Impedance d`un four a induction : definition, theorie et calcul

IMPEDANCE D'UN FOUR A INDUCTION : DEFINITION, THEORIE ET CALCUL
A. BOSSAVIT
EDF, Etudes et Recherehes
|, Avenue du G~n~ral de Gaulle
92141CLAMART
Summary. The problem evoked here originates in concerns about optimal control of induction heating devices. There seems to be two separated topics there : analysis of
the furnace system proper (leading to the knowledge of how its impedance changes in
time) and control of the alimentation system (using such an impedance characteristic
as data). This conceptual separation of the problem into two parts has obvious
advantages, but depends on a workable definition of the concept of impedance. The aim
of this paper is thus to give a variational formulation of the eddy-currents computation problem, from which such a definition can be derived. Next we examine how the
computation of the impedance can be simplified in the case of actual induction heating devices, where skin-effect is often present.
INTRODUCTION
La conduite optimale des dispositifs de chauffage par induction est un probl~me
important en m~tallurgie.
II soul~ve des difficult~s de tous ordres, qu'il serait
naif de tenter de d~crire par une formulation math~matique unique. Par contre, on
peut envisager, en rue d'une approche pluridisciplinaire,
En particulier,
de s~parer ces difficult~s.
l'intervention des math~matiques appliqu@es semble pouvoir se d~ve-
lopper selon deux axes : d'une part l'analyse (par le calcul num~rique principalement)
du four proprement dit, d'autre part le contr$1e du systgme global constitu~ par le
four plus son alimentation.
Un syst~me de chauffage par induction comporte en effet deux sous-syst~mes de
natures assez diff~rentes,
l'alimentation d'une part, le four lui-mgme d'autre part.
L'alimentation est un circuit ~lectrique complexe, qu'on peut mod~liser par un syst~me diff~rentiel non-lin~aire. Le four (qui ~ son tour se d~compose en deux parties :
l'inducteur et la charge) dolt plutSt ~tre vu comme un syst~me ~ param~tres distribu~s (les valeurs du champ magn~tique en tout point). Le problgme consiste ~ amener
la charge, en temps minimal, dans un certain ~tat thermique (caract~ristique de l'op~ration qu'on veut effectuer : r~chauffage avant laminage, trempe, recuit, etc.). Ii
y a bien entendu des contraintes ~ respecter, tant du cSt~ de la charge (~viter des
394
(ce qui exclut le cas des mat~riaux ferro-magn~tiques, pour lesquels ~ d~pend pr~cis~ment de h).
Soit maintenant v(t) une fonction du temps donn~e, r~guli~re, p~riodique de
p~riode T. On montre sans difficult~ qu'il existe une fonction t ÷ h(t) ~ ~,
r6guli~re, T-p~riodique, v~rifiant l'~quation variationnelle suivante (lin~aire,
d'apr~s les hypotheses faites) :
p roth.rot h' = v(t) F(h')
d/dt [/]R3 u h.h'] + [~
V h' c
u~ I
(5)
div(Bh)
= 0
~
~
Q
I
Z
~c
Figure I
Dans cette ~quation, v(t) dolt s'interpr~ter con~e une force ~lectromotrice pr6sente
dans ~I" Alors, d'apr~s la formule de Green, h v~rifie
~h
--+
8t
rot(p rot h) = 0
dans ~u ~I' ce qui est la loi de Faraday. Le vecteur e = p rot h est le champ
~lectrique. La quantit~
j(t) = F(h(t))
(6)
395
1. LES EQUATIONS DU FOUR A INDUCTION
Soit ~ un domaine de ~ 3 ,
de fronti~re r, repr~sentant
la piece ~ chauffer,
et
soit ~c la r~gion compl~mentaire, ~c = ~3 _ ~. Un sous-domaine ill' disjoint de fl, repr~sentera l'inducteur
(Fig. I). Pour simplifier
(mais ce n'est pas essentiel),
supposera fl simplement
connexe et ~I hom~omorphe
~ un tore plein (circuit "~ une
seule boucle",
selon la terminologie de /|, 2/). En r~alit~,
et branch~ sur l'alimentation,
Ii est ~quivalent,
on
ce circuit est ouvert
avec ~ ses bornes une difference de potentiel v(t).
