I- Généralités II- Conduction III- Rayonnement IV

TRANSFERTS THERMIQUES
I- Généralités
II- Conduction
III- Rayonnement
IV- Convection
V. Applications
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Généralités
Transfert thermique
=
Énergie en transit dû à une différence de température
Les modes de transfert de chaleur
La conduction
transport d’énergie dans la matière sans de déplacement de matière
Transport par les électrons (conducteur) ou les phonons (isolant)
nécessite un milieu solide de transmission
transmission faible dans les gaz
La convection
transport d’énergie dans la matière avec déplacement de matière
Transport par écoulement de fluide (liquides, gaz) / différence de masse volumique
nécessite un milieu fluide de transmission
Le rayonnement
transport d’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques
pas de déplacement de matière
pas de contact entre les objets ou milieux qui échangent l’énergie
pas de milieu de transmission nécessaire (dans le vide, ça marche aussi !)
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Généralités
Flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps
Φ=
dQ
dt
Un flux de chaleur s'exprime donc en Joules/s, c'est-à-dire en Watt c'est une puissance.
Densité de flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps par unité de surface
Une densité de flux de chaleur s'exprime donc W/m2
dQ
S dt
φ= 1
Analogie avec la mécanique des fluides :
Un débit fluide est un flux de matière [m3/s]
Pour obtenir un débit de fluide, il faut force motrice:
une différence de pression ou d’énergie potentielle.
Analogie avec l’électricité :
Un débit de courant est un flux d’électrons [C/s]
Pour obtenir un débit de courant, il faut force motrice:
une différence de potentielle électrique.
Un débit de chaleur est un flux de chaleur [J/s]
Pour obtenir un débit de chaleur, il faut une force motrice:
une différence de température
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Généralités
Déperdition d’une piscine
3
Échangeurs de chaleur
2
1
Thermique des bâtiments
Rendement dans les turbines
Équilibre thermique de la Terre
Changements climatiques
Capteurs solaires (production ECS)
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Conduction
II.A.- Loi de Fourier
A
B
Dans cette barre métallique chauffée en son extrémité A, on observe un gradient
longitudinal de température T(x): T(A) > T(B)
Cette différence du potentiel température T(A) - T(B) provoque un flux de
chaleur Φ :
Φ = h S [ T(A) - T(B) ] en J/s
h est défini comme un coefficient de transfert de chaleur
Milieu de propagation du flux de chaleur: un solide
Cause du phénomène:
un écart de température
Dans le béton, la température T(M) va varie
de 26°C au contact de l'eau, à 8°C au contact du sol.
Il existe donc une fonction de variation
de la température
T = T(M)
dans le milieu conduisant la chaleur
Puisque la température varie dans le solide en
fonction de l'endroit où on la mesure,
c'est dire que:
Lorsqu'on de déplace de:
M
en
M + dM
T(M + dM) = T(M) + dT
T est une fonction des 3
variables d'espace x, y et z:
La variation totale dT est la somme des 3 variations:
Il existe donc un gradient de température:
et la variation totale de
température est égale au
produit scalaire:
avec:
Cause
Effet
un densité de flux
Un gradient
local de
température
provoque
de chaleur locale
La Loi de Fourier exprime que l'effet produit est proportionnel à sa cause
W/m2
W/(m .°C)
°C/m
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Conduction
II.B.- Champs de lignes isothermes
Définition de (C), une ligne isotherme:
La Loi de Fourier:
les vecteurs densité de flux et gradient de
température sont colinéaires.
conduit donc à
l'expression du
produit scalaire:
Définition du
gradient:
Si:
Si M ∈ (C) alors T(M) = Cte ou dT ≡ 0
on a:
quand M + dM
qui signifie que les vecteurs densité de flux
sont orthogonaux aux lignes isothermes
Lignes de flux
orthogonales aux
isothermes
Lignes isothermes
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Conduction
II.C.- conduction en 1D (problème du mur)
1 D ⇒ une seule variable d’espace x
x=0
x=L
Dans le cas général, T dépendra de l'espace: ce sera T(x, t) T(x = 0) = T0
T(x = L) = TL
et la Loi de Fourier se réduit à l'équation différentielle
φ = −λ
dT
dx
Cause du phénomène de conduction dans le milieu: une différence de température
T0 > TL
x=0
TL
Flux de chaleur φ en W/m2
Effet: un Flux de chaleur
x=L
Hypothèse stationnaire
Dans cette hypothèse, rien ne dépend de la variable temps t : T(x,t) ≡ T(x)
La température de cette tranche de
matière de longueur dx demeure
constante
x
φ(x)
x + dx
φ(x + dx)
Par conséquent:
φ(x) = φ(x
φ + dx) Le flux de chaleur est constant
dT
φ ( x ) = −λ
⇔ φ ( x)dx = −λdT ⇔
dx
x=L
x=L
∫ φ ( x)dx = −λ ∫ T ( x)dx ⇔ φ .L = −λ (T
L
x =0
φ =λ
x =0
T0 − TL
L
− T0 )
Exemple: mur en béton
L'écart de température T1 - T2
provoque un flux de chaleur à
travers le mur:
φ =λ
T1 − T2
L
Ecart de température: T1 - T2 = 20°C - 5°C = 15°C
Epaisseur du mur:
L = 0,20 m
λ pour le béton:
λ = 0,92 W / (m .°C)
Flux thermique à travers le mur: φ = 0,92 x 15 / 0,20 = 69 W/m2
Puissance pour S = 5 m x 4 m = 20 m2, Φ = φ S = 1,38 kW
Analogie électrique
φ=
T1 − T2 = RΦ
Différence de potentiel
1
L
L
ρL Résistance thermique
λ
R=
=
≡
S
S
λS
Φ λ
L
= (T1 − T2 ) ⇒ T1 − T2 =
Φ = RΦ
S L
λS
ρ
est la résistivité électrique
1/λ
λ est la résistivité thermique, inverse de la conductivité
R s'exprime en °C/W
Φ λ
= (T1 − T2 ) ⇒ T1 − T2 = rφ
S L
λ
r s'exprime en °C.m²/W
r est la résistance spécifique r = R.S =
L
φ=
Mur multicouches (1D stationnaire)
Chaque couche est caractérisée par:
son épaisseur ei
sa conductivité λi
les températures Ti et Ti+1 de ses 2 faces
La densité de Flux thermique est constante tout le mur:
T −T
T −T
Φ = 1 2 = ... = n n +1
R1
Rn
∑R
i
R1
Rn
1
i
=
= ... =
=
Φ T1 − T2
Tn − Tn +1 T1 − Tn +1
Φ=
∆T
=S
R
∑ i
i
∆T
ei
∑
i
λi
Loi du mur simple avec additivité des résistances spécifiques
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Conduction
II.D.- équation générale de la chaleur
Expression locale de la loi exprimant un lien causal entre un apport d'énergie
et une variation de température – application du 1er principe de la thermodynamique
Apport d’énergie implique
Φdt = ∫∫∫ ρ .c.dT .dV une variation d’énergie du corps
V
Les apports peuvent être :
1 - Flux par conduction reçu par un volume V délimité par une surface S
rr
rr
Φ[W ] = − ∫∫ φ .n.dS soit un apport d'énergie QC [ J ] = − dt.∫∫ φ .n.dS
S
S
2 - Éventuellement, apport thermique de sources de chaleur internes de densité de
puissance volumique p [W/m3]
Q [ J ] = dt. p.dv
∫∫∫
I
V
1er principe : Qc+Qi=∆U=mc ∆T
rr
− dt.∫∫ φ .n.dS + dt.∫∫∫ p.dv = ∫∫∫ ρdV .c.dT
S
V
V
(Formule d'Ostrogradski) r→
r
→
∫∫φ n ds = ∫∫∫ div φ dv = ∫∫∫ ∇φ .dv
r
∂T 

