CH2 : Les mécanismes de transmission du mouvement

BTS électrotechnique 2ème année - Sciences physiques appliquées
CH2 : Les mécanismes de transmission du mouvement
Enjeu :
Motorisation des systèmes.
Problématique :
En tant que technicien supérieur il vous revient la
charge de dimensionner un moteur actionnant une
vanne permettant de réguler le niveau d’eau dans
un réservoir alimentant un système de jets d’eau.
Par rapport à la problématique du chapitre
précédent, une donnée supplémentaire s’ajoute :
la transmission du mouvement s’effectue par le
biais d’un système vis-écrou.
Rapport au programme :
A3. SOLIDE ET FLUIDE EN MOUVEMENT
A3.3. Moteurs électriques et charges mécaniques
– Adaptation vitesse moment d’inertie
– Études de cas usuels portant sur des ensembles comprenant moteurs et masses à mettre en
mouvement
Objectifs :
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
A l’issue de la leçon, l’étudiant doit :
Savoir calculer la vitesse d’entrée d’un mécanisme connaissant la vitesse de sortie et
inversement
Savoir calculer une inertie ramenée à l’entrée d’un mécanisme la relation étant
donnée
Savoir calculer un couple ramené à l’entrée du mécanisme la relation étant donnée
Savoir calculer un couple ramené pendant un régime transitoire la relation étant
donnée
Savoir définir ce qu’est un mécanisme irréversible
Travail à effectuer :
1. Réaliser la fiche résumée de la leçon en utilisant l’annexe.
2. Réponse à la problématique :
La vanne de régulation est composée de deux disques percés de trous dont l’un peut glisser par rapport à
l’autre, en translation verticale. Cela permet de modifier ainsi la section de passage de l’eau et de
contrôler le débit : lorsque les trous des 2 disques sont face à face, le débit est maximum, lorsque qu’ils
sont entièrement décalés, le débit est nul.
La représentation de la chaîne cinématique ainsi qu’une photographie de la vanne sont donnés cidessous :
Moteur
asynchrone
Réducteur
système
vis/écrou
disque
percé
mobile
Les données mécaniques sont les suivantes :





La vitesse de translation v du disque percé de la vanne doit être réglée à 1,67.10-4 m/s
Le pas de vis p (déplacement vertical correspondant à une rotation d'un tour de la commande de
la vanne) vaut 4 mm.
L’effort maximal F permettant la translation de la vanne vaut 20 kN.
Le rendement v du système vis écrou vaut 26 %
Le rendement R du réducteur vaut 22 % et son rapport de réduction K vaut 560.
2.1 Calculer la vitesse de rotation notée nR, à la sortie du réducteur en tr/min.
2.2 En déduire la vitesse de rotation, notée nMAS, de l’arbre de la machine asynchrone en tr/min.
2.3 Calculer moment du couple, noté TR, devant être fourni en sortie du réducteur.
2.4 En déduire la valeur du moment du couple, noté TMAS, que doit développer la machine asynchrone
pour déplacer la vanne.
2.5 Calculer la puissance mécanique utile Pu du moteur asynchrone.
2.6 Choisir la référence du moteur dans la gamme ci-dessous :
BTS électrotechnique 2ème année - Sciences physiques appliquées
Annexe du CH2 : les mécanismes de transmission
Introduction : l’objectif de ce document est de présenter comment dimensionner un moteur lorsque des
mécanismes de transmission sont insérés entre celui-ci et la charge ?
1. Comment transmettre un mouvement de rotation en modifiant la vitesse ?
On utilise les réducteurs. Exemples :
Figure 2 :
Figure 1 : Transmission par
Figure 3 : Engrenages cylindriques
Transmission par
chaines
courroie
Un moteur entraîne autour de l’arbre 1 une roue qui entraîne une deuxième roue autour de l’arbre 2 par
friction, ou par courroie. Dans cette transmission, il y a risque de glissement de la deuxième roue dans
le cas de la friction et de patinage de la courroie.


F
Entraînement par courroie entre
deux roues de rayon R1 (menante) et
R2 (menée)
Friction entre les deux roues
de rayon R1 (menante) et de
rayon R2 (menée). F est la force
pressante entre les roues
Le rapport de réduction est le paramètre clé de la transmission. Deux définitions peuvent être données.
 Le plus souvent :
𝑲=
Ω𝟏
Ω𝟐
 mais dans certains énoncés :
(dans ce cas K >1)
𝑲=
Ω𝟐
Ω𝟏
(dans ce cas K <1)
Bien lire les énoncés, en regardant si K est supérieur ou inférieur à 1 pour savoir
quelle relation utiliser.
Dans la suite de document, on utilisera la 1ère définition. Cependant le tableau récapitulatif du paragraphe
14 indiquera les relations pour les 2 cas.
2. Comment déterminer le rapport de réduction connaissant le rayon R ou le diamètre D des
roues ?
