Équations - Inéquations - Systèmes

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Équations - Inéquations - Systèmes
I Premier degré
Propriétés
Soit f définie sur IR par f(x) = ax + b avec a ≠ 0 .
f est une fonction affine, elle est représentée graphiquement par une droite.
a est le coefficient directeur ; b est l'ordonnée à l'origine.
Équation
ax + b = 0
Inéquation
ax + b > 0
Inéquation
ax + b < 0
Lorsque
a>0
L'équation
ax + b = 0
a pour solution
-b
a
L'inéquation
ax + b > 0
a pour ensemble
de solutions
- b ; +∞
 a

L'inéquation
ax + b < 0
a pour ensemble
de solutions
-∞ ; - b
a

Lorsque
a<0
L'équation
ax + b = 0
a pour solution
-b
a
L'inéquation
ax + b > 0
a pour ensemble
de solutions
-∞ ; - b
a

L'inéquation
ax + b < 0
a pour ensemble
de solutions
- b ; +∞
 a

Graphique
b
-b
a
b
-b
a
Le signe de ax + b est donné par le tableau :
x
signe de
ax + b
-b
a
-∞
signe de - a
0
+∞
signe de a
Exemple 1
5
Résolution graphique de l'inéquation 2x + 3 > 0 .
4
On trace la droite représentant la fonction f définie par f(x) = 2x + 3
L'ordonnée à l'origine est 3, le coefficient directeur 2.
La droite est au-dessus de l'axe Ox lorsque ∈ - 3 ; +∞.
 2

On en déduit que l'inéquation 2x + 3 > 0 a pour ensemble
de solutions - 3 ; +∞.
 2

3
2
-3
2
-3
-2
1
-1 O
-1
1
2
3
-2
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Terminale ES − Équations Inéquation Systèmes
page 1
Exemple 2
Résolution de l'inéquation 3x - 5 > 0 .
On peut écrire :
3x - 5 > 0
⇔
⇔
3x > 5
x>5
3
⇔
x ∈  5 ; +∞
3

L'inéquation 3x - 5 > 0 a pour ensemble de solutions  5 ; +∞ .
3

Exemple 3
Résolution de l'inéquation -2x - 7 £ 0 .
On peut écrire :
-2x - 7 £ 0
⇔
⇔
⇔
-2x £ 7
x³ 7
-2
(lorsqu'on divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité)
x ∈ - 7 ; +∞
 2

