MF1.2 - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz et ondes

INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013
MF1.2 - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz et
ondes de choc
Sommaire
1
2
3
4
Ecoulements compressibles et dynamique des gaz
1.1 Ecoulements à densité variable . . . . . . . . .
1.2 Ecoulements compressibles . . . . . . . . . . .
1.3 Nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . .
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2
2
2
2
2
Ecoulement stationnaire mono-directionnel dans une conduite à section variable
2.1 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Comportement de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Atteinte du régime supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Solution préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Condition d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Calcul des valeurs d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Détermination des conditions critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
Ondes de choc
3.1 Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Onde de choc droite . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Conditions de part et d’autre du choc
3.2.2 Relation d’Hugoniot . . . . . . . . .
3.3 Onde de choc oblique . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Conditions de part et d’autre du choc
3.3.2 Relation d’Hugoniot . . . . . . . . .
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6
6
6
6
6
7
7
7
Notions d’acoustique
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Théorie linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Equation de Lighthill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
8
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1
1.1
Ecoulements compressibles et dynamique des gaz
Ecoulements à densité variable
La variation de densité du gaz est uniquement contrôlé par la variation de température.
∆P
On a donc pour P = P0 + ∆P,
<< 1.
P0
T0
La loi d’état donne ρ = ρ0
(P ≈ cte).
T
1.2
Ecoulements compressibles
Il y a un fort couplage entre la pression, la densité et le champ de vitesse.
La loi d’état reste P = ρrT .
La distinction entre les deux régimes d’écoulement des gaz se fait par les phénomènes acoustiques.
1.3
Nombre de Mach
Un déplacement dans un gaz génère une onde de pression qui va précéder celui-ci pour informer le milieu aux alentours. Ces ondes
de pression sont des ondes acoustiques, du son.
v
!
u
u ∂P
√
Célérité du son : c = t
= γrT
∂ρ
S
1
u Energie cinétique
2
Nombre de Mach : M = =
c
Energie interne
Le mur du son est à M = 1, le bruit qui retentit est lié au choc contre l’air : l’objet va plus vite que l’information signalant son
passage.
du
dρ
= −M 2 2 .
Le chapitre suivant montre que
ρ
u
Classification des écoulements :
1.4
M << 1 (M < 0, 3)
M<1
M=1
M≈1
M>1
M>5
densité variable
subsonique
sonique
transsonique
supersonique
hypersonique
Grandeurs thermodynamiques
Rapport des chaleurs spécifiques : γ =
CP
CV
et
CP −CV = r
RT
Energie interne : Ei = Ei0 + CV dT
T0
RT
Enthalpie : h = h0 + CP dT
T0
Entropie : s
= s0 +
RT
dT
P
CP
− r ln
T
P0
T0
!
2
2
Ecoulement stationnaire mono-directionnel dans une conduite à section variable
2.1
Considérations générales
2.1.1
Hypothèses
Ecoulement confiné
Ecoulement stationnaire
Ecoulement sans dégagement de chaleur : pas de réaction exothermique ou endothermique
Mélange à proportions constantes : r constante
Ecoulement isentropique : pas de frottement important
Cette condition introduit l’Equation de Laplace Pρ −γ = cte
1
De même, elle pose pour l’enthalpie dh = CP dT = dP
ρ
Viscosité négligée : L’écoulement est unidimensionnel
Gravité négligée
Les variations de section vont modifier toutes les grandeurs aérodynamique et thermodynamiques qui caractérisent l’écoulement.
On va donc chercher à obtenir des relations entre ces grandeurs et la section.
2.1.2
Conservation de la masse
Seconde forme intégrale (Green-Ostrogradsky)
Première forme intégrale
!
