , on conviendra de le représenter par la liste p={p(1),p(2),...,p(n)}
image de E ordonné.
Pour la composition des permutations, on utilisera la multiplication de gauche à droite (et non la
notation classique de droite à gauche utilisée pour la composition des fonctions). Ainsi on aura
r=p q si r(x)=q(p(x)).
Signature d'une permutation
Une inversion de p est un couple d'entiers (i,j) avec i<j et p(i)>p(j) . La signature de p est
sgn(p)=(-1)ninv où ninv=nombre d'inversions de p
Théorème 1 : sgn : Sn -->{-1,1} est un homomorphisme de groupes , càd
sgn(pq)=sgn(p)sgn(q)
Le noyau de sgn est le sous-groupe des permutations paires de E, noté An et nommé groupe
alterné, de cardinal n!/2.
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Cycles
Un k-cycle est une permutation circulaire c1->c2->...->ck->c1 , on le notera par la liste
c=(c1,c2,...,ck). A noter qu'il s'agit d'une "liste circulaire" c'est-à-dire que toute rotation à gauche
ou à droite de la liste représente le même cycle. On peut standardiser cette représentation en
imposant que c1=Min(ci, i=1 à k) , et introduire les fonctions de manipulation des cycles : on
note C l'ensemble des cycles et Cm l'ensemble des m-cycles.
c C std(c) forme standard de c,
inv(c) inverse (liste renversée standardisée)
dec(c) décalage de c (nb de rotations à gauche pour standardiser)
perm(c,n) permutation de Sn associée au cycle c
Deux cycles disjoints commutent. La parité d'un k-cycle est (-1)k-1
Décompositions d'une permutation en cycles
Si p est une permutation de E, les orbites des éléments de E par p définissent une partition de E
en cycles disjoints O(p)={o1,o2,..,om} (on convient de ne retenir dans cette écriture que les
cycles non triviaux de longueur >1).
Un cycle c=(c1,...,ck) se décompose en produit de 3-cycles ( et un 2-cycles si c est impair)par
exemple sous la forme suivante :
(c1,c2,...,ck)=(c1,c2,c3)(c1,c4,c5,...,ck) puis récurrence (on supprime 2 éléments à chaque
itération)
Un cycle c=(c1,c2,...,ck) se décompose (de multiples façons) en produit de transpositions (2cycles)par exemple sous la forme suivante :
(c1,c2,...,ck)=(ck,ck-1)(ck-1,ck-2)...(c2,c1)
En appliquant ces résultats à la décomposition canonique O(p), et utilisant la transformation d'un
produit de 2 transpositions en produit de 2 3-cycles:
(i ,j ) (k , l) =(i , j ,l ) (l , i , k ) on en déduit que
Théorème 2 : toute permutation p se décompose en produit de cycles disjoints (unicité) ou
de façons multiples en produit de 2-cycles.
Si p est paire, elle se décompose en produit de 3-cycles
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Notations et définitions
Pour les manipulations du cube, les notations utilisées sont la traduction française des notations
anglaises standards de David Singmaster.
On note respectivement pour les faces avant, postérieure, gauche, droite, haut et bas :
a, p, g, d, h , b la manipulation qui consiste en un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une
montre de la face
a1, p1, g1, d1, h1 , b1 la manipulation qui consiste en un quart de tour dans le sens inverse des
aiguilles d'une montre de la face.
a2, p2, g2, d2, h2, b2, la manipulation qui consiste en un demi-tour de la face.
On notera G le groupe des manipulations du Rubik's cube, c'est-à-dire le groupe des
permutations des 48 facettes mobiles du Rubik's cube, celles des centres étant fixes. G est un
sous-groupe de S48.La numérotation des facettes, leurs sites et couleurs sont définis ci-dessous.