L'inéquation -2x - 7 £ 0 a pour ensemble de solutions - 7 ; +∞ .
 2

Exercice 01
(voir réponses et correction)
Résoudre les équations :
a) 3x + 1 = 0
c) 5x + 3 = 8
Exercice 02
Résoudre les inéquations :
a) 3x + 1 > 0
c) 5x + 3 < 8
Exercice 03
b) -2x - 3 = 0
d) -x + 4 = 2x - 7
b) -2x - 3 £ 0
d) -x + 4 ³ 2x - 7
Représenter graphiquement les fonctions f et g définies sur IR par :
f(x) = 3 - x
et g(x) = 1 x + 3
2
2
En déduire les solutions de :
a) 3 - x ³ 0
c) 3 - x = 1 x + 3
2
2
Exercice 04
b) 1 x + 3 < 0
2
2
d) 3 - x £ 1 x + 3
2
2
En utilisant un tableau de signes, déterminer le signe de
Exercice 05
f(x) =
x-1
(3 + x)(3 - x)
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
1°) Montrer que pour tout réel x on peut écrire : f(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)
2°) En déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x .
3°) Sans faire de calculs déterminer le signe de f18 ; f- 9 ; f37 ; f(π)
19
 4
35
Exercice 06
Déterminer suivant les valeurs de x, le signe de x3 - 4x .
page 2
II Second degré
Propriétés
Soit définie sur IR par f(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0 .
f est une fonction trinôme du second degré, elle est représentée graphiquement par une parabole.
Son discriminant ∆ est : ∆ = b2 - 4ac
Équation
ax2 + bx + c = 0
Factorisation
Lorsque
∆<0
Lorsque
∆=0
Lorsque
∆>0
L'équation
ax2 + bx + c = 0
n'a pas de
solution dans IR.
Le trinôme
ax2 + bx + c
ne se factorise
pas.
Inéquation
ax2 + bx + c > 0
Inéquation
ax2 + bx + c < 0
Si a > 0
L'inéquation
ax2 + bx + c > 0
a pour ensemble
de solutions
l'ensemble IR.
Si a > 0
L'inéquation
ax2 + bx + c < 0
n'a pas de solutions
dans IR.
Si a < 0
L'inéquation
ax2 + bx + c > 0
dans IR.
Si a < 0
L'inéquation
ax2 + bx + c < 0
a pour ensemble
de solutions
l'ensemble IR.
Graphique
∆<0
a>0
∆<0
a<0
Si a > 0
L'inéquation
L'équation
Si a > 0
L'inéquation
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c = 0
a pour ensemble
a une solution
ax2 + bx + c < 0
de
solutions
(double)
l'ensemble IR
dans IR.
dans IR.
privé de x0 .
Cette solution est
x0 = - b
Si a < 0
2a
L'inéquation
Si a < 0
Le trinôme
L'inéquation
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c
2
a
pour ensemble
ax + bx + c > 0
se factorise :
de solutions
n'a
pas
de
solutions
a(x - x0)2
l'ensemble IR
dans IR.
privé de x0 .
L'équation
ax2 + bx + c = 0
a deux solutions
distinctes
dans IR.
Ces solutions
sont
x1 = -b - ∆
2a
et
x2 = -b + ∆
2a
Le trinôme
ax2 + bx + c
se factorise :
a(x - x1)(x - x2)
Si a > 0
L'inéquation
ax2 + bx + c > 0
a pour ensemble
de solutions
]-∞ ; x1[∪]x2 ; +∞[
Si a < 0
L'inéquation
ax2 + bx + c > 0
a pour ensemble
de solutions
]x2 ; x1[
Si a > 0
L'inéquation
ax2 + bx + c < 0
a pour ensemble
de solutions
]x1 ; x2[
Si a < 0
L'inéquation
ax2 + bx + c < 0
a pour ensemble
de solutions
]-∞ ; x2[∪]x1 ; +∞[
∆=0
a>0
x0
x0
∆=0
a<0
∆>0
a>0
x2
x1
∆>0
a<0
x2
x1
page 3
Remarque
Le signe du trinôme est donné par :
Lorsque ∆ < 0
x
-∞
signe de
ax2 + bx + c
Lorsque ∆ = 0
x
-∞
signe de
ax2 + bx + c
Lorsque ∆ > 0
x
-∞
signe de
ax2 + bx + c
+∞
signe de a
x0
signe de a
0
+∞
signe de a
x2
x1
signe de a
signe de -a
+∞
signe de a
Remarque
Le sommet de la parabole représentant la fonction f(x) = ax2 + bx + c avec ≠ 0
a pour abscisse x0 = - b (c'est la valeur pour laquelle la dérivée de f s'annule)
2a
et pour ordonnée y = f(x0) .
Exemple
Résolution de l'inéquation x2 - 6x + 6 ³ 0
x2 - 6x + 6 étant un trinôme du second degré, on peut chercher son discriminant :
