version préliminaire SURFACES DE RIEMANN. Le théorème d

version préliminaire
SURFACES DE RIEMANN.
NOTES DE COURS
R ÉSUMÉ . Ce document est la mise au propre des notes du cours donné par
Julien Duval à l’Université Paris 11 en 2009. Il s’articule en trois parties : le
théorème d’uniformisation (sections 1, 2, 3), le théorème de Riemann-Roch (sections 4, 5, 6) et des compléments (sections 7, 8). En annexe, on a placé des notions pour rendre rigoureuses certaines démonstrations (à faire).
D’éventuelles erreurs sont naturellement imputables au seul rédacteur.
L. Darondeau
TABLE DES MATIÈRES
Le théorème d’uniformisation
Introduction.
1. Topologie des surfaces.
2. Théorie de Hodge.
2.1. Structure complexe.
2.2. Formes harmoniques
2.3. Structure de Hilbert
2.4. Théorie de Hodge
2.5. Formes méromorphes
2.6. Théorie de Hodge dans le cas non-compact.
3. Uniformisation.
3.1. Cas des surfaces simplement connexes.
3.2. Cas général
2
2
3
6
6
6
6
7
11
14
15
15
16
Le théorème de Riemann-Roch
4. Faisceaux.
4.1. Faisceaux.
4.2. Cohomologie des faisceaux.
4.3. Suites exactes de faisceaux
4.4. Cohomologie structurale
4.5. Dualité de Serre (cas particulier)
5. Fibrés en droite holomorphes.
5.1. Groupe de Picard
5.2. Diviseurs
5.3. Lien entre fibrés et diviseurs
6. Le théorème de Riemann-Roch.
6.1. Énoncés
6.2. Applications
6.3. Plongement projectif
23
23
23
25
25
27
28
29
29
30
31
33
33
34
36
0
SURFACES DE RIEMANN
6.4.
Plongement canonique
1
36
Compléments
7. Abel-Jacobi.
8. Courbes projectives.
38
38
41
Appendice
Annexe A. Cohomologie de de Rahm.
Annexe B. Distributions.
Index
44
44
48
50
P RÉREQUIS. Le lecteur est supposé maîtriser les rudiments de la géométrie différentielle et de l’analyse complexe. On suppose connues les notions suivantes :
– une variété différentielle, un atlas de cartes, les fibrés tangent et cotangent,
une forme différentielle, l’algèbre extérieure...
– une application holomorphe, une application méromorphe, le théorème de Liouville...
Par ailleurs, on rappelle :
L EMME . (Théorème de Stokes). Soit M une variété différentielle orientée de dimension n, ! une (n 1)-forme différentielle à support compact sur M et de classe
C 1 . Alors on a :
Z
Z
M
d! =
@M
!:
2
J. DUVAL
Le théorème d’uniformisation
I NTRODUCTION .
Une surface de Riemann S est un espace topologique muni d’un atlas de cartes
à valeurs dans le plan complexe avec changements de cartes analytiques. On appelle paramétrage local l’inverse d’une carte. Par la suite, on ne considère que des
surfaces connexes, mais pas forcément compactes. Sur une surface de Riemann S ,
une fonction f : S ! est dite holomorphe (ou analytique) si elle est holomorphe dans chaque carte. Une fonction f : S ! est dite méromorphe s’il existe
un sous-ensemble fini P S tel que f est holomorphe sur S n P et pour toute
carte et tout point p de P la fonction (f 1 ) présente un pôle en (p). On
appelle encore pôle un point p de l’ensemble P . Nous verrons par la suite qu’il
n’existe pas toujours de fonctions holomorphe sur une surface de Riemann mais
qu’il existe par contre beaucoup de fonctions méromorphes. Soient deux surfaces
de Riemann, S et S 0 . Une application continue de S dans S 0 est dite holomorphe
si elle est holomorphe dans un système de cartes. Notez qu’on a besoin de la continuité pour chosir des bons ouverts de cartes. Enfin, on définit un biholomorphisme
entre deux surfaces de Riemann comme une bijection holomorphe et un automorphisme comme un biholomorphisme d’une surface dans elle-même. Par la suite on
se contentera de parler d’isomorphismes, puisque les biholomorphismes sont les
isomorphismes naturels attachés à la structure de surface de Riemann.
Exemples.
– , les ouverts de , le disque unité := fjz j < 1g.
= f[z ; z ]g ' [ f1g.
– la sphère de Riemann 1 := 2
1 2
On possède d’autre classes simples d’exemples très généraux :
C
C
C
C
C
PC
D
C C
C
Proposition 0.1 (Quotient d’une surface de Riemann). Si S est une surface de
Riemann, et G Aut(G) un sous-groupe des automorphismes de S agissant proprement librement, alors S G est muni d’une structure naturelle de surface de
Riemann.
Démonstration.
C
C est un
Proposition 0.2 (Lieu d’annulation d’un polynôme). Si P : 2 !
polynôme complexe dont 0 est valeur régulière, alors le lieu d’annulation
Z (P ) := fx : P (x) = 0g
du polynôme P a une structure de surface de Riemann.
Démonstration.
Exercices.
– Une surface de Riemann est toujours orientable.
– Si S est compacte, les seules fonctions holomorphes sont localement constantes.
– En utilisant le théorème de Liouville, montrer que et ne sont pas isomorphes.
– En utilisant la projection stéréographique, montrer : 1 ' S 2 ( ).
C D
PC
R
SURFACES DE RIEMANN
3
***
C^ := C [ f1g le compactifié d’Alexandrov de C. Montrer que
C^ ' P1C.
– Montrer qu’on peut voir les fonctions méromorphes S ! C comme les fonctions holomorphes S ! P1 C.
– On note
1. T OPOLOGIE DES SURFACES .
Dans ce chapitre, les surfaces considérées sont connexes, compactes, orientables. On montre qu’on peut les classer à homéomorphisme près en définissant le
genre.
Définition 1.1 (somme connexe). Étant donné deux surfaces S et S 0 , on construit
la somme connexe S #S 0 en effectuant les opérations suivantes :
(1) On découpe un disque sur chaque surface.
(2) On identifie les bords des deux disques de façon à obtenir une surface qui
hérite de l’orientation des surfaces de départ.