Le cube est aussi constitué de 12 petits cubes arêtes ou CA (paires de facettes indissociables) et
de 8 petits cubes sommets ou CS (triplets de facettes indissociables), représentés et ordonnés
dans les listes suivantes :
CA= (2,36),(8,37),(5,39),(11,34),(22,44),(28,45),(25,42),(31,47),(14,15),(13,20),(16,17),(18,19)
CS=( (3,38,4),(1,12,33),(6,40,7),(9,35,10), (23,24,41),(21,46,32),(26,27,43),(29,30,48) )
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Générateurs du groupe du Rubik's cube
Le groupe G est engendré par les rotations d'un quart de tour des faces : G = < a, p, h, b, g, d >
Les générateurs de base décomposés en produit de cycles à supports disjoints
a := ((3,40,27,41),(4,6,26,24),(5,16,25,15),(7,43,23,38),(14,39,17,42)),
p := ((46,29,35,1),(9,33,21,48),(10,12,32,30),(11,20,31,19),(13,47,18,34)),
g := ((3,23,21,1),(2,14,22,13),(4,41,32,33),(12,38,24,46),(15,44,20,36)),
d :=((6,35,30,43),(7,9,29,27),(8,18,28,17),(10,48,26,40),(16,37,19,45)),
h := ((10,7,4,1),(2,11,8,5),(3,12,9,6),(33,35,40,38),(34,37,39,36)),
b := ((21,24,27,30),(22,25,28,31),(23,26,29,32),(41,43,48,46),(42,45,47,44))
Remarque : Il existe des ensembles générateurs du groupe de moins de 6 éléments.
1. Les 5 générateurs a, g, d, b et p engendrent le générateur h : on a h =d g1 a2 p2 d g1 b d
g1 a2 p2 d g1. On a donc G = < a, p, b, g, d >
Etats possibles et cardinal du groupe du Rubik's cube
G est le groupe des manipulations (ou des états) du Rubik's cube
On note :
•
FA l'ensemble des facettes des cubes-arêtes (card FA = 12 x 2 = 24),
•
FS l'ensemble des facettes des cubes-sommets (card FS = 8 x 3 = 24),
•
HA le groupe des mouvements qui n'affectent que les cubes-arêtes :
HA = Stab ( FS ) = { g dans G / pour tout fS dans FS, g ( fS ) = fS }
•
HS le groupe mouvements qui n'affectent que les cubes-sommets :
HS = Stab ( FA ) = { g dans G / pour tout fA dans FA, g ( fA ) = fA }
•
σ : g dans G -->gS dans S8
où gS est la permutation des CS induite par g.
•
α : g dans G -->gA dans S12
où gA est la permutation des CA induite par g.
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Si toutes les permutations de FA et de FS étaient possibles, le cardinal du groupe serait
card S24 x S24 =24! 24! = 384956219213331276939737002152967117209600000000=
3.8495x1047
Mais il n'en est rien, beaucoup de ces permutations sont impossibles en raison d'invariants du
groupe G.
Analyse d'un état du cube : [pca , pcs , flip , twist]
Soit p un état possible du cube, c'est-à-dire une permutation de S48 . On peut l'analyser en termes
de positions et orientations des CA et CS : les positions des CA et CS sont données par les
permutations (d'ordre respectif 12 et 8) pca=α(p) et pcs= σ(p).
L'orientation des CA (ou "flip") sera définie de la façon suivante : la liste CA a pour image par p
la liste imCA={ (i1,j1),...(i12,j12) }.
On pose flip(k)=dec( (ik,jk) ) entrier 0 ou 1 selon que l'image est orientée correctement ou pas..
Appelons v : p-->v(p)={ flip(1) , ..., flip(12) }=flip la fonction d'orientation des CA.
L'orientation des CS (ou "twist") sera définie de la façon suivante : la liste CS a pour image par
p la liste imCS={ (i1 ,j1, k1),...(i12 ,j12, k12) }.
On pose twist(m)=dec[ (im, jm, ,lm) ] (entier 0 ou 1 ou 2).
