les feuilles d`exercices

!"#$%&'()*+),-.,-'!/01+2/0,34-'
!56"7(89%':9'#;<(:%'
'
'
$'&'"'='"'9'>''':'('&'('?'5'#
*
*
*
!"#$%&'()*+(*,-.&+)*
61/@,0.-'A*"/01234325*/3650378*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9**
'
61/@,0.-'B*;<5=7>?8*@8*/A5687B38*C=286238//8*9*9*99*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9**
'
61/@,0.-'C*#732>781*@8*C/01234325*E*"/012=C/01234325*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9**
'
61/@,0.-'D*G314=5/01234325*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9**
'
"))-E-*I73643C0JK*=C57028J71*@3LL5786238/1*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9**
:*
*
D*
*
F*
*
:H*
*
::*
ii
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Exercice 1 : Paramètres élastiques (!, µ), (E,"), (K, G)
Élasticité linéaire
1) On considère, dans un repère orthonormé (O,ex,ey,ez), les trois expériences
suivantes pour lesquelles & est un nombre positif suffisamment petit pour
que l’on puisse faire l’hypothèse des petites déformations. On envisagera pour
chacune d’elles un système de forces (compatible avec l’intuition physique !)
permettant de rendre compte de la déformation. On calculera le champ de
déformation et le champ de contrainte correspondant. Les forces de volume
sont négligées. Les milieux considérés sont homogènes et isotropes (loi de
Hooke).
Rappels :
•
Relations déformations - déplacements en HPP (6 relations) :
•
Relations de compatibilité d’un champ ! (6 relations) :
•
A) Cisaillement simple
Un bloc rectangulaire subit la transformation suivante :
• quelle condition obtient-on sur µ ?
• calculer la variation de volume ;
• donner une interprétation physique à µ.
Equations d’équilibre (3 relations) :
f : densité volumique de force
•
Loi de Hooke (6 relations) :
ou encore :
! et µ : coefficients de Lamé, E : module de Young, " : nombre de de Poisson
L’ensemble de ces relations définies sur un domaine # et complété par des
conditions aux limites portant sur u et/ou sur $ sur des parties %u# et/ou %"# de
la frontière:
(F densité surfacique de force)
constitue un problème général d’élastostatique. En éliminant soit $ soit u on
aboutit aux deux formulations classiques :
•
Formulation en déplacements (équations de Lamé-Clapeyron) :
(3 relations)
ou encore (puisque
•
Chapitre 1
B) Compression uniforme
Une sphère subit la transformation suivante :
• quelle condition obtient-on sur 3! + 2µ ?
• calculer la variation de volume subie par la sphère ;
• donner une interprétation physique à K = (3! + 2µ)/3.
C) Traction pure
Un cylindre subit la transformation
>0
• exprimer " en fonction de ! et µ ;
• quelle condition obtient-on sur ! et µ ?
• calculer la variation de volume ;
• donner une interprétation physique à " et à
avec "
2) Exprimer la loi de comportement en fonction de K et G = µ
Résumé : relations entre (!,µ), (E,") et (K,G)
):
Formulation en contraintes (équations de Beltrami) :
(6 relations)
1
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Chapitre 1
Exercice 2 : Détermination expérimentale des paramètres élasticité
Exercice 5 : Traction - compression d’une barre élastique
Un essai de traction a été effectué sur un
matériau. Les courbes contrainte '
déformation longitudinale ((l) et contrainte
' déformation transversale ((t)
sont
données
par
la
figure
ci-dessous.
Déterminer le module de Young E et le
coefficient de Poisson " de ce matériau.
On néglige l’action des efforts volumiques et le milieu considéré est une pièce
cylindrique élastique d’axe Ox sollicitée en traction. On exerce, à cet effet, des
forces superficielles sur les deux sections droites Sg et Sd du cylindre. On
observe une déformation du milieu qui se caractérise par un
Exercice 3 : Réservoir sphérique sous pression
On considère une sphère creuse de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2
soumise à une pression interne p1 et à une pression externe p2.
