C`est quoi une suite ?

C’est quoi une suite ?
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C’est quoi une suite ?
alors comme des cases, un peu comme à la marelle. Tu démarres dans la première boîte.
C’est quoi une suite ?
Combien de pas fais-tu pour arriver à la huitième boîte ?
C’est une fonction définie sur N
8
Euh ...
Enfin, non, pas forcément sur N, ça peut-être aussi seulement sur un sous-ensemble de Non, 7 (c’était un piège !). En effet, tu pars de la boîte numérotée 1. Tu n’as fait encore
aucun pas pour y arriver : le nombre de pas est 0 au début. Puis tu passes dans la boîte
N
numérotée 2 : 1 pas. Puis dans la boîte 3 : un pas de plus, donc 2 en tout. Puis dans la
Euh ...
boîte 4 : un pas de plus, donc 3 en tout, et ainsi de suite. Pour arriver à la boîte 8, il
Tu comprendras quand tu seras plus grande ...
faut 7 pas parce que tu pars de 1. A chaque pas, pour trouver le nombre qu’il y a dans
la boîte, il suffit d’ajouter 2. Tu démarres avec 2 dans la boîte 1. Tu fais un pas : boîte
Liste, boîtes, étiquettes, contenus
2, contenu 2 + 2 = 4. Tu fais un pas : boîte 3, contenu 4 + 2 = 6. Or en tout, tu as fait
Non, mais en vrai, c’est quoi une suite ?
7 pas. Donc combien as-tu ajouté depuis le début ?
C’est un concept mathématique qui essaie de traduire l’idée usuelle de liste, de séquence, J’ai ajouté 7 fois 2, c’est-à-dire 14. Et comme je partais de 2, j’obtiens finalement 2 + 14
d’énumération. Pour en avoir une image mentale, pense à des boîtes placées les unes à = 16. C’est pratique. Mais alors ...,
côté des autres : il y a la première boîte, puis la deuxième, etc. Elles sont numérotées Pour arriver à la boîte 2009, je dois faire 2008 pas, et donc ajouter 2008 fois 2, c’est-à-dire
dans l’ordre (on a collé une étiquette sur chaque boîte, avec son numéro).
4016. Et comme je partais de 2, le résultat est 2 + 4016 = 4018
Une suite, c’est une succession de boîtes numérotées ?
Parfait. Et dans une boîte quelconque, mettons la boîte numéro n, quel nombre y a-t-il ?
Non, attends, je n’avais pas fini. Il n’y a pas que les boîtes, il y a leur contenu. Pour Je dois faire n − 1 pas pour arriver à la boîte n, et à chaque fois j’ajoute 2. Donc en tout
définir ce qu’on appelle une suite, il faut maintenant mettre dans chaque boîte un papier j’ajoute 2(n − 1). Comme je pars de 2, j’obtiens finalement 2 + 2(n − 1), c’est-à-dire 2n.
sur lequel on a écrit un nombre. A tout numéro de boîte correspond un nombre, celui En fait, c’est idiot, j’aurais pu le voir plus tôt quand j’ai fait la liste des 8 premiers nombres
qui est écrit sur le papier qui se trouve dans la boîte correspondante.
pairs. Dans la boîte 1 : contenu 2, boîte 2 : contenu 4 (c’est-à-dire 2 fois 2), boîte 3 :
Par exemple, si les boîtes sont numérotées 1, 2, 3, etc. et si je mets 2 dans la première contenu 6 (c’est-à-dire 2 fois 3), etc.
boîte, 4 dans le deuxième , 6 dans la troisième, etc. (je mets les nombres pairs dans Oui, tu aurais pu deviner la formule, mais tu ne l’aurais pas démontrée. En comptant
l’ordre), quel nombre contiendra la boîte numéro 8 ?
les pas et en multipliant par 2, tu as démontré la formule dans le cas général.
Eh bien, ce sera le huitième nombre pair. Les nombres pairs sont, dans l’ordre, 2 (ça fait 1), En fait, au lieu de te définir la suite comme je l’ai fait (la suite des nombres pairs),
4 (ça fait 2), 6 (ça fait 3), 8 (ça fait 4), 10 (ça fait 5), 12 (ça fait 6), 14 (ça fait 7), 16 (ça j’aurais pu te dire directement : dans la boîte n, il y a le nombre 2n. C’est ce qu’on
fait 8). Donc la réponse est 16
appelle une formule directe. Avoir une formule directe est souvent préférable : on peut
Bravo ! Mais ta façon de compter va poser des problèmes si je te demande quel nombre ainsi répondre tout de suite à la question : «quel nombre y a-t-il dans la boîte n ?»,
il y a dans la boîte numéro 2009.
moyennant un calcul à partir de n.