∆ = 36 - 4 x 1 x 6 = 12 , on a ∆ > 0, donc le trinôme x2 - 6x + 6 a deux racines :
x1 = 6 - 12 = 6 - 2 3 = 3 - 3 et x2 = 3 + 3
2
2
On peut alors donner donner le signe du trinôme dans le tableau :
x
-∞
+∞
3- 3
3+ 3
signe de
+
0
0
+
x2 - 6x + 6
On en déduit que l'inéquation x2 - 6x + 6 ³ 0 a pour ensemble de solution : ]-∞ ; 3- 3 ] ∪ [3+ 3 ; +∞[
Ce résultat est confirmé par le graphique représentant la fonction f définie sur IR par f(x) = x2 - 6x + 6
On constate que la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses pour x ∈ ]-∞ ; x1]∪[x2 ; +∞[
x1
x2
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Exercice 07
Résoudre les équations suivantes :
x2 + 2x - 3 = 0
-x2 + 5x - 6 = 0
Exercice 08
3x2 + 21x + 30 = 0
-3x2 + x = - 5
Résoudre les inéquations suivantes :
12x2 - 12x + 3 > 0
-2x2 + 3x - 5 £ 0
3
Exercice 09
2x2 - x + 1 = 0
x2 - 5x = 0
2x2 + 3x + 1 ³ 0
3x2 + 1 x < 4
2
x2 - 3x - 7 < 0
-x2 < 2 x - 3
2
Soit fdéfinie sur IR par f(x) = 2x2 + 3x - 5
Tracer, en la justifiant, la représentation graphique de f.
Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) ³ 0 , puis retrouver les résultats par le calcul.
Exercice 10
Une petite entreprise assemble des ordinateurs. Pour des raisons de matériel et de personnel l'entreprise ne
peut pas assembler plus de 350 ordinateurs par mois.
On suppose que l'entreprise, lorsqu'elle assemble et vend x ordinateurs réalise un bénéfice exprimé en
euros par : B(x) = -x2 + 300x - 12500
(Lorsque B(x) est négatif, il s'agit d'une perte)
Déterminer pour quelles fabrications l'entreprise travaillera à perte.
Déterminer le nombre d'ordinateurs qui procurera un bénéfice maximal et calculer ce bénéfice.
Exercice 11
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = (x - 1)(x2 + 3x + 3)
Résoudre l'équation f(x) = 0. Donner suivant les valeurs de x, le signe de f(x).
Exercice 12
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = (2 - x)(2x2 - 5x + 1)
Résoudre l'équation f(x) = 0. Donner suivant les valeurs de x, le signe de f(x).
Exercice 13
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = -x3 + 8x2 -13x + 2
1°) En utilisant une calculatrice graphique ou un g rapheur, représenter la courbe de f .
2°) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 et donner un encadrement
d'amplitude 0,1 de chacune des solutions.
3°) Montrer que pour tout réel x : f(x) = (x - 2)(-x2 + 6x - 1)
4°) En déduire les valeurs exactes des solutions de l'équation f(x) = 0.
Exercice 14
1°) Représenter graphiquement les fonctions f et g définies sur IR par :
f(x) = x2 + 3x + 1 et g(x) = -2x2 - 4x + 3
On justifiera le tracé des représentations graphiques.
En déduire graphiquement les solutions de l'inéquation f(x) £ g(x)
2°) Résoudre l'inéquation f(x) £ g(x)
Exercice 15
On donne ci-contre la courbe représentative de la fonction f
définie sur [-1 ; 1] par f(x) = x3
Tracer sur le même dessin la représentation graphique de la
fonction g définie sur [-1 ; 1] par g(x) = 1 x - 1 x2
3
6
Trouver graphiquement les solutions de l'équation f(x) = g(x)
Retrouver ces solutions par le calcul.
page 5
III Systèmes de deux équations à deux inconnues
Remarque
Une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0) correspond toujours à une équation de droite.
• Si b ≠ 0, on peut écrire y = - a x - c . Il s'agit d'une droite oblique ou horizontale (parallèle à Ox).
b
b
• Si b = 0, alors on a a ≠ 0 et on peut écrire x = - c . Il s'agit d'une droite verticale (parallèle à Oy).
a
Propriété
On considère le système
 ax + by + c = 0