C’est une loi associative et commutative sur les surfaces connexes compactes orientées. Son élément neutre est la sphère, mais elle n’est pas inversible. La somme
connexe de deux surface est bien définie (à homéomorphisme près) car les homéomorphismes de S sont transitifs sur les disques.
Définition 1.2 (genre). On définit ensuite les modèles Sg suivant :
– g = 0, S 2 ( ) 3
– g = 1, T 2 = S 1 S 1 R3
– g > 2, T #g = T 2 #T 2 # : : : #T 2
R R
|
{z
}
g fois
On dit qu’une surface topologique est de genre g si elle est homéomorphe à Sg .
Nous admettons pour l’instant que c’est bien défini ie. que deux modèles de genres différents ne sont pas homéomorphes. (Ce qui se voit bien en considérant
leurs groupes d’homotopie par exemple mais nous allons le démontrer d’une autre
manière). Par définition du genre, on a :
g(S #S 0 ) = g(S ) + g(S 0 ):
Proposition 1.1 (Classification des surfaces). Toute surface compacte connexe orientée (sans bord) est homéomorphe à un modèle de genre g . En particulier, le genre
d’une telle surface est toujours défini et caractérise sa classe topologique.
Pour prouver cette assertion, on utilise la représentation en polygone des surfaces compactes connexes. Étant donné un polygone, dont les arrêtes sont indexées.
La surface correspondante est obtenue en identifiant les arrêtes ayant le même indice. Ainsi la sphère S 2 correspond à un bigone et le tore T 2 à un carré. À chaque
polygone indexé on peut aussi associer son symbole, qui liste simplement les indices rencontrés (en tenant compte de l’orientation) quand on parcourt le bord du
polygone. Pour obtenir le polygone correspondant à la somme connexe de deux
4
J. DUVAL
***
surfaces, on découpe un disque en ajoutant une arrête dans le coin de chaque polygone, puis on les identifie en respectant l’orientation. Au niveau de la représentation symbolique, on se convainc aisément (cf. FIG x) que la somme connexe des
surfaces de symbole (1 ) et (2 ) admet (1 )(2 ) 1 pour
symbole. Puisque l’inverse du symbole aba 1 b 1 est du type cdc 1 d 1 , le symbole de la surface
modèle Sg est :
a1 b1 a1 1 b1 1
a2b2a2 1b2 1 ag bg ag 1bg 1 :
Démontrer la proposition revient à montrer que les surfaces considérées admettent
toutes un symbole de ce type.
Définition 1.3 (Triangulation). On appelle triangle une image homéomorphe du
simplexe élémentaire T 2 . Une triangulation d’une surface S est un recouvrement de S par un nombre fini de triangles tels que l’intersection de deux triangles
distincts est soit une arrête, soit un sommet, soit vide.
R
Si on admet l’existence d’une triangulation pour les surfaces considérées, on
peut terminer la preuve. Soit S une surface connexe compacte orientée, munie
d’une triangulation. Dans un premier temps, on construit le polygone correspondant à S . On part d’un triangle arbitrairement choisi, puis on coud tous les triangles
(en nombre fini) de proche en proche au polygone obtenu. On obtient alors un polygone particulier : il y a un nombre pair d’arêtes, elles viennent par paires, et elles
sont tête-bêche. Pour le voir, il suffit de considérer l’orientation (cf. FIG x).
On considère maintenant le symbole associé et on effectue des opérations de
simplification. La réduction consiste à éliminer toutes les occurrences de type
aa 1 . Au début de chaque étape, on ne considère que des symboles réduits. Dans
le symbole réduit, on prend la paire la plus rapprochée, d’indice a. Comme le symbole est réduit, il y a forcément une arête, d’indice b, intercalée entre les deux arêtes
d’indice a, et par le choix de a, l’autre arête d’indice b se situe dans l’autre partie
du bord. On effectue ensuite les opérations décrites par la figure suivante. Et on
recommence dans la partie non ordonnée. Puisque le nombre d’arêtes est fini, on
obtient finalement un symbole du type désiré.
Il reste maintenant à montrer que les surfaces modèles ne sont pas homéomorphes entre elles.
Définition 1.4 (Caractéristique d’Euler). Étant donnée une surface triangulée S ,
on définit sa caractéristique d’Euler (S ) comme le nombre entier obtenu en effectuant l’opération :
(S ) := #Sommets #Arrêtes + #Faces:
Les opérations précédentes n’affectent pas la caractéristique d’Euler, elle ne
dépend donc pas de la triangulation.
On admet qu’étant donné deux triangulations, on peut trouver une triangulation
plus fine que l’une et l’autre. [Quitte à mettre en position générale, ne dépendant que de la combinatoire de la triangulation, il suffit de savoir trianguler les
SURFACES DE RIEMANN
5
polygones. Ce qu’on veut éviter, c’est que deux arrêtes se coupent plusieurs fois
en restant proches.] Il reste à vérifier que pour une triangulation du triangle,
( ) = 1.
L EMME . soit T un triangle euclidien, triangulé de manière euclidienne par ,
alors ( ) = 1. [On fait ici une simplification en se ramenant à des triangles
géodésiques.]
Proposition 1.2. La caractéristique d’Euler vérifie donc immédiatement les égalités suivantes :
f
– Soit S et S 0 deux surfaces homéomorphes : S ! S 0 et une triangulation de
–
–
S , alors f ( ) est une triangulation de S 0 et : (S ) = (S 0 ).
(S #S 0 ) = (S ) + (S 0 ) 2:
(Sg ) = 2 2g:
Preuve du lemme. On fait la somme totale des angles, c’est :
2#Sommets intérieurs + (#Sommets extérieurs 3) + = #Faces:
Donc :
2si + se
2 = f:
ou
2s se 2 = f:
Or, on a une relation entre le nombre d’arrête a et de sommets si et se . Si on compte
le nombre de couple {face, arrête de cette face}, on compte trois fois chaque face
car une face a trois arrêtes. Une arrête intérieure appartient à deux triangles, et une
arrête intérieure à un seul triangle. On a donc compté ae + 2ai arrêtes et :
3f = ae + 2ai = 2a ae = 2a se ; :
ce qui permet de conclure.