1) Déterminer, en négligeant les forces de volume, la fonction de déplacement
d’un point quelconque de la sphère.
2) En déduire les composantes du tenseur des petites déformations et celles
du tenseur des contraintes en supposant que le comportement de la sphère
obéit à la loi de Hooke.
# déplacement ) suivant Ox des points de Sd,
# déplacement nul suivant Ox des points de Sg
a) Sachant qu’au cours de la déformation les deux sections Sg et Sd restent
identiques à toutes sections droites du cylindre, écrire les conditions aux
limites auxquelles doivent satisfaire les contraintes et les déplacements.
b) Essayer un champ de contraintes, choisi très simplement, compatible avec
les conditions aux bords. Vérifier s’il satisfait également aux conditions
générales de Beltrami.
c) En supposant que la loi de Hooke est applicable, déduire de ce champ de
contraintes le champ des vecteurs déplacements. Particulariser la solution
ainsi obtenue en écrivant qu’un des points est fixe et que la rotation en son
voisinage est nulle.
3) Exprimer les conditions aux limites du problème.
Exercice 6 : Déformation d’une colonne
4) Etudier maintenant le cas d’une coque mince d’épaisseur h = R2-R1 avec
h << R1, soumise à une pression extérieure p2 = 0 et une pression
intérieure p1 = p.
Une colonne de marbre de hauteur h repose
sans frottement sur un sol rigide. La surface
latérale et la section supérieure sont libres de
tout effort. La verticale descendante est prise
pour axe Ox3, l’origine O étant dans le plan de
la section supérieure.
Trouver un champ de contraintes statiquement
admissible dont la seule composante non nulle
est
(pourquoi ?).
Exercice 4 : forces de volume
Un milieu est en équilibre par rapport à un repère orthonormé absolu direct
Oxyz. Les composantes du tenseur des contraintes dans ce repère sont
où & et l sont des constantes données.
En déduire l’expression de la densité volumique des forces extérieures f.
Calculer le champ des déformations associé et trouver le champ des
déplacements. Particulariser la solution en imposant que le centre O de la
section x3 = h reste en contact avec le sol rigide et que la rotation y est nulle.
Représenter schématiquement et de manière amplifiée la forme prise par la
colonne.
2
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Exercice 7 : Effet d’un champ gravitationnel
Soit une boule pleine isolée et soumise à son propre champ de gravitation. Si
g désigne le module de l’accélération de la pesanteur à la surface de la boule,
les forces de volume en tout point M de la boule sont
où R est
le rayon de la boule, O son centre,
et * la masse volumique de la
substance la composant.
# Quelles sont les conditions aux limites du problème ?
# Dans l’hypothèse des petites déformations élastiques, déterminer le champ
des déplacements et les déformations correspondantes.
Chapitre 1
2) Le milieu occupe, dans l’état de référence, la région de l’espace situé entre
z = h et z =-h. Calculer le champ des déplacements en tout point du
milieu lorsque les particules situées dans les plans z = h et z =-h
subissent respectivement une variation uniforme de température
on supposera que le vecteur déplacement et le tenseur rotation sont nuls
en O.
Déterminer l’équation de la surface déformée du plan z = 0.
Le milieu est supposé élastique linéaire. L’expression de la loi de
comportement est alors
Exercice 8 : Cylindre en rotation
Un cylindre plein à base circulaire de rayon R est constitué par un matériau
élastique de masse volumique *. Il est mis en rotation uniforme autour de son
axe Ox3. En désignant par + la vitesse angulaire et en négligeant
l’accélération de la pesanteur, les forces volumique se réduisent à la seule
force centrifuge
.
Calculer le champ des déplacements.
3) Déterminer l’expression des contraintes en fonction des déformations (on
fera intervenir soit K et G soit ! et µ=G).
4) Le milieu occupe dans l’état de référence le domaine # de frontière $#. Il
est soumis à des efforts volumiques de densité f et à des efforts surfaciques
de densité F sur $# et à une variation de température T en tout point.
Montrer que l’on peut formuler ce problème comme un problème classique
d’élasticité linéaire.