 a'x + b'y + c' = 0
Soit D la droite d'équation ax + by + c = 0 et D' la droite d'équation a'x + b'y + c' = 0 .
On appelle déterminant du système le nombre : ∆ = ab' - ba' .
Ensemble des solutions du
système
Graphique
Les droites D et D' sont sécantes
Lorsque
∆≠0
y0
Le système a un couple de
solutions unique
(x0 ; y0)
x0
Les droites D et D' sont strictement parallèles
Le système n'a pas de solution.
Lorsque
∆=0
Les droites D et D' sont confondues
y
Le système a une infinité de
solutions :
Tous les couples (x ; y) de
coordonnées des points de D
(et de D') sont solutions.
x
x
y
page 6
Résolution par la méthode de substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre équation.
Exemple
x + 3y - 17 = 0

7x - 2y - 4 = 0
x = - 3y + 17
x = - 3y + 17
⇔ 7x - 2y - 4 = 0 ⇔ 7(- 3y + 17) - 2y - 4 = 0


x = - 3y + 17
⇔ - 21y + 119 - 2y - 4 = 0

⇔
 x = - 3y + 17

⇔
 - 23y + 115 = 0
 x = - 3y + 17
 y = 115
23

 x = - 3y + 17
 x = - 3 x 5 + 17
x=2
⇔ y=5
⇔ y=5
⇔ y=5



Le système a pour solution unique le couple (2 ; 5)
Résolution par la méthode de combinaison linéaire
On multiplie les équations par des constantes, puis en faisant la somme ou la différence, on fait disparaître
une inconnue.
Exemple
x + 3y - 17 = 0

7x - 2y - 4 = 0
⇔
(L1 - L2 → L2)
⇔
 7x + 21y - 119 = 0

(7L1 → L1)  7x - 2y - 4 = 0
⇔
(7L1 → L1)
signifie que la ligne 1 a été
multipliée par 7
 7x + 21y - 119 = 0

 23y - 115 = 0
 x + 3y - 17 = 0
 y = 115
23

⇔
(L1 - L2 → L2)
signifie que la ligne 2 a été
remplacée par la différence entre
17ligne
= 0 1 et la ligne
 x + 3y - la
 x +2 15 - 17 = 0


⇔
y=5
y=5
⇔
x=2

y=5
Le système a pour solution unique le couple (2 ; 5)
Exercice 16
Résoudre chacun des systèmes :
x+y=0
 4x - y - 1 = 0


 2x - y + 21 = 0
 2x + 3y - 11 = 0
 2y + 5z = -9

 y + 7z = -12
 3 x+y-2=0

 3x + 3 y + 1 = 0
1x+1y-1=0
3
2
 3x + 2y - 6 = 0
Exercice 17
 2x - 3y - 11 = 0

x+y+2=0
Pour chacun des sytèmes, indiquer s'il a une solution unique, puis le résoudre.
 2x - y = 426
 x + y = 2790
 y - x = 19
 8x + 5y = 5580



;
;
;
3x-y=1
12x
+
8y
=
852
 3x + 4y = 0

 5x + 5y = 4260
4
Exercice 18
 3x - 2y = 8
On considère le système : 
 5x + 3y = 7
Représenter graphiquement ce système et déterminer à partir de ce graphique l'ensemble de ses solutions.
Exercice 19
Un jardinier a dépensé 42,60 euros pour des jacinthes à 0,60 euro l'une et des tulipes à 0,40 euro l'une.
Il y a 19 tulipes de plus que de jacinthes..
Déterminer le nombre de jacinthes et le nombre de tulipes achetées.
Exercice 20
Lors d'un spectacle on a vendu des places à 16 euros (tarif plein) et des places à 10 euros (tarif réduit).
Il y a eu 852 spectateurs pour une recette de 11160 euros.
Déterminer le nombre de places à tarif plein et le nombre de places à tarif réduit.
page 7
IV Systèmes d'ordre supérieur à 2
Résolution par la méthode de Gauss
En multipliant les équations par des constantes, puis en faisant la somme ou la différence, on fait disparaître
une inconnue à chaque ligne.
Exemple
Résolution du système
 2x + y - z = 0
 x + y - 2z = -8
 x - 3y - z = 1
L'équation de la première ligne est notée L1, celle de la deuxième ligne est notée L2 etc....
 2x + y - z = 0
 x + y - 2z = -8
 x - 3y - z = 1
⇔
(2L3 → L3)
 2x + y - z = 0
 2x + 2y - 4z = - 16
 x - 3y - z = 1
⇔
(2L2 → L2)
 2x + y - z = 0
 0x + y - 3z = - 16
 2x - 6y - 2z = 2
⇔
(L3-L1 → L3)
⇔
(L2-L1 → L2)
 2x + y - z = 0
 0x + y - 3z = - 16
 x - 3y - z = 1
 2x + y - z = 0
 0x + y - 3z = - 16 ⇔
 0x - 7y - z = 2
 2x + y - z = 0
y - 3z = - 16

 - 7y - z = 2
La variable x a ainsi "disparu" de la deuxième et de la troisième équation.
On poursuit pour supprimer la variable y dans la troisième équation.
 2x + y - z = 0
y - 3z = - 16