−
∇
φ
+
p
−
ρ
c
dv = 0 ∀V
∫∫∫


∂t 
V
Bilan thermique
r
Loi de Fourier
r
φ = − λ ∇T
(
( )
Le cuivre a une diffusivité thermique a = 1, 1 . 10-4 m2/s)
2
∂2
1 ∂ 1 ∂
∆= 2 +
+ 2
+ 2
2
∂r
r ∂r r ∂θ
∂z
2
∂2
1 ∂ (r.)
1
∂ 
∂ 
1
∆=
+ 2
 sin θ
+ 2 2
2
r ∂r
r sin θ ∂θ 
∂θ  r sin θ ∂ϕ 2
Régime stationnaire
∆T +
)
a=
∂2
∂α 2
p
λ
∂T
=0
∂t
λ
[m2s-1]
ρc
Diffusivité thermique
∆=
− ∇φ + p − ρc
r
∂T
∇ λ∇T + p − ρc
=0
∂t
r
p ρc ∂T
p ρc ∂T
∇ ∇T + −
= 0 ⇒ ∆T + −
=0
λ λ ∂t
λ λ ∂t
Milieu homogène isotrope
∂2
r
=0
Équation de Poisson
Milieu inerte
∆T −
1 ∂T
=0
a ∂t
Équation de Fourier
Régime stationnaire+milieu inerte
∆T = 0
Équation de Laplace
Conditions aux limites
Indispensables pour la résolution de l'équation
2 grands type (Dirichlet, Neumann)
Conditions de Dirichlet :
les CL imposent la température en surface (ou en un point particulier) à chaque instant
TS = T ( xs , ys , z s )
-assez éloignées de la réalité (imposer une température ?!)
-facilitent les calculs
Conditions de Neumann :
les CL imposent le flux en surface à chaque instant
φ S = φ ( xs , y s , z s , t )
-Plus réaliste (tiens compte des flux par rayonnement par exemple)
-Dans le cas stationnaire, φS= φ0
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Conduction
II.E.- Modèles élémentaires
∂ 2T ( x)
∆T = 0 →
=0
∂x 2
Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante
T ( x) = C1 x + C2
C1 = −
x = 0 → T = T1
T1 − T2
C2 = T1
x = δ → T = T2
δ
T ( x) = −
Φ = − λS
Φ=
∆T
R
T1 − T2
δ
x + T1
dT λS
(T − T )
=
δ 1 2
dx
R=
T1
T2
φ
δ
λS
Mur homogène à N couches, régime stationnaire
T1
T1
T2
T2
Tn
T3
φ
φ
Tn+1
φ
Tn+1
On apllique pour chaque couche le modèle précédent
T ( x) = −
Ti − Ti +1
δi
x + Ti
Φ=
λi S
(Ti − Ti +1 )
δi
Φ=
T1 − TN +1 ∆T
=
∑ Ri RT
i =1... N
RT =
δi
∑
i =1... N λi S
Cylindre creux homogène, régime stationnaire, conductivité constante
∂ 2T (r ) 1 ∂T (r )
∆T = 0 →
+
=0
∂r 2
r ∂r
T1
r1
r2
T2
L
T (r ) = T1 − (T1 − T2 ) ln r r1
dT
du u
→
+ =0
dr
dr r
ln u + ln r = ln C1
u=
r = r1 → T = T1
r = r2 → T = T2
T (r ) = C1 ln r + C2
C1 =
T1 − T2
ln r1 r2
C2 = T1 − (T1 − T2 )
ln r1
ln r1 r2
ln r2 r1
Φ = − λS ( r )
dT λS (r ) (T1 − T2 )
=
dr
r ln r2 r1
Φ = φS (r ) =
λ
1
∆T = ∆T
2πrL
R
r ln r2 r1
R=
ln r2 r1
2π .L.λ
-Φ
Φ er R sont indépendant de r
- On utilise souvent une puissance linéaire linéique Φl=Φ pour 1 m de tuyau (L = 1 m)
Cylindre creux homogène à N couches, régime stationnaire, conductivité λi constante
Φ est indépendant de r il se conserve au passage de N couches
On apllique pour chaque couche le modèle précédent
r1
T (r ) = −
(Ti − Ti +1 ) ln r ln r
r2
r3
Φ = 2πLλi
i
ln ri +1
+ Ti
ln ri
(Ti − Ti +1 )
ln ri +1 ri
1
ln r2 r1
ln rn +1 rn
=
= ... =
=
2πLλn (Tn − Tn +1 )
Φ 2πLλ1 (T1 − T2 )
Φ=
Exemple : canalisation calorifugées
1
∆T
RT
RT =
∑ ln r
n +1
i =1.. N
rn
2πLλi
∑
i =1.. N
ln rn +1 rn
2πLλi
T1 − TN +1
Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante, CL Dirichlet + Neumann
T ( x) = C1 x + C2
C2 = T1
x = 0 → T = T1
φ
 ∂T ( x) 
φ2 = −λ 
 = −λC1 ⇒ C1 = − 2
λ
 ∂x  x =δ
x = δ → φ (δ ) = φ2
T1
φ2
φ
δ
δ
x + T1 ⇒ T (δ ) = T2 = − 2 δ + T1 ⇒ T2 − T1 = −φ2 = −φ
λ
λ
λ
λ
δ
∆T
Φ=
R=
R
λS
T ( x) = −
Cylindre plein, régime stationnaire, conductivité λ constante
Idem cylindre creux avec r1 0
Physiquement inacceptable, sauf si C1=0
→0
T (r ) = C1 ln r + C2 r
→ ∞
T(r)=constante, donc Φ = 0 W
T2
φ
Mur composite, régime stationnaire
T2 Problème a priori 2D, mais l'approximation 1D permet
T1
cependant une bonne modélisation de la réalité
φ
T1
∂ 2T ( x)
∆T = 0 →
=0
2
∂x
T2
φ
T1
T2
R1=e1/(λ1S1)
φ
Mur composite de N couches caractérisées par:
R1=e1/(λ1S1)
T1
T2
son épaisseur ei
sa conductivité λi
R1=e1/(λ1S1)
sa surafce Si
les températures T1 et T2 de ses 2 faces
Φ=
∆T
=
RT
∆T
∑
i =1.. N
1
Ri
Ri =
ei
λi Si
TRANSFERTS THERMIQUES
I- Conduction
II.F.- Modèle du milieu semi-infini
T, Φ
Milieu semi infini = milieu dont les dimensions sont
suffisamment grandes pour que les perturbations (T
ou Φ) appliqueés sur l'une des faces ne se fassent
pas ressentir sur l'autre
Description réaliste du sol
Résolution de l'équation de la chaleur
⇓
Transformée de Laplace d'une fonction
Méthode de séparation des variables
Théorème de superposition (décomposition de Fourier)
Fonction de Green
Calcul numérique
Tranformée de Laplace
∞
F ( p) = L[ f (t )] = ∫ exp(− pt ) f (t )dt
0
f continue bornée sur [0, +∞[ (même par morceaux)
∃α 0<α<1 / tα|f(t)| → 0 si t→0
Si f est définie sur |R, f est nulle sur |RF(p) définie pour p>0 (majoration à l’∞)
Si p complexe c'est la transformée de Fourier
Linéarité : L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]
Dérivée : L[fn(t)]=pF(p)-f(0+)]
Similitude : L[f(kt)]=(1/k)F(p/k)
Dérivation : F(n)(p)=L[(-1)ntnf(t)]
voir cours méthématiques
f(t)
F(p)
1 (Heaviside)
1/p
t
1/p2
1/t
non définie
t
1/p2
∂nT(x,t)/∂xn
dnF(p)/dxn
(1/p)exp(-qx) q²=p/a
1-erf[x/(4at)1/2]
les tables de tranformées de Laplace permettent un passage relativement aisé f(t)F(p)
l'inverse n'est pas toujours très simple !
Exemple : équation de la chaleur unidimensionnelle sans source (soit Π(x,p) =L[T(x,t)]
Équation de la chaleur
Transformée de Laplace
∂ 2T ( x, t ) 1 ∂T ( x, t )
−
=0
∂x 2
a ∂t
[
]
d 2 Π ( x, p ) 1
+
−
p
Π
(
x
,
p
)
−
T
(
x
,
0
) =0
2
dx
a
d 2 Π ( x, p ) p
T0
−
Π
(
x
,
p
)
=
dx 2
a
a
Eq. Diff. Conventionnelle à résoudre, puis inversion F(p)f(t) pour la solution finale
Changement de variable
T*(x,t) = T(x,t) − T0 ⇒ Π *(x,p) = Π (x,p) − T0 p
1
[ pΠ ( x, p) − T0 ] = p Π ( x, p) − T0  = p Π * ( x, p)
a
a
p a
d 2 Π * ( x, p ) p
p
2
−
Π
*
(
,
)
=
0
⇒
Π
*
(
,
)
=
exp(
−
)
+
exp(
+
)
=
x
p
x
p
A
kx
B
kx
k
dx 2
a
a
Conditions initiales détermination des constantes d’intégration A et B
Application : mur semi-infini à température T0, λ constant, soumis à un saut de température T1
T1 appliquée « brusquement »
 ∂ 2T ( z , t ) 1 ∂T ( z , t )
−
=0

