Chap. VI - Charlemaths

Partie III : Evolution des systèmes électriques
Chap. VI : Le dipôle RC
Dans les dispositifs électroniques comme les flash des appareils photographiques, on trouve une grande variété de
condensateurs. Quel est leur rôle dans les circuits électriques?
Expérience introductive :
A la fermeture de l'interrupteur (position 1), la lampe s'allume instantanément puis s'éteint au bout d'un temps très court.
En basculant l'interrupteur en position 2, la lampe se rallume brièvement.
Conclusion : le condensateur a pour but d'emmagasiner de l'énergie pour la redistribuer à la demande.
I. Les condensateurs
1°- Description
Un condensateur est un composant électrique constitué de deux conducteurs métalliques appelées armatures, séparés
sur toute leur surface par un matériau isolant. Cet isolant, encore appelé diélectrique, peut être de l’air, du mica, de la
céramique, un polyester.
2°- La charge électrique sur les armatures
Si des électrons négatifs viennent s’accumuler sur l’armature B, alors ces électrons négatifs repoussent, à distance, les
électrons de l’armature métallique A, laquelle se charge positivement.
La charge globale du condensateur reste toujours nulle. Par conséquent, les charges des armatures A et B sont
constamment égales mais de signes opposés : qA = - qB (on l'admettra)
Donc qA > 0 et qB < 0. |qA|=| qB| = q est appelée la charge du condensateur ou quantité d'électricité emmagasinée. Elle se
mesure en coulomb (C )
Partie III : Evolution des systèmes électriques
Aucun électron ne peut traverser l’isolant mais ceux-ci circulent bien évidemment dans les fils extérieurs connectés aux
armatures.
En convention récepteur, on a donc pour le condensateur :
Retour à l'expérience introductive :
Lorsque l'on ferme l'interrupteur K (position 1) la lampe s'éclaire, puis s'éteint progressivement. Un courant transitoire
apparaît donc dans le circuit (régime transitoire). En effet, le courant ne peut pas s'établir durablement, car le circuit
série est coupé par la présence du diélectrique entre les armatures du condensateur. Ce courant provoque un excès
d'électrons sur l'armature B reliée à la borne <0 du générateur et un défaut d'électrons sur A (reliée à la borne >0). A se
charge positivement et B négativement : il y a donc apparition d'une tension uAB entre les amatures A et B.
Lorsque cette tension est égale à la tension E du générateur, le mouvement des charges électrique cesse (il faut une
différence de potentiel pour que les charges se déplacent!) et l'intensité du courant s'annule. Le condensateur est alors
chargé.
3°-Relation entre la charge et l'intensité
Par définition, l'intensité du courant dans un fil conducteur correspond au débit des charges transportées, c'està-dire à la charge transportée par unité de temps.
i = dq/dt
i : intensité du courant en ampère (A)
q : charge de l'armature en coulomb (C)
t : temps en seconde (s)
Quelle est alors la relation entre l'intensité du courant et les charges portées par les armatures?
Il faut orienter le circuit afin de donner un signe à l'intensité :
i = dqA /dt (1)
i >0, qA augmente : dqA /dt > 0: le courant circule dans le sens d'orientation du circuit;
i<0, qA diminue : dqA /dt < 0 : le courant circule dans l'autre sens.
Si on charge un condensateur avec un générateur de courant qui délivre un courant d'intensité constante I, la relation (1)
donne : qA = I.t (si à t = 0 le condensateur est déchargé).
II. Charge à intensité constante : capacité d'un condensateur
Quelle relation existe-t-il entre la tension uAB appliquée entre les bornes et la charge qA du condensateur?
On a vu que l’intensité dans un circuit électrique était liée au déplacement d’ensemble des charges électriques par unité
de temps : I = q / t.
Lorsqu’on charge le condensateur avec une intensité constante, la charge q augmente donc proportionnellement au
temps t : q = I x t.
Partie III : Evolution des systèmes électriques
cf. applet http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/condo2.html
Interprétation :
On remarque sur la courbe visualisée avec l’applet, que la tension aux bornes du condensateur augmente de façon
linéaire avec le temps. ATTENTION!!! : ceci est vrai pour une charge à courant constant. Donc, on en déduit que : q et
U aux bornes du condensateur sont proportionnelles lorsqu’on charge un condensateur.
