signe du trinôme

Une petite entreprise de confection fabrique des vestes pour homme.
Quelle que soit la quantité produite, le prix de vente d’une veste est fixé à 180 €.
1. On s’intéresse à la production de 50 vestes.
On sait que le coût de production de 50 vestes est égal à 5 850 €.
a) Calculer le prix de vente de 50 vestes.
50 × 180 = 9 000. Le prix de vente de 50 vestes est de 9 000 €...................................................
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b) Calculer le bénéfice réalisé par la vente de 50 vestes. (Faire apparaître le calcul)
9 000 – 5 850 = 3 150. Le bénéfice est donc de 3 150 € pour 50 vestes vendues. .......................
......................................................................................................................................................
2. Le responsable du service production indique que le coût de production total C(n), en
euros, en fonction du nombre n de vestes vendues est donné par la relation C(n) = 1,5n² + 15n
+ 1 350 ; 10  n  80.
a) Exprimer le montant total V(n) des ventes en fonction du nombre n de vestes vendues.
V(n) = 180 n..................................................................................................................................
b) Montrer que l’expression algébrique du bénéfice réalisé B(n), en fonction du nombre n de
vestes vendues, est B(n) = - 1,5n² + 165n – 1 350.
B(n) = V(n) – C(n) soit B(n) = 180n – (1,5n² + 15n – 1 350)
et B(n) = -1,5n² + 180n – 15n + 1 350 donc B(n) = - 1,5n² + 165n – 1 350. ................................
......................................................................................................................................................
3. On considère la fonction f définie pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [10 ; 80] par
f(x) = - 1,5x² + 165x – 1 350.
a) À l’aide du menu I de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant.
x
10
20
30
40
50
60
70
80
f(x)
150
1 350
2 250
2 850
3 150
3 150
2 850
2 250
b) Calculer la valeur de x pour laquelle f admet un maximum et la valeur de ce maximum
x max =
b
=  = 55. ........... ; y max = - 1,5 × 55² + 165 × 55 – 1 350 = 3 187,5.
a  × ,
c) Compléter le tableau de variation de f.
d) Dans le plan rapporté à un repère orthogonal en page 3, tracer la courbe représentative C
de f (unités graphiques : 2 cm pour 10 unités en abscisse ; 1 cm pour 150 unités en ordonnée)
et la droite D d’équation y = 3 000. (Voir graphique page 3)
e) Représenter C et D sur l’écran de la calculatrice avec
f) Déterminer graphiquement, puis à l’aide du menu "" de la calculatrice, les
coordonnées des points I et J d’intersection de C et D (arrondir à l’unité).
I(44 ; 3 000) ; J(66 ; 3 000).
Second degré – Signe du trinôme
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02/04/2013
g) Résoudre l’équation – 1,5x² + 165x – 1 350 = 3 000 pour retrouver les valeurs obtenues au
f) (arrondir les solutions à l’unité).
– 1,5x² + 165x – 1 350 = 3 000 soit – 1,5 x² + 165x – 1 350 – 3 000 = 0 ....................................
d’où – 1,5x² - 165x – 4 350 = 0 avec a = - 1,5 ; b = 165 ; c = - 4 350.
 = 165² - 4 × (-1,5) × (-4 350) = 1 125.  > 0 donc l’équation admet deux solutions. ..............
x1 
 165  1 125
= 44
2   1,5
et
x2 
 165  1 125
= 66.........................................................
2   1,5
4. On veut savoir quel est le nombre de vestes x 0 qu’il faut écouler pour atteindre le seuil de
rentabilité.
a) Quelle équation faut-il résoudre pour trouver x 0 ?
Le seuil de rentabilité correspond à un bénéfice nul soit - 1,5x² + 165x – 1 350 = 0...................
......................................................................................................................................................
b) Résoudre cette équation pour x arrondir à l'unité
- 1,5x² + 165x – 1 350 = 0 avec a = -1,5 ; b = 165 ; c = - 1350....................................................
 = 165² - 4 × (-1,5) × (- 1350) = 19 125 ;  > 0 donc l’équation admet deux solutions. ...........
x1 
 165  19 125
 165  19 125
= 9 ; x2 
= 101. ............................................................
2   1,5
2   1,5
Sur l’intervalle [0 ; 80], on ne retiendra que x 0 = 9.
c) Résoudre -1,5x² + 165x – 1 350 > 0.
Tableau de signes :
Donc -1,5x² + 165x – 1 350 > 0 pour x  ]9 ; 80[.
5. Utiliser les résultats précédents pour déterminer :
a) Le nombre de vestes vendues pour dépasser le seuil de rentabilité ;
Pour dépasser le seuil de rentabilité il faut vendre 9 vestes au moins. ........................................
b) Le nombre de vestes vendues pour que le bénéfice soit maximal et la valeur de ce bénéfice
maximal ;
Pour que le bénéfice soit maximal, il faut vendre 55 vestes et ce bénéfice est alors de
3 187,50 € .....................................................................................................................................
c) Le nombre de vestes vendues pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 3 000 euros.
Pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 3 000 €, il faut vendre entre 44 et 66 vestes. ........
2/3
y
3150
I
D
J
3000
2850
2700
2550
2400
C
2250
2100
1950
1800
1650
1500
1350
1200
1050
900
750
600
450
300
150
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
44 45
3/3
50
55
60
65
66
70
75
80
85
x