Appelons w : p-->v(p)={ twist(1) , ..., twist(8) }=twist la fonction d'orientation des CS
Un état p du cube est entièrement défini par le quadruplet
[pca ,pcs, flip, twist]=[ (p), (p), v(p), w(p) ]
Exemple sur les cubes sommets après avoir effectué le mouvement a :
CS=
[3, 38, 4], [1, 12, 33], [6, 40, 7], [9, 35, 10], [23, 24, 41], [21, 46, 32], [26, 27, 43], [29, 30, 48]
imCS=
[40, 7, 6], [1, 12, 33], [26, 27, 43], [9, 35, 10], [38, 4, 3], [21, 46, 32], [24, 41, 23], [29, 30, 48]
-> permutation induite sur les CS : déplacement des triplets dans la liste
pcs = [[1, 3, 7, 5]]
-> changements d’orientation des CS : bouleversement de l’ordre à l’intérieur du triplet
twist = [2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0]
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Composition des flips et des twists
Comment calculer v(p q) en fonction de v(p) et v(q) ? Appelons "orientation relative" de q par
rapport à p v(p q)-v(p).
Le CA i c(i) est orienté par pq selon v(p q)[i] . Par p, c(i)->c(α(p)(i) )=c(j) et orienté par v(p)[i].
Puis q va orienter l'image c(α(q)(j) en lui ajoutant le décalage v(q)[j]. Donc l'orientation finale
ou flip résultant s'écrit
v(p q)=v(p)+ v(q)[ (p) ]
De même pour le twist, on a la règle de composition
w(p q)=w(p)+ w(q)[
(p) ]
La compatibilité de cette règle de composition vient du fait que pour u vecteur de taille n, s et t
permutations de Sn on a u[t][s]=u[ s t].
Les invariants du groupe du cube G
Chacun des générateurs de G réalise un 4-cycle de CA et de CS : donc pour tout p de G, les
permutations (p), (p) ont même parité.
Pour tout générateur g de G, la somme des flips est paire et la somme des twists est multiple de
3. Vérifions-le pour a :
CA={{2,36},{8,37},{5,39},{11,34},{22,44},{28,45},{25,42},{31,47},{14,15},{13,
20},{16,17},{18,19}}
imCA={{2,36},{8,37},{16,17},{11,34},{22,44},{28,45},{15,14},{31,47},{39,5},{13,20},{25,4
2},{18,19}}
pca={1,2,11,4,5,6,9,8,3,10,7,12} flip={0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0}
CS= {{3,38,4},{1,12,33},{6,40,7},{9,35,10},{23,24,41},{21,46,32},{26,27,43},{29,30,48}}
imCS={{40,7,6},{1,12,33},{26,27,43},{9,35,10},{38,4,3},{21,46,32},{24,41,23},{29,30,48}}
pcs={3,2,7,4,1,6,5,8} twist={2,0,0,0,2,0,2,0}
Le calcul (fait par Maple) permet de montrer cela pour tous les générateurs de G.
Théorème 3 : Pour que le quadruplet [pca ,pcs, flip, twist] soit un état du cube, il faut que
• pca et pcs soient de même parité
• flip =0 (mod 2) et twist=0 (mod 3)
On montrera plus tard que cette condition nécessaire est suffisante : on en déduit le cardinal de G
card G = 8! x 37 x 12! x 210 = 43 252 003 274 489 856 000
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Mouvements utiles pour Halberstadt
La stratégie de Halberstadt est basée sur la décomposition [pca, pcs, flip, twist] de tout état p de
G, et consiste à successivement
• placer les CA (éliminer pca)
• ranger les CA (éliminer flip)
• placer les CS (éliminer pcs)
• ranger les CS (éliminer twist)
Elle est basée sur la construction de mouvements de base et l'utilisation de la conjugaison.
Conjugaison et commutation dans les groupes non-commutatifs
Supposons qu'on sache réaliser par un mouvement M une opération O (permutation ou flip ou
twist) sur une configuration C (paire ou triplet de CA ou de CS). Supposons que le mouvement
m ramène la configuration C1 à C. Comment réaliser l'opération O sur la configuration C1 ?
La réponse est fournie par la conjugaison : conj(m,M)=m M m-1
L'autre outil essentiel de construction de mouvements sera la commutation : le "commutateur" de
deux mouvements m1, m2 est
[m1,m2]=m1 m2 m1-1 m2 -1 , il servira à ne conserver dans m2 que la partie qui est affectée par
m1.