Le coefficient de proportionnalité (positif) est appelé capacité du condensateur, de symbole C.
qA = C. uAB
C : en Farad (F); qA en coulomb (C), uAB en volt (V).
Remarques: - Le farad est une « grande » unité. On utilisera plutôt les sous unités : pico-, nano-, micro, milli-farad.
- si uAB >0, alors qA >0 ; si uAB <0, alors qA < 0
Partie III : Evolution des systèmes électriques
III. Réponse d'un condensateur à un échelon de tension
L'association en série d'un condensateur de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance R constitue un dipôle
(R,C).
On étudie la charge du condensateur lorsque la tension aux bornes du dipôle RC passe brutalement de 0 à une valeur E
(ce qui est appelé un échelon de tension) ainsi que la décharge du condensateur à travers la résistance.
1°- Montage
2°- Charge du condensateur : interrupteur en position 1
2-1. Etude expérimentale
Grâce à l'interface Orphy GTi, on récupère les courbes Uc = f(t) (courbe 2) ainsi que E = f(t).
Remarque : en TP, l'étude de l'évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps sera faite à
l'aide d'un volmètre et d'un chronomètre (tracé « manuel » donc).
On obtient les courbes ci-dessous :
La courbe 1 représente un échelon de tension : la tension uDM aux bornes du dipôle RC passe quasi instantanément de la
valeur 0 à la valeur E, valeur de la tension aux bornes du générateur.
La courbe 2 montre que la tension uCM aux bornes du condensateur augmente rapidement au début de la charge puis de
plus en plus lentement jusqu'à atteindre la valeur limite E. Comme qC = C.uCM , on constate que le condensateur ne se
charge pas instantanément.
Le condensateur d'un dipôle RC soumis à un échelon de tension ne se charge pas instantanément : la charge du
condensateur est un phénomène transitoire.
Avant la fermeture de l'interrupteur, le condensateur est déchargé : la tension à ses bornes est nulle.
Juste après la fermeture de l'interrupteur, elle est encore nulle.
La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité.
Etudions la tension uDC , c'est-à-dire la tension uR aux bornes de la résistance. On a : uDC = uDM + uMC = uDM - uCM .
Donc uR = uDM - uCM = E - uC . Ainsi, la différence E - uC permet de visualiser la tension aux bornes de la résistance R
du dipôle RC. Or uR = R. i, on observe donc la variation de l'intensité du courant. L'intensité i a une valeur positive et
elle décroît rapidement. Cela confirme le fait que dans l'expérience introductive, la lampe s'éteint progressivement.
Partie III : Evolution des systèmes électriques
La courbe ci-dessous représente l'évolution de la différence E - uC en fonction du temps, soit uR .
2-2. Constante de temps
On reprend le montage précédent en conservant la même résistance R mais en prenant un condensateur de plus grande
capacité C. On constate qu'il se charge alors plus lentement. Avec le même condensateur, on utilise une résistance plus
grande : le condensateur se charge encore plus lentement.
Conclusion :
La durée de la charge du condensateur d'un dipôle RC augmente quand la valeur du produit R.C augmente.
Analyse dimensionnelle du produit R.C :
la résistance R = U/I s'exprime en ohm (Ω), i-e en volt par ampère ( V.A-1). La capacité C = Q/U = I.t /U s'exprime en
farad (F), i-e en A.s.V-1.
Le produit R.C s'exprime alors en Ω.F = V.A-1.A.s.V-1 = s.
Le produit R.C = τ, homogène à une durée, est la constante de temps du dipôle (R,C). La constante τ s'exprime
en seconde (s).
2-3. Etude théorique
●
Equation différentielle
On va établir l'équation différentielle permettant de déterminer la tension uc aux bornes du condensateur.
La loi d'additivité des tensions (cf. montage 1°) permet d'écrire : E = ur + uc . On sait que uR = R. i ; i = dq /dt et
q = C.uc .
