CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS
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CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS
Terminale S-SI Cinématique Analytique CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS 1. Mouvement de translation : Définitions 1.1. Translation d’un solide Tous les points d'un solide en translation ont : - Des trajectoires identiques - La même vitesse. - La même accélération 1.2. Vitesse v Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse moyenne : vmoy = x 2 − x1 ∆x = t2 − t1 ∆t vmoy s’exprime en m/s Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse instantanée : v(t ) = lim ( ∆t → 0 ∆x dx(t ) )= = x ' (t ) dt ∆t La vitesse instantanée v s’exprime en m/s Par conséquent, la vitesse instantanée v est la dérivée par rapport au temps de la position x. 1.3. Accélération a En dérivant la vitesse instantanée, nous obtenons l’accélération : a (t ) = L’accélération angulaire dv(t ) d 2 x(t ) = = x '' (t ) dt dt 2 a s’exprime en m/s2 2. Mouvement de translation rectiligne uniforme 2.1. Rappel Lorsqu’un solide S subit un mouvement de translation (quelconque, rectiligne ou circulaire) par rapport à un repère R, tous les poins de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R. 2.2. Définition Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s2) et avec une vitesse constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U. Modifié le 22/09/2009 (PC) page 1/6 Terminale S-SI Cinématique Analytique 2.3. Equations de mouvement Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une autoroute considérée rectiligne. On a : t0 : instant initial du mouvement t : instant de l'étude x0 : position initiale (en m), à t0 ; v0 : vitesse initiale (en m/s); x(t) : la position x (en m) à l’instant t. x(t) x0 Origine du repère O Instant t0 x Instant t Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MRU) Equations Graphe de l’accélération a (m/s2) a(t) = 0 v(t) = v0 = Cte x(t) = v0.t + x0 x0, v0 sont les valeurs de position et de vitesse à l'instant zéro. Ces valeurs sont constantes pendant toute la durée de la phase d'étude. a=0 t 0 Graphe de Vitesse Les équations ci-dessus sont vraies si le MRU commence à l’instant t0=0s. v (m / s) v (t) = v 0 = C te v0 0 t Graphe de Position Remarque : Dans le cas où le mouvement ne commence pas à t0=0 ; les équations du mouvement s'écrivent : a(t) = 0 v(t) = v0 = Constante x(t) = v0.(t-t0) + x0 Modifié le 22/09/2009 (PC) x (m) x(t) = v0.t + x0 x0 0 t page 2/6 Terminale S-SI Cinématique Analytique 3. Mouvement de translation rectiligne uniformément varié 3.1. Définition Ce type de mouvement sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, l’accélération reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.V. 3.2. Equations du mouvement Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’écraser (raisonnablement) l’accélérateur. x(t) Soient : t0 : instant initial du mouvement (en s); x0 : la position initiale, à t=t0 ; a : l’accélération de la phase (en m/s2) ; v0 : la vitesse initiale (en m/s) ; x(t) : la position (en m) à l’instant t. x0 v0 O v(t) Instant t0 Equations Instant t x Graphe de l’accélération a (m/s2) a(t) = constante v(t) = a0.t + v0 x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0 Comme pour le MRU, x0, v0 sont les valeurs de position et de vitesse à l'instant zéro. Ces valeurs, comme l'accélération, sont constantes pendant toute la durée de la phase d'étude. a(t) = Cte a0 0 t Graphe de vitesse Les équations ci-dessus sont vraies si le MRUV commence à l’instant t0=0s. v (m/s) v(t) = a.t + v0 v0 0 t Graphe de position Remarque : Dans le cas où le mouvement ne commence pas à t0=0 ; les équations du mouvement s'écrivent : a(t) = a0 = constante v(t) = a0. (t0-t)² + v0 x(t) =1/2.a0. (t0-t)² + v0.(t0-t)² + x0 Modifié le 22/09/2009 (PC) x (m) x0 x(t) = 1/2. a.t2 + v0.t + x0 0 t page 3/6 Terminale S-SI Cinématique Analytique 4. Mouvement circulaire (ou de rotation) : Définitions 4.1. Rotation d’un solide M2 Pour connaître, à tout instant t, la position d’un solide indéformable subissant un mouvement de rotation, il nous suffit de définir sa position angulaire θ (t) . Instant t2 θ2=θ( t2) M1 Instant t1 ∆θ O θ1=θ( t1) x 4.2. Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation ω ω moy = Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne: ω moy θ 2 − θ1 t2 − t1 = ∆θ ∆t s’exprime en rad/s Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse angulaire instantanée : ω (t) = lim ( ∆t→0 ∆θ dθ (t ) )= = θ ' (t) ∆t dt La vitesse angulaire ω s’exprime en rad/s Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position angulaire. 4.3. Accélération angulaire α En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l’accélération angulaire : α (t) = L’accélération angulaire dω (t ) d 2θ (t) = = θ '' (t) 2 dt dt α s’exprime en rad/s2 Remarque : L’analogie avec l’étude du mouvement en translation rectiligne est évidente. Nous retrouvons les mêmes grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) suivies du terme angulaire. Nous allons donc, de la même façon, étudier des cas particuliers de mouvement de rotation. Modifié le 22/09/2009 (PC) page 4/6 Terminale S-SI Cinématique Analytique 5. Mouvement circulaire uniforme 5.1. Définition L’accélération angulaire α(t) est nulle. Ce mouvement est noté M.C.U. 5.2. Equations de mouvement α(t) = θ’’(t) = 0 rad/s2 ω(t) = ω0 = Constante θ(t) = ω.(t-t0) + θ0 Les équations d’un MCU sont : t0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement. Si t0 = 0 alors les équations du MCU deviennent : α(t) = 0 rad/s2 ω(t) = ω0 = Constante θ(t) = ω.t + θ0 6. Mouvement circulaire uniformément varié 6.1. Définition L’accélération angulaire α(t) est constante. Ce mouvement est noté M.C.U.V. 6.2. Equations de mouvement α(t) = α = Constante ω(t) = α.(t-t0) + ω0 θ(t) =1/2.α α.(t-t0)2 + ω0.(t-t0) + θ0 Les équations horaires d’un MCUV sont : t0, α0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement. Si t0 = 0 alors les équations du MCUV deviennent : α(t) = Constante ω(t) = α.t + ω0 1 α.t2 + ω0.t + θ0 θ(t) = .α 2 Modifié le 22/09/2009 (PC) page 5/6 Terminale S-SI Cinématique Analytique 7. Vitesse et Accélération d’un point d’un solide en mouvement de rotation Parfois, il nous est nécessaire de s’intéresser à un point M appartenant au solide en rotation. 7.1. Vitesse d’un point En dérivant (par rapport au temps) le vecteur position OM (t) , dans le repère ℜ, nous obtenons : dOM V(M∈S/R) = = OM .ω (t ).t = r .ω (t ).t dt ℜ Remarque : puisque ω(t) a même valeur pour tous les t T (M ∈ S / R) V ( M ∈ S / R) points du solide, la vitesse linéaire V(M∈S/R) varie linéairement avec la distance r à l’axe de rotation. n M _VP _VN 7.2. Accélération O En dérivant (par rapport au temps) le vecteur vitesse V(M∈S/R) , dans le repère ℜ, nous obtenons : N P θ( t) r=OM x dV(M∈S/R) Γ (M∈S/R) = = r .α (t ).t − r.ω 2 (t ).n dt ℜ .t : tangentielle .n : normale Modifié le 22/09/2009 (PC) page 6/6