On va illustrer la commutation par une méthode de recherche de mouvements
élémentaires.
-On construit d'abord un mouvement X qui effectue un petit changement sur la face supérieure
(par exemple inverser l'orientation d'un CA et laisser le reste de la face supérieure invariante) et
qui peut détruire tout le reste du cube ce qui laisse une grande liberté pour trouver le mouvement
X et constitue la force de cette méthode.
-On tourne la face supérieure par un mouvement s (par ex s=h).
-On effectue l'inverse de X, ce qui remet en place tous les cubes n'appartenant pas à la face
supérieure et réalise un nouveau changement sur la face du haut (dans l'exemple, un autre CA est
renversé).
-On termine par réaliser l'inverse de s (ici h1).
Le commutateur [X,s]=XsX1s1 réalise un mouvement élémentaire sur la face supérieure. On
peut l'appliquER à d'autres cubes que ceux de la face du haut par des conjugaisons adéquates.
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Avec X=dg1a2d1gbddg1a1d1g et s=h, le commutateur [X,s] renverse l'orientation de 2 CA de la
face du haut sans rien changer d'autre.
Cette méthode est d'autant plus intéressante qu'elle peut s'appliquer à tout autre puzzle de
type Rubik's cube et en particulier aux cubes de taille supérieure, ce qui m'a permis de
construire quelques mouvements pour les cubes de tailles 4 et 5.
On utilise ici la conjugaison et le commutation pour établir des mouvements élémentaires qui
donnent la possibilité, en suivant la structure du groupe, d'établir un algorithme de reconstitution
du Rubik's cube.
Placer les CA : mouvement pour transposer deux CA
Il suffit de savoir réaliser toute transposition de 2 CA (sans se préoccuper des autres
déplacements).
Le mouvement a réalise le 4-cycle de CA (3,11,7,9) selon le graphe ci-dessous
En conjuguant par d , qui amène 6->11, on obtient par (d, a ,d1) le 4-cycle (3,6,7,9) , et on a en
inversant (3,11,7,9)(3,9,7,6)=(3,11,6) : ce 3-cycle de CA sera donc obtenu par le mouvement
M1={a,d,a1,d1}=[a,d] . Par des conjugaisons adéquates, on saura donc réaliser tout 3-cycle de
CA.
Pour obtenir un 2-cycle, on conjugue par b qui amène 7->6 pour obtenir le 3-cycle (3,11,7)
présent dans le 4-cycle de a : donc le produit {a, b, M1-1 , b1} donnera (3,11,7,9)(3,7,11)= (7,9)
C'est le mouvement M2={a,b,d,a,d1,a1,b1}. Par conjugaisons, on sait réaliser toute transposition
de 2 CA, donc toute permutation des CA : on peut les remettre en place.
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Ranger les CA : double-flip de 2 CA (sans autre déplacement de CA)
Il nous faut maintenant trouver un mouvement qui ne réalise aucune permutation des CA,
seulement des flips. On peut le faire en construisant un mouvement pour le 3-cycle de CA
(2,3,11) : c'est M11=[a,d1]. Or ce 3-cycle (coin supérieur droit) est invariant par 2 rotations du
cube r1 et r2(d'axe la diagonale du cube qui symétrise ce triplet), il est donc aussi réalisé par les
images de M11 par ces rotations, soit M12=[h,a1] et M13=[d,h1].
Le produit d'un de ces mouvements par l'inverse d'un autre donnera donc un changement
d'orientation de CA sans permutation : par exemple on obtient par le mouvement M3=M11.
M12-1 = [a,d1][a1,h] le double-flip (2,11). Sachant que le flip total est pair, on le supprimera
totalement par répétitions de ce mouvement M3 et de ses conjugués adéquats.
Conclusion : il existe des mouvements pour réduire n'importe quels pca et flip et remettre en
place toutes les facettes CA.