On a donc : uR = R. dq /dt = R. d(C.uc)/dt= RC duc/dt et E = RC duc/dt + uc , soit E = τ. duc/dt + uc . (1)
●
Solution
On montre, en mathématiques, que la solution de cette équation différentielle est :
uc = E(1-e-t/τ)
Vérification : dérivons uc =E – E.e-t/τ .
duc/dt = -E.(-1/ τ).e-t/τ = E.e-t/τ / τ. On remplace dans l'équation (1) : E = τ. E.e-t/τ / τ. + E(1-e-t/τ) = E.e-t/τ +E - E.e-t/τ = E!
L'équation (1) est donc bien vérifiée et donc uc = E(1-e-t/τ) est la solution de cette équation différentielle.
D'autre part, quand t tend vers l'infini, e-t/τ tend vers 0, donc uc tend vers E (on a bien vu sur la courbe du 2-1 que uc
tendait asymptotiquement vers E).
●
Signification physique de τ
L'équation uc = E(1-e-t/τ) montre qu'après une durée t = τ = R.C : uc = E(1-e-τ /τ) = E(1-1/e) =E (1- 1/(2,72) ) = 0,63.E
La constante de temps τ donne l'ordre de grandeur de la durée de la charge du condensateur.
Après une durée égale à τ, le condensateur est chargée à 63% de sa valeur maximale.
Après une durée de 5 τ, il est chargé à plus de 99%.
La durée t ½ au bout de laquelle E = E/2 est telle que : t ½ = τ .ln2.
On retrouve une durée caractéristique analogue à la demi-vie d'une désintégration radioactive.
Partie III : Evolution des systèmes électriques
La constante τ peut être déterminer graphiquement :
La tangente en chaque point de la courbe est donnée par : duc/dt = E.e-t/τ / τ.
A t = 0 : duc/dt = E / τ. L'équation de la tangente à la courbe à la date t = 0 est uc = E.t / τ.
●
Expression de l'intensité du courant
L'intensité du courant est : i = dq/dt = d(C.uc)/dt= C.duc/dt = C.E.e-t/τ / τ or τ = R.C d'où i = E.e-t/τ / R soit en posant
I0 = E/R, i =I0 .e-t/τ.
L'intensité décroît exponentiellement avec le temps. Au bout de t = τ, i = I0/e = 0,37.I0.
A t = t ½ = τ.ln2, l'intensité est divisée par 2 : i(t ½)= I0/2.
Au bout du temps τ, l'intensité est égale à 37% de sa valeur initiale; au bout d'une durée t ½ , l'intensité est divisée par 2.
3°- Décharge du condensateur : interrupteur en position 2
2-1. Etude expérimentale
On relie la résistance et le condensateur à des bornes d'entrée différentielle qui vont permettre de visualiser
directement les tensions aux bornes de ces deux dipôles. Ainsi uR = (YD1+) - (YD1-) et uc = (YD0+) - (YD0-).
Partie III : Evolution des systèmes électriques
On obtient les courbes suivantes :
La tension aux bornes de R, positive lors de la charge, est devenue négative : l'intensité est donc négative.
Le sens du courant est de C vers D dans la résistance. Le courant a changé de sens lors de la décharge. Au cours de la
décharge, l'armature M perd des électrons et l'armature C, initialement chargée positivement, en gagne et sa charge
diminue.
La tension aux bornes du condensateur reste positive et diminue progressivement pour s'annuler en même temps que uR
(donc que le courant).
Lorsque uc s'annule, le courant ne circule plus.
Le passage du courant lors de la décharge correspond à un régime transitoire.
La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité.
2-2. Etude théorique
●
Equation différentielle
On va établir l'équation différentielle permettant de déterminer la tension u CM = uc aux bornes du condensateur dans le
circuit de décharge.
La loi d'additivité des tensions donne : uc + uR = 0 (tension aux bornes du fil). Or uR = - Ri (convention générateur cf.
schéma ci-dessous) et i = -dq/dt (i<0 car les charges sur les armatures diminuent). Donc uR = Rdq/dt et comme
q = C.uc alors uR = RCduc /dt et uc+ RCduc /dt = 0 soit uc+ τ.duc /dt = 0 (2).