Effectivement, je n’ai pas envie d’énumérer les 2009 premiers nombres pairs. Donc il va
falloir trouver une astuce.
Vocabulaire et notations mathématiques
Quel écart y a-t-il entre un nombre pair et le nombre pair suivant ?
Il est temps d’adopter maintenant les notations mathématiques habituelles.
2
Imagine que les boîtes sont posées par terre et que chaque boîte est ouverte et assez D’abord pour parler d’une suite on commence par lui donner un nom. Par exemple, ici,
grande pour que tu puisses poser tes pieds dedans, et qu’elles sont disposées de manière puisqu’il s’agit de la suite des nombres pairs, on pourrait l’appeler p.
à ce que tu puisses passer d’une boîte à l’autre en faisant juste un pas. On les voit plutôt Ensuite, pour désigner le nombre contenu dans la boîte numéro n, on note pn
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p avec un petit n écrit à droite légèrement en dessous ?
Oui, une petite lettre qu’on écrit à droite légèrement en dessous, on appelle ça un indice.
L’expression pn se lit «p indice n» ou «p de n» ou même parfois «p n» tout court
«Indice» ? Bizarre comme mot ! Comme Sherlock Holmes, qui trouve des indices qui lui
permettent de savoir qui est le coupable ?
Pas vraiment, mais il y a de ça. C’est une indication qui permet de savoir de quelle
boîte on parle et donc de quel nombre on parle.
Résumons :
une suite peut être vue comme une succession de boîtes (ou cases) numérotées contenant chacune un nombre. Si on donne un nom à la suite, par exemple s, alors pour
désigner le nombre contenu dans la boîte numéro n on note sn . Pour arriver à définir une suite, il faut préciser comment les boîtes sont numérotées et par quel procédé
(direct ou indirect) on peut trouver les nombres qui sont dans les boîtes
Comment ça «il faut préciser comment les boîtes sont numérotées» ? Elles sont numérotées
1, 2, 3, 4, etc. Quoi d’autre ?
Ce serait effectivement normal (la première boîte porte le numéro 1, la deuxième le
numéro 2, etc.), mais on utilise parfois d’autres numérotations. Un cas très fréquent est
le suivant : la première boîte porte le numéro 0, la deuxième porte le numéro 1, etc.
Commencer à compter à 0 ? Bizarre, pourquoi voudrait-on faire ça ?
Déjà, cela éviterait le piège dans lequel tu es tombée tout à l’heure. Si on part de la
boîte 0, alors pour arriver jusqu’à la boîte 8 il faudra 8 pas (de 0 à 1, de 1 à 2, . . ., de
7 à 8).
Oui, mais cela introduit un nouveau piège : le numéro inscrit sur la boîte ne serait plus son
numéro d’ordre : la boîte qui porte l’étiquette 8 serait en fait la neuvième boîte.
C’est vrai. On fait parfois la distinction entre l’indice (le numéro qui est inscrit sur
l’étiquette) et le rang (le numéro d’ordre la boîte : la première boîte, la deuxième boîte,
etc.). En commençant l’étiquetage à 0, le rang n’est plus égal à l’indice : le rang vaut
un de plus que l’indice (la boîte étiquetée 8 est la neuvième).
Je ne sais pas si on y gagne. Il y a maintenant trois choses à ne pas confondre : le rang
(le numéro d’ordre en commençant à 1), l’indice (le numéro qui figure sur l’étiquette sur la
boîte), et le contenu (le nombre qui figure sur le papier dans la boîte). Ca se complique !
C’est vrai. Les mathématiciens ont introduit des mots particuliers pour chacune de
ces choses. Reprenons la suite des nombres pairs de tout à l’heure (l’indice est égal au
rang, et on commence par le contenu 2). On écrira les phrases suivantes :
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Pour résumer cela, on peut dire :
« soit p la suite définie sur N∗ par pn = 2n ».
Tout ça pour dire : « soit p la liste des nombres pairs » ! On se complique la vie !
Apparemment, oui. Mais ensuite on a besoin de toutes ces distinctions pour pouvoir
parler précisément des choses et pour faire des calculs et des démonstrations.
Une suite est une fonction
Et pourquoi disais-tu au début qu’une suite était une fonction ? Quel rapport avec les boîtes ?