du point de rue qui nous occupe, de le supposer ferm~ et soumis
une f.~.m, v(t), selon la th~orie d~velopp~e
SoitJCl'espace
en /l, 2/, qu'on va rappeler.
vectoriel r~el
ffi {h ¢ If.2(jR 3)]
rot h
¢ R.2(IR 3), rot h ffi 0 dansfie- ~I }
(i)
muni du produit scalaire
(h, h') = ll~3h.h' + I
(2)
rot h .rot h'
fluff I
Puisque fll est l'image continue d'un tore, il existe une surface Z dans ill' dont le
bord s'appuie sur rl, telle que ~I - Z soit simplement connexe.
(Par exemple, si le
tore est engendr~ par la rotation autour de l'axe des z du disque D = {(x, y) I
(x - r) 2 + y2 S a2}, prendre pour Z l'image de D.) Orientons
les n, et consid~rons
la fonctionnelle
Z par un champ de norma-
sure
[
F(h) = ] rot h. n
JZ
Comme div(rot h) = 0, n.rot h est dans H-I/2(Z),
Nous interpr~tons
et donc F est continue s u r ~ .
les ~l~ments de JCcomme des champs magn~tiques.
sera (th~or~me d'Amp~re)
engendre ce champ.
(3)
la densit~ du courant ~lectrique,
present dans ~ u ~I' qul
(Noter que la composante normale de rot h est bien nulle s u r r
rl.) Quant ~ F(h), c'est l'intensit~ du courant parcourant
On se donne deux fonctions de x, la perm~abilit~
et ~ = ~0
Donc rot h
et
l'inducteur.
U E L ~ ( R 3) , u(x) ~ B0 > 0 p.p.
dans ~c, et la r~sistivit~ p ~ L~(~ u ~i ), 0(x) a P0 > 0 p.p. L'une et
l'autre peuvent d~pendre de facteurs externes tels que la temp~rature~ mais pas de h
396
gradients
de temperature
trop importants,
ou ne chauffer que certaines parties)
que
de l'alimentation.
Quant aux param~tres
et correspondent
Or l'interface
o~ les ph~nom~nes
fluencent
de commande,
tr~s concr~tement
ils sont ~ l'entr~e du syst~me d'alimentation
aux manettes
entre ces deux sous-syst~mes
~lectriques
l'intensit~
p~dance du four. Celui-ci
thermique,
Perm~abilit~
Elle se caract~rise
par deux param~tres
La relation entre ces deux grandeurs
est donn~e par l'im-
se comporte
dont la charge est le
comme un transformateur,
et r~sistivit~
de sorte que l'imp~dance
de la charge varient beaucoup
avec son ~tat
change au cours de la mont~e en temperature.
point de vue du contr~le du four dans son ensemble,
"impedance du four, vue des bornes",
de r~soudre
dans la mesure
et dans le four s'in-
et la tension appliqu~e aux bornes du four (dans le cas d'une
alimentation monophas~e).
secondaire.
est assez ~troite,
dans le circuit d'alimentation
peu les uns les autres ~ distance.
seulement,
dont l'agent de conduite dispose.
il suffirait de connaltre
connie disent les techniciens,
Du
cette
pour ~tre ~ m~me
le probl~me par les m~thodes de l'automatique.
Nous nous int~ressons
tion est famili~re
notre connaissance~
donc au probl~me du calcul de cette impedance.
en Electricit~,
mais dans le cadre de l'analyse des circuits.
et si ~tonnant que cela puisse paraltre,
ne donne de l'imp~dance
Cette no-
une d~finition
utilisable
A
aucun trait~ classique
dans le cas de syst~mes
~ un hom-
bre infini de degr~s de libertY.