 - 7y - z = 2
⇔
(L3+7L2 → L3)
 2x + y - z = 0
y - 3z = - 16


- 22z = -110
(L3+ 7L2 → L3)
signifie que la ligne 3 a été remplacée par
la somme de la ligne 3 et de la ligne 2
multipliée par 7
On a alors obtenu un système appelé "système triangulaire" : la première équation fait intervenir trois
inconnues, la deuxième deux inconnues et la troisième une seule inconnue.
Ce type de système se résout facilement par substitution :
 2x + y - z = 0
y - 3z = - 16


- 22z = -110
 2x + y - z = 0
 2x + y - 5 = 0
y - 3z = - 16 ⇔ 
y - 15 = - 16



z=5
z=5
2x
+
y
5
=
0
2x
6
=
0


y=-1
y=-1 ⇔
⇔ 
⇔



z=5
z=5
⇔
x=3
 y = -1
z=5
Le système a donc pour solution unique le triplet ( 3 ; -1 ; 5).
Remarque
Cette méthode peut être utilisée à la condition suivante :
À chaque étape une ligne doit être remplacée par une combinaison de lignes la faisant intervenir.
Par exemple on ne peut remplacer L1 que par une combinaison faisant intervenir L1.
On peut donc remplacer L1 par 2L1 - L2 , mais on ne peut pas remplacer L1 par 2L2 - L3.
Exercice 21
En utilisant la méthode de Gauss, résoudre chacun des systèmes suivants :
 -x + y - 3z = -10
 2x + 3y + 6z = 3
 3x + y + 2z = 7
;
;
 2x + 3y - 5z = -17
x+y+z=1
 x - 2y - 4z = 0
 3x + 5y - z = -14
 x - 3y + 3z = 0
 2x + 5y - 6z = 1
Exercice 22
En utilisant la méthode de Gauss, résoudre chacun des systèmes suivants :
 x + y + z + t = 10
 2x + y - z = 3
x - y + z - t = -2
x-z=1
;
 -x - y + z + t = 4
 y + 2t = -11
 2x - 3y + 4z - 5t = -12
 z + t = -3
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V Systèmes d'inéquations - Programmation linéaire
Exemple : Système d'inéquations
On considère le système d'inéquations :
 y £ -2x - 1
y³1x-2
2

• On trace la droite d1 d'équation y = -2x - 1
Les solutions de l'inéquation y £ -2x - 1 sont les coordonnées (x ; y) des points M se trouvant audessous de la droite d1. On hachure sur le dessin le demi-plan qui ne convient pas.
• On trace la droite d2 d'équation y = 1 x - 2
2
1
Les solutions de l'inéquation y ³ x - 2 sont les coordonnées (x ; y) des points M se trouvant au-dessus
2
de la droite d2. On hachure sur le dessin le demi-plan qui ne convient pas.
L'ensemble S des solutions du sytème est alors l'ensemble des couples (x ; y) correspondant aux
coordonnées des points M se trouvant dans la partie non hachurée.
d1
d2
Exercice 23
Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de chacun des systèmes suivants :
 y £ 1 x + 1
x+y-1£0
2
 x - 2y + 2 ³ 0

;
;