Exercice 9 : Thermo-élasticité - Conditions de compatibilité
L’espace est rapporté à un trièdre (O, x, y, z) orthonormé direct.
On considère un milieu continu homogène et isotrope et on se place en petites
déformations. Soit T une fonction scalaire représentant la variation de
température en tout point du milieu dans son état de référence.
Annexe : conditions de compatibilité en coordonnées cartésiennes
Le champ des déformations est supposé être donné par la relation :
où & est une constante et I le tenseur identité.
1) Déterminer dans ce cas la forme la plus générale de la fonction T
compatible avec la continuité du milieu.
3
MASTER Ingénierie mathématique
Exercice 10 : Déformation d’un hangar
L'espace est rapporté à un trièdre (O, x, y, z) orthonormé direct, lié à la terre.
On désigne par g l'intensité de la pesanteur, (O, z) étant vertical ascendant.
On désire réaliser l'étude simplifiée d'un hangar métallique H, en forme de
calotte hémisphérique de faible épaisseur.
Le matériau constitutif de masse volumique *, est homogène. On suppose
acceptable l'hypothèse des petites perturbations.
H repose sur un sol rigide, plan et horizontal, suivant une couronne circulaire
de faible épaisseur et de rayon moyen R ; on admet que le contact entre la
base et le sol a lieu sans frottement.
De manière naturelle, on repère un point de H par ses coordonnées
sphériques (r,,,-).
1) On recherche le champ de contraintes solution parmi les champs de
tenseurs de matrice représentative
a) Montrer que l'on doit avoir
Mécanique du solide
2) On suppose maintenant l'épaisseur de H négligeable. H est donc assimilé à
une demi sphère reposant suivant son grand cercle C de rayon R et *
s'interprète comme une densité surfacique.
Déterminer complètement la solution en contrainte. On montrera que les
diverses conditions à satisfaire imposent de ne conserver que la solution
particulière de (1)
3) Le matériau utilisé pour construire H obéit à la loi de comportement
suivante :
les autres composantes n’étant pas prises en considération.
Pour des raisons de symétrie évidentes, on fait l’hypothèse que le champ
des déplacements solution a sa composante u% identiquement nulle et que
ses composantes ur et u, sont fonction de , seulement. Enfin, on suppose
que les points de la base C de H ne subissent aucun déplacement vers le
haut.
Déterminer, en tout point de H, les déformations
(1)
b) Vérifier qu'une solution particulière du système (1) est
c) Montrer que la solution générale de (1) s'écrit
où k est une fonction arbitraire de r.
Chapitre 1
et le
champ des déplacements.
Exercice 11 : Déformation antiplane (examen de septembre 2002)
Présentation du problème - On se propose d’étudier la déformation statique
d’une pièce entre deux plaques planes rigides. La pièce, qui est rapportée à
un système d’axes orthonormée Ox1x2x3, est infinie dans la direction verticale
Ox3 et à une section rectangulaire ! =]0, a["]0,b[ dans le plan Ox1x2. Les faces
x1 = 0 et x1 = a sont en contact sans frottement avec deux plaques parallèles
rigides (déplacement normal nul et contraintes tangentielles nulles). On
impose à la face x2 = b un déplacement tangentiel (0, 0, B) et une contrainte
normale –S où B = B(x1) et S > 0 sont donnés. La face x2 = 0 est fixe (le
4
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Chapitre 1
vecteur déplacement est nul). Les forces volumiques (la pesanteur) sont
(0, 0, -*g) où * est la densité de masse.
1) Mise en équation – Il s’agit d’écrire l’équation d’équilibre et les conditions
aux bords.
2) Simplification du problème – Il s’agit d’utiliser l’hypothèse u1 = 0,
u2 = u2(x2), u3 = u3(x1,x2) pour écrire le tenseur des déformations linéarisé
(ij et le tenseur des contraintes donné par
où ! > 0 et G > 0, afin de déduire le problème simplifié.
3) Trouver l’expression du déplacement u2 puis celle de la contrainte normale
sur la face x1 = a.