Remarque : formule de Gauss-Bonnet.
Existence d’une triangulation. Pour le plan complexe. On prend un ensemble maximal de points "-séparés fpi g 2 et on considère les polygones de Dirichlet
C
fz : d(z; pi0 ) < d(z; pi)8i 6= i0g:
Si on joint pi0 au sommet du polygone, on obtient une triangulation. Pour une
surface, on adapte l’idée : un ensemble de points donne un polygone courbe. Pour
les surfaces lisses ça marche. Pour les surface métriques, ça marche en utilisant les
géodésiques locales.
6
J. DUVAL
2. T HÉORIE DE H ODGE .
Soit S une surface de Riemann compacte connexe orientée lisse.
2.1. Structure complexe. Le fibré tangent T S est un fibré réel de rang 2 avec des
changements de cartes holomorphes (ou des cocyles dans Aut( )), il définit donc
un fibré complexe de rang 1. On peut définir l’opérateur de structure complexe
J 2 Aut(T S ) par :
C
8p 2 S; Jp est la multiplication par { sur TpS .
De la même façon, on veut avoir une structure complexe sur
donc l’étoile de Hodge par
:= tJ:
1 (S ). On définit
Le choix du signe est motivé par la donnée de en coordonnées :
dx =
dy =
dy:
dx:
2.2. Formes harmoniques. Une forme différentielle ! est dite cofermée si !
est fermée et coexacte si ! est exacte. Une forme différentielle qui est fermée et
cofermée est dite harmonique . On note H l’espace des formes harmoniques :
H:
d! = 0 :
d(!) = 0
Proposition 2.1 (dictionnaire formes différentielles/primitives locales). On a les
correspondances suivantes :
– d:f = dc :f . (C’est la dérivée dans la direction normale).
– d d:f = fdx ^ dy .
– forme fermée $ forme localement exacte ! =loc df .
– forme harmonique $ ! =loc df avec f = d ! = 0 d’où le terme harmonique.
2.3. Structure de Hilbert.
Définition 2.1 (produit scalaire). On considère la forme bilinéaire
< ; >:=
Z
S
^ Dans une carte locale :
8
<
^ =loc (a1 dx + a2 dy) ^ (b1 dx + b2 dy)
=loc
(a1 b1 + a2 b2 )dx ^ dy
:
=loc
(A; B )dx ^ dy
En utilisant les partitions de l’unité, on en déduit que < :; : > est un produit
scalaire. On définit L comme le complété de l’espace des 1-formes différentielles
pour < :; : >.
L := fformes différentielles s’écrivant localement adx + bdy avec a; b 2 L2locg:
L’opérateur isométrique s’étend sur L par complétude.
SURFACES DE RIEMANN
7
On définit E comme l’adhérence de l’espace des formes exactes
2
1 L
On note E son image par .
E = fd; 2 C
g :
2.4. Théorie de Hodge.
Proposition 2.2 (Décomposition de L). On a la décomposition orthogonale :
L = H ? E ? E:
Démonstration. Tout d’abord E L et L est stable par donc E L.
Montrons : E ? E : Soient = (dn )n2N 2 E ; = (d n )n2N 2 E , on a :
< ; > =< dn ; d n >
Z
< dn ; d n > = dn ^ d n
S
or est une anti-involution
< dn ; d
n
Z
>=
ZS
=
S
dn ^ d
n
d(n d n )
On peut alors appliquer le théorème de Stokes à S orientée compacte sans bord.
< dn ; d
n
>=
Z
n d
;
n
< ; > = 0:
~ := E ? \ (E )? .
On s’intéresse maintenant à H
Formes faiblement fermées/cofermées/harmoniques. On s’intéresse à (E )? . Par
densité, on peut tester l’orthogonalité sur les formes exactes d avec 2 C 1 .
Donc :
(E )? = f!j8 2 C 1 ;
= f!j8 2 C 1 ;
Z
ZS
S
! ^ d = 0g
! ^ d = 0g
Par définition, l’ensemble de droite forme l’ensemble des formes faiblement fermées. Si ! est lisse on a (par Stokes)
Z
:d! =
Z
! ^ d:
S
S
Il est donc naturel de poser la même égalité pour les formes différentielles de L
pour lesquelles d n’est pas défini. La nullité de “d! ” se lit alors en testant la forme
différentielles sur les fonctions lisses (qui suffisent par densité). Pour qu’il soit bien
8
J. DUVAL
clair que d n’est pas toujours défini, on va le noter d~ dans la notation conventionelle.
Ainsi
Z
(E )? = f!j8 2 C 1 ;
De la même manière on a :
E ? = f!j8 2 C 1 ;
Z
S
:d~(!) = 0g
:d~(!) = 0g
S
Par définition l’ensemble de droite forme l’ensemble des formes faiblement cofermées.
Pour finir la démonstration, il suffit donc de montrer que les formes faiblement
harmoniques sont harmoniques (le contraire étant évident).
Harmonicité des formes faiblement harmoniques.
L’idée est la suivante. Si ! est
~ = d! donc RS :d~(!) = 0 a un vrai sens et !
faiblement fermée et lisse alors d!
est fermée. Par ailleurs, les formes harmoniques sont C 1 . On doit donc pouvoir
montrer que les formes faiblements harmoniques sont C 1 , ce qui concluerait la
démonstration.
On se ramène aux fonctions L2 dans un ouvert de .
~ , on a les vraies équations :
Soit ! 2 H
C
Si on écrit !
8 2 C 1;
8 2 C 1;
R
RS!
^ d = 0
!
^
dc = 0
S
=loc a:dx + b:dy les équations deviennent :
(
R
@
8 2 C 1; R S (a @
@y b @x )dx ^ dy = 0
8 2 C 1; S (a @@x + b @@y )dx ^ dy = 0
On prend pour f lisse :
@f
@f
:= ; :=
@y
@x
et on obtient :
(
8f 2 C 1;
8f 2 C 1;
2
(a @@yf2
S
R
@2f
S (a @x2
R
Soit :
8f 2 C 1;
Z
ZS
2
@ f )dx ^ dy = 0
b @y@x
@ 2 f )dx ^ dy = 0
+ b @x@y
a fdx ^ dy = 0
8f 2 C 1; a d df = 0
ZS
~ =0
8f 2 C 1; f d~ d:a
S
On dit que a est faiblement harmonique. Une manipulation du même genre permet de montrer que b est faiblement harmonique.