Z
dρ
→
−
+ ∇ ·(ρ u ) dV = 0
dt
Z
V
V
Pour une conduite non non poreuse, on a Q̇m = ρ(x) u(x) S(x) = cte
2.1.3
Z
dρ
dV − d Q̇m = 0
dt
avec
−
−
dQ̇m = −ρ →
u ·→
n dS
∂V
=⇒
par différenciation,
dρ du dS
+ +
=0
ρ
u
S
Conservation de la quantité de mouvement
R −
→
−
Théorème d’Euler : ∑ Fk = − →
u d Q̇m
k
∂V
Equation d’Euler : ρudu = −dP pour un fluide stationnaire
En utilisant la formule d’une onde de pression et le nombre de Mach, on a M 2
2.1.4
du
dρ
=−
u
ρ
Conservation de l’énergie
En considérant l’écoulement isentropique, la conservation de l’énergie révèle l’équation de Saint-Venant (équivalente compressible
1
γ P
= cte
de l’équation de Bernoulli) : u2 + Φ +
2
γ −1ρ
2.1.5
Comportement de l’écoulement
dS
du
1 dS
Divergent :
>0
La précédente relation donne
= 2
, qui epxrime ceci :
S
u
M −1 S
dS
Convergent :
<0
S
3
M<1
du
<0
u
du
>0
u
M>1
du
>0
u
du
<0
u
2.2
Atteinte du régime supersonique
2.2.1
Solution préliminaire
Pour accélérer un écoulement confiné jusqu’à une vitesse supérieure à
celle du son, il faut utiliser une tuyère convergente divergente.
M<1
M>1
M=1
col sonique
La loi d’état après différenciation donnant
dP dρ dT
=
+ , on peut établir les relations suivantes :
P
ρ
T
dρ
du 1 dP
1 dT
M 2 dS
= −M 2 =
=
=
ρ
u
γ P
γ −1 T
1 − M2 S
2.2.2
Condition d’arrêt
Définition : La condition d’arrêt caractérise l’écoulement quand il est ramené au repos. Elle correspond aux propriétés du fluide
quand le vitesse est nulle. L’écoulement étant isentropique, c’est la référence qui serait obtenue dans un réservoir sous pression
et contenant le fluide qui alimente la conduite. La condition d’arrêt est aussi appelée condition totale, condition de réservoir ou
condition isentropique.
Grandeurs d’arrêt
Vitesse d’arrêt : u = 0 Pression d’arrêt : P = Pi
Température d’arrêt : T = Ti
Densité d’arrêt : ρ = ρi
Enthalpie d’arrêt : h = hi
2.2.3
Réservoir Pi ,
Ti , ρi , hi , u ligne isentropique
Ecoulement
aval P, T , ρ, h
Calcul des valeurs d’arrêt
Les conditions d’arrêt sont calculées ainsi :
Température d’arrêt
1
Conservation de l’énergie totale : hi = h(x) + u2 (x)
2
1 2
Deuxième Loi de Joule : C p Ti = C p T (x) + u (x)
2
Ti
u2 (x)
Expression en ratio :
= 1+
T (x)
2C p T (x)
!2
Ti
γ − 1 u(x)
Expression finale :
= 1+
=⇒
T (x)
2
c(x)
Ti
γ −1 2
= 1+
M
T
2
avec
Cp =
γr
γ −1
et
c2 = γrT
Pression et densité d’arrêt
Par l’équation de Laplace, on a :
Pi
γ −1 2
= 1+
M
P
2
!
γ
γ −1
Ces relations sont tabulées en fonction du nombre de Mach.
Par exemple, à θ = 298, 15 K :
Gaz Masse molaire M Rapport des chaleurs spécifiques γ
Air 28, 96 kg.kmol−1
1, 400
et
ρi
γ −1 2
= 1+
M
ρ
2
!
1
γ −1
Constante massique du gaz parfait r
287 J.kg−1 .K−1
4
Chaleur spécifique C p
1004 J.kg−1 .K−1
2.2.4
Détermination des conditions critiques
La section au col sonique est la section critique S∗ .
Le débit massique dans la conduite est donné par Q̇m = ρSu =
P
rT
!
!
!−
!
SM (γrT )1/2 = S
!