2
a ∂t
 ∂z
T ( z ,0) = T0
T (0, t ) = T
1


T0
z
Π * ( x, p ) =
 d 2Π * ( z, p) p
− Π * ( z, p) = 0

2
dz
a

Π * ( z ,0) = 0

T −T
Π * (0, p) = 1 0 p


T1 − T0
p 
exp −
z
p
a 

tables
 ∂ 2T * ( z , t ) 1 ∂T * ( z , t )
=0
−

2
∂
z
a
∂
t

T * ( z ,0) = 0
T * (0, t ) = T − T
1
0




p 

Π * ( x, p ) = A exp −
z  + B exp +
a 


p 
z
a 
Π* ne peut pas → ∞ (majoration) : B=0
x = 0 ⇒ Π * ( x, p ) =
T1 − T0
= A exp(0) = A
p

p 
exp −
x
a 
 x 

F ( p) =
→ f (t ) = erfc

p
4
at


 1

 1

T * ( x, t ) = (T1 − T0 )erfc
z  ⇒ T ( x, t ) = T0 + (T1 − T0 )erfc
z
 4at 
 4at 
Fonction erreur erf(u) et fonction erreur complémentauir erfc(u)
erf(u ) =
2
π
(
u
)
2
ξ
exp
−
dξ
∫
0
erfc(u ) = 1 − erf(u )
Fonction tabulée (pas de solution analytique)
erf(0) = 0 erf (∞ ) = 1 erf( −u ) = − erf(u )
 α2 
erf(u ) =
exp − 2 dα
∫
π β0
 β 
2 1
u
(
d
2
erf(u ) =
exp − u 2
du
π
 u2 
d
2
erf(u ) =
exp − 2 
du
π .β
 β 
)
 1
 1
 1



T * ( x, t ) = (T1 − T0 )erfc
z  ⇒ T ( x, t ) = T0 + (T1 − T0 )erfc
z  = T1 − (T1 − T0 )erf 
z
 4at 
 4at 
 4at 
On peut donc également calculer la densité de flux qui traverse le plan (la surface) z=0
Φ = − λS
=
b = (λρc )
1
2
2λS (T1 − T0 )
dT ( z , t ) 
 1 2 
=
exp
z 
−

dz  z =0
π 4at
 4at  z =0
λρc S (T1 − T0 )
(T − T )
λS (T1 − T0 ) λS (T1 − T0 )
=
=
= bS 1 0
π at
λ
π .t
π .t
π
t
ρc
Effusivité thermique du matériau. Le flux pénétrant dans le
matériau est proportionnel à son effusivité !
Mise en contact de deux milieux semi-infinis
Milieu 1, température initiale T1, effusivité b1
Milieu 2, température initiale T2, effusivité b2
T=
b1T1 + b2T2
b1 + b2
Si T1>T2
ϕ1=b1(πt)-1/2(T-T1)<0 et ϕ2=b2(πt)-1/2(T-T2)>0
Conservation du flux ϕ1=-ϕ2
Si b1≈b2 alors T≈(T1+T2)/2
Si b1>>b2 alors T≈T1
Explication de la sensation
physiologique des températures (cf. TD)
Méthode de séparation des variables
On cherche s’il existe une solution particulière à variables séparées satisfaisant le
système d’équation (chaleur + CL) : T(x,t)=X(x).Y(t)
 ∂ 2T ( z , t ) 1 ∂T ( z , t )
−
=0

2
∂
∂
z
a
t

T ( x, y , z ,0) = CL1
T ( x , y , z , t ) = CL
2
 0 0 0

X "( z)
= α = −k 2
X ( z)
1 Y ' (t )
= α = −k 2
a Y (t )
(
Y (t ) = δ exp − ak 2t
 X " ( z ) 1 Y ' (t )
 X ( z ) = a Y (t )

T ( x,0) = CL1
T ( x , t ) = CL
2
 0

X "( z)
a
= β = iω
X ( z)
Y ' (t )
= β = iω
Y (t )
Y (t ) = η exp(iωt )

∂ 2 X ( z ) X ( z ) ∂Y (t )
−
=0
Y (t ).
2
∂
∂
z
a
t

T ( x,0) = CL1
T ( x , t ) = CL
2
 0

)
α> 0 car sinon T∞ pour t∞
Modèle adaptée pour les phénomènes
qui tendent vers une distribution de la
température constante àl’équilibre
Modèle adaptée pour les phénomènes
périodiques en fonction du temps
La solution élémentaire = X(z).Y(t) + Ci les conditions aux limites sont essentielles
Application : mur semi-infini à température T0, λ constant, soumis à une variation périodique de sa
température en surface (modèle du sol sous rayonnement solaire)
T1
 ∂ 2T ( z , t ) 1 ∂T ( z , t )
−
=0

2
a ∂t
 ∂z
θ : fluctuation de température
T (∞,0) = T1
T (0, t ) = T + A cos ωt
1
0


 ∂ 2θ ( z , t ) 1 ∂θ ( z , t )
=0
−

2
∂
z
a
∂
t

θ (∞,0) = 0
θ (0, t ) = A cos ωt
0


Y ' (t )
= β = iω ⇒ Y (t ) = η exp(iωt )
Y (t )
X " ( z ) β iω 2 2
= =
= i k ⇒ X ( z ) = κ exp(− ikz ) + µ exp(+ ikz )
X ( z)
a
a
z
θ ( z , t ) = [κ exp(− ikz ) + µ exp(+ ikz )]×η exp(iωt )
la solution doit être finie si x∞ : µ = 0
θ(0,t)=A0cosωt : κη=A0

iω 

θ ( z , t ) = A0 exp −
z  exp(iωt )
a


or β = iω =
ω
2
(1 + 2i − 1) = ω (1 + i )2 ⇒
2
1
2
iω  ω 
=   (1 + i )
a  2a 
1



  ω 2
θ ( z , t ) = A0 exp −   (1 + i )z  exp(iωt )

  2a 


1
1




2
2
ω
 ω  


= A0 exp −   z  exp(i ωt −    )