L'objet de la premiere partie de cet article est de proposer une telle d~finition. Plus pr~cis~ment,
probl~me aux limites,
de Foueault
on introduira une formulation variationnelle
qui s'av~re correspondre
une int~grale de la solution.
finis,
aux ~quations
(th~or~me d'Amp~re et loi de Faraday),
d'un certain
classiques des courants
et on d~finira l'imp~dance
La solution peut elle-m~me
comme
~tre approch~e par ~l@ments
selon la m~thode que nous avons expos~e dans /1, 2, 3/.
La deuxi~me pattie examinera quelques
mod~lisation
appropri~e
de peau est prononc~.
d~couple
Par des techniques
en un probl~me
unidimensionnel
gral sur la surface des conducteurs
En conclusion,
cas o~ ce calcul peut ~tre r~duit par une
: fours ~ traitement
de surface
de perturbation,
etc,), o~ l'effet
le calcul de l'imp~dance
se
simple d'une part, un probl~me de type inte-
d'autre part.
on aborde le probl~me de l'extension
au cas d'une caract~ristique
(trempe,
b-h non lin~aire.
de la notion d'imp~dance
397
est l'intensit6
pareourant l'inducteur,
F a i s a n t h'
= h dans ( 5 ) ,
on o b t i e n t
un b i t a n
~ner$~tique :
d 1 fR3 ~[h[2] + fflu
a-Y [~-
~Irot hl 2 = v(t) j(t)
(7)
(~t~nergie du chc~p + pertes Joule = puissance apport@e)
L'~quation (5), ou "~quation de l'~lectricit~",
a done bien pour solution le champ
magn~tique h qui s'~tablit lorsqu'on alimente l'inducteur avec la difference de potentiel v(t).
Remarque. On peut objecter que la loi de Faraday (6) n'est v~rifi~e, comme consequence de (5), que dans les conducteurs, et non dans tout l'espace. Effectivement, la
relation rot e = - ~ ~h/~t en dehors des conducteurs n'est pas consequence de (5).
Tout au contralre, elle dolt ~tre utilis~e pour d~terminer e. Ce point est trait~ en
d~tail dans /4/.
2. NOTION D' IMPEDANCE
Introduisons maintenant une simplification essentielle, due a c e
que la r~parti-
tion des courants est connue (~ une constante multiplicative pros, qui est j(t)),
dans ~I" C'est l~gitime, car les inducteurs sont conqus, comme t o u s l e s
enroulements
conducteurs de machines ~leetriques, de mani~re ~ minimiser les pertes Joule, en
particulier les pertes suppl~mentaires que provoquerait l'effet de peau s'il ~tait
sensible. C'est pourquoi le diam~tre des conducteurs est petit devant la profondeur
de p~n~tration, de sorte que la r~partition du courant y soit ~ peu pros la m~me
qu'en continu, du moins aux basses fr~quences que nous consid~rons ici (50 Hz ~ quelques dizaines de k Hz).
On peut done admettre que la densitg de courant est j(t) Jl(x) dans El' o~ Jl
est la densit~ qui s'~tablirait en continu dans l'inducteur pour une intensit~ globale ggale ~ I. Appelons h I un champ, gl~ment de JC, v~rifiant la relation
rot h I = Jl
dans ~I '
et ~ cela pros quelconque.
(8)
(Par exemple, h I peut ~tre le champ qui existerait en
l'absence de tout autre conducteur que fll lui-m~me.)
Cherchons alors le champ physique sous la forme k + j(t) h I . Alors rot k = 0
dans ill" Done on cherche k dans le sous-espace suivant, ferm~ dans ~ :
398
~=
{k E ]L2 (~3) I rot k ~ ]L2 (]{3),
rot k = 0 darts ~c}.
Par restriction de (5) aux seuls h' appartenant ~ ~ ,
(9)
on obtient la formulation
variationnelle r~duite :
d-[ ~ ( k
+ j(t) hl).k' +
k T-p~riodique,
p rot k. rot k' = 0
¥ k' ¢ ~ ,
(10)
div(B(k + j(t) hi)}= 0.
