LE NOMBRE PI ( PDF

LE NOMBRE PI
Que savez-vous du nombre Pi ?
 π est un nombre infini
La valeur de π est aujourd'hui connue avec une très grande précision,
grâce aux formules et aux ordinateurs de plus en plus perfectionnés (le
nombre de décimales connues se compte en milliards).
 Le record du 2 août 2010 : plus de 5000 milliards de décimales.
 Les mathématiciens modernes s'interrogent en voyant que les chiffres
du nombre π n'ont apparemment entre eux aucune suite logique : 3,141
592 653 589 793 238 462 ...
 Le nombre Pi sert à calculer le périmètre ou la surface d’un disque.
En quoi l’histoire du nombre Pi estelle liée à celle d’Archimède ?
 Archimède fut le premier à trouver une
valeur approchée de Pi.
 Comment?
Archimède dessina un cercle.
Puis il dessina un polygone régulier sur ce cercle.
Et enfin il plaça dans ce cercle un autre polygone
régulier avec le même nombre de cotés.
Donc le périmètre du cercle est comprit entre les
périmètres des deux polygones. Pour connaitre Pi, il
faut diviser le périmètre du polygone par le diamètre
du cercle. Ce résultat permet d’obtenir un
encadrement.
Dans cette exemple :
3<PI<3,47
Archimède fit la même expérience
avec un polygone de 96 cotés
et trouva une valeur
approximative de Pi de 3,1428
D’où vient la lettre π ?
La lettre π a été choisie au XVIIIème
siècle et correspond à la première
lettre du mot grec signifiant périmètre
« P ».
Comment retenir Pi ?
Les 127 premiers chiffres de Pi peuvent se retenir
avec des poèmes. Ces poèmes sont des moyens
mnémotechniques pour retenir un grand nombre de
décimales. Pour trouver les décimale:
- Le nombre de lettre de chaque mot détermine
une décimale (ex: un mot de 4 lettres code 4).
- Un mot de 10 lettres code 0.
- La ponctuation ne code rien.
Il existe des versions dans différentes langues:
anglais, français, allemand, espagnol, portugais,
danois, albanais et breton.
EXEMPLE D’UN POEME
Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages !
31415926535
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
8979
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
32384626
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
43383279
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
50288
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
4197169
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
399375
0 quadrature ! Vieux tourment du philosophe
105829
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
974944
Défié Pythagore et ses imitateurs.
59230
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
781640
Former un triangle auquel il équivaudra ?
628620
Nouvelle invention : Archimède inscrira
8998
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
628034
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
825342117
Dédoublera chaque élément antérieur ;
0679
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
821480
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
8651328
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
2306647
Professeur, enseignez son problème avec zèle
093844
Comment calculer le périmètre d’un
cercle ?
Le périmètre d’un cercle se calcule avec la
formule :
2
X
π
ou
2πr
X
r
Cercle 1
1er Exemple
Formule pour calcul du
périmètre:
2xπxr
cm
On remplace au dixième près:
2 x 3,1 x 3 = 18,6 cm
Le cercle 1 a pour périmètre 18,6 cm
2ème Exemple
Cercle 2
Formule pour calcul de périmètre:
2xπxr
cm
On remplace au dixième près:
2 x 3,1 x 2 = 12,4 cm
Le cercle 2 a pour périmètre 12,4 cm
3ème Exemple
Cercle 3
Formule pour calcul du
périmètre:
2xπxr
On remplace au dixième près:
cm
2 x 3,1 x 5 = 31cm
Le cercle 3 a pour périmètre 31cm
A GRANDE ECHELLE
Si l’on décide de faire le tour de la terre en passant
par l’équateur, combien de kilomètres parcourt-on ?
Le rayon de la terre est de 6378Km
Formule calcul du
périmètre :
2xπxr
On remplace π par 3,14 et on
obtient :
2 x 6378 x 3,14
= 40053,84 km
Le tour de la terre en passant par
l’équateur fait environ 40054 km
Regardons la différence en calculant le périmètre avec plus
de décimales (avec les 23 premiers chiffres) :
Le rayon de la terre est de 6378Km
Formule de calcul du
périmètre :
2xπxr
On remplace π par sa valeur aux 23 décimales près:
2 x 6378 x 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6
= 40074,1558891914025498289256 km
Le tour de la terre en passant par l’équateur fait environ de 40074 km
La différence
En arrondissant, le 1er calcul est égal a 40054 km et le
2ème calcul est égal a 40074 km
La différence est de 20 km
Ceci veut dire que si l’on calcule le périmètre d’un
disque à grande échelle, il faut connaitre un
maximum de décimales, pour que l’erreur soit la
plus petite possible.
Plus on prend en compte de décimales, plus le
calcul est précis.
Comment calculer l’aire d’un disque
?
La formule pour calculer l’aire d’un disque est :
πxrxr
ou
πr2
Exemple :
Formule pour calculer l’aire :
πxrxr
cm
On remplace :
3,1 x 3 x 3
= 27,9 cm
L’aire de ce disque est 27,9 cm
Pi est un peu plus grand que le chiffre trois