Lemme 2.1 (Lemme de Weyl). Une fonction h qui est faiblement harmonique est
harmonique, elle est donc C 1 .
SURFACES DE RIEMANN
9
Dém. du lemme. On utilise la théorie des distributions, le lemme peut être admis
par les lecteurs. On se donne une approximation de l’unité ie. une suite de
fonctions C 1 qui convergent (au sens des distributions) vers la masse de Dirac
(fonction nulle en dehors de 0 dont l’intégrale vaut 1). Le produit de convolution
~ h ) = (
~ h) = 0 par définih := h est donc C 1 et on a : (h ) = (
tion de la convolution. h est donc harmonique. De plus h converge vers h dans
L2 . On utilise maintenant le résultat classique : h est continue et vérifie l’égalité
de la moyenne si et Rseulement si h est harmonique. h vérifie donc l’égalité de
moyenne : h (p) = D (p; r)hd donc on a convergence uniforme. h uniformément de Cauchy : Cauchy pour L2 et vérifie la formule de la moyenne :
jh(p) h0 (p0)j 6 jjh h0 jjL1 6 jjh h0 jjL2 ! 0
.
Par convergence uniforme, h est continue et l’égalité de la moyenne passe à la
limite. h est donc harmonique, donc C 1 .
En fait, si on choisit symétrique, la convolution donne par la formule de la
moyenne h = h.
On peut maintenant finir la démonstration : ! est lisse.
Proposition 2.3. Soit ! une forme différentielle fermée lisse, on note [! ] sa classe
de cohomologie de de Rahm. Elle contient une unique forme harmonique.
Démonstration. Une forme ! fermée est faiblement fermée. On peut donc la décomposer sur (E )? . Ainsi 9(; ) 2 H E : ! = + . Comme ! et sont
lisses, est lisse. = limL2 dn On veut montrer que est exacte.
L EMME . On peut tester l’exactitude via l’application des périodes H 1 (S; ) !
2g : les formes exactes sont celles qui s’envoient sur 0.
L2
On sait que l’application des périodes s’annule sur (dn ) et que (dn ) ! .
On doit montrer que :
R
R
Z
S
i ^ dn = 0 )
Z
S
i ^ = 0:
Ceci est assuré par convergence L2 en utilisant le théorème de Cauchy-Schwartz.
On a donc bien une forme harmonique dans [! ]. L’unicité est assurée par somme
directe.
Proposition 2.4 (Caractérisation de la forme harmonique). La forme harmonique
est la forme différentielle de plus petite norme L2 dans [! ].
Démonstration.
kkL2 2 = k + df kL2 2 = kkL2 2 + kdf kL2 2:
10
J. DUVAL
Formes holomorphes. On prend désormais en compte la structure complexe de
l’espace d’arrivée des formes différentielles. On considère les 1-formes différentielles : T S ! lisses et -linéaires. On a
C
R
=loc a dx + b dy
C
C C
avec a et b lisses à valeurs dasn . Certaines choses marchent toujours : l’applica 2g . On peut définir l’étoile de Hodge et on a un
1 (S; ) !
tion des périodes HDR
produit scalaire :
h; i =
Z
^ :
S
On a toujours la décomposition orthogonale
L = H ? E ? E:
Une forme différentielle vérifiant J = { est dite forme de type (1; 0).
C
Il est équivalent de parler de formes -linéaires. Le modèle local est a dz avec
a lisse. C’est l’espace propre de associé à {. Une forme différentielle vérifiant
J = { est dite forme de type (0; 1). Il est équivalent de parler de formes
-antilinéaires. Le modèle local est b dz avec b lisse. C’est l’espace propre de associé à {.
Comme localement a dx + b dy = a 2{b dz + a+2{b dz. On peut toujours écrire
une décomposition en somme d’une forme (1; 0) et d’une forme (0; 1). C’est la
décomposition sur les espaces propres de l’anti-involution .
C
Définition 2.2 (forme holomorphe). Une forme holomorphe est une forme de type
(1; 0) fermée. Le modèle local est a dz avec a holomorphe.
a:
La condition de fermeture est exactement la condition de Cauchy-Riemann sur
@a
dz ^ dz:
d! = d(a dz ) = da ^ dz =
@ z
Une fonction holomorphe s’écrit p + {q avec p et q harmoniques mais être holomorphe ne se résume pas à cette propriété : il faut en plus un couplage entre les
composantes réelles. L’équation de Cauchy-Riemann dit qu’elles doivent être conjuguées harmoniques.
Définition 2.3 (fomes antiholomorphes). Une forme antiholomorphe est une forme
de type (0; 1) fermée. Le modèle local est b dz avec b antiholomorphe ie. vérifie
@b
@z = 0.
Proposition 2.5 (décomposition de l’espace des formes harmoniques). On a la
décomposition :
H = ? Démonstration. Les formes holomorphes sont harmoniques car elles sont fermées
et d ! = { d! . C’est simplement la décomposition de H en sous-espace propres
de H .
SURFACES DE RIEMANN
11
Proposition 2.6 (Genre). On a donc
' Cg :
Le genre g d’une surface de Riemann S compacte connexe orientée peut donc être
défini comme la dimension (complexe) de l’espace des formes holomorphes sur S .
Exemples. On liste quelques formes holomorphes :
1
– (g = 0) Sur
toute forme holomorphe est fermée donc exacte. Comme
1
est compacte, toute fonction holomorphe est constante donc toute forme
holomorphe est nulle.
– (g = 1) Sur :=
( + { ) il y en a : les formes holomorphes exactes sur
invariantes par translation par le réseau passent aux quotient.
– (g quelconque) Sur X , courbe algébrique dans 2 définie par z22 = P (z1 )
compactifiée à l’infini avec P
de degré 2g + 2, une base
à racines simples
dz
n
1
de formes holomorphes est n := z1 z2
. Cette forme est bien holon>0
2z n
morphe car si z2 = P (z1 ) = 0, alors P 0 (z1 ) 6= 0 donc n = P 0 (z11 ) dz2 est
g (n+1)
holomorphe. À l’infini, w1 := z11 ! n w1
dw1 donc les formes n
holomorphes correspondent à n < g . On retrouve la bonne dimension.