 2a  
  2a  





iω 

θ ( z , t ) = A0 exp −
z  exp(iωt )
a


1
1




2

  ω 2 
ω  
= A0 cos ωt −    exp −   z 
 2a  

  2a  




1



 ω 2 
 z
= A0 cos ωt −    exp − 
 2a  
 D



L’amplitudes oscillations décroît rapidement
si on s’éloigne du plan z=0
pour des fréquences croissantes
Il existe un déphasage temporel des oscillations
entre deux profondeurs
D : profondeur d'amortissement (à cette profondeur la variation cyclique de T est atténuée par le
facteur 1/e = 37% (86% à 2D, 98% à 4D) T est à peu près constante (=T1) pour z=4D.
 2a 
D= 
ω 
1
2
a =0,5.10-6 m2s-1
D= 0,12 m (4D = 0,48)
w = (2π)/(24.3600)
T0 = 15 °C, A 0 = 5 °C
La diffusivité thermique des sols est dans la gamme a=0,5.10-6 m2s-1.
Cas de l’ensoleillement journalier : période du signal 24h D=0,1173 m
Cas de l’ensoleillement annuel : période du signal 365 jr D=2,2411 m
Cas d’une période glaciaire : période du phénomène 1000 ans D=224,11 m
les bonnes caves sont toujours à quelques mètres sous terre !
le permafrost (sol gelé en profondeur lors de la dernière glaciation)
ne dégèle que très superficiellement pendant l’été
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Convection
II.A.- Loi de Newton
C'est le transfert de chaleur par des
courants de fluides, liquides ou
gazeux.
Ce phénomène peut se développer
naturellement, les différences de
potentiel motrices étant des
différences de densité: c'est la
CONVECTION NATURELLE.
On peut aussi le générer
mécaniquement à l'aide de pompes
ou de ventilateurs: c'est la
CONVECTION FORCEE.
Coefficient d'échange de chaleur par convection
convection = transfert de chaleur par déplacement de fluide
mécanisme de transfert décrit par la loi de Newton
T∞
Φ
fluide
TP
S
Φ = hS (TP − T∞ )
Φ
h
TP
T∞
S
loi de Newton
Flux de chaleur transmis par convection
coefficient de transfert
température de la surface d'échange
température du fluide loi de la surface d'échange
aire de la surface d'échange solide/fluide
[W]
[W.m-2K-1]
[K, °C]
[K, °C]
[m2]
La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction
de la nature du fluide
de la température du fluide
de la vitesse de déplacement du fluide
des caractéristiques géométriques de la surface de contact
Φ = hS (TP − T∞ )
Φ
∆T =
= Rth Φ
h.S
conduction pure
Φ=
Φ
T1 − TN +1 ∆T
=
∑ Ri RT
conv
th
R
1
=
h.S
conduction + convection
Φ
T1
T2
i =1... N
RT =
δi
∑
i =1... N λi S
interface A
Φ=
T1
T2
Les lois relatives à la conduction s'appliquent
également pour la convection (série, parallèle)
interface B
T1 − TN +1
∆T
=
1
e
1
RT
+ ∑ i +
hA .S i =1... N λi .S hB .S
1
e
1
RT =
+ ∑ i +
hA .S i =1... N λi S hB .S
Cylindre
2πrL
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Convection
II.B.- Mécanismes de convection / régimes d'écoulement
Convection = transfert de chaleur par déplacement de matière (fluide)
différents mécanismes de tranfert
le type d'écoulement est important dans la description du problème
Tranferts de chaleur et transferts de masse liés mécanique des fluides + transferts
Convection libre
Fluide en mouvement par les différence de masse volumique en son sein dues à ∆T et gravité
Convection forcée
Fluide en mouvement par une cause extérieure à la flottabilité (ventilateur, pompe…)
Écoulement laminaire
Écoulement directionnel (ou irrotationnel) lignes de fluide parallèles (lignes de courant)
conduction dans une direction ⊥ aux lignes de courant
convection + conduction (négligeable) pour toute autre direction
Écoulement turbulent
Pas de direction privilégiée (pas unidirectionnel), mais déplacement d'ensemble possible
convection + conduction (négligeable) dans toutes les directions
Chaque situation fait intervenir un certain nombre de paramètres déscriptifs de la situation
Problème majeur pour calculer le flux de chaleur par convection
la détermination de h !!!!!!
Nombreux paramètres descriptifs
Analyse dimensionnelle
Théorème de VASCHY-BUCKINGHAM
Groupes adimensionnés (combinaisons des paramètres)
Mesures expérimentales lois de corrélation entre groupes
Détermination du coefficient h par connaissance des caractéristiques du fluide
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Convection
II.C.- Analyse dimensionnelle appliquée à la convection forcée
Le problème consiste à préciser l'expression du flux
thermique Φ échangé entre le fluide extérieur à la
température T∞ et une longueur unité de la surface du tuyau
à la température TP
Flux transféré,
en Watt
(
)
Φ = h Tp - T∞ π D
Surface d'échange par
m de tuyau, en m2
en W/(m2.K)
Ecart de température
entre paroi extérieure
et fluide à l'infini, en K
8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ
(
)
Toute fonction G de p variables indépendantes xi mesurée par q unités fondamentales (avec p > q) s’exprime
nécessairement sous la forme :
G x1 , x2 ,..., xq = x1a x2b ...xqq F π q +1,π q + 2, ..., π p = 0
(
)
les variables x1, x2, …,xq étant choisies dimensionnellement indépendantes. Les fonctions πi sont des
groupements adimensionnels des variables x1, x2, …,xp.. Dans la pratique, on choisit pour x1, x2, …,xq les
paramètres que l’on considère comme essentiels pour le problème considéré et que l’on veut voir figurer
explicitement dans l’expression de G.
Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet donc de prévoir que la forme
la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira:
F (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0 πi :groupements sans dimension de la forme: π = D a λbU ∞c ρ d µ eC f h g (TP − T∞ )i
Matrice dimensionnelle
D
λ
U∞
ρ
µ
C
h
TP-T∞
L, longueur
1
1
1
-3
-1
2
0
0
M, masse
0
1
0
1
1
0
1
0
T, temps
θ, température
0
-3
-1
0
-1
-2
-3
0
0
-1
0
0
0
-1
-1
1
Dimensions
L
LMT-3θ-1
LT-1
L-3M
L-1MT-1
L2T-2θ-1
MT-3θ-1
θ
exposant
a
b
c
d
e
f
g
i
Le rang de cette matrice est 4 (nombres de vecteurs indépendants)
On choisit 4 vecteurs tels que
toutes les dimensions soient représentées
ils soient des vecteurs indépendants (D, λ, µ, ρ) ok, (D, λ, h, ρ) non ok car [h]=[λ]-[D]
les vecteurs restants [αi] au nombre de 4 (8 variables - 4 dimensions) calcul de π1, π2, π3, π4
π i = D a λb ρ d µ e .α iexposant
i
Obtention des groupements
Considérons que D, λ, µ, et ρ (vecteurs indépendants soient les grandeurs
fondamentales de notre problème, 8xi-4xi(indep)=4αi
G (D, λ , µ , ρ ,U ∞ , C , h, ∆T ) = D a λb µ e ρ d F (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0
⇒ F (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0
π i = D a λb ρ d µ e .α iexposant
i
5 inconnues (a, b, d, e, exposanti) et 4 équations 1 des exposants peut être choisi
arbitrairement
divers groupements sont donc obtenus, mais certains se sont imposés par leur utilité
Calcul de π1 pour α1=h
π 1 = D a λb ρ d µ e .h g = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1MT −1 ]e [ MT −3θ −1 ]g
Longueur
Masse
Temps
Température
:
:
:
:
a+b-3d-e=0
b+d+e+g=0
-3b-e-3g=0
-b-g=0
5 inconnues (a, b, d, e, g) / 4 équations
Hypothèse : g=1soit h=h(…)
g = 1 b = -g = -1 e = -3b-3g = 0 d = -b-e-g = 0 a = -b+3d+e=1
π 1 = Nu =
hD
λ
Calcul de π2 pour α2 = U∞
π 2 = D a λb ρ d µ e .U ∞c = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1MT −1 ]e [ LT −1 ]c
Longueur
Masse
Temps
Température
:
:
:
:
a+b-3d-e+c = 0
b+d+e = 0
-3b-e-c = 0
-b = 0
5 inconnues (a, b, c, d, e) / 4 équations
Hypothèse : c=1 soit U∞=U∞(…)
c = 1 b = 0 e = -3b-c = -1 d = -b-e = 1 a = -b+3d+e-c = 1
Calcul de π3 pour α3 = C
π 3 = D a λb ρ d µ e .C f = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1MT −1 ]e [ L2T −2θ −1 ] f
Longueur
Masse
Temps
Température
:
:
:
:
a+b-3d-e+2f = 0
b+d+e = 0
-3b-e-2f = 0
-b-f = 0
Calcul de π4 pour α4 = TP-T∞
π 4 = D a λb ρ d µ e .(TP − T∞ )i = [ L]a [ LMT −3θ −1 ]b [ L−3 M ]d [ L−1MT −1 ]e [θ ]i
:
:
:
:
a+b-3d-e = 0
b+d+e = 0
-3b-e = 0
-b+i = 0
π4 =
D 2 λρ 2
µ3
(TP − T∞ ) =
C  Re 
 (TP − T∞ )
.
Pr  U ∞ 
π 3 = Pr =
µC
λ
5 inconnues (a, b, d, e, i) / 4 équations
Hypothèse : i=1 soit C=C(…)
i = 1 b = i = 1 e = -3b = -3 d = -b-e = 2 a =-b+3d+e = 2
2
ρU ∞ D
µ
5 inconnues (a, b, d, e, f) / 4 équations
Hypothèse : f=1 soit C=C(…)
f = 1 b = -f = -1 e = -3b-2f = 1 d = -b-e = 0 a =-b+3d+e-2f=0
Longueur
Masse
Temps
Température
π 2 = Re =
U ∞2
Ec =
C (TP − T∞ )
Corrélations – conclusion de l'analyse dimensionnelle
F (π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0
F (Nu, Re, Pr, Ec) = 0
En écoulement subsonique F (Nu, Re, Pr ) = 0 ⇒ Nu = f(Re, Pr)
 ρU ∞ D µC 