Pi
γ −1 2
√
M (x)
γM 1 +
γrTi
2
γ +1
2(γ − 1)
2
Pi
avec ψ ∗ = γ
ci
γ +1
Le régime sonique n’est obtensible que dans le col sonique, c’est donc le débit maximal dans la conduite.
γ +1
!!
2(γ − 1)
1
S
2
γ −1 2
M
On a finalement ∗ =
1+
S
M γ +1
2
Pour le Mach à l’ordre de l’unité, on a Q̇∗m = ψ ∗ S∗
S
S∗
1
M
1
5
γ +1
2(γ − 1)
3
Ondes de choc
3.1
Observation
On observe dans les fluides des discontinuités qui se développent sur de très faibles épaisseurs. Ces discontinuités sont le lieu de
variations brutales de la densité, de la pression et de la vitesse du fluide. Elles s’organisent sur des distances de l’ordre de 10 microns,
ce qui est de l’ordre du libre parcours moyen des molécules.
En supersonique, l’augmentation de la vitesse va s’accompagner d’une diminution de la pression. En sortie de tuyère, une brutale
re-compression du fluide s’organise pour raccorder les deux conditions (écoulements dans la conduite et extérieur). : c’est l’onde de
choc. On peut aussi chercher à créer une tuyère accordée, c’està-dire que l’ensemble est défini pour avoir la même pression ambiante
que celle de sortie de tuyère.
Plusieurs ondes de choc sont généralement nécessaires pour le raccordement :
Onde de choc
droite
M=1
P << P0
M>1
P = P0
P < P0
3.2
Onde de choc droite
3.2.1
Conditions de part et d’autre du choc
Disque de Mach
P = P0
Onde de choc
oblique
Onde de glissement
Onde de détente
Choc
Amont
P1 , T1 , ρ1 , M1
Ecoulement isentropique
Aval
P2 , T2 , ρ2 , M2
Ecoulement isentropique
saut d’entropie
P1 < P2
Un choc droit est une recompression brutale, elle vérifie :
3.2.2
ρ1 < ρ2
T1 < T2
M1 > M2
Relation d’Hugoniot
Conservation de la masse : Sur une surface S de choc fixée, on a Q̇m = ρ1 u1 S = ρ2 u2 S
1
!
ρ1 u2 M2 c2
P2 M1 T2 2
On a
= =
ou
=
par la loi d’état.
ρ2 u1 M1 c1
P1 M2 T1
Conservation de la quantité de mouvement : Q̇m (u2 − u1 ) = (P1 − P2 ) S
P2 1 + γM12
On a en introduisant le nombre de Mach, la relation =
P1 1 + γM22
u2
u2
Conservation de l’énergie : h1 + 1 = h2 + 2
2
2
On passe ici par la conservation de l’énergie totale, car le choc casse la continuité isentropique, on ne peut donc pas utiliser
Saint-Venant. Seule l’énergie totale est conservée.
6
γ −1 2
T2 1 + 2 M2
En introduisant les chaleurs spécifiques, on a =
T1
γ −1 2
1+
M1
2
Grandeurs totales : On peut considérer que par la conservation de l’enthalpie totale uniquement, seule la température totale est
conservée, à l’inverse de la pression et de la densité totales.
Les relations précédentes mènent à M22 =
M12 +
2
γ −1
2γ 2
M −1
γ −1 1
La relation est bijective, on peut aussi remarquer que
lim M22 =
M12 →+∞
γ −1
(la relation ne se vaut plus en hypersonique, les gaz
2γ
devenant ionisés)
On obtient les trois relations suivantes :
2γ 2 γ − 1
P2
=
M −
P1 γ + 1 1 γ + 1
3.3
Onde de choc oblique
3.3.1
Conditions de part et d’autre du choc
ρ2
(γ + 1) M12
=
ρ1 2 + (γ − 1) M12
M12 =
(γ + 1) P2 + (γ − 1) P1
2γP1
Les ondes de choc obliques apparaissent au niveau des rampes de compression (un changement d’orientation de la paroi).
