lim musique

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lim musique
Correction du Devoir en classe n°7
Exercice 1:
a) f est un polynôme donc est définie sur ℝ.
x
lim
-
f (x) = + ∞
car lim x² = + ∞
x
-
x
et lim - 5x + 3= + ∞
x
-
f (x) est une Forme Indéterminée (du type + ∞ - ∞)
lim
+
car lim
x
x² = +∞
+
et lim - 5x + 3= -∞
x
+
Pour lever l'indétermination, factorisons f (x) par x²
5
3
x² - 5x + 3 = x² ( 1 - x + x² )
Or lim x² = + ∞
x
+
Donc lim
x
+
5
3
et lim 1 - x + x² = 1
x +
5
3
f (x) = lim x² ( 1 - x + x² ) = + ∞
x +
b) g est définie sur ] - ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; + ∞ [ . On doit donc déterminer les limites en - ∞, + ∞, mais aussi en 0!
x
lim
-
g(x) = 0 × 50 = 0
x
lim
g(x) = 0 × 50 = 0
+
2
1
2
1
car lim x = 0 et lim 50 - x = 50
car lim x = 0 et lim 50 - x = 50
x x x +
x +
La courbe représentative de g admet donc une asymptote horizontale d'équation y = 0
x
lim
0-
g(x) = - ∞
x
lim + g(x) = - ∞
0
2
1
2
1
=
-∞
et
lim
50
=
+∞
car
lim
=
+
∞
et
lim
50
+
+
x
x =-∞
x 0 x
x 0
x 0 x
x 0
La courbe représentative de g admet donc une asymptote verticale d'équation x = 0
car lim
-
c) h est définie sur ] - ∞ ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [ . On doit donc déterminer les limites en - ∞, + ∞, mais aussi en 1!
x
lim
-
∞
h(x) et lim h(x) sont des Formes Indéterminées (du type ∞ )
x +
En l'infini, la limite d'une fonction rationnelle (homographique) est celle du rapport des monômes de plus
haut degré.
-2x²
Donc lim h(x) = lim
x = x lim- -2x = + ∞
x x -2x²
et lim h(x) = lim
-2x = - ∞
x = x lim
x +
x +
+
lim - h(x) = + ∞
lim + h(x) = - ∞
x
1
x
car lim -2x² - 5x + 4 = -3
x
1
et lim - x - 1= 0x
1
1
car lim -2x² - 5x + 4 = -3 et lim + x - 1= 0+
x
1
x
La courbe représentative de h admet donc une asymptote verticale d'équation x = 1.
1
Exercice 2:
20
Musique
35
12
25
5
7
Judo
Ou avec un tableau:
Judo (J)
Pas de judo
(J)
Total
Musique
(M)
5
Pas de musique
(M)
7
20
3
23
25
10
35
Notons M l'événement "l'élève choisi au
hasard fait de la musique"
Total
12
Notons J l'événement "l'élève choisi au
hasard fait du judo"
1) L'élève étant choisi au hasard, on est dans une situation d'équiprobabilité.
12
Probabilité que l'élève choisi au hasard fasse du judo: p(J) = 35 .
2) Probabilité que l'élève choisi au hasard fasse au moins une des deux activités.
p(M ∪ J) =
20 + 5 + 7
32
=
35
35
25
5
32
12
ou avec la formule p(M ∪ J) = p(M) + p(J) - p(M ∩ J) = 35 + 35 - 35 = 35
Exercice 3:
1
4
N
Gain :
2× 2€ - 1€ = 3€
3
4
B
2€ - 1€ - 1€ = 0€
N
2
5
3
5
1) A = {NN}
2
1
=
4
2
N
- 1€ + 2€ - 1€ = 0€
2
1
=
4
2
B
2× (-1)€ - 1€ = -3€
B
B = {BB}
La probabilité de l'événement correspondant à un chemin est obtenue en multipliant les probabilités portées par
ses branches.
2 1
1
p(A) = 5 × 4 = 10
3 1
3
p(B) = 5 × 2 = 10
2) 1ère méthode : C " obtenir deux jetons de couleurs différentes"
2 3
3
p({BN}) = 5 × 4 = 10
C = {BN ; NB}
3 1
3
p({NB}) = 5 × 2 = 10
La probabilité correspondant à plusieurs chemins est obtenue en ajoutant les "probabilités de ces
3
3
6
chemins"
Donc p(C) = p({BN}) + p({NB}) = 10 + 10 = 10
2ème méthode : C est l'événement contraire de A ∪ B. Donc p(C) = 1 – p(A ∪ B) = 1 – (p(A )+p(b)-p(A ∩ B))
1
3
6
p(C) = 1 - 10 - 10 - 0 = 10
3)Loi de probabilité de la variable aléatoire:
probabilité
Exercice 4:
X=3
X=0
X = -3
1
p(A) = 10
6
p(C) = 10
3
p(B) = 10
Propriété utilisée: Si q < -1 lim qn n'existe pas.
n
+
Si -1 < q < 1 lim qn = 0
n
+
Si 1 < q lim qn = + ∞
n
+
On en déduisait que lim sn n'existe pas, lim tn = -2 , lim un = + ∞ et lim vn = 0
n
+
n
+
n
+
n
+
y
(mais il fallait évidemment justifier proprement chaque limite)
Exercice
6: En notant f la fonction définie surℝ par
0,6
x
, on aura bien pour tout entier
1+x
un
naturel n, u n + 1 = f (u n )=
.
1 + un
1) f (x)=
0,4
2) La suite (u n )semble être décroissante et
converger vers 0.
0,2
-0,2
0
0,2
u 6u 5u 4 u 3
0,4
u2
0,6
0,8
u1
1
3) Soit n∈ℕ, vn + 1 = u
=
n+1
-0,2
1
x
u0
1
1 + un
=
un
un
1 + un
donc vn + 1 -vn =
1 + un
1
un
=
un
un
u n = 1.
Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 -vn = 1.
La suite (v n )est donc arithmétique de raison 1, de premier terme v0 =
3) Par conséquent, pour tout entier naturel n, vn = 1+n.
Or, pour tout entier naturel n, un =
1
=1
u0
On en déduit que
n
lim vn = + ∞ .
+
1
, donc lim un = 0
vn
n +
1
1
1
4) Soit n∈ℕ, un = v = 1 + n et un + 1 = 2 + n
n
.
1
1
1+n
2+n
-1
un+1 - un = 2 + n - 1 + n = (2+n)(1+n) - (2+n)(1+n) = (2+n)(1+n)
Il ne reste plus qu'à prouver que, pour tout entier naturel n,
suite (u n ) est décroissante.
-1
< 0 et en déduire que la
(2+n)(1+n)