Les deux roues n’ont pas la même vitesse angulaire, mais les dents ont la même vitesse linéaire :
𝑣1 = 𝑣2
𝑅1 Ω𝟏 = 𝑅2 Ω𝟐
Ω𝟏 𝑹𝟐
=
Ω𝟐 𝑹𝟏
𝑲=
𝑹 𝟐 𝑫𝟐
=
𝑹 𝟏 𝑫𝟏
3. Comment transformer un mouvement de rotation en translation ?
Les mécanismes les plus répandus permettant cette transformation sont :
La poulie (ou treuil) :
Le système vis-écrou :
Le système pignon crémaillère :
4. Comment fonctionne une poulie (ou treuil) ?
Il s’agit du transformateur de mouvement le plus simple. La relation de transformation de vitesse est
donnée par :
𝑽 = 𝑹Ω
où R désigne le rayon de la poulie. R est donc le coefficient de transformation du mécanisme.
5. Comment fonctionne un système pignon crémaillère ?
Un système pignon-crémaillère se compose d’un pignon en rotation à la vitesse  et d’une crémaillère
en translation à la vitesse V. La relation de transformation des vitesses entre  et V fait intervenir le
rayon du pignon noté R.
La masse à déplacer peut être solidaire du pignon et se déplacer à la vitesse V sur la crémaillère qui
est alors un rail fixe. Ou bien la motorisation peut être fixe pour la translation et c’est alors la
crémaillère qui se déplace en translation.
Dans les 2 cas, la relation de transformation des vitesses est :
𝑽 = 𝑹Ω
6. Comment fonctionne un système vis écrou ?
Un système vis-écrou se compose d’une vis en rotation à la vitesse  et d’un écrou en translation à la
vitesse v. La relation de transformation des vitesses entre  et v fait intervenir le pas de la vis, noté p.
p est la distance parcourue en translation par l’écrou lorsque la vis fait un tour.
La durée d’un tour peut donc être exprimée de deux façons :
𝑻=
𝟐𝝅 𝒑
=
Ω
𝑽
On en déduit la relation de transformation de vitesse :
𝑽=
Ω
𝒑
𝟐𝝅
7. Comment déterminer le point de fonctionnement du moteur connaissant les paramètres après le
mécanisme ?
Il faut calculer l’inertie JR et le couple résistant TR ramené à l’arbre du moteur
Pour un réducteur :
Tr ; J r
Moteur
Arbre du
moteur
T2 ; J2
Mécanisme
Arbre 2 (arbre
Charge
de la charge)
K, η
Ω2
tournant à Ω1
Pour un mécanisme de transformation rotation/ translation :
Tr ; J r
Moteur
F ; m
Mécanisme
Arbre du
moteur
tournant à Ω
Charge se
déplaçant
linéairement à V
Charge
8. Comment calculer l’inertie ramenée à l’arbre moteur pour un réducteur ?
On exprime l’énergie cinétique de l’arbre (2) et on exprime ensuite la vitesse de cette roue en fonction
de la vitesse de l’arbre (1) à l’aide de K. On appelle Jr, l’inertie l’arbre (2) ramenée à l’arbre (1).
𝟏
𝟏 Ω𝟐𝟏 𝟏
𝟐
𝑬 = 𝑱𝟐 Ω𝟐 = 𝑱𝟐 𝟐 = 𝑱𝒓 Ω𝟐𝟏
𝟐
𝟐 𝑲
𝟐
D’où la relation :
𝑱𝒓=
𝑱𝟐
𝑲𝟐
9. Comment calculer l’inertie ramenée à l’arbre moteur pour une poulie ou un système pignon
crémaillère ?
Jr se déduit de l’expression de l’énergie cinétique. Soit m la masse inertielle se déplaçant à la vitesse V :
On a : 𝑬
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
= 𝒎𝑽𝟐 = 𝒎𝑹𝟐 Ω𝟐 = 𝑱𝒓 Ω𝟐
On en déduit :
𝑱𝒓 = 𝒎𝑹𝟐
10. Comment calculer l’inertie ramenée à l’arbre moteur pour un système vis-écrou ?
Il s’obtient par l’énergie cinétique :
𝟏
𝟏
Ω𝟐
𝟐
𝟒𝝅𝟐
𝑬 = 𝒎𝑽𝟐 = 𝒎
𝟐
𝟏
𝒑𝟐 = 𝑱𝒓 Ω𝟐
𝟐
On en déduit :
𝒎𝒑𝟐
𝑱𝒓 =
𝟒𝝅𝟐
11. Comment calculer le couple résistant ramené à l’arbre du moteur pour un réducteur ?
Soit T2, le couple résistant sur l’arbre 2 et  le rendement de la transmission.