→
−
τ
Dans le repère associé au choc :
→
−
n
→
−
u1
−
−
τ
= u1n →
n + u1τ →
−
→
−
= u1 sin(α) n + u1 cos(α) →
τ
→
−
u2
−
−
n + u2τ →
τ
= u2n →
−
→
−
= u2 sin(β ) n + u2 cos(β ) →
τ
→
−
u2
β
Ecoulement incident
→
−
u1
3.3.2
α
δ
Ecoulement réfléchi
Relation d’Hugoniot
Conservation de la masse : ρ1 u1 = ρ2 u2
−
−
Conservation de la quantité de mouvement : on projette suivant →
n et →
τ
→
−
2
2
suivant n : P1 + ρ1 u1n = P2 + ρ2 u2n
−
suivant →
τ : ρ1 u1τ u1n = ρ1 u2τ u2n
Conservation de l’énergie : h1 +
u21n + u21τ
u2 + u22τ
= h2 + 2n
2
2
Dans la direction normale au choc : u1n > u2n
Dans la direction tangentielle : u1τ = u2τ
Il y a donc déviation de l’écoulement vers l’onde de choc
Dans la direction normale au choc, les relations obtenues pour les chocs droits sont toujours valables, il suffit de remplacer M1
u1n
pas M1n =
= M1 sin(α)
c1
Ainsi :
!
!
P2
2γ 2 2
γ −1
ρ2
(γ + 1) M12 sin2 (α)
T2
2γ 2 2
γ −1
γ −1
2
=
M sin (α)−
=
=
M sin (α) −
+
P1 γ + 1 1
γ +1
ρ1 2 + (γ − 1) M12 sin2 (α)
T1
γ +1 1
γ +1
γ + 1 (γ + 1) M12 sin2 (α)
7
4
Notions d’acoustique
4.1
Introduction
Il existe trois méthodes pour la résolution des problèmes d’acoustique en mécanique des fluides :
• La Théorie linéaire, avec des équations spécialisées pour l’acoustique basées sur la propagation des ondes de pression
• L’Equation de Lighthill, qui permet de simuler l’acoustique tridimensionnelle sans résoudre le couplage direct avec le champ
de vitesses.
• l’Aéroacoustique qui recherche la solution complète à partir des équations de la mécanique des fluides avec l’acoustique.
4.2
Théorie linéaire
Hypothèse adiabatique :
dP
1
=
dρ ρX
avec X la compressibilité adiabatique.
Démarche :
Equations-bilans :
Linéarisation :
∂ ρ ∂ ρu
+
=0
∂t
∂x
P = P0 + ψP1 (x,t)
ρ = ρ0 + ψρ1 (x,t)
∂u
∂u
1 ∂P
+u = −
∂t
∂x
ρ ∂x
u = u1 (x,t)
ψ 1
dP
1
=
dρ ρX
Equation d’onde : Après réécriture des équations-bilans, on trouve l’équation d’onde suivante :
s
2P
∂
∂ 2 P1
1
1
− c2 2 = 0
avec
c=
∂t 2
∂x
ρX
ω 2π
∂ 2P
Helholtz : Soit P1 = Peiωt et k = =
le nombre d’onde. On a
+ k2 P = 0.
c
λ
∂ x2
La résolution de cette équation pour une géométrie donnée permet de déterminer les modes acoustiques auxquels le système
est susceptible de répondre.
4.3
Equation de Lighthill
Il s’agit d’abord de représenter l’acoustique à travers une équation pour la densité ou la pression.
En cherchant à retrouver une expression similaire à partir des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement
grâce à quelques multiplication, dérivation et divergence, on obtient :
∂ 2 Ti j
∂ 2ρ
2 2
−
c
∇
ρ
=
0
∂t 2
∂ xi ∂ x j
Ti j = ρui u j − σi j + P − c20 ρ δi j
avec
Cette équation permet aux logiciels de mécanique des fluides spécialisés dans les écoulements incompressibles de simuler la propagation d’une onde acoustique, sans considérer explicitement la compressibilité du gaz.
8