Faisons abstraction des aspects matériels (boîtes, étiquettes, papiers) et occupons-nous
seulement de deux choses : les numéros qui figurent sur les étiquettes et les nombres
qui figurent sur les papiers. Une suite permet de définir une correspondance entre les
numéros et les nombres : si je te donne un numéro, tu peux me donner le nombre associé
(celui qui figure sur le papier contenu dans la boîte dont l’étiquette porte le numéro).
Par exemple, toujours pour la suite précédente des nombres pairs, si je te donne le
numéro 7 (étiquette, indice), tu me réponds quel nombre (contenu) ?
14
Oui, on a donc en résumé un procédé qui permet de calculer le contenu à partir du
numéro. Un tel procédé s’appelle une fonction.
Mais je croyais qu’une fonction, c’était quand il y avait f , x, f (x), des choses comme ça !
Oui, eh bien on peut faire ça ici, si tu veux ces notations-là : on peut dire que la suite
des nombres pairs précédente est la fonction f définie sur N∗ par f (x) = 2x
Mais f n’est pas définie que sur N∗ ! On peut calculer 2x pour n’importe quel nombre réel
x, donc f est définie sur R !
Il y a là un problème délicat concernant l’expression « être définie sur ». Ton point de
vue, c’est en gros que ce qui prime c’est la formule (2x) et que le domaine de définition
s’en déduit : c’est tous les x pour lesquels on est capable de calculer 2x. Mais même
avec ce point de vue, tu aurais tort.
Pourquoi ? On ne peut pas calculer 2x pour tout x réel ?
Si, mais pas seulement pour x réel. x pourrait être un nombre complexe, un vecteur, une
fonction, sans compter tous les concepts qu’on ne voit pas au lycée. Donc quel serait le
domaine de définition ? L’ensemble des nombres complexes ? des vecteurs ?
Tout dépend à quoi on s’intéresse lorsqu’on parle de la formule. Quand on introduit
« p est une suite définie sur N∗ » : cela veut dire que les numéros sur les étiquettes une formule, on a une intention : étudier certaines sortes de problèmes dans un certain
commencent à 1. Le domaine de définition d’une suite, c’est l’ensemble des numé- contexte. Et donc la formule ne suffit pas pour définir la fonction. Il faut aussi préciser
ros qui figurent sur les étiquettes.On peut dire aussi que la suite p commence à l’indice 1. dans quel contexte on se place, il faut annoncer ses intentions. C’est ce qu’on fait quand
dit « soit f la fonction définie sur ... par ... ». On précise à la fois le contexte (« définie sur
« le terme d’indice n de la suite p a pour valeur 2n » : le mot «terme» désigne ») et la formule (« par »). Cela ne veut pas dire que la formule ne peut pas s’appliquer
une boîte, «terme d’indice n» désigne la boîte qui porte l’étiquette n. La «valeur» d’un à autre chose, mais cela veut dire que dans le contexte où on se place, on décide de
terme, c’est le contenu de la boîte.
s’intéresser seulement à ce domaine-là.
C’est quoi une suite ?
Mais encore faut-il qu’on soit cohérent ! Je ne peux quand même pas dire : « soit f la
1
fonction définie sur R par f (x) = » puisque f (0) n’est pas calculable !
x
Excellente remarque ! On aborde là le statut des textes mathématiques : ce n’est pas
parce qu’un texte mathématique dit quelque chose qu’il faut le croire sur parole. Les
gens qui écrivent des textes mathématiques peuvent se tromper. Le contrat implicite
quand on écrit « soit f la fonction définie sur ... par ... » c’est qu’effectivement la formule
qu’on donne est bien calculable pour tous les éléments du domaine qu’on donne. Tout
dépend du degré de confiance qu’on accorde à cette affirmation implicite.
Les mathématiques ont été inventées en partie par des gens qui reconnaissaient que
le cerveau humain était faillible et qu’on ne pouvait pas accepter une affirmation
comme vraie seulement parce qu’elle était énoncée par «quelqu’un digne de confiance».
On n’accepte une affirmation comme vraie que si on est capable de la vérifier et de
la démontrer soi-même en utilisant des modes précis et codifiés de démonstration,
vérifiables par tout le monde.
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séparés : le point d’abscisse 0, puis le point d’abscisse 1, puis le point d’abscisse 2, puis
le point d’abscisse 3, etc. On n’obtient pas vraiment une ligne, mais une succession de
points. On retrouve bien ici l’idée de liste, de succession.
Et est-ce que les ordonnées des points doivent aussi être des nombres entiers ?