4) Montrer que si B(x1) = . > 0 alors u3 = u3(x2) et trouver son expression.
Supposons dans ce qui suit que
5) Calculer T > 0 le plus grand pour lequel pour 0 < , < T nous avons
|| ! D (x1 , x2 ) || < k.
Trouver (x1! , x2! ) "[0, a] # [0,b] où la condition || ! D (x1 , x2 ) || = k est satisfaite
pour , = T.
5
MASTER Ingénierie mathématique
Théorème de l’énergie potentielle
Mécanique du solide
Chapitre 2
2) On peut également rechercher le champ de déplacements solution en le
supposant de la forme
Exercice 12 : Torsion d’un arbre cylindrique
On considère un arbre cylindrique ! de longueur l dont la section droite
simplement connexe possède un centre de symétrie. On désigne par S la
surface latérale de ce cylindre. Les bases "0 et "l sont des sections droites. "0
est située dans le plan z = 0, l'origine O étant confondue avec le centre de
symétrie de "0. On désigne par " une section droite quelconque. On néglige
les forces de volume et le matériau est élastique linéaire, homogène et
isotrope.
On étudie, sous les hypothèses des petites déformations et des petits
déplacements, la torsion de ce cylindre. Sur S les charges extérieures sont
nulles.
En tout point de "0 :
avec " fonction de x et y seulement, continûment différentiable.
Montrer alors que " doit minimiser la fonctionnelle
3) "0 est le rectangle
On souhaite obtenir la meilleur approximation de ! parmi les fonctions de
la forme
Comment doit-on procéder pour déterminer les coefficients
optimaux ? Les calculer explicitement.
et en tout point de "l , # étant une constante :
Annexe : théorème de l’énergie potentielle
En conséquence, la partie de la frontière où les déplacements sont imposés est
et la partie de la frontière où des efforts surfaciques sont
$
énergie potentielle d’un champ de déplacements,
admissible (CDCA) :
, cinématiquement
imposés (nuls) est
1) On peut rechercher le champ de contraintes solution de ce problème en le
supposant a priori de la forme
avec
,
où ! est une fonction des seules variables x et y, nulle sur le contour de
toute section droite et µ est le module de cisaillement du matériau (second
coefficient de Lamé).
Montrer, alors, que ! doit maximiser la fonctionnelle
$
et
énergie potentielle d’un
admissible (CCSA) :
champ
de
sur
contraintes,
, statiquement
avec
,
et
sur
6
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Chapitre 3
base formée par les
Critères de plasticité - Élastoplasticité
à dire qu’il y a écoulement plastique commençant, lorsque le carré de la
contrainte tangentielle, associée au vecteur contrainte
au point M,
atteint la valeur limite
.
Exercice 13 : Représentation de critères
On considère les états de contraintes plans
représenté par un point de coordonnées
chacun d’eux étant
. Montrer que la limite du
domaine élastique est constituée par une ellipse dans le cas du critère de Von
Mises, par un hexagone dans le cas du critère de Tresca.
Exercice 14 : Identification de critères
Soit un matériau dont on ne sait pas a priori s’il obéit au critère d’écoulement
de Tresca ou au critère de Von Mises. En contraintes principales, ces deux
critères s’écrivent respectivement :
1) On effectue un essai de traction simple. On constate que l’écoulement
plastique commence lorsque le module du vecteur contrainte en un point,
pour une normale n orientée dans la direction de la traction, atteint une
valeur
.
Donner l’expression de
et
en fonction de
.
2) On effectue maintenant un essai de cisaillement pur. On constate que
l’écoulement plastique commence lorsque le module de la contrainte
tangentielle maximale atteint une valeur
.
Donner l’expression de
et
en fonction de
.
3) Comment, à partir des deux essais précédents, peut-on déterminer lequel
des deux critères convient pour le matériau ?
4) En un point M du matériau, soient
. Montrer que le critère de Von Mises est équivalant
, les vecteurs unitaires,
Exercice 15 : Compression sous confinement
Si
est la limite d’élasticité du critère de Von Mises en traction-
compression d’un matériau élastique linéaire, homogène et isotrope, trouver
la valeur limite du raccourcissement ! que peut subir un arbre cylindrique de
hauteur l formé par un tel matériau dans un essai de compression sous
pression de confinement p.
