Automates Cellulaires Introduction Applications Les objets

Introduction
Automates Cellulaires
Modèle des systèmes complexes
• Un automate cellulaire est une machine
abstraite.
• Les règles de fonctionnement sont simples
• Le comportement peut être complexe
• Ulam [1940] : croissance des cristaux
• Von Neuman [1950] : propriété du vivant
• Conway [1970] : Game of Life
Applications
Les objets
• Simulation du comportement d'un gaz.
– Un gaz est composé d'un ensemble de molécules dont le
comportement est fonction de celui des molécules voisines.
• Une grille de n éléments appelés cellules
1
• Étude des matériaux magnétiques selon le modèle
d'Ising :
– ce modèle (1925) représente le matériau à partir d'un réseau
dont chaque nœud est dans un état magnétique donné. Cet état
-- en l'occurrence l'une des deux orientations du moment
magnétique -- dépend de l'état des nœuds voisins.
•
•
•
•
•
Simulation des processus de percolation.
Conception d'ordinateurs massivement parallèles.
Simulation et étude du développement urbain
Simulation des processus de cristallisation
Simulation de la propagation des feux de forêt
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0
4
1
5
1
6
1
• Donc une configuration est une fonction
x : {1, . . . , 8} → {0, 1}
• ou d’une façon équivalente un vecteur
x ∈ {0, 1}8
n
{0, 1}3 000 001 010 011 100 101 110 111
f
0
1
1
1
0
1
1
0
Mise à jour
• Une configuration d’un AC est l’affectation d'un état à chaque
cellule.
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1
…
• Un ensemble d’ètats appelé alphabet A = {0, 1}
• Un voisinage I = {−1, 0, 1}
• Une table appelée règle locale f : {0, 1}3 → {0, 1}
Configuration
1
1
2
7
1
8
0
• L’état de chaque cellule est mis à jour de manière
synchrone
• L’ état mis à jour est obtenu par la règle locale
• Elle est appliquée en fonction de l’état de la cellule et
des états des cellules qui appartiennent a son
voisinage.
x=
….
X' =
….
xi-1
xi
x'i
xi+1
….
….
1
{0, 1}3 000 001 010 011 100 101 110 111
0
f
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
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1
1
1
0
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1
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0
0
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1
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1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
Evolution
• Cet Automate Cellulaire engendre un Système
Dynamique
• 〈X, F〉 où:
X = {0, 1}n est l’ensemble des configurations
F : {0, 1}n → {0, 1}n est la fonction configuration suivante
définie a partir de la règle locale comme suit:
si x∈ {0, 1}n, alors F(x) ∈ {0, 1}n est tel que
∀i = 1, . . . n, F(x)i = f(x i−1, xi, xi+1)
Evolution
x(0) → x(1) → x(2) → x(3) → x(4) → …
Diagramme Espace-Temps
Diagramme Espace-Temps
Diagramme Espace-Temps
Diagramme Espace-Temps
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Modélisation : trafic automobile
{0, 1}3 000 001 010 011 100 101 110 111
Automates élémentaires
f
1D
Rayon 1
Alphabet {0,1}
Modélisation : trafic automobile
Modélisation : opinions
{0, 1}3 000 001 010 011 100 101 110 111
f
Modélisation : opinion
Automate 1 D
Multiples états
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Synchronisation
Synchronisation
• Firing Squad Synchronization Problem
– Comment synchroniser une ligne d'automates
– Avec des communications locales
• Une solution :
– 6 états
– 119 règles élémentaires
Automate 2 D
• La grille est de dimension 2
Automate 2 D
• Le voisinage
.
Automate 2 D
• La mise à jour est synchrone
• Le nombre de règles possibles est plus
important
• Dynamiques complexes
.
Automate auto-réplicateur
• Von Neuman :
– Organisation logique d'un automate suffisante pour
assurer l'autoréplication
• Langton :
– considérer les seuls éléments nécessaires et non les
éléments suffisants
• L'automate de Langton
– huit états et vingt-neuf règles
– la structure qui se réplique est une boucle constituée
d'une « membrane » au sein de laquelle circule
l'information nécessaire à la réplication.
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Automate de Langton
Automate de Langton
Automate de Langton
Jeu de la vie
• Modélisation de la naissance et de la mort des
organismes
• Règles :
– Une cellule inactive entourée de 3 cellules actives devient
active (« naît ») ;
– Une cellule active entourée de 2 ou 3 cellules actives reste
active ;
– Dans tous les autres cas, la cellule « meurt » ou reste
inactive.
Jeu de la vie
• Comportements stables
• Comportements cycliques
Jeu de la vie
• Planeur (glider)
– Période 4
– Translation de 1 cellule en diagonale
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Jeu de la vie
• Canon à planeurs (glider gun)
Conclusions
• Les automates cellulaires peuvent être considérés
comme des systèmes complexes élémentaires
– Le parallélisme : Un système est dit parallèle si ses
constituants évoluent simultanément et de manière
indépendante.
– La proximité (locality) : Le nouvel état d'une cellule ne
dépend que de son état actuel et de l'état du voisinage
immédiat.
– L'homogénéité : Les lois sont universelles, c'est-à-dire
communes à l'ensemble de l'espace de l'automate cellulaire.
• Période 30
Conclusions
• Propriétés d'émergence :
– L'organisation finale du système n'est pas
programmée
– Elle émerge comme une propriété des
relations existantes entre les éléments du
système
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