LE MICROSCOPE A EFFET TUNNEL corrigé

LE MICROSCOPE A EFFET TUNNEL
corrigé
La marche de potentiel
1. La fonction d’onde ψ(x) de la particule est solution de l’équation de
Schrödinger dans chaque région 1 et 2, soit en utilisant les constantes
positives k et ρ :
00
ψ (x) + k 2 ψ(x) = 0 pour x ≤ 0
ψ 00 (x) − ρ2 ψ(x) = 0 pour x ≥ 0
En intégrant ces équations, on obtient les expressions générales suivantes,
où A, A0 , B et B 0 sont des constantes :
Aeikx + A0 e−ikx pour x ≤ 0
ψ(x) =
Beρx + B 0 e−ρx pour x ≥ 0
Pour déterminer les constantes, il faut utiliser les condition suivantes :
– la fonction d’onde doit être bornée en +∞, donc B = 0.
– la fonction d’onde doit être continue en x = 0, donc A + A0 = B 0 .
– la dérivée de la fonction d’onde doit être continue en x = 0, donc
ik(A − A0 ) = −ρB 0 .
Ces trois conditions donnent la solution suivante :

k − iρ −ikx

 A(eikx +
e
) pour x ≤ 0
k + iρ
ψ(x) =
2k −ρx

 A
e
pour x ≥ 0
k + iρ
La constante A peut être obtenue en écrivant que |ψ|2 est une densité de
probabilité, et donc que :
Z
+∞
|ψ|2 dx = 1
−∞
Toutefois, il est important de noter que, dans ce cas, cela conduirait à la
condition A = 0 pour que du côté de −∞ la fonction tende vers 0. En fait,
la particule ne peut pas être émise depuis −∞. Elle provient forcément
d’une boı̂te de largeur finie (entre x = −L et x = 0). En supposant que le
potentiel est infini pour x ≤ −L, la condition ci-dessus donne une valeur
de A fonction de α en remplaçant −∞ par −L. De plus, dans ce cas (qui
1
correspond à un puits de potentiel de largeur L, l’énergie de la particule
sera quantifiée.
2. Dans l’expression de la fonction d’onde pour x ≤ 0, si on note ψ I le terme
en eikx , soit ψ I (x) = Aeikx , celui-ci représente l’onde se propageant vers
les x croissants. C’est l’onde incidente sur la marche. De même, en notant
−ikx
ψ R celui en e−ikx , soit ψ R (x) = A k−iρ
, celui-ci donne l’onde se
k+iρ e
propageant vers les x décroissants. C’est l’onde réfléchie par la marche. Le
rapport des densités de probabilités associées à ces deux ondes représente
la possibilité d’observer une onde réfléchie pour une onde incidente. Le
coefficient de réflexion R est donc :
R=
|ψ R |2
|k − iρ|2
=
=1
|ψ I |2
|k + iρ|2
La valeur de 1 signifie que la particule est totalement réfléchie.
3. La densité de probabilité de présence de la particule dans la région 2 est
donnée par |ψ|2 à partir de l’expression de ψ pour x ≥ 0. On obtient :
p(x) = |ψ|2 = 4A2
k2
e−2ρx
k 2 + ρ2
Cette densité de probabilité est non nulle. Il existe donc une onde évanescente
non nulle dans la région 2. On voit que la valeur de la constante ρ donne
la vitesse à laquelle cette probabilité décroı̂t dans la région 2.
La barrière de potentiel
1. En utilisant le même raisonnement que précédemment, on obtient les expressions générales suivantes, où A, A0 , B, B 0 , C et C 0 sont des constantes :

 Aeikx + A0 e−ikx pour x ≤ 0
Beρx + B 0 e−ρx pour 0 ≤ x ≤ a
ψ(x) =

Ceikx + C 0 e−ikx pour x ≥ a
Pour déterminer les constantes, il faut utiliser les condition suivantes :
– il ne peut y avoir d’onde réfléchie en +∞, donc C 0 = 0.
– la fonction d’onde doit être continue en x = 0, donc A + A0 = B + B 0 .
– la dérivée de la fonction d’onde doit être continue en x = 0, donc
ik(A − A0 ) = ρ(B − B 0 ).
– la fonction d’onde doit être continue en x = a, donc Ceika = Beρa +
B 0 e−ρa .
– la dérivée de la fonction d’onde doit être continue en x = a, donc
ikCeika = ρ(Beρa − B 0 e−ρa ).
Ces cinq conditions donnent un système d’équations comportant quatre
équations pour quatre inconnues. En effet, les constantes A0 , B, B 0 et C
seront déterminées en fonction de la constante A. Comme dans le cas de
la marche de potentiel, la constante A peut ensuite être déterminée en
écrivant que |ψ|2 est une densité de probabilité, et en tenant compte du
2
fait que la particule ne peut pas provenir de −∞. Le système obtenu est
le suivant en notant α = k/ρ :