L'~quation (I0) d~termine k si j(t) eat connu. Pour trouver une 6quation liant
jet
v, raisons maintenant h' = h I dans (5). Ii vient :
d ~R3"(k
d-~
+ j(t) hi). h I + j(t)
~
P Irot h112
= v(t).
(11)
I
On a done deux ~quations coupl~es. L'avantage de (10) (ll) par rapport ~ (5) est que
le calcul du champ de r~action k n'a plus ~ ~tre fait que dans la charge ~ et non
dans l'indueteur ill"
Ii suffit done de tirer k de (I0) et de le porter dans (]I) pour obtenir la
relation entre j e t
v qui est notre objeetif. Comme (I0) et (|I) sont lin~aires, ce
programme peut ~tre men~ ~ bien s~par~ment sur les diff~rents harmoniques de j(t)
et v(t), de fr~quences multiples de I/T. Done nous allons supposer d~sormais que v(t)
est de la forme
(12)
v(t) = Re [V e x p ( i ~ t ) ]
avec ~ =
2~/T. On cherchera de m~me j e t
j(t) = Re [J e x p ( i ~ t ) ] ,
k sous la forme
k(t) = Re[J K e x p ( i ~ t ) ]
(t3)
(noter la "mise ~ l'~chelle" constitute par le facteur J). Quant ~ hi, bien que ee
soit un champ r~el, nous ~crirons h I ffiHI, en n'excluant pas que H I puisse ~tre
complexe, pour faciliter la g~n~ralisation de ce qui suit ~ des inducteurs polyphases.
Ii vient :
dk = Re [i~ J K e i
d--{
t],
399
donc, portant dans (I0),
Re[e i ~ t(/~3 i ~ ( K
f
+ Hl).k' + ( p
Jn
rot K . rot k')] = 0
¥ k' c ~ ,
(]4)
et pour tout t, done en partieulier si exp(i ~t) = I on i, done pour tousles K' du
complexifi~ If de ~ ,
d'o~ finalement
i w Ilt3 ~ (K + HI).K' + I
p rot K .rot K' = 0
¥ K' E ] K .
(15)
De m~me, (11) devient
[i~
~ 3 ~ (K + HI).ll~+ In p,rot HIJ2] J = V.
I
Faisons K' = J K
(16)
dens (15) et ajoutons ~ (16). Ii vient
[i,.~ [IR3 ~J(K + HI) J2
+ f~ pJrot HI[2 + I
I
pJrot K[2] J = V,
soit V = J Z, o~ Z e s t l'imp~dance qu'on s'~talt propos~ de d~finir.
Comme l'expression complexe du champ physique est H = K + HI, que rot K est nul
dans RI et rot H I dens R, on a au bout du compte
Z ffi i"' ~3~ JH[2 + I~
(17)
u ~I
soit Z = i~ L + R, o~ l'interpr~tation de L e t
instantan~e d'un champ h = Re [H exp(i~ t)] est
E(h) = ~ -! IR3~lh(t) I2
done son ~nergie moyenne est
T
3
"4
l.I
Rest
fort simple. En effet, l'~nergie
400
L'inductance
Lest
donc ~gale ~ quatre fois l'~nergie moyenne du champ qui s'~tablit
pour une intensit~ "de cr~te"
1.
Ii peut ~tre utile de remarquer
De m~me, R e s t
que j e t
le double de la perte Joule moyenne.
v ob~issent
~ l'~quation
dj
L ~-~ + R j(t) = v(t).
(18)
On a donc bien trouv~ une d~finitlon de l'imp~dance
une formule pour la calculer
: il suffit de r~soudre
calcul~ B I. On obtient H I explicitement
du four vue des bornes,
l'~quation
et
(15), apr~s avoir
par la lol de Biot et Savart,
connaissant
rot H I :
rot Hl(Y)
----
= rot
La m~thode de r~solution
"Trifou",
de (15) est expos~e dans /2, 3/. Un code de calcul, nomm~
a ~t~ d~velopp~
d'Electricit~
~ cet effet ~ la Direction des Etudes et Recherches
de France /5/.