Exercice 16 : Partie de l’examen de 1996 : Torsion d’un arbre cylindrique
On se propose d’étudier la déformation d’une pièce (arbre) cylindrique.
L’arbre qui est rapporté à un système d’axe orthonormé Oxyz a une section
droite ! et occupe une région " = ! "] 0,L[ de IR3. Le matériau est supposé
élastique, linéaire, homogène et isotrope (coefficients de Lamé # et µ) . Nous
imposons une rotation nulle de la face z = 0 et une rotation d’angle aL de la
face supérieure z = L (i.e. le déplacement tangentiel est ux =$aLy, uy = aLx
pour z = L et ux = 0, uy = 0 pour z = 0). De plus nous imposons des efforts
normaux nuls sur ces deux faces. La surface latérale du cylindre n’est
soumise à aucun efforts et les forces volumiques (la pesanteur) sont
supposées négligeables. Il faut passer par les étapes suivantes :
1) Mise en équation % Il s’agit d’écrire les équations, leurs interprétations
physiques, leurs limites d’applicabilité et les conditions aux bords.
2) Simplification du problème # Il s’agit d’utiliser l’hypothèse
ux =$ayz,
uy = axz,
uz = a v(x,y)
d’écrire le tenseur des déformations linéarisé et le tenseur des contraintes
afin de déduire un problème aux limites pour v. Etudier l’unicité de v.
orthogonaux deux à deux, associés à trois directions principales de
contrainte. Soit n la normale de composantes
dans la
7
MASTER Ingénierie mathématique
3) Étudier l’existence de
Démontrer que
Mécanique du solide
t.q.
,
Chapitre 3
.
dans ! et w = const sur la frontière de !.
4) Déterminer w dans le cas d’une section circulaire
Trouver les contraintes tangentielles qui agissent sur la face z = L.
5) Supposons dans ce qui suit que la pièce est élastique parfaitement
plastique (modèle de Hencky) avec le critère de plasticité de Von Mises.
Calculer
le plus grand pour lequel le comportement du matériau
est élastique (les contraintes sont à l’intérieur de la surface de plasticité)
en chaque point de ".
Exercice 17 : Partie de l’examen de janvier 1999
Présentation du problème # On considère un massif pesant de forme
parallélépipède constitué par un matériau homogène, élastique linéaire et
isotrope, placé dans un caisson rigide ouvert en surface. Le contact entre le
massif et le caisson est supposé se faire sans frottement. On désignera par
un repère orthonormé direct avec
vertical descendant. La masse
pour trouver le champ de déformation linéarisé et le champ des
déplacements. Quelle doit être la valeur du déplacement imposé ( pour
qu’aucun déplacement vertical ne soit observé en surface (
)?
On néglige maintenant l’action des forces de volume et on suppose que la
limite d’élasticité du matériau est gouvernée par le critère de Tresca
3) Déterminez la valeur maximale du déplacement ( que peut supporter le
massif sans qu’aucune irréversibilité n’apparaisse.
Exercice 18 : Réservoir sphérique élastoplastique
On reprend le problème du réservoir sphérique de rayon interne
rayon externe
externe
soumis à une pression interne
et de
et à une pression
.
On rappelle que la solution élastique en contrainte est :
volumique du massif sera notée & et l’accélération de la pesanteur g (les
forces de volume sont donc représentées par le vecteur
Le massif
occupe
le
domaine
et le caisson le domaine
avec H > 0 suffisamment grand. La face supérieure
du massif est libre de toute contrainte et la face
est soumise à
les autres composantes étant nulles et où on a noté
un déplacement normal !.
1) Mise en équation # Enoncez toutes les conditions aux limites du problème
ainsi posé.
2) Simplification du problème # Trouvez un champ de contrainte
statiquement admissible en le cherchant de la forme :
si i ' j,
puis appliquez la loi de Hooke sous la forme
K et µ étant, respectivement le module de compression et le module de
cisaillement.