Cependant, on est embêté pour uniformiser les surfaces de Riemann, c’est à dire
les classer à biholomorphisme près : il n’y a pas assez de formes holomorphes sur
1
, on autorise donc les singularités.
CP
C
CP
T C Z Z
C
CP
2.5. Formes méromorphes. On considère des surfaces de Riemann compactes
connexes.
Définition 2.4 (forme méromorphe). Une forme méromorphe est une forme holomorphe sur S n P , P fini présentant des pôles en p 2 P . Localement autour de
p 7! 0 c’est f (z )dz avec f méromorphe présentant un pôle en 0.
Définition 2.5 (Résidu). Le résidu d’une forme méromorphe ! en p se lit sur une
courbe d’indice 1 en p avec Int( ) \ P = fpg
Res(!; p) :=
1
2{
Z
! =loc Res(f; p):
Exercice. Si ! est méromorphe sur une surface compacte alors
X
p2 P
Res(!; p) = 0:
D’après l’exercice, outre les formes holomorphes (anciennement formes abéliennes de première espèce) les formes les plus simples sont les formes avec un pôle
d’ordre supérieur à 2 (anciennement formes abéliennes de seconde espèce) ou avec
deux pôles simples (anciennement formes abéliennes de troisième espèce).
1
Exemple. On regarde les formes sur
:
– Pôle double ; dz sur . En 1 elle se comporte comme dw
w2 avec le changement de carte classique w := 1=z .
C
CP
12
J. DUVAL
– Deux pôles simples de résidus opposés ; dz
z sur
en 1.
C se comporte comme
dw
w
Proposition 2.7 (construction de formes méromorphes). Si f est méromorphe sur
alors sa dérivée logarithmique df
f est une forme méromorphe. Si f est nonconstante, il n’y a que des pôles simples : les zéros et les pôles de f , et le résidu
donne l’ordre kp du zéro/pôle.
Démonstration. Si f = z k h avec h holomorphe non-nulle en 0,
S,
df k dh
= + ;
f z h
où le deuxième terme de la somme est holomorphe. De plus Res df
f
= k.
Proposition 2.8 (degré). Par corollaire, sur une surface compacte S , toute fonction
1
méromorphe f : S !
a autant de pôles que de zéros (avec multiplicité).
1
Plus généralement dega f := #f 1 (a) est une constante sur
: les fibres de
f ont toutes le même nombre de points appelé degré de f .
CP
CP
Démonstration. On a :
– Si P est l’ensemble des zéros et des pôles de f . D’après l’exercice ?? :
X
df
kp = 0
Res( ; p) =
f
p 2P
p2P
X
– On en déduit :
dega (f ) = deg0 (f
a) = deg1 (f
a) = deg1 (f ):
Proposition 2.9 (Fabrication de fonctions méromorphes). Il y a deux procédés
pour fabriquer des fonctions méromorphes à partir de la donnée de formes méromorphes.
– Quotient de deux formes méromorphes : localement, deux formes méromorphes sont toujours proportionnelles à dz . La fonction obtenue donne une fonction globale méromorphe.
– Primitive d’une forme méromorphe : si ! est une forme méromorphe sur S de
pôles P et qu’elle s’annule sur les périodes de S n P (ie. si les périodes et les
résidus de ! sont nuls), alors ! admet une primitive méromorphe.
Théorème 1 (Construction des formes abéliennes). Soit S une surface de Riemann
compacte connexe. Alors on sait fabriquer des formes abéliennes avec pôles prescrits sur S .
Démonstration pour les formes abéliennes du second type. On a :
L = H ? E ? E:
Dans une carte U centrée en p 2 S , surface de Riemann compacte connexe. On
pose :
dz
1
!k =loc d( k ) = k k+1 ; k > 0:
z
z
SURFACES DE RIEMANN
13
On veut étendre ! en une forme exacte en dehors de p et la corriger en une forme
méromorphe.
– Extension.
On prend une fonction plateau près de p à support dans la carte U . On
pose globalement :
!k = d( k ); k > 0:
z
– la théorie de Hodge permet de propager une forme holomorphe hors de p.
! {! est une forme lisse à support près de p de type (0; 1) : on efface
donc la singularité qui est de type (1; 0).
9; ; 2 H E E : ! {! = + + :
En appliquant { on voit aisément que est antiholomorphe et que = { .
On a donc :
|
!
2
{z
}
= {!+
|
faiblement fermé hors de p
{ :
2
{z
}
faiblement cofermé hors de p
!~ := ! 2 est donc harmonique et de type (1; 0) donc holomorphe
(près de p). Près de p, ! étant holomorphe : ! = { ! . Donc
=
{ :
2
2
est une forme fermée, cofermée et invariante par { donc holomorphe
2
près de p. Ainsi !
~ = k zkdz+1 + h près de p. On a bien une forme méromorphe
dont les pôles sont un pôle d’ordre k en p.
On peut choisir n’importe qu’elle forme polaire de résidu nul en p, car elle a
alors une primitive.
Démonstration pour les formes abéliennes du troisième type. Soient p 6= q 2 S
surface de Riemann compacte connexe. On suppose d’abord p; q 2 U un ouvert de
carte, avec (p; q ) ! (0; 1). Alors le modèle local est :
! =loc
dz
z
dz
z 1
:
Si affine la preuve précédente : il suffit de trouver une primitive près du bord de la
carte (ie. en dehors de l’ensemble d’annulation de la dérivée de la fonction plateau
. Cela se raccorde naturelement dans les ensembles 1 et 0. Or, log( z z 1 )
est correctement défini sur D n [0; 1] puisque z z 1 évite
dans .
Pour obtenir la démonstration dans le cas général, on discrétise un chemin de p à
q en prenant des points dans le même ouvert de carte que le précédent. On somme
(ce qui annule les résidus des points intermédiaires) et on a le résultat.
R
C
14
J. DUVAL
2.6. Théorie de Hodge dans le cas non-compact. Dans le cas non-compact, on
a toujours la décomposition :
L = H ? E ? E ;
où :
–
H
est l’espace des formes harmoniques L2 , qui peut être vu comme l’ensemR
ble des différentielles de fonctions harmonique d’énergie finie : S df ^
R
df := supK S K df ^ df < 1. H est vide sur , non-vide sur
.