−A0 + B + B 0 = A


 iαA0 + B − B 0 = iαA
Beρa + B 0 e−ρa − Ceika = 0



Beρa − B 0 e−ρa − iαCeika = 0
Pour alléger les notations, il est commode d’introduire la quantité suivante :
D=
1
((1 + iα)2 e−ρa − (1 − iα)2 eρa ) = 2iα cosh(ρa) − (1 − α2 ) sinh(ρa)
2
Le système d’équations peut maintenant être réduit pour obtenir B et B 0
en fonction de A :

−ρa

 B = iα(1 + iα)e
A
(1 + iα)B − (1 − iα)B = 2iαA
D
⇒
ρa
ρa
−ρa 0
(1 − iα)e B − (1 + iα)e
B =0

 B 0 = iα(1 − iα)e A
D
0
On peut maintenant exprimer les constantes A0 et C en fonction de A, à
l’aide des relations précédentes :
A0 = B + B 0 − A =
(α2 + 1) sinh(ρa)
A
D
2iα
A
D
Finalement, la fonction d’onde ψ décrivant l’état de la particule s’écrit de
la façon suivante :
C = e−ika (Beρa + B 0 e−ρa ) = e−ika
 (α2 + 1) sinh(ρa) −ikx
ikx


e
pour x ≤ 0
A
e
+


D

 iα(1 + iα)eρ(x−a) + iα(1 − iα)e−ρ(x−a)
ψ(x) =
A
pour 0 ≤ x ≤ a


D


 2iα ik(x−a)

A
e
pour x ≥ a
D
2. Comme dans le cas précédent, on peut dire que le terme ψ I = Aeikx (pour
x ≤ 0) dans la fonction d’onde ψ représente l’onde incidente sur la barrière
de potentiel. De même, l’onde transmise sera le terme ψ T = Ceikx (pour
x ≥ a). Le coefficient de transmission T sera donc logiquement le rapport
entre les probabilités de présence associées à ψ I et à ψ T , soit :
T =
|ψ T |2
=
|ψ I |2
1+
3
1
V02
4E(V0 −E)
sinh2 (ρa)
3. Une barrière épaisse est ici caractérisée par ρa >> 1. Ceci signifie d’une
part que la barrière est large (a grand), et d’autre part que l’énergie E
de la particule est faible devant la hauteur de la barrière V0 (ρ grand).
Dans ce cas, le second terme du dénominateur dans l’expression de T est
prépondérant, et sinh(ρa) peut être assimilé à 21 eρa . L’expression de T
devient donc :
T ≈
16E(V0 − E) −2ρa
e
V02
4. Un cycliste de m = 70kg lancé à v = 36km/h possède une énergie
(cinétique) E = 21 mv 2 = 3500J. La colline de hauteur h = 20m représente
pour le cycliste une énergie potentielle V0 = mgh ≈ 14000J (avec g
l’accélération de la pesanteur). On a donc bien E petit devant V0 , et une
largeur de barrière a = 50m qui donne un terme ρa de l’ordre de 1038 . Il
est bien évident que dans ce cas le coefficient de transmission est pratiquement nul, et le cycliste n’a aucune chance de passer cette colline.
Pour un électron ayant une énergie de E = 1eV , devant une barrière
hauteur V0 = 2eV et de largeur a = 1Å, on obtient ρa = 0,513. On ne
plus utiliser l’approximation de T dans le cas où ρa >> 1. On utilise
donc la formule complète et on obtient T = 1/(1 + sinh2 (0,513)) ≈ 0,78.
L’électron a donc environ 80% de chance de franchir la barrière.
Pour un proton de masse 1840 fois plus grande, dans les mêmes conditions
énergétiques, on trouve ρa ≈ 22 >> 1, et donc T ≈ 4e−44 ≈ 3.10−19 . Ce
proton n’a pratiquement aucune chance de franchir cette barrière.
Le microscope STM
Fig. 1 – Évolution du coefficient de transmission T en fonction de a et V0 .
La figure 1 donne ’évolution du coefficient de transmission T en fonction de a
et de V0 . On constate que ce coefficient est très sensible à une faible variation
de la largeur de la barrière, a, lorsque le potentiel de cette barrière est faible.
On pourra donc visualiser des sites atomiques, par exemple dans du silicium,
en utilisant une pointe très proche du matériau à observer. C’est le principe du
microscope à effet tunnel, ou STM pour Scanning Tunneling Microscop.
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