Partie III : Evolution des systèmes électriques
●
Solution
La solution de cette équation différentielle (2), est de la forme générale : uc(t) = E.e-t/τ .
Vérifications :
A t = 0, quand la décharge commence le condensateur est complètement chargé et u c = E ; on a bien uc (0) = E.e0 =
E.1= E! De plus quand t tend vers l'infini, uc s'annule (on a bien e-∞ tend vers zéro!).
Enfin si on dérive la solution on a : duc/dt =-(E/τ.). e-t/τ et qu'on porte les expressions de uc (t) et de duc/dt dans (2), on
obtient : E. e-t/τ - τ.(E/τ.). e-t/τ = 0 = E. e-t/τ - E. e-t/τ = 0! L'équation différentielle (2) est donc bien vérifiée.
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Expression de l'intensité du courant
L'intensité de décharge est i = C.duc/dt = C.-(E/τ.). e-t/τ = -(E/R). e-t/τ = - I0 .e-t/τ (avec I0= E/R).
Avec l'orientation choisie pour le circuit, l'intensité est négative au cours de la décharge.
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Détermination graphique de τ
La tangente à l'origine coupe l'axe des temps à t = τ. Pour t = t ½ = τ. Ln2, on a uc = E/2.
Partie III : Evolution des systèmes électriques
IV. Energie emmagasinée dans un condensateur
1°- Expérience
On veut montrer que le condensateur peut stocker de l'énergie électrique. On réalise le montage suivant : un
condensateur initialement déchargé est relié à un moteur qui peut soulever une masse marquée.
On charge le condensateur (en commutant l'interrupteur en position 1) jusqu'à ce que la tension affichée à ses bornes
soit égale à E. On commute alors l'interrupteur en position 2. Le condensateur se décharge dans le circuit comportant le
moteur.
Interprétation :
Lorsque le condensateur se décharge, le moteur fonctionne et soulève une masse. Un condensateur chargée possède
donc de l'énergie, appelée énergie électrique, qui est restituée au circuit du moteur pendant la décharge.
Lors de la charge, le générateur fournit de l'énergie électrique au condensateur.
Au cours de la décharge, le courant électrique de décharge actionne le moteur : le condensateur fournit de l'énergie au
moteur sous forme de travail électrique.
Le moteur convertit une partie de cette énergie en énergie mécanique, l'autre partie étant dissipée par effet Joule.
Au cours de la charge, un condensateur emmagasine de l'énergie électrique qu'il restitue lors de la décharge.
2°- Expression de l'énergie stockée dans le condensateur
La puissance électrique reçue par le condensateur est : P = uc .i =uc .C.duc/dt = d(1/2. C.uc²)/dt.
L'énergie électrique fournie et emmagasinée lors de la charge, dont la durée est théoriquement infinie est :
Eélec = ∫P.dt (bornes de 0 à ∞) = ∫d(1/2. C.uc²)/dt. = 1/2. C.uc².
L'énergie emmagasinée dans un condensateur dont la tension entre les bornes est uc est donnée par :
Eélec = ½. C.uc ² = ½ q²/C. Eélec s'exprime en joule (J), C en farad (F), q en coulomb (C) et uc en volt (V).
Le stockage ou le déstockage de l'énergie ne s'effectue jamais instantanément (les puissances mises en jeu seraient
énormes car P moy = ΔEélec/ Δt tend vers l'infini quand Δt tend vers zéro). C'est pour cette raison que la tension aux
bornes d'un condensateur ne subit pas de discontinuité.
Exercice d'entraînement :
Un condensateur, initialement déchargé, de capacité C = 4,7 µF, est associé en série à une résistance R= 6,8 Ω.
L'ensemble est soumis à une tension constante E = 12 V à l'instant t = 0.
1. Au bout de combien de temps la charge du condensateur atteint-elle 63 % de sa valeur maximale?
2. Calculer l'énergie stockée lorsque le condensateur a atteint sa charge maximale.
Réponses : 1. τ = 3,2.10-2 s; 2. Eélec =3,4. 10-4 J