– E est la fermeture L2 des différentielles de fonctions-test (i.e. lisses à support
compact).
Il y a des formes exactes dans L , qui ne sont pas dans E .
Exercice. Il existe des formes exactes dans L (à support compact) qui n’ont pas
de primitives à support compact.
On peut fabriquer les formes abéliennes comme dans le cas compact, mais on
n’a pas de degré.
On désymétrise la décomposition en notant F := H ? E . Si H 6= 0, on
?
perd la symétrie. F = E
correspond aux formes faiblement fermées (on
rappelle que cela se teste sur les fonctions-test). Par double inclusion, c’est aussi
2
fd' : ' 2 C 1g \ L L , et enfin puisque S est connexe, il n’y a pas de périodes,
les formes fermées sont donc exactes et F est l’adhérence L2 du sous-espace de
L des formes différentielles lisses fermées.
D
C
SURFACES DE RIEMANN
15
3. U NIFORMISATION .
3.1. Cas des surfaces simplement connexes.
Proposition 3.1 (Surfaces compactes connexes simplement connexes). Soit S une
surface de Riemann compacte connexe et simplement connexe. Alors S est biholomorphe à 1 .
1 (S; ) = 2g = 0, par l’application des périDémonstration. Tout d’abord, HDR
odes. Donc g = 0 est S est homéomophe à 1 . On veut aller plus loin, car on
veut obtenir une classification conforme. Soit ! une forme méromorphe avec un
pôle double. On rappelle Res(! ) = 0. Comme le genre est nul, il n’y a pas de
conditions de périodes, ! est donc exacte. Soit f une fonction méromorphe sur S
telles que ! = df . La fonction f a un seul pôle et il est simple, elle est donc de
degré 1 : f a un point dans chaque fibre. C’est à dire que f : S ! 1 est un
biholomorphisme.
PC
R
R
PC
PC
Proposition 3.2 (Surfaces non-compactes connexes simplement connexes). c’est
C ou D.
Démonstration. Autour d’un point p sur S , on construit la forme différentielle locale
! := d 1
;
z
qu’on prolonge en une forme différentielle globale. La forme (! { ! ) est lisse
à support compact, donc appartient à L . Si on la décompose sur F ? E en
! = + , on obtient l’égalité :
! = { ! + :
Le membre de droite est faiblement fermé hors de p, le membre de gauche est
faiblement cofermé hors de p, donc la forme ! est harmonique et dans L hors
de p.
Près de p, ! = {! (car ! est holomorphe) d’où : = est harmonique près
de p.
Il existe donc une fonction g harmonique d’énergie finie (sauf peut-être près de
p) telle que : ! = dg.
dg = { ! + et 2 E ? F donc pour toute fonction-test ' d’énergie finie :
Z
Ainsi si d' nulle près de p :
S
Z
^ d' = 0
dg ^ d' = 0:
S
En notant g =: u + {w, on obtient pour toute fonction-test ' à valeurs réelles nulle
sur Supp() et d’énergie finie :
Z
S
du ^ d' = 0:
16
J. DUVAL
On note v la conjuguée harmonique de u. (on s’arrange pour obtenir une situation à
nouveau symétrique) : du est fermée sur S n fpg, sans périodes autour de p : elle
est donc exacte et primitivable. Ceci donne l’existence de u telle que du = dv . La
fonction f := u + {v vérifie la formule de Cauhcy-Riemann et est donc holomorphe
hors de p. Elle a un pôle simple en p.
f : S ! 1 est-elle injective ? On raisonne par l’absurde. Sinon
PC
3.2. Cas général. On utilise la notion de revêtement universel ; Soit S une surface
de Riemann. Soient un espace topologique et : ! S un surjection continue.
On dit que la projection (; ) est un revêtement si on peut trivialiser localement
, c’est à dire s’il existe un recouvrement ouvert U tel que :
Ui = 1 (Ui ) / Ui
o
o
o
ooo
ooopr
o
o
wooo
F
,
Ui
où l’espace F — appelé fibre — est muni de la topologie discrète. Puisque Ui ff g ' Ui les cartes de S donnent un système de cartes pour . On en déduit a
posteriori que est une surface de Riemann est que est holomorphe.
Exemples :
– Le revêtement trivial : S F .
– ! : z 7! z 2 . C’est un revêtement de degré 2 (ie. #F = 2), qui n’est
pas trivialisable : est connexe. BLABLA
– ! : z 7! exp(z ). C’est un revêtement de fibre .
Les principales de propriétés d’un revêtement sont ses propriétés de relèvement.
Soit un chemin sur S , alors il existe un unique relèvement ~ de passant par un
point donné de la fibre au-dessus son origine.
C C
C C
C
Z
Définition 3.1 (Revêtement universel). C’est le seul revêtement simplement connexe. De façon équivalente, c’est le seul revêtement S~ qui est au-dessus de tous les
revêtements de la base S .
En particulier, S~ est une surface de Riemann connexe simplement connexe.
C’est le cas étudié précédemment et on sait classifier les revêtements universels.
On distingue trois types de surfaces :
– les surfaces elliptiques 1 (ou sphériques) : S~ ' 1 .
– les surfaces paraboliques (ou euclidiennes) : S~ ' .
– les surfaces hyperboliques : S~ ' .
L’idée de la construction du revêtement universel est de rendre simplement connexe une surface qui ne l’est pas. On veut donc dérouler les lacets non triviaux. La
fibre potentielle de S~ est donc 1 (S; p) le groupe fondamental qui est le groupe
des classes d’homotopie de lacets pointés. Pour un chemin de S on note [ ] sa
classe d’homotopie à extrémités fixées et on pose donc :
D
PC
C
S~ := f[ ]: (0) = pg;
1. les courbes elliptiques ne sont pas elliptiques, mais paraboliques !
SURFACES DE RIEMANN
et on note ~ la projection :
0
2
~ ([ ]) := (1):
S~p
S~q
[20 ]
[2]
[10 ]
[1]
p
2
1
17
0
1
~
3
q
D
2
1
( B ) Base d’ouverts de S~.