Placer les CS dans HS
Une fois les CA rangés, la permutation des CS est paire. Pour construire un mouvement
bougeant des CS sans affecter les CA, on utilise à nouveau la commutation. Le mouvement M1
réalise le 3-cycle de CA (3,11,6) tous hors de la face g :
CA par M1
Il réalise aussi la double transposition de CS (1,3)(7,8), dont un seul touche la face g.
CS par M1
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Donc le commutateur [g,M1] stabilisera les CA en bougeant quelques CS : c'est un mouvement
M4={g,a,d,a1,d1,g1,d,a,d1,a1} de HS qui réalise le 3-cycle de CS (1, 3, 2). Par conjugaison, on
sait réaliser tout 3-cycle de CS donc toute permutation paire des CS, par des mouvements de HS
(qui est distingué dans G).
Ranger les CS : le "méson" M5
Enfin , il reste à construire un mouvement qui ne change que des orientations de CS. Reprenons
le mouvement M2 : il affecte 3 CA de la face a et 3 CS de cette face a, dont le CS 7= (a,b,d) qui
est uniquement twisté-2.
CA et CS par M2 :
En conjuguant par b1, on obtient M22={b1 M2 b} qui reporte le CS twisté 7->8 (dans la face p)
le reste étant hors de la face p.
CS par M22
Donc le commutateur M5=[p,M22]={p,b1,a,b,d,a,d1,a1,p1,a,d,a1,d1,b1,a1,b} ne permutera
aucun CA,aucun CS, ne flippera aucun CA, et ne fera que twister certains CS : il réalise une
paire (twist-antitwist)=(1,2) sur les CS (8,6).
Compte-tenu du fait que les twists sont des tiers de tour sur leur diagonale des CS, et qu'ils sont
associés de façon à ce que le twist total représente un nombre entier de "tours complets", certains
cubistes ont proposé l'analogie amusante avec le spin des particules élémentaires: ainsi la paire
(1-2) sera nommée "méson" , tandis qu'un triplet de twist (1,1,1) sera appelé "baryon".
On sait réaliser par M5 un méson, par conjugaisons on pourra réduire totalement le twist à 0.
Ceci termine la stratégie de Halberstadt pour le remontage du cube:on peut la résumer dans le
théorème
ci-dessous.
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Théorème 4 : La réciproque du Th3 est vraie
Un quadruplet (pca, pcs, x=twist, y=flip) avec pca S12, pcs S8, x {0, 1, 2} 8 et
y {0, 1} 12 correspond à une position possible du Rubik's cube ssi :
i. sgn( pca ) = sgn( pcs )
(même parité des permutations sur les CS et les CA)
ii. x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3)
(conservation de l'orientation totale des CS)
iii. y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2)
(conservation de l'orientation totale des CA)
Structure du groupe G
L'homomorphisme fSA
On pose fSA : g G
(gS, gA)
S8 x S12
fSA est un homomorphisme
Image de l'homomorphisme fSA : Im fSA
On a montré ci-dessus que
Im fSA = { (x,y)
S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) }
En d'autres termes : l'image de fSA est l'ensemble des couples de permutations de S8 x S12 qui ont
la même signature (i.e toutes les deux paires ou toutes les deux impaires)
Remarque : Voila l'explication de quelques choses que tous les Rubikcubistes savent bien.
•
On ne peut pas permuter uniquement deux CS.
En effet, soit g dans G qui permute deux CS et laisse tous le reste du cube inchangé, alors
gS est une transposition (un échange de deux CS) et gA est l'identité. On a alors sgn (gS) =
-1 et sgn (gA) = 1, ce qui est impossible.
Théorie des Groupes et Rubik’s Cube
•
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On ne peut pas permuter uniquement deux CA : l'explication est identique à la
précédente.
Noyau de l'homomorphisme fSA : Ker fSA
Ker fSA = { g ∈ G / gS = gA = id} , c'est-à-dire l'ensemble des manipulations du cube qui ne
bougent aucun CA ni CS, c'est-à-dire les manipulations qui ne font que pivoter des CA ou des
CS sur eux-mêmes.
Structure du groupe du Rubik's cube G
Le théorème 4 permet de représenter le groupe G par le groupe H ci-dessous.