3. CAS OU LA PROFONDEUR DE PENETRATION
Puisque
dy)
l'imp~dance,
tout l~espace,
d'apr~s
on peut calculer
des sous-r~gions.
caract~ristique
(17), se calcule comme une int~grale
s~par~ment,
C'est l'avantage
Supposons pour simplifier
EST FAIBLE
pet
de ~ (~paisseur,
puis sommer,
essentiel
~tendue
relatives
de (17).
p constants
diam~tre,
les impedances
dans ~. Soit I une unit~ de longueur
...) et supposons que la Iongueur
6, d~fi-
nie par
d = ~/t~p
(19)
soit tr~s petite devant I. Soit c le "petit param~tre"
Nous consid~rons maintenant
pendant des param~tres
(6/~) 2.
(15) comme un probl~me parmi toute une famille,
P~ T et ~, etnous
cherchons
comment
se comporte
(151 lorsque p, T et p varient de mani~re ~ ce que ~ ci-dessus
z~ro. Ce qui se passe est familier aux ~lectriciens
Kelvin")
dE-
la solution
(ou el tende vers
("effet de peau" ou "effet
: le champ H d~crolt trgs rapidement dans ~ en fonction de la distance ~ F.
Du point de vue math~matique,
c'est une situation du type "perturbations
o~ (en un mot) on ne peut pas faire tout simplement
singuli~res"
e = 0 dans les ~quations.
401
La m~thode correcte, quTon va d~crire sans justifications
(elles suivraient de
pros /6/, Chap. l), consiste ~ substituer ~ (15) une 6quation analogue, mais oN ~ e s t
remplac~ par un nouvel espace 11<
(form~, pour fixer les idles, des seuls champs de
IK qui "pr~sentent l'effet de peau"). De m~me, alors que le champ physique K + H I de
(15) ~tait dans le complexifi@ ~
de~,
il sera maintenant dans ~
, dont les @l~-
sont constrults cormne suit.
Soit H u n
~l~ment de •
et H r sa trace tangentielle s u r r .
A partir de HF, on
prolonge H vers l'int~rieur de ~ (d'o~ H ),
d~
l'aide du "correcteur" (cf. /6/) ainsi
d~fini. Soit d > 0 fix~ une longueur choisie
petite devant le plus petit rayon de courbu-
dx
re de r et grande par rapport ~ ~ (ce qui
suppose ~videmment r r~guli~re et 6 assez
petit). Solt r
= {x ~ ~I d(x,r) = n6},
n
o~ d(x,r) est la distance de x ~ F et
,''"
0 i
O = {xJ d(x,r) < ~}. A tout point x de ~-0
on fair correspondre le pied de la normale
qui passe par x, soit ~ ¢ F, et la profondeur relative n. A tout ~ de r correspond
une fonction a~(n) d~pendant des rayons de
courbure de r e n
6, qui mesure le rapport
Figure 2
dx = aE(n)d$
des ~l~ments de surface homologues (cf. Fig 2)
en x et ~ :
(I--i-as(n) = I -
l---L--) na
RI(~ ) + R2(~ )
(20)
Pour prolonger H, on proc~de ainsi :
I) R~soudre l'~quation unidimensionnelle
2i a~(n)h~ -~n(a~(n)a~-~n ~) : O, 0 < n < ~6,
(21)
h~(O) = l,
(22)
h~(~) = O,
(~ est un param~tre), avec h fonction complexe de ~.
2) Poser HE(x) = h~(n)HF($ ) pour x c ~-0 et 0 pour x c O.