( A ) Revêtement universel
La topologie de S~ est définie par la donnée de la base d’ouverts :
D := f[ ]: chemin dans S D disque dans S autour de (1)g:
D est homéomorphe (par la projection ~ ) au disque D de la base. De plus :
~ 1 (D) =
G
21 (S;p)
D ' D 1 (S; p):
Proposition 3.3. Le revêtement universel est simplement connexe.
Démonstration. Soit un lacet de S~ en P au-dessus de p. Disons que P = [p]
est la classe d’homotopie du lacet constant en p. On définit le lacet dans S en p :
:= ~ :
Bien sûr relève dans S~. On a un autre relèvement : si on définit le lacet
tronqué au temps u : u (t) = (tu), u 7! [u ] relève dans S~. Par unicité du
relèvement partant de P , les deux relèvements ont même extrémité, donc [ ] = P .
~ P) =
Par la propriété de relèvement des homotopies, [ ] = [P ]. Finalement : 1 (S;
~
~
0; et comme S est connexe par arcs : 1 (S ) = 0.
Proposition 3.4. S s’identifie au quotient de S~ par un sous-groupe discret G <
Aut(S~) des automorphismes de son revêtement universel agissant proprement et
librement. De plus G ' 1 (S ).
Démonstration. G ' 1 (S ) car les automorphismes de revêtement de S~ sont en bijection avec la fibre de S~ au-dessus de p, qui est 1 (S; p), et deux automorphismes
qui coïncident en un point coïncident partout (propriété universelle).
18
J. DUVAL
PC
C
Si l’étude de tels sous-groupes des automorphismes de 1 et de est relativement aisée, ce qui fournit une classification exhaustive, l’étude est compliquée
dans le cas du disque de Poincaré . Il y a donc beaucoup plus de surfaces hyperboliques (ce qui justifie cette dénomination). Dans le cas du disque, on parle de
sous-groupes fuchiens.
Les automorphismes de la sphère de Riemann sont les homographies complexes
(vu comme P SL2 ( ), si on les fait agir sur les droites de 2 ). Toute homographie
possède deux points fixes dans 1 .
Les automorphismes du plan complexe sont les homographies préservant , i.e.
qui fixent le point à l’infini. Ce sont donc les transformations affines. Les seules à
ne pas avoir de point fixe sont les translations.
Les automorphismes du disque de Poincaré sont les homographies préservant
. Si on considère plutôt le demi-plan supérieur , on peut le voir comme les
homographies réelles de déterminant positif (vu comme P SL2 ( ), si on les fait
agir sur les droites).
Il n’y a donc qu’une surface sphérique, la sphère de Riemann 1 . Les surfaces
euclidiennes sont : , et les tores (cf. infra). Le cas des surfaces elliptiques est
plus riche.
Conséquences :
1
– Tout automorphisme de la sphère de Riemann
différent de l’identité a un
ou deux points fixes.
1
– Les homographies sont simplement transitives sur les triplets de
.
1
– Or F ix(' h ' ) = 'F ix(h)
– Si un seul point fixe, conjugué à F ix(h) = 1. Donc h = az + b puis
a = 1 b 6= 0. Donc h est conjugué à z 7! z + 1. Ce sont les homographies
paraboliques.
– Si deux points fixes, conjugué à F ix(h) = f0; 1g. Donc h = z : 6= 0
puis 6= 1. Quand est positif, ce sont les homographies hyperboliques.
D
C
C
PC
C
D
H
CC
R
PC
CP
CP
Théorème 2 (Classification conforme de surfaces de Riemann).
type 1 (S )
elliptique
parabolique
hyperbolique
CP
1
Z
CP
C C
D D = A1; Ak
1
Z2
courbes elliptiques
non abélien
?
Si G < Aut( 1 ) agit librement proprement, alors G = feg donc la seule
1
surface elliptique est
.
Classification des surfaces de Riemann paraboliques. Les automorphismes sans
point fixe sont les translations. ! -modules. Les sous-groupes discrets G <
( ; +) sont de rang r 6 2.
r = 0 : G = f0g, alors S = .
r = 1 : G ' , alors S = hz 7! z + 1i ' . En effet :
CP
Z
C
Z
C
C
C
C exp
' Chz 7! z + 2{i:
SURFACES DE RIEMANN
r = 2 : G est un réseau
=( ) > 0. On a S '
19
C de générateurs f1; g, et on peut demander
CZ + Z est compacte connexe
de genre 1. C’est
2
dans
donc un tore. Tous les tores sont homéomorphes à T , mais ils ne sont pas
isomorphes. Cette famille de surfaces s’appelle les courbes elliptiques. C’est
une famille à un paramètre complexe (2 ).
H
Proposition 3.5. L’espace des modules des courbes elliptiques (ou tores) est isomorphe à .
C
REFERENCE : cours d’arithmétique de Serre
Démonstration. On a :
(C; 0)
1
'
/
(C; 0) ;
2
T1 : h1; 1 i / T2 : h1; 2 i
C
'(Z 1 Z) = Z 2 Z:
où ' est un automorphisme az + b de . ' passe au quotient ssi :
'(1) = + 2 et '(1 ) = + 2 = 1 '(1), donc '(1 ) engendre 2 ssi
= 1.
+ 2 ( + 2 )( + 2 )
1 =
=
+ 2 j + 2 j2
=(2) > 0, donc =(1) > 0 est du signe de . Finalement = 1,
c’est à dire :
2 P Sl2(Z):
T1 ' T2 , 2 2 OP Sl2 (Z) (1 ):
Donc :
M
' HP Sl2(Z) ' C:
Classification des surfaces de Riemann hyperboliques à groupe fondamental
abélien. C’est
G : 1 (S ) ' G. (On veut G abélien).
On se pose la question : Quelles sont les homographies avec deux points fixes
(hors de ).
h conjuguée à z 7! z : 6= 0; 1 par '.
D
D
' h ' 1 (z ) = z = h~ (z ):
20
J. DUVAL
Exercice : Les homographies qui envoient les disques sur les disques, si on considère les disques généralisés aux demi-plans (disque dont le bord passe par 1)
sont feg et les homographies hyperboliques.
