TABLE OF INTEGRALS
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TABLE OF INTEGRALS Fundamental Forms 1. u dv = uv − v du 2. un du = 3. du = ln |u| + C u 4. eu du = eu + C 5. au du = 6. sin u du = − cos u + C 7. cos u du = sin u + C 8. sec2 u du = tan u + C 9. csc2 u du = − cot u + C un+1 + C, n 6= −1 n+1 au +C ln a 1 1 u + sin 2u + C 2 4 20. cos2 u du = 21. tan2 u du = tan u − u + C 22. cot2 u du = − cot u − u + C 23. sinn u du = − 24. cosn u du = 1 n−1 cosn−1 u sin u + n n 25. tann u du = 1 tann−1 u − n−1 26. cotn u du = − 27. secn u du = 28. cscn u du = − 29. sin au sin bu du = 30. sin au cos bu du = − cos(a − b)u cos(a + b)u − +C 2(a − b) 2(a + b) sin(a + b)u sin(a − b)u + +C 2(a − b) 2(a + b) 1 n−1 sinn−1 u cos u + n n 1 cotn−1 u − n−1 1 n−2 cscn−2 u cot u + n−1 n−1 csc u cot u du = − csc u + C 31. cos au cos bu du = − tan u du = ln |sec u| + C 32. u sin u du = sin u − u cos u + C cot u du = ln |sin u| + C 33. u cos u du = cos u + u sin u + C sec u du = ln |sec u + tan u| + C 34. un sin u du = −un cos u + n csc u du = ln |csc u − cot u| + C 35. un cos u du = un sin u − n 15. 16. 17. 18. ⎧ u ⎪ ⎨ arcsin a + C, or du √ = ⎪ a2 − u2 ⎩ − arccos u + C a a2 a2 un−1 sin u du Inverse Trigonometric Forms √ 1 − u2 + C 36. sin−1 u du = u sin−1 u + u+a 1 du +C ln = − u2 2a u−a 37. cos−1 u du = u cos−1 u + 38. tan−1 u du = u tan−1 u − 39. sec−1 u du = u sec−1 u − ln u + √ 1 − u2 + C 1 ln(1 + u2 ) + C 2 Trigonometric Forms 19. cscn−2 u du un−1 cos u du u 1 du = arctan + C + u2 a a 1 1 sin2 u du = u − sin 2u + C 2 4 secn−2 u du sin(a − b)u sin(a + b)u − +C 2(a − b) 2(a + b) 11. 14. cotn−2 u du 1 n−2 secn−2 u tan u + n−1 n−1 sec u tan u du = sec u + C 13. cosn−2 u du tann−2 u du 10. 12. sinn−2 u du 40. −1 u sin √ u2 − 1 + C √ 2u2 − 1 u 1 − u2 −1 sin u + +C u du = 4 4 41. u cos−1 u du = √ 2u2 − 1 u 1 − u2 cos−1 u − +C 4 4 57. cosh u du = sinh u + C 42. u tan−1 u du = u2 + 1 u tan−1 u − + C 2 2 58. tanh u du = ln(cosh u) + C 43. u sec−1 u du = 1 2 1√ 2 u sec−1 u − u −1+C 2 2 59. coth u du = ln |sinh u| + C 44. un sin−1 u du = un+1 1 sin−1 u − n+1 n+1 un+1 √ du 1 − u2 60. sech2 u du = tanh u + C 45. un cos−1 u du = un+1 1 cos−1 u + n+1 n+1 un+1 √ du 1 − u2 61. csch2 u du = − coth u + C 46. un tan−1 u du = un+1 1 tan−1 u − n+1 n+1 un+1 du 1 + u2 62. sech u tanh u du = −sech u + C un sec−1 u du = un+1 1 sec−1 u + n+1 n+1 un+1 √ du u2 − 1 63. 47. csch u coth u du = −csch u + C Irrational Algebraic Forms Exponential and Logarithmic Forms 1 (au − 1)eau + C a2 48. ueau du = 49. 1 n un eau du = un eau − a a 50. eau sin bu du = 51. eau cos bu du = 52. ln u du = u ln u − u + C 53. 1 du = ln |ln u| + C u ln u un−1 eau du 65. √ u u√ 2 a2 arcsin + C a2 − u2 du = a − u2 ± 2 2 a 66. eau (a cos bu + b sin bu) + C + b2 a2 69. n+1 u u ln u − +C n+1 (n + 1)2 54. un ln u du = 55. m un+1 lnm u − u ln u du = n+1 n+1 56. sinh u du = cosh u + C n √ √ u√ 2 a2 ln u + u2 ± a2 + C u2 ± a2 du = u ± a2 ± 2 2 √ √ u u2 u2 ± a2 du = (2u2 + a2 ) u2 ± a2 ± 8 √ a2 ln u + u2 ± a2 + C 8 √ √ a u2 − a2 du = u2 − a2 − a arccos + C 67. u u √ √ √ a + a2 ± u2 a2 ± u2 +C 68. du = a2 ± u2 − a ln u u eau (a sin bu − b cos bu) + C 2 a + b2 n+1 64. m 70. n m−1 u ln u du + C 71. √ du √ = ln u + u2 ± a2 + C 2 2 u ±a √ a + a2 ± u2 1 du √ +C = − ln a u u a2 ± u2 √ du u2 ± a2 √ =∓ +C a2 u u2 u2 ± a2 TRIGONOMETRIC IDENTITIES sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) p= cos α cos β ∓ sin α sin β p sin 12 α = (1 − cos α)/2; cos 12 α = (1 + cos α)/2 sin α ± sin β = 2 sin 12 (α ± β) cos 12 (α ∓ β) cos α + cos β = 2 cos 12 (α + β) cos 12 (α − β) cos α − cos β = −2 sin 12 (α + β) sin 12 (α − β) sin(α − β) + sin(α + β) = 2 sin α cos β sin(α + β) + sin(α + β) = −2 cos α sin β cos(α − β) + cos(α + β) = 2 cos α cos β cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β sin2 α − sin2 β = sin(α + β) sin(α − β) cos2 α − cos2 β = − sin(α + β) sin(α − β) cos2 α − sin2 β = cos(α + β) cos(α − β) a b c = = (law of sines) sin A sin B sin C c2 = a2 + b2 − 2ac cos C (law of cosines)