Remarque. On obtient un autre correcteur, plus simple (et dont on voit mieux la signification physique), en substituant h, solution de
82
2i h - - h = 0
0 < ~ < ~
h(0) = I, h c L2(0, ~)
~n2
'
,
,
(23)
402
h~. Ces deux eorreeteurs sont asymptotiquement ~quivalents, mais le premier est
plus pr6cis pour e petit mais non nul.
Dans (15), substituons H e
K + H I et restreignons les K t ~ ~ {' -
Compte tenu de
l'expression des eorrecteurs dans £, il vient
d/~
i~ It
2
voH~'K' + ;r(tt~)r'K'rEIodqac(n)(i~v~'h ~'
+ ...
C
8h~ 2
done, en int~grant par parties et grace ~ (21) (22) :
i~ It
~oH .K, - [r (He)F.K, F 9_ ~h~ (0) = 0
V K' ~ K
e
(25)
E
On voit que la quantit~ ~h~/~q, pour q=0, ne d~pend que de la forme du domaine ~, et
du param~tre 6. Done seules les valeurs du champ dans ~e et sur F interviennent dans
(25), ce qui va simplifier beaucoup le calcul de l'imp~danee pour 6 petit. Posons
r(~) = - £ )h~
6 ~q (0) .
(26)
Nous appellerons .impedance surfaci~ue cette quantitY.
Remarque. On a une bonne approximation de r(~) ~ partir de (23), pour laquelle
le calcul se fait "~ la main" et donne :
r(O
= r ~
(I + i)
(27)
(qui a bien la dimension d'une impedance surfacique).
Par sa construction m~me, ~
K de K.
est isomorphe ~ l'espace des restrictions ~ £ des
c
Or, dtapr~s (9), il existe un potentiel @ tel que K = grad ¢ dans ~ . Done
c
KC = grad[BL(tc)],
oh BL(ae) est l ' e s p a c e de Beppo-L6vi / 7 / , compl6t~ de~I)(~e)
pour
la norme de Dirichlet :
BL(~e) = {grad @ I~ E ff)(L), ~
]grad 2 @1 < =}^ •
(28)
c
(L' isomorphisme, bien entendu, d~pend de 6). On peut maintenant substituer ~ (15)
l'~quation variationnelle suivante :
(29)
i~ !Q No(H I + grad #).grad @' + I r(H I + grad ~)F.gradF~' = 0
c
V @' 6 Be(tic)
403
L'imp~dance, par un calcul analogue ~ celui du point 2, est maintenant, au lieu de
(17),
z = i~ I
Uolal2 + r
Irlgradr~12 + ~ plrot HI2
c
(30)
I
(o~ cette fois @ est le potentiel du champ H). L'interpr~tation ~nerg~tique est la
m~me.
Le calcul de ~, solution de (29), est ~videmment beaucoup plus simple que la
r~solution de (15) ! II reste ~ voir dans quels cas cette
ble. La r~sistivit~ p e s t
simplification est possi-
de l'ordre de 10-6 . Pour une piece ~ chauffer dont les di-
mensions sont de l'ordre du centim~tre (cas des traitements de surface de pi~ces
m~caniques) et pour ~ = ~o' on a ~ peu pros 6 = I/2¢~, ob f est la fr~quence. Pour
I00 kHz,
par exemple, l'approximation est tout ~ fait acceptable. Si B >> ~o' elle
l'est ~ des fr~quenCes beaucoup plus basses.encore.
4. ETUDE DE L'EQUATION (29)
Comme on a suppos4 ~ slmplement connexe, la composante tangentielle de H I sur F
est legradlent d'une certaine fonction sur F, not4e ci-dessous ~I"
On peut voir (29) comme un probl~me de Poisson (par rapport ~ 9) dans ~c avec un
terme de surface additionnel. Comme ~
c
est non-bornd, on traitera ce probl~me par une
mdthode int4grale. Soit R l'opdrateur de.~(Hl/Z(F) ; H-1/2(F)) ainsi d4flni : Etant
donn4 ~ E HI/2(F), r4soudre
A# = 0
dans ~ ,
c
@ = ~
sur F,
(31)
et poser alors
R $
=
(32)
3@/3n
o~ n e s t
la normale vers l'int4rieur de [2. Par la formule de Green dans ~ , on volt
c
que (29) 4quivaut
(33)
it0~0 I F (R~
+ n.Hl) ~b' + I Fr grad(~ + ~bl).grad ~'
llest faux que n.H I soit 4gal ~ R~I.