Non, les ordonnées des points sont les valeurs contenues dans les boîtes, rien ne dit
qu’elles doivent être des nombres entiers. Elles peuvent être des réels quelconques (et
même d’ailleurs parfois des complexes). Autrement dit, il y a une contrainte qui dit que
n doit appartenir à N, mais rien n’oblige un à appartenir à N. Quand on dit qu’une
suite est définie sur N, cela concerne seulement n.
Mais comment fabriquer des nombres qui ne sont pas entiers à partir de nombres entiers ?
C’est facile et assez courant.√Par exemple, en prenant la racine carrée
positive : 2 est
√
un nombre entier, mais pas 2. Donc la suite s définie par sn = n a des valeurs qui
ne sont pas toujours des nombres entiers (les «valeurs» d’une suite, ce sont les nombres
contenus dans les boïtes).
1
Autre exemple, en prenant l’inverse : l’inverse de 2 est , qui n’est pas un nombre entier.
2
Pour revenir à ton exemple, on pourrait dire :
je reviens à l’idée de courbe : pour obtenir une ligne on pourrait relier tous les points, par
1
soit f la fonction définie par f (x) = pour tous les nombres réels pour lesquels cette exemple par des segments de droite ?
x
formule est calculable. Le domaine de définition serait alors sous-entendu, mais sans Oui, mais reste à savoir ce que représenterait cette ligne. Comment interpréter un point
de la ligne qui ne fait pas partie des points de départ ? On sortirait du contexte initial.
ambiguïté : ce serait R∗ .
Donc une suite est une fonction parce qu’elle définit un procédé permettant de calculer le Pourquoi pas, mais il faudrait alors préciser ce qu’on cherche à représenter ainsi.
contenu en fonction de l’indice : n 7→ sn , et c’est une fonction définie sur N (ou sur un Cependant, tracer des segments peut permettre d’observer plus facilement certaines
propriétés de la suite, par exemple de savoir si elle est croissante. Il est plus facile de
sous-ensemble) parce que les indices sont des nombres entiers (n ∈ N)
Exactement ! Dans les problèmes sur les suites, on veut pouvoir interpréter la situation se rendre compte visuellement si des segments «montent» que de se rendre compte que
en termes de boîtes et de numéros, et donc on décide de ne s’intéresser qu’aux nombres des points éloignés sont au-dessus ou au-dessous l’un de l’autre.
entiers.
Cela n’empêche pas qu’on pourrait parfois prolonger les formules aux nombres réels, Définition d’une suite par récurrence
mais alors on ne parlerait plus de « suite », on sortirait du contexte des suites.
Le fait qu’une suite soit une fonction implique qu’on pourrait très bien utiliser l’écriture Tout ce que tu me dis semble montrer qu’une suite est comme une fonction, mais qu’elle
n’en possède pas toutes les propriétés, qu’il y a des choses qui manquent. Mais alors pourquoi
habituelle : au lieu de noter sn , on pourrait noter s(n).
Mais alors, un indice n pour une suite s c’est comme une variable x pour une fonction f ! s’intéresser aux suites, si c’est un concept incomplet et insuffisant ?
Exact, le concept d’indice pour une suite est le même que celui de variable pour une D’abord une suite n’est pas «comme» une fonction, c’est vraiment une fonction, mais elle
est définie sur N. Tu veux sans doute dire que les fonctions qu’on étudie habituellement
fonction.
Donc on peut représenter la courbe d’une suite comme on représente la courbe d’une fonc- sont plutôt définies sur R ou sur un intervalle de R.
Ensuite le concept de suite est bien adapté pour représenter certaines situations qui ne
tion.
L’idée est bonne, mais pas le vocabulaire. les mathématiciens attribuent un sens parti- seraient pas forcément bien représentées avec des fonctions dont la variable est réelle.
Et enfin parce qu’on peut utiliser avec les suites certains procédés qui ne sont pas définis
culier au mot «courbe» et ne l’emploient pas pour une suite.
Mais effectivement, on peut dessiner une représentation graphique d’une suite avec le sur R
même procédé que pour les fonctions dont la variable est un réel : on dessine tous les Comment ça ? Je croyais que R était un prolongement de N, donc normalement si on peut
points de coordonnées (n, sn ) pour tous les n de N (ou plus généralement du domaine faire quelque chose dans N, on doit pouvoir le faire aussi dans R ?
de définition de la suite). Mais on n’obtient pas le même genre de dessin qu’avec les Pas tout à fait. En particulier, il y a certains concepts qu’on peut définir dans N et pas
fonctions dont la variable est un réel. La représentation est formée de points isolés, dans R. Par exemple, le concept de «suivant» d’un nombre, c’est-à-dire de nombre qui
C’est quoi une suite ?
vient immédiatement après un autre. Dans N, le suivant de 0 c’est 1, le suivant de 1
c’est 2, le suivant de 2 c’est 3, etc. Dans R on ne peut pas définir ce concept.
