docVecteurs propres, valeurs propres
download 
Plainte Transcription
Vecteurs propres, valeurs propres
Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Vecteurs propres et valeurs propres Vecteurs propres, valeurs propres Introduction : Les vecteurs propres d’une application linéaire correspondent aux axes privilégiés selon lesquels l’application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre. Vincent Nozick Vincent Nozick Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Calcul Diagonalisation 1 / 26 Calcul numérique Vecteurs propres et valeurs propres Calcul Diagonalisation 2 / 26 Calcul numérique En plus clair : En considérant une matrice comme une matrice de transformation, ses vecteurs propres sont des vecteurs dont la direction n’est pas affectée par cette transformation. On dit alors que x est le vecteur propre de A associé à la valeur propre λ. Vecteurs propres, valeurs propres Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Vecteurs propres et valeurs propres Définition : λ est une valeur propre de Ann si et seulement si il existe un vecteur x non nul tel que : Ax = λx Vincent Nozick Vincent Nozick 3 / 26 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 4 / 26 Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Exemple Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Avec les mains 1 2 2 Soit A = 0 2 1 −1 2 2 et 2 x= 1 0 Rotation dans R3 autour de l’axe des z : cos α − sin α 0 A = sin α cos α 0 0 0 1 2 4 2 1 2 2 0 2 1 1 = 2 = 2 1 0 0 0 −1 2 2 2 1 est un vecteur propre de A de valeur propre λ = 2. 0 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres Eigen problem Calcul Diagonalisation cette rotation appliquée sur l’axe des z donnera ... l’axe des z. 5 / 26 Calcul numérique Avec les mains Vecteurs propres, valeurs propres Eigen problem Calcul Diagonalisation 6 / 26 Calcul numérique Avec les mains Rotation dans R2 (dans le plan) : Rotation dans R3 autour de l’axe des z : cos α − sin α 0 0 0 sin α cos α 0 0 = 0 0 0 1 1 1 A= Vecteurs propres, valeurs propres cos α − sin α sin α cos α α 6= kπ L’axe des z est donc un vecteur propre de A dont la valeur propre λ = 1. Vincent Nozick Vincent Nozick k∈Z Aucun axe n’est invariant par cette transformation → pas de valeur propre réelle. 7 / 26 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 8 / 26 Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Exemple avec les mains Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Exemple avec les mains L’application de R2 qui transforme le point (x, y) en point (x, x+y) : 1 0 x x = 1 1 y x+y L’application de R2 qui transforme le point (x, y) en point (x, x+y) : 1 0 x x = 1 1 y x+y L’axe des y est un vecteur propre de cette application associé à la valeur propre λ = 1 : 1 0 0 0 = 1 1 1 1 L’axe des y est un vecteur propre de cette application associé à la valeur propre λ = 1 : 1 0 0 0 = 1 1 1 1 > En fait, n’importe quel vecteur 0, k , k 6= 0, est un vecteur propre de cette application associé à la valeur propre λ = 1 : 1 0 0 0 = 1 1 k k Vincent Nozick Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Calcul 9 / 26 Diagonalisation Calcul numérique Calcul Vincent Nozick Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Calcul Diagonalisation 9 / 26 Calcul numérique Exemple 1 2 2 A= 0 2 1 −1 2 2 Méthodes classiques : Ax = λx ⇔ (A − λId)x = 0 ⇒ det(A − λId) = 0 1−λ 2 2 2−λ 1 A − λId = 0 −1 2 2−λ 1−λ 2 2 2−λ 1 det(A − λId) = 0 −1 2 2−λ • s’il existe x 6= 0 tel que Mx = 0, alors M est singulière et det M = 0. • en développant le déterminant, on obtient le polynôme car- actéristique de A dont les racines sont ses valeurs propres. 