= 0
V ~' E HI/2(F)
En effet H I n'est pas un gradient dans tout ~2c.
Par hypoth~se, on salt calculer la diff4rence entre les deux, soit gl" Rebaptisons
404
la s o ~ e $
+ ~I' de sorte que ~ est maintenant le potentiel dont d~rive le champ tangen-
tiel total sur F. Alors (33) se simplifie un peu :
ie~0 I
(R~
+ gl ) $'
+ I
r
r grad ~.grad ~'
: 0
(34)
V $'c HI/2(F)
F
ce qu'on peut ~crlre aussi, sous forme "forte"
i~UoR$
- div(r grad $) = - i ~ 0
:
(35)
gl
Deux op~rateurs tr~s diff~rents interviennent dans (35), R et l'op4rateur de
Laplace-Beltrami sur F. Ce dernier se discr4tise simplement, et il lui correspond une
matrice creuse. Par contre, R (qui s'approche par une m4thode de potentlel, cf. /3/~
donne une matrice pleine.
Assez
souvent,
ferro-magn4tiques,
inducteur
et
induit sont enferm4s dans une bo~te aux parois
pour 4viter la dispersion du champ.
Cette bo~te
peut
~tre
consid4r4e comme une deuxi~me composante conn~xe de ~. Le champ ~tant nul ~ l'ext4rieur, on peut red~flnlr ~
comme son int4rieur. Alors B L ( ~ ) est slmplement HI(~ ).
c
c
c
Ii se pourra (selon la forme des pi~ces) que le probl~me (29) soit plus facile ~ discr4tiser (par 414ments finis tridlmensionnels dans ~
et bidlmenslonnels
c --
sur F) que
(34)(35) en pareil cas.
Examinons malntenantl'importance relative des deux op4rateurs dans (35). On prend
pour r l'expression (27). Posons
6 0 = (2pleP0)ll2 ,
quantlt4 qui a la dimension d'une longueur. Solt I une dimension caract4ristlque de
r, que l'on prend comme nouvelle unit4 de longueur. Comme I vient en d~nominateur une
fols dans le premier terme de (35) et deux lois dans le second, on a, a v e c l a
nouvelle
unit4, et en normalisant le second membre :
R~
+
1 + i
2
2
60
6--~- A ~
= fl
(36)
L'analyse qui nous a conduits ~ (29), donc ~ (36), supposait 6 petit devant I. Donc si
et ~0' et par suite 6 et 60, sont du m~me ordre de grandeur, c'est l'op4rateur R qui
domine dans (36), A jouant le rSle d'une perturbation.
On comprendra mieux la signification physique de cette perturbation en revenant
(29), o~ le premier terme est donc alors dominant, si on n~glige le terme de perturbation (l'int4grale sur F), on volt que n.(H I + grad~),
c'est-~-dire la composante
nermale du champ magn4tique sur F, est nul. La composante tangentlelle ne l'est pas.
405
Le champ dtant nul ~ une faible profondeur,
sante tangentielle
du champ,
assimilable
il y a une variation
A un saut de celle-ci au passage A t r a v e r s
II y a done une denslt~ de courant surfaclque
Quand au calcul de l'impddanee,
raplde de la compor.
sur F (qul est rotr$ , ~ solution de (36)).
on peut donc ndgliger dans ce cas le premier des
trois termes de (30).