= f 
,
λ
µ
λ


hD
La méthode dimensionnelle fournit les grandeurs réduites
elle ne donne pas la relation qui les lie
les relation sont donc obtenues par dépouillement de données expérimentales
recherche dans les tables, bibliographies, …
Caractéristiques
du fluide calculées
en θ = (θP-θ∞) /2
Eau à 50 °C
ρ = 988 kg/m3
µ = 0,55.10-3 Pa.s
λ = 0,639 W/(m.°C)
C = 4.184 J/(kg.°C)
Calcul du Nombre de Nusselt (Formule de Colburn)
N u = 0,023 Pr
1
3
Re
0,8
Pr = 10
Pr = 3,6
Nu = 225
Pr = 1
NR = 57124
Les résultats expérimentaux sont généralement exprimés sous la forme
Nu = ψ + ηReκ Pr ξ
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Convection
II.D.- Cas de la convection libre (dite naturelle)
Fluide (T∞, ρ∞)
Fluide (T∞, ρ∞)
r
r
f = −∆ρg
V=1u
m = ρ∞
TP=T∞
t=t0
TP=T∞+∆T
V=1u
m = ρ∞-∆ρ
t=t0+dt
r
r r
r
r
r
f = ∑ F = PArchimède + Poids = − ρ 0Vg + (ρ 0 − ∆ρ )Vg = −∆ρVg
Force ascensionnelle
r
r
r
r
r
∆ρ r
∆ρ r
(
)
F
=
m
γ
→
−
∆
ρ
V
g
=
ρ
−
∆
ρ
V
γ
→
γ
=
−
g
≅
−
g
Accélération de la bulle ∑
0
ρ 0 − ∆ρ
ρ0
1  ∂V 
1 ∂m ρ 
Coefficient de dilatation
 ∂1 ρ 
β= 
 =

 = ρ

∂
V  ∂T  P m ρ  ∂T  P
T
1  ∂ρ 
1 ∆ρ

P
β =−   ≅
ρ  ∂T  P ρ ∆T
d (1 / F ( x) ) d (F ( x) −1 )
dF ( x)
−2
or
=
= −1.
.F ( x)
dx
dx
dx
- β [K-1]
Module de l'accélération produite par l'expansion thermique
γ = βg∆T
- g [m.s-2]
Accélération = mouvement
Le gradient de température induit un gradient de masse volumique et donne naissance à un
courant de convection
Application courante :
ascension de l'air proche du sol au lever du soleil développement d'une couche limite
convective au-dessus du sol (mais complexe car couplage avec l'humidité)
l'acsension des masses d'air cesse lorsque la température du fluide diminue (gradient
thermique de l'atmosphère), où que la température ambiante augmente.
l'atmosphère possède souvent une inversion thermique autour de 2000 m (T croit avec altitude
au-delà !) limite le développement de la couche convective (air froid sous air chaud) = CLA
βg∆T ou βg(T-T∞) est le module de l'accélaration du fluide en mouvement. β est appelé
coefficient de flottabilité en science de l'atmosphère.
Les paramètres décrivant le transfert sont donc les caractéristiques
du fluide : λ, ρ, µ, C, β, g
de la paroi : L (ou D), h
de la différence de température (TP-T∞)
+humidité
hL
9 grandeurs, 4 dimensions (L, M, T, θ) Nu =
λ
5 nombre adimensionnés
3 groupements couramment utilisés
βg (TP − T∞ )ρ ∞2 L3
Gr =
µ2
Nu = f (Gr, Pr )
Pr =
Cµ
λ
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Convection
II.E.- Méthodologie de résolution des problèmes de convection
Convection forcée
1- calcul des nombres adimensionnés Re et Pr
2- suivant la valeur de Re et la configuration choix de la corrélation
3- calcul du nombre Nu par application de la corrélation
4- calcul de h = λNu/D (ou λNu/L) et de φ=hS(TP-T∞)
Convection naturelle
1- calcul des nombres adimensionnels Gr et Pr
2- suivant la valeur de Gr et la configuration choix de la corrélation
3- calcul du nombre Nu par application de la corrélation
4- calcul de h = λNu/D (ou λNu/L) et de φ=hS(TP-T∞)
Il faut dans tous les cas connaître ρ, λ, µ, et C du fluide aux températures considérées
Généralement, les résultats obtenus sont approximatifs (précision de la corrélation)
problèmes intéressants, mais complexes : convection avec changement d'état
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Convection
II.F.- Interprétation des nombres adimensionés
Nu : nombre de NUSSELT
Φ convection = hS (TP − T∞ ) 
hL L λ Rcond Φ convection

Nu =
=
=
=
λS

(TP − T∞ )
Φ conduction =
λ 1 h Rconv Φ conduction
L

Re : nombre de REYNOLDS
Caractérise le type de transfert
(convectif ou conductif)
U ∞2
U ∞2 
ρ
Finertie ≈ ρ

Caractérise le régime d'écoulement
D Re = D = ρU ∞ D = U ∞ D = Finertie
(laminaire, transitoire, turbulent)
U
U
µ
ν
Fviscosité
Fviscosité ≈ µ ∞2 
µ ∞2
D 
D
Cas d'une tuyauterie
Re > 5000 : turbulent
2400<Re<5000 : transitoire (???)t
Re<2400 : laminaire
Re = 2400 (et U∞=υRe/D)
eau U∞=24.10-4 / D [m/s]
air U∞=360.10-4 / D [m/s]
Re faible (petit mélange)
Re fort (grand mélange)
Pr : nombre de PRANTDL
µ 
ρ 
Pr =
λ 

=
ρC 
viscositédynamique =
diffusivité thermique
µ
µC viscositédynamique
ρ
=
=
λ
λ diffusivité thermique
ρC
Caractérise les profils de vitesse et de température
(importance de la diffusion visqueuse / à la diffusion thermique
Gr : nombre de GRASHOF
Fascentionnelle = ργ = ρβg∆T 
 U ∞2 

U∞
(ρβg∆T ) ρ 
2
Fviscosité ≈ µ 2

D


ρ

 =   βg (T − T )L3 = Fascentionnelle .Finertie
L
Gr
=

P
∞
2
µ
U ∞2
Fviscosité .Fviscosité
 
 U∞ 

Finertie ≈ ρ
 µ 2 

L
Re
 D 

Caractérise le rapport des effets thermiques aux effets visqueux
en convection naturelle
Ri : nombre de RICHARDSON

U ∞2
ρβg (TP − T∞ ) βg (TP − T∞ )L Fascentionnelle

Finertie = ρ
Ri
=
=
=

L
2
2
U
U
Finertie
∞
Fascentionnelle = ργ = ρβg∆T 
ρ ∞
L
Caractérise le rapport des forces d'Archimède aux forces d'inertie
Ri >> 1 : Archimède >> inertie convection naturelle dont le moteur d'écoulement est Archimède
Ri = 1 : Archimède du même ordre de grandeur que inertie vitesse caractéristique U0
U0 =
βg (TP − T∞ )L
Ri
= [βg (TP − T∞ )L ]
1
2
2
ρ
U L 
Gr =   βg (TP − T∞ )L3 =  0  ≅ Re 2
 ν 
µ
2
Gr½ équivalent analogue à un Re en convection naturelle (laminaire/turbulente)
Ec : nombre d'ECKERT
U ∞2
ρU ∞2
Ec =
=
C (TP − T∞ ) ρC (TP − T∞ )
Caractérise le rapport de l’énergie mécanique et de l’énergie thermique (phénomène de
conversion que l'on rencontre dans les tuyères à nombre de Mach élevé
TRANSFERTS THERMIQUES
II- Convection
II.G.- Exemple d’application
1- une géométrie : un tuyau à section circulaire transportant de l'eau chaude.
2- une dimension caractéristique : un diamètre D = 20 mm
3- un écart de température TP-T∞ entre la paroi et le fluide, par exemple TP=15°C et T ∞ =50°C
4- un fluide en écoulement à la vitesse moyenne U∞ : le tuyau transporte un débit Q=0,5 l/s
La vitesse moyenne d’écoulement est donc U ∞ = Q/S = 1,6 m/s
5- un fluide de caractéristiques ρ, µ, C, λ dans le domaine TP et T∞ (la moyenne par exemple)
Eau à 50 °C : ρ = 988 kg/m3, µ = 0,55.10-3 Pa.s, λ = 0,639 W/(m.°C), C = 4184 J/(kg.°C)
6- calcul des nombres adimensionnés Re et Pr pour obtenir Nu
Nu = f (Re , Pr ) →
µC 0,55.10 −3.4184
Pr =
=
= 3,60
λ
0,639
ρU ∞ D 988.1,6.0,02
Re =
=
= 57,124
0,55.10 − 3
µ
 ρU ∞ D µC 