 2x + 2y + 3 ³ 0
2
 2x + 3y - 6³ 0
 -2 £ x £ 2
 y ³ - 3 x + 2
Exercice 24
On considère le système
x+y-1£0
 x - 2y - 3 < 0
 2x + y + 2 ³ 0
Les couples (1 ; -1) ; (1 ; 1) ; (-1 ; 1) sont-ils des solutions du système ?
Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de ce système.
page 9
Exemple : Programmation linéaire
Un artisan fabrique deux types de jouets en bois notés A et B.
1
Un jouet A nécessite heure de travail et 3 kg de bois.
2
Un jouet B nécessite 1 heure de travail et 2 kg de bois.
L'artisan dispose quotidiennement de 22 kg de bois, il travaille au plus 8 heures par jour et limite sa
production quotidienne de jouets A à 7 unités.
On désigne par x et y les nombres respectifs de jouets A et B fabriqués par jour.
Les contraintes peuvent s'écrire sous la forme d'un système (S) d'inéquations portant sur x et sur y.
• Contrainte sur la production :
L'artisan limite sa production quotidienne de jouets A à 7 unités, on doit donc avoir : x £ 7 .
De plus les nombres x et y sont des entiers positifs.
• Contrainte sur le bois
L'artisan dispose quotidiennement de 22 kg de bois.
Pour chaque jouet A, il utilise 3 kg de bois. Lorsqu'il fabrique x jouets A, il utilise 3x kg de bois.
Pour chaque jouet B, il utilise 2 kg de bois. Lorsqu'il fabrique y jouets B, il utilise 2y kg de bois.
La fabrication de x jouets A et y jouets B utilise donc 3x + 2y kg de bois.
La contrainte sur le bois se traduit donc par : 3x + 2y £ 22
• Contrainte sur le temps de travail
L'artisan travaille au plus 8 heures par jour.
Pour chaque jouet A, il travaille 1 heure . Lorsqu'il fabrique x jouets A, il travaille 1 x heures.
2
2
Pour chaque jouet B, il travaille 1 heure. Lorsqu'il fabrique y jouets B, il travaille y heures.
La fabrication de x jouets A et y jouets B utilise donc 1 x + y heures de travail.
2
La contrainte sur le temps de travail se traduit donc par : 1 x + y £ 8
2
x³0
L'ensemble des contraintes se traduit alors par le système
La représentation graphique
de l'ensemble des solutions
de ce système est la partie S
non hachurée sur le dessin
ci-contre.
14
13
12
Remarque :
11
Le point P de coordonnées (4 ; 3)
se trouve dans l'ensemble des
solutions.
10
9
Cela signifie que la fabrication
de 4 jouets A et de 3 jouets B
est une fabrication qui respecte
les contraintes.
8
Le point Q de coordonnées (6 ; 4)
ne se trouve pas dans
l'ensemble des solutions.
5
Cela signifie que la fabrication
de 6 jouets A et de 4 jouets B
est une fabrication qui ne
respecte pas les contraintes.
3
7
6
Q
4
P
2
1
O
-1
 x £ 7
 y3x³+0 2y £ 22
 12 x + y £ 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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Exercice 25
Donner
un
système
d'inéquations
caractérisant l'ensemble non hachuré sur
le dessin ci-contre.
Exercice 26
Une entreprise embauche des commerciaux, les uns sous contrat A travaillant 35h et payés 550 euros par
semaine, les autres sous contrat B travaillant 20h et payés 220 euros par semaine.
Le chef d'entreprise peut embaucher au plus 8 personnes sous contrat A et 15 personnes sous contrat B.
Chaque semaine il dispose d'un budget de 5060 euros et 370h de travail, au moins, doivent être effectuées.
On note x le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y le nombre de personnes embauchées
sous contrat B. Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.
Pour satisfaire ses besoins, l'entreprise peut-elle embaucher :
• 7 personnes en contrat A et 7 personnes en contrat B ?
Exercice 27
L'office du tourisme d'une ville décide de renouveler le mobilier d'un jardin public. Pour cela, il est nécessaire
d'acheter au moins 39 tables de pique-nique, 40 bancs publics et 108 poubelles.
Les deux fournisseurs contactés proposent chacun un type de lot :
Lot
Tables
Bancs
Poubelles
Coût d'un lot
(en euros)
Lot A
1
3
4
350
Lot B
3
2
6
600
On cherche à déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B à acheter pour que la dépense soit
minimale.
1°) Traduire les contraintes sous la forme d'un sys tème d'inéquations portant sur x et y .
2°) A tout couple ( x ; y) de nombres réels, on associe le point M de coordonnées (x ; y) dans un
→→
repère orthonormal (O; i , j ) . On prendra 0,5 cm pour unité graphique.
Déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système
obtenu à la question précédente.
Hachurer la partie du plan qui ne convient pas.
3°) a) Exprimer en fonction de x et y la dépense d occasionnée par l'achat de x lots A et de y lots B.
b) Les couples (x ; y) correspondant à une dépense d donnée sont les coordonnées des points d'une
droite ∆d dont on donnera l'équation sous la forme y = ax + b.
c) Représenter graphiquement la droite ∆d dans le cas particulier où d = 15000.
4°) a) Déterminer à l'aide du graphique le nombre d e lots de chaque type à acheter pour obtenir une dépense
minimale dm ; calculer cette dépense dm .
b) L'office du tourisme dispose d'une somme de 11000 euros. Peut-il réaliser cet achat ?
Déterminer graphiquement un couple (x ; y) correspondant à une dépense de 11000 euros.
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Équations - Inéquations - Systèmes

Transcription

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