Soit H = { (r, s, x, y) , r S12, s S8, x 0, 1, 2} 8, x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3),
y {0, 1} 12, y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2) }
La règle de composition des flips et twists x,y a été vue ci-dessus. L'opération qui définit la
structure de groupe sur H sera donc
(r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + x '[r] ), y + y'[s]) )
en notant x[r] la permutation du vecteur x selon l'ordre des indices r.
Théorème 5 STRUCTURE DU GROUPE DU RUBIK'S CUBE
Le groupe du Rubik's cube G est le noyau de l'homomorphisme s : (r, s, x, y)
--> sgn( r ) x sgn( s ) { -1, 1 }
G est produit semi-direct de Ker fSA et de Im fSA
H --
: G = Ker fSA |x Im fSA
C'est-à-dire :
G = { (r, s, x, y) avec r S12, s S8 / sgn( r ) = sgn( s ), x {0, 1, 2} 8 / x1 + x2 + ... + x8 = 0
(mod 3), y {0, 1} 12 / y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2) }
Muni de l'opération (de produit semi-direct) :
(r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + r(x ' ), y + s( y') )
Théorie des Groupes et Rubik’s Cube
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Cubes de taille supérieure
On appellera Rn le cube dont chaque côté est constitué de n petits cubes élémentaires (on a
jusqu'à présent travaillé sur R3).
Observations et structure de R4
Possédant les cubes R4 et R5, j'ai pu faire quelques observations :
Le cube R3 est plus proche de R5 que de R5 en terme de structure puisque R5 a également les
centres fixes qui permettent de déterminer les couleurs des faces, contrairement à R4 pour
lequel il faut avoir en tête la distribution des couleurs avant de commencer.
Il existe d'ailleurs une méthode pour reconstruire R5 qui consiste, après avoir mis en place les
centres de chaque face formés de 9 facettes, à regrouper par 3 les CA afin d'obtenir l'équivalent
d'un cube R3. En essayant d'adapter cette méthode pour R4, j'ai été confrontée au problème
suivant : lorsque le cube est équivalent à R3, en réalité, il peut se trouver dans un état
impossible pour R3, par exemple avec juste un CA renversé, ce qui provient des différences de
structure et qui m'a amenée à m'intéresser à la structure de R4.
Un état de R4 (élément de S96) est donné par
- une permutation quelconque des centres (modulo les centres de même couleur) : 24!/(4!)^6
- une permutation arbitraire des CA : 24! (il n'y a pas de flip car 2 orbites séparées des facettes)
- une permutation des CS, de même signature que celle des CA : 8! /2
- un twist de total multiple de 3 : 3^7
- l'orientation du cube n'intervient pas puisque les centres ne sont pas fixés : 1/24
D'où le cardinal de R4 :
card G4 = 24! /(4!)^6 * 24! * 8! /2 * 3^7 /24 =
3700598420782450934937046987249287168000000000 = 3,700598421.10^45
Diamètre du groupe et "Algorithme de Dieu"
Le groupe G étant fini, il existe pour tout état p du cube un mouvement m de longueur minimale
le ramenant à l'état initial p0=Id. Ceci définit la distance entre p et p0 . Elle peut être comptée en
deux métriques : "quart de tour" ou "demi-tour", nous prendrons la seconde dans laquelle les
mouvements élémentaires sont <h, b,g, d, a, p, h1, b1, g1, d1, a1, p1 , h2, b2, g2, d2, a2, p2 >.
Théorie des Groupes et Rubik’s Cube
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On appelle diamètre de G la plus grande distance d'un élément à p0. Un des problèmes à
résoudre pour le groupe G est la détermination de son diamètre, et celui de "l'algorithme de
Dieu" : celui qui permettrait de trouver, pour tout état p de G, le mouvement de taille minimale le
résolvant.