On supposera pour se fixer les idées que la pression interne
grande que la pression externe
est plus
.
1) Montrer que l’état de contrainte peut, en tout point du réservoir, s’écrire
comme la superposition d’un état isotrope et d’un état de compression
simple.
8
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Chapitre 3
2) Le réservoir est fait d’un métal à plasticité parfaite dont la limite
d’écoulement est la même en traction et en compression. Utiliser le critère
de Tresca ou de Von Mises pour obtenir la valeur maximale
que peut
avoir la différence de pression
sans que n’apparaissent dans le
réservoir de déformation irréversible. Où sont situés les points où la limite
d’écoulement sera atteinte en premier ?
3) On suppose maintenant, pour simplifier les calculs, que la pression
extérieure
est négligeable devant la pression intérieure
.
a) Étudier le développement progressif de la zone plastique lorsque l’on
augmente la pression à l’intérieur du réservoir.
b) Donner la valeur maximale
pouvant être atteinte par
(pression
de ruine).
9
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Viscoélasticité
Exercice 19 : Torsion d’un cylindre viscoélastique
Soit un cylindre à base circulaire constitué par un matériau dont le
comportement obéit à la loi viscoélastique standard
avec
On désigne par ! toute section droite du cylindre et par !o et !1 les bases
inférieure (z = 0) et supérieure (z = L), respectivement.
Ce cylindre est soumis à une torsion d’angle par unité de longueur
avec
La surface latérale du cylindre est supposée libre de toute contrainte et aucun
effort normal ne s’exerce sur les faces !o et !1. On suppose de plus que le
matériau est initialement non contraint
Le champ de déplacement solution est alors donné par
1) Montrer que le problème en contrainte revient à chercher
solution du problème
Chapitre 4
Exercice 20 : Cisaillement d’une couche viscoélastique (partie d’examen)
On considère le cisaillement quasi-statique d’une couche viscoélastique
infinie limitée par les plans z = 0 et z = H, où H > 0. Au bord supérieur
(z = H) on impose le vecteur contrainte (0, f(t), 0) et au bord inférieur (z = 0)
on suppose que la couche est fixée (le déplacement est nul). Le matériau est
modélisé par l’équation constitutive :
où
L’état initial (t = 0) est sans contraintes
le déplacement
initial est :
et les forces de volume (la pesanteur) sont supposées négligeables. Il faut
passer par les étapes suivantes :
1) Mise en équations ! Il s’agit d’écrire les équations, leur interprétation
physique, leurs limites d’applicabilité, les conditions aux bords et initiales.
2) Simplification du problème ! Il s’agit d’utiliser l’hypothèse :
où l’on a posé
2) Calculer alors l’état de contrainte.
3) Étudier les cas :
a)
b)
où a et b sont des constantes et H est la fonction de Heaviside.
d’écrire le tenseur des déformations linéarisé et le tenseur des contraintes
afin de déduire que
et un problème de Cauchy pour v.
3) Supposons dans ce qui suit que f(t) = bt pour
t > T. Trouver v(t,z) en fonction de a, b et T.
4) Calculer
et f(t) = bT pour
et donner l’interprétation physique de ce résultat.
4) Retrouver le cas de l’élasticité linéaire et le cas de la viscoélasticité de
Maxwell.
10
MASTER Ingénierie mathématique
Mécanique du solide
Annexe
Expressions des principaux opérateurs différentiels
coordonnées rectilignes (x,y,z)
coordonnées cylindriques (r,!, z)
coordonnées sphériques (r,!, ")
Gradient d’un champ scalaire f
Divergence d’un champ vectoriel v (div v = trace (grad v))
Laplacien d’un champ scalaire f (!f = div grad f)
Rotationnel d’un champ vectoriel v
Gradient d’un champ vectoriel v
(les vecteurs-lignes sont les grandients des composantes de v)
Divergence d’un champ tensoriel symétrique du 2eme ordre T
(les composantes sont les divergences des vecteurs-lignes de T)
11