= f 
,
λ
µ
λ


hD
7- calcul de Nu par choix d’une corrélation
Nu = f (Re , Pr ) →
 ρU ∞ D µC 

= f 
,
λ
µ
λ


hD
pour 104 < Re < 1,2.105 et 0,7 < Pr < 100
on applique la corrélation de COLBURN
1
3
Nu = 0,023Pr Re 0,8 = 224
8- calcul de h
Nu =
hD
λ
→h=
λ
D
Nu =
0 ,639
224 = 7156W .m − 2 K −1
0 ,02
9- calcul du flux de chaleur
Φ = hS (TP − T∞ ) = h.πD.L(TP − T∞ ) = 15,7 kW / m
TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.A.- Généralités
Cette forme de transfert d'énergie n'a
besoin d'aucun milieu de transport.
Ce transfert a également lieu dans le vide.
La différence de potentiel motrice est la
différence entre les puissances quatrièmes
des températures de la source et du
récepteur.
Principe d'un four solaire:
Le rayonnement solaire concentré par le miroir
parabolique élève la température du récepteur
jusqu'à 300 °C
Rayonnements
phénomène de surface
E = hυ = hc/λ
c=λυ = c0/n (c0 = 3.108 ms-1 dans le vide)
passage n1 / n2 : υ1= υ2= υ = c1/λ1 = c2/λ2
Nomenclature générale
λ
υ
3 km
100 khz
300 m
30 m
1MHz
10 MHz
3m
domaine
ondes radio
100 MHz
30 cm
1 GHz
3 cm
0.3 cm
10 GHz
100 GHz
micro-ondes
300 µm
30 µm
3 µm
0.3 µm
300 A
30 A
infrarouge
thermique
vis, pir, mir
ultraviolet
Rayonnement Diffus
issu de l'interaction du rayonnement direct avec
l'atmosphère
pas de direction de propagation privilégiée
par temps couvert, diffusion isotrope (on reçoit la
même quantité de rayonnement ∀ l'orientation de la
surface réceptrice au sol)
une surface ⊥ à la surface du sol peut capter plus
d'énergie de rayonnement que si elle était //
rayons X
3A
0.3 A
0.03 A
Rayonnement Direct
reçu dans la direction du soleil (en terme d'angle)
rayons parallèles (car source lointaine)
peut former des ombres et être concentrés
la quantité de rayonnement reçue par une surface
au sol dépend alors de son orientation
rayons Gamma
Toute surface est soumise aux deux types de
rayonnement.
lumière = partie visible du spectre [0,3 µm ; 3 µm]
Variabilité du rayonnement solaire à la surface terrestre
conditions de surface (albédo du site = pouvoir de réflexion)
conditions atmosphériques (humidité de l'air, gaz, aérosols, nuages, température)
conditions positionnelles (lieu géographique, saison, heure de la journée)
On établit des cartes d’ensoleillement pour l’estimation du gisement solaire (mesures, modélisations)
Gisement solaire ( [kWh/m².jr], Surface orientée Sud, inclinaison=latitude)
Rayonnements à la surface terrestre
Kiehl J.T., Trenberth K.E. (1997), Earth’s annual global mean energy budget, Bulletin of the American Meteorological Society, 78(2):197-208
TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.B.- Découpage de l'espace et Angle solide
Dans le plan (2D)
dp'
Dans l'espace (3D)
ds
dp
dα
α
ds'(calotte)
dΩ
Ω
θ
θ
dP=dp.cos(θ
θ)
R0= 1m
dS=ds.cos(θ
θ)
R0= 1m
R
R
si R assez grand dp'≈ dP
dP=Rdα dα = dP/R=dp.cos(θ)/R
dα = angle [rad] = mesure de périmètre
P=
2π
∫ dP = R ∫ dα = 2πR
Cercle
0
plan = 2π rad ; ½ plan = π ; ¼ plan = π/2
si R assez grand ds'≈ dS
dS=R²dΩ dΩ = dS/R²=ds.cos(θ)/R²
dΩ = angle solide [sr] = mesure de surface
S=
4π
∫ dS = R ∫ dΩ = 4πR
2
Sphère
2
0
espace = 4π srad ; ½ espace = 2π ; ¼ plan = π
Application : rayonnement d'une source ponctuelle vers une surface plane circulaire
Évaluation du rayonnement reçu sur une surface plane
circulaire de rayon rS = 1 m en provenance d'une source
ponctuelle de puissance Φ = 1000 W placée à D= 1 m
z
ds
ΩS
θ
R
θ1
r
dθ
θ
rS
dS
D=1m
S = 3,46 m²
Intensité dans une direction quelconque I= Φ/4π
π W.sr-1
Flux reçu par dS : dΦ = I.dΩ
Flux reçu par S : Φ = I.ΩS=(Φ/4π).ΩS
Calcul de ΩS :
L'angle solide dΩ s'appuyant sur dS découpe la sphère de rayon R suivant une couronne
sphérique (rayon moyen z, largeur Rdθ) ds=2πzRdθ=2πRsinθRdθ dΩ = ds/R²=2πsinθdθ
Donc ΩS=2π[-cosθ]=2π(1-cosθ1) avec cos θ1 = D/[rS2+D2)½
(
Ω S = 2π 1 − D
)
Si rS∞, ΩS 2π, donc demi-sphère et ΦS Φ/2

 = 146,45 W = 14,64% de Φ


Si rS0, ΩS0, et ΦS 0
rS2 + D 2 = 1,84 sr = 14,64% de l ' espace
1
D
Φ S = Φ 1 −
2
2
rS + D 2

TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.C.- Caractérisation des sources émettant un rayonnement
Flux totale Φ d'une source [W]
puissance émise par une source dans tout l'espace où elle peut rayonner
si source = plan espace = hémisphère / si source = point (source ponctuelle) espace = sphère
Intensité IOx dans une direction Ox [W.sr-1]
flux par unité d'angle solide dans la direction Ox
N
O
θ
Ω
x dΩ
I Ox
d 2 Φ Ox
=
dΩ
[W.sr -1 ]
Source ponctuelle isotrope
I Ox =
ΦOx
4π
Source plane isotrope
I Ox =
ΦOx
2π
Emittance totale M [W.m-2]
flux total émis par unité de surface de la source dans un demi-hémisphère
permet de comparer les sources entre-elles d'étendues différentes
M=
dΦ
≡ φémis
dS
Luminance totale LOx dans une direction Ox [W.m-2.sr-1]
intensité dans la direction Ox (IOx) divisée par la surface apparente de la source dans cette
même direction
permet de comparer la puissance rayonnée dans une direction Ox par des sources d'étendues
différentes ou d'orientations différentes
permet de comparer la puissance rayonnée par une même source dans différentes directions
N
O
θ
Ω
x dΩ
I Ox
I Ox
d 2 Φ Ox
LOx =
=
=
dS ' dS .cosθ dΩ.dS .cosθ
Le flux émis par un un élément de surface dS dans un
angle solide dΩ entourant une direction Ox inclinée de
d'un angle θ / à la normale à dS est
d 2 Φ Ox = LOx dΩ.dS .cosθ
Loi de Lambert
loi de Lambert = source dont LOx indépendante de Ox LOx = L = constante
source Lambertienne = source isotrope (ou diffuse)
LOx = L =
I Ox
I On
=
⇒ I Ox = I On cos θ
dS .cosθ dS .cosθ
Loi de Lambert – relation entre M et L
N
sphère R=1
dΣ
Σ=dΩ
Ω
θ
d 2 Φ Ox = LOx dΩ.dS .cosθ
dΦ = ∫ LOx dΩ.dS .cosθ = L.dS .∫ dΩ.cosθ
dS
I
Disque D
dσ
σ=dΣ
Σcosθ
θ=dΩ
Ωcosθ
θ
I
dΦ = L.dS .
∫ dσ = L.dS .π
disqueD
dΦ = πLdS → M =
dΦ
= πL
dS
TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.D.- Caractérisation des récepteurs de rayonnement
flux, intensité, luminance concepts valides et inchangés
émittance M éclairement E
Éclairement d'un récepteur E [W.m-2]
flux reçu par unité de surface réceptrice en provenance de l'ensemble des directions d'où elle
peut recevoir du rayonnement
E=
dΦ
≡ φreçu
dS
Relation entre éclairement du récepteur et luminance de la source
d 2Φ2 = L2 dΩ2 .dS 2. cos θ2
dS2
dΩ
Ω1
dS1
θ2
θ1
dΩ2
D
dS1. cos θ1
D2
dS . cos θ
d 2Φ2 = L2 1 2 1 dS 2 . cos θ2
D
dΩ2 =
dΦ2
dS 2 cos θ1 cos θ2
E=
= L2
dS1
D2
TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.E.- Thermodynamique du rayonnement
Un corps qui absorbe intégralement le rayonnement qu'il reçoit est un corps noir. La formulation de
l'exitance spectrale (ou émittance spectrale) du corps noir M0(λ,T) est issue de la loi de Planck
(luminance énergétique spectrale) :
[W m–2 µm-1]
2πhc 2
C1
M (λ , T ) =
M 0 (λ , T ) =
  hc  
 C  
λ5 exp
 − 1
λ5 exp 2  − 1
  kλT  
  λT  
0
8
0.5
10.07
10
T=5800
avec
λ = longueur d’onde [µm]
T = température absolue [K]
h = constante de Planck (6,625 × 10–34 W s2)
c = vitesse de la lumière dans le vide (3 × 108 m s–1)
k = constante de Boltzmann (1,38 × 10–23 J K–1)
C1=3,741.108 Wµm4m-2
C2=14388 µm.K
6
Emittance spectrale
10
Loi du déplacement de Wien
Pour une température donnée, l'exitance spectrale d'un
corps noir varie avec la longueur d'onde il existe un
λmax correspondant à la valeur maximale de M(λ,T)
4
10
dM 0 (λ , T )
= 0 ⇒ λmaxT = 2,897 ×10 −3 mK
dλ
2
10
T=288
0
10
-1
10
0
10
Longueur d'onde (µm)
1
10
2
10
pour le soleil, T=5800 Kλmax=499 nm (visible)
pour la Terre, T=288 Kλmax=10 µm (infrarouge)
Le soleil émet donc dans un domaine de longueurs d'ondes différent de celui de la Terreon peut traiter ces deux
domaines indépendamment (notamment pour la partition de l'énergie solaire à la surface du sol).
Loi de Stefan-Boltzmann
La puissance totale rayonnée par unité de surface du corps noir, appelée exitance totale, est calculée
en intégrant la formule de Planck sur l'hémisphère et sur toutes les longueurs d'onde :
M 0 (T ) =
0
4
M
(
T
,
λ
)
d
Ω
d
λ
=
σ
T
∫∫
[W m–2]
∩ ,λ
avec σSB = constante de Stefan-Boltzmann (5,67 × 10−8 W m–2 K–4).
Corps gris
Un corps noir est un corps idéal. Dans la nature et à température égale, la plupart des
surfaces émettent moins qu’un corps noir : M(T) = ε σ T4 avec 0 < ε < 1
ε = émissivité du corps
ε = M(T)gris / M0(T)noir
on parle de corps gris lorsque ε est indépendant de la longueur d'onde ελ=ε / εOx,λ=εOx
on parle de corps diffusant si εOx=ε / εOx,λ=ελ
corps gris et diffusant εOx,λ=ε
ε=
M (T )
→ M (T ) = ε.M 0 (T ) → M (T ) = ε.σT 4
0
M (T )
densité de flux de rayonnement émis [W.m-2]
≡φ
TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.E.- Interaction avec la matière
Φi = flux total incident
Φa =flux total absorbé
Φr = flux total réflechi
Φt = flux total transmis
absoptance α = Φa/Φi
réflectance ρ = Φr/Φi
transmittance τ = Φt/Φi
Conservation de l'énergie Φi=Φa+Φr+Φt ⇒ 1 = α+ρ
ρ+ττ
Si les propriétés optiques d'un matériau dépend de la
longueur d'onde, on peut découper le domaine de
longueur d'onde pour obtenir des propiétés constantes
sur un domaine (cas de la vitre ci-contre)
IR [3-10 µm] :α=0,65 ρ=0,30 τ=0,05 ( serres)
1 = αλ+ρ
ρλ+ττλ
Lois de Kirchoff :
∀Le corps εOx,λ= αOx,λ et ελ= αλ
Corps gris : ελ=ε et αλ=α ε=α
Corps noir : ελ=ε = α = 1
Échanges radiatifs entre deux surfaces assimilées à des corps noirs
dS2
dΩ
Ω12
dS1
θ2
θ1
dΩ21
Flux total émis par S1 Φ1=M01S1
Seule une fraction atteint S2 Φ12=F12Φ1
Flux total émis par S2 Φ2=M02S2
Seule une fraction atteint S1 Φ21=F21Φ2
Fij = facteur de forme géométrique
D
M 10 dS 2 .cos θ2
d Φ12 = L1dΩ12 dS1.cos θ1 =
dS1.cos θ1
D2
π
1
cos θ1 cos θ2
Φ12 = M 10 S1
dS 2 .dS1 = M 10 S1 F12
2
∫∫
S1 S1,S 2
πD
2
Flux émis par dS1 en direction de dS2
1
Fij =
Si
∫∫
cos θi cos θ j
S i ,S j
πD 2
dS j .dSi
Φ12 = M 10 S1 F12 = M 10 S 2 F21
Théorème de réciprocité : SiFij=SjFji
Φ 21 = M 20 S 2 F21 = M 20 S1 F12
Flux net échangé
Pour S1, pertes+gains Φ1net = Φ 12- Φ 21=M01S1F12-M02S2F21=S1F12(M01-M02)=S1F12(T14-T24)
Pour S2, pertes+gains Φ 2net = Φ 21- Φ 12=M02S2F21-M01S1F12=S2F21(M02-M01)=S2F21(T24-T14)
(
)
(
)
Φ échangé = Φ1net = −Φ 2 net = Si Fij Ti 4 − T j4 = S j F ji Ti 4 − T j4 Ti > Tj Φéchangé > 0 S1 perd de l'énergie
réciprocité
Si Fij = S j F ji
n
additivité
∑F
j =1
ij
=1
Fii : échange de Si avec elle-même surfaces concaves
Facteurs de forme évidents
le flux émis par l'un est totalement absorbé par l'autre F12=F21=1
S2
S1
le flux émis par S1 est totalement absorbé par S2 F12=1
S2 surface concave S1F12=S2F21 F21=S1/S2 F22=1-F21=1-S1/S2
Échange de rayonnement entre deux surfaces grises
Milieu 1 : S1, ε1
Milieu 2 : S2, ε2
beaucoup plus complexe notion de radiosité
on se limite à présenter quelques cas utiles
2
1
φ12 net = S1 F 12 (M 10 − M 20 ) = σS1 F 12 (T14 − T24 )
F 12 =
1 − ε1
ε1
1
+
Facteur de forme gris entre S1 et S2
dépend de la géométrie
dépend des propriétés radiatives des surfaces
1 1 − ε 2 S1
+
.
ε 2 S2
F12
Cas d'une surface convexe S1 totalement entourée d'une surface concave S2
1
1
 S 
+  − 1. 1 
 ε1  ε 2  S 2 
S1 ne peut rayonner sur elle-même F11=0 donc F12=1 (additivité) F 12 = 
Cas d'une surface convexe S1 totalement entourée d'une surface concave S2, S2>>S1
1
= ε1
1
F 12 =
ε1
φ1net = −φ2 net = σε 1S1 (T14 − T24 )
Cas d'une surface convexe S1 placée à l'intérieur d'une enceinte noire (ε2=1)
φ1net = −φ2 net = σε1S1 (T14 − T24 )
F 12 = ε 1
Cas de 2 surfaces // à distance faible / à leurs dilmensions
F12=1 et S1 ≈ S2
F 12
1 1

