Mathématiques 1ES Devoir en commun Samedi 23 Janvier 2010

Mathématiques 1ES Devoir en commun Samedi 23 Janvier 2010 Calculatrice autorisée. Durée 2h30
A RENDRE AVEC LA COPIE
NOM :
Classe :
Total sur 20 points. Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice.1 [ 6 points ]
Après des années de recherche, un parfumeur vient de mettre au point la formule de son dernier parfum.
Une étude approfondie montre que le bénéfice algébrique en milliers d’euros pour la vente de q hectolitres
de ce parfum est donné par : B ( q )   q ²  140q  2 400 . On rappel qu’un hectolitre vaut 100 litres.
1) On estime que la recette est proportionnelle au nombre de litres vendus, donc qu’il existe une constante a
telle que R ( q )  aq . Montrer que l’on a C fixes   B (0) , puis déterminer les coûts fixes pour la production
de ce parfum.
2) On suppose dans cette question que le parfumeur fabrique 500 litres de parfum seulement. Quelle quantité
d’argent va-t-il gagner ou perdre ?
3) Déterminer la plage des productions permettant au parfumeur de réaliser un bénéfice.
4) a) Calculer B ( q )
b) Dresser le tableau de variations de B sur [0;  [ .
c) Pour quelle production le bénéfice sera-t-il maximal ? Préciser la valeur de ce dernier.
Exercice.2 [ 6 points ]
x ²  9 x  24
.
x  4
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan, et d la droite d’équation
y   x  5 dans ce même repère.
Soit f la fonction définie par f ( x ) 
1) Quel est l’ensemble de définition de f ?
2) Résoudre l’équation f ( x )  0 . Que peut-on en déduire pour Cf ?
3) Calculer f ( x ) . Vérifier que la fonction dérivée a le même signe que  x ²  8 x  12 , puis dresser le
tableau de variations de f.
4) Etudier les positions relatives de Cf et d.
5) A la calculatrice, calculer les images par f de -1, 0, 2, 3, 5, 6 et 8 ; résumer les résultats obtenues dans un
tableau de valeurs ( arrondir à 0,1 ) .Tracer soigneusement d et Cf en admettant que la droite d est
asymptote à Cf .
T.S.V.P 
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Exercice.3 [ 8 points ]
Le coût total CT en euros pour une production de q objets est donnée par CT ( q )  0,1( q  10)3  1000 .
1) Calculer les coûts fixes.
2) Calculer le coût moyen par objet pour une production de 20 objets.
3) On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction CT :
A l’aide de ce graphique, répondre aux questions a) b) et c) suivantes. Aucune justification n’est demandée,
mais on laissera tous les traits de construction apparents sur la figure ci-dessus.
a) Combien d’objets peut-on produire au maximum ?
b) La production de 30 objets permet d’obtenir une certaine valeur du coût moyen, que l’on ne demande pas
de préciser. Y a-t-il une autre production qui permettrait d’obtenir la même valeur ou quasiment la même
valeur du coût moyen ? Dans l’affirmative, en donner une estimation.
c) A quel intervalle appartient la production permettant d’obtenir le coût moyen le plus bas possible :
I = [ 15 ; 20 ], J = [ 20 ; 25 ] ou bien K = [ 25 ; 30 ] ? Répondre sur la copie.
4) A l’aide d’un tableau de valeurs du coût moyen sur l’intervalle identifié à la question 3)c), déterminer la
production qui permet d’atteindre le coût moyen minimal. Que vaut ce dernier, arrondi à 0,1€ ?
5) a) Calculer CT (q ) .
b) En utilisant la formule approximative Cmarginal ( q )  CT ( q ) , calculer le coût marginal pour une
production de 5 objets.
c) En utilisant la définition rigoureuse du coût marginal, Cm arg inal ( q )  CTotal ( q  1)  CTotal ( q ) , calculer la
valeur exacte du coût marginal pour une production de 5 objet.
d) Les résultats obtenus aux questions 5)b) et 5)c) sont sensiblement différents. Comment expliquez-vous
l’importance de cette différence ?
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Corrigé
Exercice.1
1) On sait que : Bénéfice(q) = Recette(q) – Coûts(q). Pour une production nulle, on obtient :
B(0) = R(0) – CT(0). Or R(q) = aq donc R(0) = a(0) = 0 , et par définition des coûts fixes : CT(0) = Coûts
fixes, donc : B(0) = 0 – Cfixes, d’où : Cfixes = - B(0).
On sait que B ( q )   q ²  140q  2 400 , donc B(0) = - (0)² + 140(0) – 2 400 = - 2 400.
Les coûts fixes sont de 2 400 milliers d’€, ou encore de 2,4 millions d’€.
2) Remarquons d’abord que 500 litres = 5 hectolitres. Le bénéfice correspondant à cette production est
B(5) = - (5)² + 140(5) – 2 400 = - 1 725.
Si le parfumeur ne fabrique que 500 litres de ce parfum, il va perdre 1,725 million d’€.
3) La plage de production permettant au parfumeur de réaliser un bénéfice est l’ensemble des productions q
telles que B(q) > 0.
[ Non rédigé ] Les racines de  q ²  140q  2 400 sont 20 et 120. De plus,  q ²  140q  2 400 est « du signe
de a à l’extérieur de ses racines », donc négatif pour q < 20 et pour q > 120, et positif pour q  ] 20 ; 120 [
Le parfumeur doit donc fabriquer entre 20 et 120 hectolitres de parfum.
4) a) On a B ( q )   q ²  140q  2 400 , donc : B ( q )  2q  140 .
b) Remarquons que 2q  140  0 s’écrit aussi 2q  140 , soit q  70 . On obtient le tableau de variations :
c) Le bénéfice est maximal pour une production de 70 hectolitres, et vaut 2 500 milliers d’€, ou encore
2,5 millions d’€.
Exercice.2
1) [ Non rédigé ] D f    4 .
x ²  9 x  24
 0 , qui donne x ²  9 x  24  0 . Le discriminant de cette
x  4
équation est -15, et comme il est négatif, cette équation n’a pas de solution.
Conséquence : Cf ne coupe jamais l’axe des abscisses.
2) L’équation f ( x )  0 s’écrit aussi
 x ²  8 x  12
 u  u v  vu
. [ Non rédigé ] f ( x) 
.
  