Le bilan de puissance en régime permanent donne la règle pour ramener un couple de l’arbre 2 à l’arbre
On note Tr, ce couple. On a alors :
Soit : 𝜼
𝜼=
=
Et donc :
𝑷𝟐
𝑷𝟏
𝑻𝟐 Ω𝟐
𝑻𝒓 Ω𝟏
avec
𝑷𝟏 = 𝑻𝒓 Ω𝟏 et 𝑷𝟐 = 𝑻𝟐 Ω𝟐
𝒆𝒕 𝑻𝒓 =
𝑻𝒓 =
𝑻𝟐 Ω𝟐
𝜼Ω𝟏
𝑻𝟐
𝜼𝑲
=
𝑻𝟐
𝜼𝑲
12. Comment calculer le couple résistant ramené à l’arbre du moteur pour une poulie ou un système
pignon crémaillère ?
Il s’obtient par un bilan de puissance avec la force de tension F appliquée au câble ou à la crémaillère :
𝜼=
𝑷𝟐
𝑷𝟏
=
𝑭×𝑽
𝒔𝒐𝒊𝒕 𝑻𝒓 =
𝑻𝒓 ×𝜴
D’où :
𝑭×𝑽
𝜼×𝜴
𝑻𝒓 =
𝟏
𝑭𝑹
𝜼
13. Comment calculer le couple résistant ramené à l’arbre du moteur pour un système vis-écrou ?
On a 𝜼
=
𝑷𝟐
𝑷𝟏
=
𝑭×𝑽
𝑻𝒓 ×𝜴
𝒔𝒐𝒊𝒕 𝑻𝒓 =
𝑭×𝑽
𝜼×𝜴
D’où :
𝑻𝒓 =
14. Tableau récapitulatif :
Réducteur
Relation des
vitesses
𝑲=
Ω𝟏
𝑲=
Ω𝟐
Ω𝟐
Ω𝟏
=
𝑹𝟐
=
𝑹𝟏
𝑹𝟏
𝑹𝟐
𝒑𝑭
𝟐𝝅𝜼
Poulie et système pignon
crémaillère
si K>1
𝑽 = 𝑹Ω
Vis-écrou
𝑽=
si K<1
Inertie ramenée à
l’entrée
𝑱𝟐
𝒔𝒊 𝑲 > 𝟏
𝑲𝟐
𝑱𝒓 = 𝑱𝟐 𝑲𝟐 𝒔𝒊 𝑲 < 𝟏
Couple ramené à
l’entrée
𝑻𝟐
𝒔𝒊 𝑲 > 𝟏
𝜼𝑲
𝑻𝟐
𝑻𝒓 =
𝑲 𝒔𝒊 𝑲 < 𝟏
𝜼
𝑱𝒓 =
𝑻𝒓 =
𝑱𝒓 = 𝒎𝑹𝟐
𝑻𝒓 =
𝟏
𝑭𝑹
𝜼
Ω
𝒑
𝟐𝝅
𝒎𝒑𝟐
𝑱𝒓 =
𝟒𝝅𝟐
𝑻𝒓 =
𝒑𝑭
𝟐𝝅𝜼
15. Comment obtenir le couple sur l’arbre du moteur pendant le régime transitoire :
Une fois le régime permanent atteint on a : Tu=Tr
Durant le régime transitoire, le couple que doit fournir le moteur sera plus important pour vaincre les
inerties avant et après le mécanisme de transmission.
Deux cas sont à distinguer suivant le calcul de Tr :
 Si le calcul de Tr a été réalisé sans tenir compte du transitoire :
𝑻𝒖 = (𝑱𝟏 +
𝑱𝒓 𝒅Ω𝟏
+ 𝑻𝒓(𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕)
)
𝜼 𝒅𝒕
 Si le calcul de Tr a été réalisé en tenant compte du transitoire :
𝑻𝒖 = 𝑱𝟏
𝒅Ω𝟏
+ 𝑻𝒓(𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕𝒐𝒊𝒓𝒆+𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕)
𝒅𝒕
16. Qu’est-ce qu’un mécanisme de transmission irréversible ?
Un mécanisme est irréversible, si le rendement du transfert de puissance s’effectue avec un rendement
non nul dans un sens et avec un rendement nul, à la vitesse nulle, dans l’autre sens.
L’exemple classique concerne le réducteur roue-vis sans fin.
Lorsque l’angle d’inclinaison du filet de la vis par rapport à son axe de rotation est supérieur à 85°
(contact acier sur acier), le système est irréversible.
Si le moteur entraîne la vis et impose le couple à la charge, le rendement est non nul quelle que soit la
vitesse.
Au contraire, si la charge impose le couple (charge entraînante) à la roue, le rendement est nul lorsque
le système est à l’arrêt. Le système est dit « arc-bouté ». Ceci est utilisé pour éviter une charge
entraînante à l’arrêt dans un système de levage par exemple.
Pour la descente, le moteur électrique doit initialiser le mouvement. Ensuite celui-ci peut se poursuivre
par entraînement de la charge, car le rendement n’est plus nul dès que la vitesse n’est plus nulle.
Les deux courbes rendement-vitesse de la figure ci-dessous illustrent ceci sur l’exemple d’un levage ;
A gauche, la montée (charge entraînée) et à droite, la descente (charge entraînante)


vitesse
Charge entraînée
vitesse
Charge entraînante
Irréversibilité d’un réducteur