Darts le cas maintenant o0 ~ est tr~s grand devant ~0 (fer doux), il peut arriver
2
que ~l soit petit devant 60 . C'est alors R qui joue le rSle d'une perturbation, et (36)
se r4duit, ~ l'ordre zdro, ~ AS = 0. Donc la composante
tlque est nulle
tangentielle
du champ magn~-
(le champ est normal ~ F). II ne reste plus qu'~ calculer
dans l'entrefer,
ce qui se fait toujours en ne eonservant
mais cette fois-ci avec une condition de Dirichlet
toujours donnde par (30), mais en n4gllgeant
Si ndcessaire,
on peut sans difficult4
le champ
de (29) que le premier terme,
non-homog~ne
sur $. L'impddance
cette fois le deuxi~me
est
terme.
pousser plus loin le calcul par
perturbations.
CONCLUSION
Avec (30), nous avons pu pettre en dvldence
celle de l'entrefer,
lev~ l'exlstence
dominante,
trois contributions
~ l'imp4dance,
celle de la couche de peau, celle de l'inducteur.
de deux cas extremes,
o0 l'influence
On a aussl re-
de la couche de peau est soit
soit n4gligeable.
Ii reste ~ savolr ce qui peut subsister d'une telle analyse dans le cas o0 la
caract~ristlque
magn~tlque
du mat4rlau
dans la premiere pattie reste valable
de ~ est non-lin~alre.
avec b non-l{ndalre
en h. En toute rlgueur,
II semble pourtant
exister une g~n~ralisation
Soit v la f.~.m.,
D~flnlssons
fonction T-p~riodique
(classlquement)
Pa =
La formulation
: il suffit de remplacer dans ( 5 ) ~ h
la puissance
"imp4dance"
n'a plus de sens dans ce cas°
de ee que nous avons fait, eomme suit.
du temps, et j l'intensit~
aux bornes.
active par
(37)
vj
T
donn~e
par b(h),
0
et la puissance
rdactive par
Pr = T
vdJ
(38)
dt
0
En lindaire,
on vdrifie que P a = R j2 (o~ J e s t
la moyenne quadratique
de j) et que
406
Pr = ~ L J 2
Nous proposons done de prendre c o m e
d~flnitlon de R et L l e s
quantlt~s
issues de ces formules, et d'assimiler le four ~ un circuit dont l'imp4dance serait
i ~ L + R.
La raison de (38) est que, par un calcul simple,
T
Pr
T
= ~-
b(h) ~-~ ,
0
J~3
Pa =
]r°th]2
-r0
d'o~ une expression int~grale pour la pseudo-~mp4dance, que l'on peut done calculer par
par sous-domaines. Tout ee que nous avons fair (y compris le calcul du correcteur,
solution d'une ~quation semblable ~ (23), mais avec un terme d'ordre z4ro non-lin4aire)
peut ~tre repris dans ce contexte.
REFERENCES
/I/ A. Bossavit : "Finite Elements for the Electricity Equation", in The Mathematics
of Finite Elements and Applications ~ , (J.R. Whiteman, ed.), Academic Press
(London), 1982, pp. 85-92.
/2/ A. Bossavit, J.C. V~rit~ : "A Mixed FEM-BIEM Method to Solve 3-D Eddy-Current
Problems", IEEE Trans. on Magnetism, MAG-18, 2 (1982), pp 431-35.
/3/ A. Bossavit, J.C. V~rit~ : "The "Trifou" code : Solving the 3-D Eddy-Currents
Problem by Using H as State Variable", IEEE Trans. on Magnetism, MAG-19,
6 (1984), pp. 2465-70.
/4/ A. Bossavlt : "Eddy-currents in a System of Moving Conductors", in The Mechanical
Behavior of Electromagnetic Solid Continua (G.A. Maugin, ed.), North-Holland
(Amsterdam), 1984, pp. 345-50.
/5/ J.C. V~rit~ : "'Trlfou' : Un code de calcul tridimensionnel des courants de Foucault", Bull. DER-EDF, S~rie C, 2 (1983), pp. 79-92.
/6/ J.L. Lions : Perturbations Sin~uli~res dans les Probl~mes aux Limites et en
ContrSle Optimal, S pringer-Verlag (Berlin), 1973.