v²
( x  4) 2
v
Un carré est toujours positif ou nul, donc f ( x ) a le même signe que son numérateur  x ²  8 x  12 .
3) On a f ( x ) 
x ²  9 x  24
. Rappel :
x  4
Les racines de  x ²  8 x  12 sont ( non rédigé ) : 2 et 6. De plus,  x ²  8 x  12 est « du signe de a à
l’extérieur de ses racines ».
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On obtient le tableau de variations suivant :
4) Pour étudier les positions relatives de Cf et de la droite d’équation y   x  5 , il faut étudier le signe de la
différence f ( x )  (  x  5) .
On a : f ( x )  (  x  5) 
x ²  9 x  24 (  x  5)(  x  4) x ²  9 x  24  ( x ²  4 x  5 x  20)
4
.



x  4
x  4
x  4
x  4
Conclusion :
Sur  ; 4  , Cf est située au-dessus ( strictement ) de d,
Sur 4;    , Cf est située en dessous ( strictement ) de d.
5)
x
f(x)
-1
6,8
0
6
2
5
3
6
5
-4
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6
-3
8
-4
Exercice.3 CT ( q )  0,1( q  10)3  1000
1) Par définition des coûts fixes : C fixes  CT (0) , donc :
C fixes  0,1(0  10)3  1000  0,1 (1000)  1000  100  1000  900 . Les coûts fixes sont donc de 900€.
CT (q )
C (20) 1100
, donc pour la production de 20 objets : Cmoyen (20)  T

 55
q
20
20
Le coût moyen par objet pour une production de 20 objets est de 55€.
3)
2) Par définition, Cmoyen (q ) 
a) On peut produire au plus 40 objets ( abscisse du point le plus à droite, point B )
b) Le coût moyen correspondant à la production de 30 objets est égal au coefficient directeur de la droite
passant par le point O et par le point A de la courbe du coût total d’abscisse 30 : cette droite coupe la
courbe du coût total en un autre point, d’abscisse environ 17, donc il y a une autre production qui permet
d’obtenir un coût moyen quasiment identique, la production de 17 objets.
c) Le coût moyen est minimal pour une production située dans l’intervalle J = [20 ; 25] ( droite verte .. )
4) Examinons le tableau de valeurs du coût moyen sur l’intervalle J :
Q
Cmoyen(q)
20
55
21
54
22
53,3
23
53
24
53,1
25
53,5
On constate que le minimum du coût moyen est de 53€ ( arrondi à 0,1€ ) , et qu’il est atteint pour une
production de 23 objets.
5) a) CT ( q )  0,1( q  10)3  1000 . Rappel :  u 3   3u 2  u  . Donc : CT  ( q )  0,1  3( q  10) 2  1  0 ,
soit finalement : CT  ( q )  0, 3( q  10) 2 .
b) CT  (5)  0,3(5  10) 2  0,3  ( 5) 2  7,5 . Le coût marginal pour 5 objets produits est d’environ 7,5€.
c) Cmarginal (5)  CT (6)  CT (5)  6,1 . Le coût marginal pour 5 objets produits est de 6,1€.
d) L’erreur commise en utilisant 7,5€ comme valeur approchée de 6,1€ est de plus de 20% ce qui est loin
d’être négligeable. L’explication est la suivante : l’approximation Cmarginal (q)  CT  (q) est valable pour les
productions d’un nombre important d’objets, pas pour 5 objets seulement..
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