Pourquoi ? Le suivant de n c’est n + 1, donc ça peut se calculer aussi dans R.
Ajouter 1 peut se définir dans R aussi, d’accord, mais quand on parle de «suivant» on
veut dire autre chose : le suivant de x devrait être le nombre y qui vient immédiatement
après x, c’est-à-dire tel qu’il n’y ait aucun autre nombre strictement compris entre x et
y. Pour les nombres entiers, ça revient à dire que le suivant c’est n + 1, mais pour les
nombres réels ? Quel serait le suivant de 0 dans R ?
Je ne sais pas. Par exemple 0, 1 ?
Non puisqu’entre 0 et 0, 1 il y a d’autres nombres, par exemple 0, 01. De manière générale, entre deux réels x et y il y a une infinité d’autres nombres réels, en particulier
x+y
. On dit que N est «discret», contrairement à R (ne me demande
leur moyenne
2
pas pourquoi on a choisi ce mot, je ne sais pas).
Ah bon, alors R serait indiscret ? En tout cas, pourquoi la notion de suivant est-elle intéressante ?
Non, on ne dit pas que R est «indiscret».
La notion de suivant est intéressante parce qu’elle permet d’éviter de toujours définir
une suite par une formule directe, en définissant plutôt les valeurs des termes de proche
en proche. C’est ce qu’on aurait pu faire pour la suite des nombres pairs du début : le
premier terme vaut 2, et ensuite pour passer d’un terme au suivant il suffit d’ajouter 2.
Cela s’écrit : p1 = 2 et, pour tout n de N∗ , pn+1 = pn + 2.
Ce procédé permet ainsi de calculer toutes les valeurs de la suite.
Mais cela peut-être très long ! Pour calculer p2009 , il faudrait faire 2008 additions.
Oui, je n’ai pas dit que ce procédé était efficace du point de vue du calcul, j’ai dit que,
si on voulait, on pouvait définir une suite comme cela, et que parfois c’est le seul moyen
connu de définir une suite. Connaître une formule directe serait bien sûr préférable, mais
ce n’est pas toujours possible.
√
Par exemple, si on définit une suite s par s0 = 1 et sn+1 = 1 + sn , peux-tu trouver
une formule directe pour sn ?
q
p
p
√
√
√
Eh bien, s1 = 2 puis s2 = 1 + 2 , puis s3 = 1 + 1 + 2,
r
q
p
√
s3 = 1 + 1 + 1 + 2 donc sn = ? Non, je ne sais pas.
Moi non plus. Remarque bien que tu as quand même réussi à calculer s1 , s2 , s3 même
sans avoir de formule directe pour sn . Tu aurais pu continuer aussi loin que tu veux
(enfin, potentiellement, parce que le temps est compté).
Parfois il faut se contenter de ce genre de procédé pour définir une suite. On n’a pas de
formule directe, mais on peut quand même étudier des propriétés de la suite. On peut
par exemple démontrer que cette suite est croissante.
Ce procédé s’appelle «définir une suite par récurrence» : on donne le premier terme
et un procédé pour calculer de proche en proche les valeurs des termes. On donne la
valeur de s0 et on donne une formule qui permet pour tout n de calculer sn+1 quand
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on connaît sn .
Et inversement, peut-on définir une fonction quelconque par récurrence ?
Non, si u est une fonction définie sur R, le fait de connaître u(0) et une relation entre
u(x + 1) et u(x) ne suffit pas forcément pour calculer u(x) pour tout x. Cela permet
de calculer u(1), u(2), etc. mais forcément u(0.5). D’une certaine manière la récurrence
suffit pour une suite parce qu’il n’y a pas énormément de points dans N en comparaison
avec R, où il y a «infiniment» plus de points. La méthode de définition par récurrence
est bien adaptée aux suites, mais pas aux fonctions quleconques.
I)
Conclusion
Voyons si tu as compris : qu’est-ce qu’une suite et comment peut-elle être définie ?
Une suite est une fonction définie sur N ou un sous-ensemble de N. Comme toute fonction,
elle peut-être définie par n’importe quel procédé qui permet de spécifier un quand on connaît
n, par exemple la définition par récurrence, fondée sur l’axiome du même nom qui figure
dans les axiomes de Peano qui définissent N.
Euh ...
Tu comprendras quand tu seras plus grand.