2−λ 1 = (1 − λ) 2 2−λ 2 2 − 2−λ 1 = (1−λ) (2−λ2 )−2 +2(1−λ) = 4−8λ+5λ2 −λ3 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 10 / 26 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 11 / 26 Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Exemple Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Exemple Pour λ = 1 : 1−λ 2 2 x 2−λ 1 y Ax − λIdx = 0 −1 2 2−λ z det(A − λId) = 4 − 8λ + 5λ2 − λ3 0 2 2 x 0 = 0 1 1 y = 0 −1 2 1 z 0 Les trois racines de ce polynôme sont : • λ=1 • λ = 2 (racine double) Vincent Nozick Solution : Vecteurs propres, valeurs propres Eigen problem Calcul Diagonalisation 12 / 26 Calcul numérique Exemple x −1 y = −1 z 1 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres Eigen problem Calcul Diagonalisation 13 / 26 Calcul numérique Exemple Pour λ = 2 : Vérification pour λ = 1 : 1−λ 2 2 x 0 2−λ 1 y Ax − λIdx = −1 2 2−λ z solution : x −1 y = −1 z 1 −1 2 2 x 0 0 0 1 y 0 = = −1 2 0 z 0 1 2 2 −1 −1 0 2 1 −1 = −1 −1 2 2 1 1 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres Solution : 14 / 26 Vincent Nozick x 2 y = 1 z 0 Vecteurs propres, valeurs propres 15 / 26 Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Exemple Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Vecteurs propres et valeurs propres Vérification pour λ = 2 : Diagonalisation : Le problème revient à trouver une matrice diagonale D : x 2 y = 1 z 0 solution : D = [diag(λ1 , λ2 , ..., λn )] et une matrice régulière P telles que : A = PDP−1 1 2 2 2 4 2 0 2 1 1 = 2 = 2 1 −1 2 2 0 0 0 Vincent Nozick Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Calcul Diagonalisation Les λi sont les valeurs propres de A et les colonnes de P les vecteurs propres associés. 16 / 26 Calcul numérique Exemple Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Calcul Diagonalisation 17 / 26 Calcul numérique Exemple Diagonalisation : A a une valeur propre de multiplicité 2 dont les vecteurs propres associés ne sont pas indépendants. 1 2 2 A= 0 2 1 −1 2 2 −1 2 λ = 1 → −1 λ=2→ 1 1 0 Dans A = PDP−1 P n’est pas inversible car 2 vecteurs propres sont identiques. Remarque : Les vecteurs propres associés à une valeur propre de multiplicité > 1 sont parfois indépendants → diagonalisation OK. racine double Vincent Nozick Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 18 / 26 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 19 / 26 Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Diagonalisation : Exemple λ1 = 3 v1 = λ2 = 2 v2 = λ3 = 1 Vincent Nozick Eigen problem v3 = Vecteurs propres, valeurs propres Calcul Calcul Diagonalisation Calcul numérique Diagonalisation : Exemple Vecteurs propres et valeurs propres : 1 2 0 A= 0 3 0 2 −4 2 Eigen problem On veut A = PDP−1 −1 −1 2 0 0 1 −1 0 2 20 / 26 Diagonalisation Calcul numérique Diagonalisation : Exemple On veut A = PDP−1 3 0 0 −1 0 −1 D = 0 2 0 P = −1 0 0 0 0 1 2 1 2 Vincent Nozick Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Calcul Diagonalisation 21 / 26 Calcul numérique Méthodes numériques P−1 0 −1 0 0 1 = 2 −1 1 0 Méthodes numériques : • décomposition LU • décomposition QR (plus robuste) 1 2 0 −1 0 −1 3 0 0 0 −1 0 0 1 A = 0 3 0 = −1 0 0 0 2 0 2 2 −4 2 2 1 2 0 0 1 −1 1 0 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 22 / 26 • ... Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 23 / 26 Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Décomposition LU Eigen problem Calcul Diagonalisation Calcul numérique Calcul des valeurs propres Décomposition LU : une méthode récursive M = LU m11 m21 m31 m41 m12 m13 m22 m23 m32 m33 m42 m43 m14 1 m24 l21 = m34 l31 l41 m44 0 0 1 0 l32 1 l42 l43 0 0 0 1 u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33 0 0 0 u14 u24 u34 u44 Algorithm 1: Calcul des valeurs propres input: une matrice Mn×n dont on cherche les valeurs propres A=M repeat L, U = LU (A) A=U×L until convergence return diag(A) La matrice A converge vers une matrice triangulaire supérieure semblable à M dont la diagonale est alors constituée des valeurs propres de M. Vincent Nozick Eigen problem Vecteurs propres, valeurs propres Calcul Diagonalisation 24 / 26 Calcul numérique Vecteurs propres & valeurs propres Applications • en mécanique quantique matrices Hamiltoniennes • en mécanique du solide fréquences de résonance d’un oscillateur harmonique • en géologie étude des tremblements de terre • en électronique • en statistique • en économie • ... Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 26 / 26 Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 25 / 26