=  + − 1
 ε1 ε 2 
−1
−1
TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.F.- Eclairement reçu sur Terre – bilan radiatif
Par définition, la constante solaire S0 est la densité de flux d'énergie (ou puissance) totale
rayonnée par le Soleil par unité de surface normale aux rayons solaires au sommet de
l'atmosphère.
dΣ
Σ
dΩ
θS
α
D
d 2ΦSoleil = LSoleil dΩS −T .dS Soleil . cos θS ≈ LSoleil dΩS −T .dΣ
Soleil = corps noir à T=5800 K
D=149.637.000 km
RSoleil=696.700 km
σ = 6,67.10-8 W.m-2.K-4
E=
dΦSoleil
σT
=∫
dSTerre Σ π
4
Soleil
dΩS −T =
d 2ΦSoleil
πR
1
4
d
Σ
=
T
σ
Soleil
D2
πD
dSTerre . cos θT dSTerre
≈
2
D
D2
4
σTSoleil
dSTerre
=
dΣ
2
π
D
2
Soleil
2
4
= σTSoleil
. tan 2
α
α 
4
≈ σTSoleil
. 
2
2
2
α: diamètre apparent du soleil
(αmoyen= 1923’’)
S0 = 1393,4 W m−2 ≈ 1400 W m−2
S0 varie en fonction:
distance Terre/Soleil (max au solstice d'hiver, mini au solstice d'été)
de l'activité du Soleil (cycle de 11 ans)
on définit une constante solaire moyenne E0 = 1353 W.m-2
E ( Doy ) = E0 (1 + 0.033 cos(0,984.Doy ))
Doy = Day of the Year
Effets de l'atmosphère
Le rayonnement électromagnétique est perturbé par deux processus :
absorption par certains gaz atmosphériques (loi de Beer-Lambert) vibrations, rotations
diffusion par les molécules et les aérosols (Rayleigh, Mie, non-sélective)
Le phénomène de diffusion est d'autant plus important que la longueur d'onde est petite.
l'ozone (O3) présente une très forte absorption des UV (néfaste aux êtres vivants).
l'oxygène (O2) et le dioxyde de carbone (CO2) sont uniformément mélangés dans
l'atmosphère et en quantité constante. La contribution de O2 est très forte autour de 0,7 µm.
Celle du CO2 a lieu au delà de 1 µm et surtout dans l'infrarouge thermique où le CO2 joue un
rôle déterminant dans l'effet de serre.
la vapeur d'eau (H2O), dont la quantité varie fortement d'un endroit à l'autre et d'un moment à
l'autre de l'année. Elle présente plusieurs bandes d'absorption importantes aux longueurs
d'onde supérieures à 0,7 µm. En particulier elle absorbe une bonne partie du rayonnement
infrarouge de grandes longueurs d'onde émis par la Terre.
d'autres gaz comme le CH4, CO, N2O, CFC possèdent des bandes d'absorption dans
l'infrarouge thermique. Moins abondants que la vapeur d'eau ou le dioxyde de carbone, ces
constituants ont un pouvoir de piégeage du rayonnement des centaines ou des milliers de fois
supérieur
Notion de "Air Mass"
h : épaisseur de l'atmosphère à la verticale d'un lieu
θs : hauteur du Soleil
d : distance parcourue par les rayons lumineux dans
l’atmosphère (ou air mass)
d=
h
1
=
cos θ s cos θ s
⇒ spectre AM d
en posant par convention h = 1.
Par convention, on nomme le spectre solaire hors atmosphère AM0.
Quant d=1, l'allure du spectre est noté AM1 (soleil au zénith au niveau de la mer)
La distance réellement parcourue est de 7,8 km – épaisseur standard moyenne)
Le spectre AM2 (soleil à 60°, typique de nos latitudes) et très utilisés en Europe.
AM1.5 (soleil à 48°) qui sert de référence pour la mesure de cellules photovoltaïques
(avec une puissance incidente de 1000 W.m-2 et une température de 25°C
(conditions dites STC) sauf indication contraire, c’est pour de telles conditions que
doivent être fournies les performances et spécifications d’un dispositif photovoltaïque
donné.
Spectres AM0 et AM1.5
Rayonnements à la surface terrestre
Les divers rayonnements à la surface du sol
rayonnement direct+diffusé incident de courte longueur d'onde (visible) = Rg
partie réfléchie par le sol Rv↑=αRg
rayonnement thermique (grande longueur d'onde) de l'atmosphère Ra=σTA4 car l'atmosphère peut
être considérée comme un corps noir de température apparente TA. Les basses couches participe
fortement à ce rayonnement, et on a des formules empiriques qui permettent de relier Ra à des mesures
de température et d'humidité de l'air à 2 m à partir des profils verticaux de température et d'humidité
obtenus par radiosondages. En raison de la forte contribution des basses couches, plusieurs formules
simplifiées faisant intervenir latempérature et la pression de vapeur saturante mesurées à 2 m ont été
proposées pour des ciels clairs :
17
e 
Ra = 1,24 a  σ Ta4
 Ta 
avec Ta la température de l'air [K] et ea la tension de vapeur d'eau [hPa]
rayonnement thermique de la Terre (grande longueur d'onde) Rir↑. La Terre se comporte comme un
corps gris d'émissivité εS, telle que
Rir ↑= (1 − ε S )Ra + ε SσTS4
(non absoprtion+émission)
Bilan radiatif au sol : le rayonnement net
(
Rnet = Rg − α .Rg + Ra − (1 − ε )Ra − ε SσTS4 ≈ (1 − α )Rg + εσ TA4 − TS4
)
Cette énergie est alors convertie en :
flux de conduction dans le sol G (=-λgradT)
flux de convection dans l'air H (=ρKH∂T/∂z)
flux d'évaporation (ou condensation) de l'humidité (sol/atmopshère) LVE (=ρKQ∂q/∂z)
TRANSFERTS THERMIQUES
III- Rayonnement
III.G.- Exemple d'application : le capteur plan solaire
Un capteur plan est constitué de plusieurs éléments :
- un serpentin dans lequel circule de l'eau (celle à chauffer)
on maximise la surface du tuyau susceptible d'échanger de la chaleur
on choisit un matériaux bon conducteur thermique (cuivre)
- une plaque dans laquelle est encapsulé le serpentin
♦peinte en noir sur le dessus
pour absorber au maximum le rayonnement incident
éviter les pertes par réflexion.
♦réfléchissante sur sa face opposée (feuille d'aluminium)
limitation du rayonnement IR dans toutes les directions
- une autre plaque thermiquement isolante sous la première (et résistante à haute
température).
- une vitre de protection, mais pas seulement….
But : chauffer de l'eau à l'aide du rayonnement solaire
Capteur solaire thermique plan : Coffre rigide et
vitré à l'intérieur duquel une plaque et des tubes
métalliques noirs (absorbeur) reçoivent le
rayonnement solaire et chauffent un liquide
caloporteur (antigel). Certains capteurs peuvent être
"intégrés" ou "incorporés" en toiture (ils assurent
alors également une fonction de couverture du
bâtiment ⇒ démarche HQE).
Piscine chauffée à Laval (53)
Rôle principale de la vitre = effet de serre
Le verre est transparent pour λ<3 µm, avec un
faible coefficient de réflexion (ρ=10%), et très
absorbant pour λ>3.5 µm. Le rayonnement
solaire traverse la vitre, alors que le
rayonnement IR issu de la plaque ne la
traverse pas.
À l'équilibre thermodynamique
La plaque et la vitre peuvent être
séparées par de l'air, le vitrage peut
être multiple, et avoir subi différents
traitements. La vitre permet
également de limiter les pertes par
convection forcée du vent.
De fait, la vitre absorbe le
rayonnement IR de la plaque,
qu'elle réemet à 50% sous forme
radiative vers l'atmosphère, mais
également 50% vers la
plaqueeffet de serre