Le diamètre de R2 est connu et vaut 14. L'algorithme de Dieu aussi : il consiste en en
exploration exhaustive des états du groupe, à partir de p0, par tous les mouvements de taille 1
puis 2, ... Cette démarche, possible sur ordinateur pour de "petits groupes" comme R2 , sont
inaccessibles pour R3 : par exemple, en supposant qu'on soit capable d'explorer 1000 états par
seconde (et mémoriser les informations sur les états déjà traités, ce qui pose des problèmes de
taille mémoire), il faudrait 1,36 milliards d'années pour explorer tous les états de G !
Donc la réponse est encore inconnue pour G=Rubik3x3 (et a fortiori pour les groupes rubik
d'ordre supérieur).
On peut estimer des bornes inférieures du diamètre de G . Il y a 18 mouvements distincts au
premier coup, puis 15 aux coups suivants (on ne tourne pas 2 fois de suite la même face). Le
nombre d'états différents accessibles en n coups est donc inférieur à
1+18+18x15+...+18x 15n-1 = 1+18/14 (15n -1)
et ce nombre dépasse Card(G) à n=17. En tenant compte de certaines égalités évidentes (par
exemple gd=dg) on obtient n=18.
Il a été montré (par calcul intensif sur ordinateur) que certains états nécessitent plus de
mouvements: par exemple, le "superflip" (tous les CA flippés) nécessite au moins 20
mouvements.
La première démarche efficace utilisant théorie des groupes et calcul sur ordinateur a été donnée
dans les années 80 par le mathématicien Thistlethwaite. Il s’agit d’une décomposition en sousgroupes (non distingués) qui permet de reconstruire le cube à partir de n’importe quel état en 47
mouvements au plus. Les groupes en question sont :
G1=<h2,b2,g,d,a,p>
G2=<h2,b2,g2,d2,a,p>
G3=<h2,b2,g2,d2,a2,p2>
Quotients
Cardinal
Diamètre
G / G1
2048
7
G1 / G2
10822565
10
G2 / G3
29400
15
G3 (Groupe des carrés)
663552
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Théorie des Groupes et Rubik’s Cube
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Les meilleures stratégies de remontage du cube par ordinateur connues à ce jour permettent un
remontage de tout état en 29 manoeuvres maximum. Elles nécessitent de très grosses bases de
données de mouvements et d'états, et sont basées sur une petite séquence de sous-groupes
successifs et groupe quotient passant de G à Id qui consiste en une amélioration de la
décomposition précédente. L'algorithme d'Halberstadt part d'une telle démarche: G->pca=Id>flip=0->pcs=Is->twist=0->p0 mais cette décomposition-là est très sous-optimale et donne des
séquences de remontage très longue.
Conclusion : le diamètre de G est compris entre 20 et 29 !
Bibliographie
Bibliographie
Article de "Pour la science" n°34, 1980, "Cube hongrois et théorie des groupes" par
Emmanuel Halberstadt
Réussir le Rubik's cube, André Warusfel (1981)
Le Rubik's Cube, Josef Trajber (1981)
Mathematics of the Rubik's Cube , W.D. Joyner (1996)
Documents sur internet :
Rubik's Cube Lecture Notes : un site en anglais avec tout plein de théorie sur le cube et les
groupes
Les archives de Cube Lovers : Cube Lovers Index by Subject
" Domain of the cube : "God's Algorithm Calculations for Rubik's Cube, Rubik's Subgroups,
and related Puzzles
le site de Mark Longridge's , un fervent Cube Lover (des articles de théorie des groupes)
http://web.usna.navy.mil/~wdj/rubik_nts.htm
site théorique complet
http://web.usna.navy.mil/~wdj/books.html
le livre de théorie des
groupes
http://www.trucsmaths.free.fr/rubik.htm
site français matheux très riche
http://www.mefferts-puzzles.com
site commercial de vente des puzzles
http://sun1.umh.ac.be/~maesa/rubik.htm
http://www.maesa.f25.com/index.htm
http://home1.gte.net/dennyd/revenge
Le cube 4x4 & [email protected]
http://www.unc.edu/~monroem/5by5cube.html
Le cube 5x5 & [email protected]
http://www.wunderland.com/WTS/jake/5x5x5.html &
Le cube 5x5 & Jacob Davenport