'( ) = '( ) donc = e{ avec = 0 car '( ) ne rencontre pas l’origine.
1 6= = > 0 ! demi-plan dont le bord passe par 0.
Ce sont les homographies hyperboliques.
Donc G est constitué d’éléments de : {Id,homographies paraboliques, homographies hyperboliques }. Si de plus G 6= feg et G abélien, soit il existe p tel que :
D
D
D
G = feg [ f hom. paraboliques qui fixent pg
soit il existe (p; q ) tels que
G = feg [ f hom. hyperboliques qui fixent p et qg
En effet :
Proposition 3.6. Deux homographies de G (différentes de l’identité) qui commutent ont les mêmes points fixes. En particulier elles sont de même type.
Démonstration. Soient h; k 2 G : hk = kh deux homographies différentes de l’identité qui commutent. Si p est fixé par k , h(p) est fixé par k , donc h fixe l’ensemble des points fixes de k (et vice-versa).
– Si k est hyperbolique de points fixes fp; q g,
h(fp; qg) = (fp; qg):
Soit h fixe p et q (alors h est hyperbolique de points fixes fp; q g) soit h
échange les deux points. Dans les deux cas, h2 fixe p et q . Si h fixe un autre
point, son carré a au moins trois points fixes, donc c’est l’identité. Or, une
homographie parabolique ou z 7! z : 1 6= > 0 est d’ordre infini.
– Si k est parabolique de point fixe p, h fixe p. Si h fixe un second point q , h est
hyperbolique, donc k aussi. h est donc parabolique de point fixe p.
feg [ f hom. paraboliques qui fixent pg est un sous-groupe discret des translations qui préservent . donc G < ( ; +) et G ' . Finalement
H
R
Z
S ' HZ ' D :
C D
on écrit que des ' conformes. Il est notable que 6' .
Dans le second cas, G = feg [ f hom. hyperboliques qui fixent p et q g et G
( + ; ) 3 fg discret. G ' . et :
R
Z
S ' Hhz 7! z i:
<
Exercice. S est conforme à une couronne de rayon intérieur 1 et de rayon extérieur
R(). Trouver R(). L’espace de modules des anneaux est (1; +1).
log
1
exp({ : : : )
1 R ( )
SURFACES DE RIEMANN
21
Comme corollaires du théorème, on peut remarquer que toute surface compacte
connexe de genre g 2
= f0; 1g est hyperbolique et démontrer les théorèmes célèbres :
Théorème 3 (Liouville). Une surface S est hyperbolique si et seulement si elle est
hyperbolique au sens de Kobayashi : il n’y a pas d’application holomorphe entière
(non constante) à valeurs dans S .
D
Démonstration.
– Si S est hyperbolique, S~ = et par la propriété universelle
toute fonction holomorphe f : ! S se relève en une fonction holomorphe
f~: ! . Par le théorème de Liouville, f~ est constante ainsi que f~ = f .
– On utilise la classification pour démontrer le sens réciproque. On a vu que la
projection associée au revêtement universel est holomorphe (surjective donc
non constante). Si le revêtement universel est , il n’y a rien à faire. Si c’est
1 il suffit de restreindre à
1 .
C
C D
PC
C PC
Théorème 4 (Picard).
PC
C
P1C n f0; 1; 1g est hyperbolique (au sens de Kobayashi).
Démonstration. 1 nf0; 1; 1g se rétracte par déformation sur le bouquet de deux
cercles. Par le théorème de Van Kampen : (REFERENCE AT Hatcher)
1
P1C n f0; 1; 1g
= 1 S 1 _ S 1 = Z Z;
qui est non-abélien. D’après notre classification,
bolique.
P1C n f0; 1; 1g est donc hyper
On peut approfondir l’étude des surfaces hyperboliques.
D
Proposition 3.7. Soit S =
G une surface de Riemann connexe compacte hyperbolique, alors S n’a qu’un nombre fini d’automorphismes.
C’est un résultat fort. On peut comparer la situation à celle de surfaces non
hyperboliques :
– Aut( 1 ) = P Sl2 ( ) 3 paramètres complexes.
– Aut( ) = faz + bg 2 paramètres complexes.
– Aut( ) = P Sl2 ( ) 3 paramètres réels.
– Aut( ) frotationsg > 1 paramètres réel.
– Aut( ) frotationsg > 1 paramètres réel.
– Aut( ) ftranslationsg > 1 paramètres complexe.
L’idée de la démonstration est de montrer que Aut(S ) est discret et compact. On
raisonne par l’absurde ; si Aut(S ) n’est pas discret, il existe une suite d’automorphismes fn ! id. Or par la propriété universelle, Aut(S ) se relève dans Aut( ).
6=id
On obtient donc une suite 'n ! id. Si h 2 G,
PC
C
D
C
D
T
C
R
D
G 3 hn := 'n h 'n 1 ! h:
Puisque G est discret, à partir d’un certain rang hn = h, ie. 'n h = h'n . On en
déduit que G est constitué soit uniquement de paraboliques (p) soit uniquement
d’hyperboliques (p; p0 ) : Si h et g sont des éléments de G, il existe un rang pour
22
J. DUVAL
lequel 'n h = h'n et 'n g = g'n , donc h et g sont du même type que 'n , en
particulier du même type. (On remarque que 'n n’est pas forcément dans G).
A FINIR
SURFACES DE RIEMANN
23
Le théorème de Riemann-Roch
4. FAISCEAUX .
4.1. Faisceaux. C’est un langage adapté aux recollements.
Premier exemple. Soit S une surface de Riemann. ! une 1-forme fermée. Quand
est-elle exacte ? Le premier point de vue consiste à voir le défaut d’exactitude
1 (S; ).
comme la classe dans le premier groupe de cohomologie de De Rahm HDR
Un autre point de vue est celui des faisceaux : localement, une 1-forme fermée est
exacte. On peut donc recouvrir S par des ouverts Ui ' sur lesquels ! est exacte.
On a :
! =loc d(fi + ci ):
Si on demande Ui \ Uj connexe, on a :
C
8i; j; 9cij 2 C : (fi fj )jUi\Uj = cij :
Les cij sont les 1-cocycles (additifs) à valeurs complexes. Si on peut écrire cij =
ci cj on dit que (cij ) est un 1-cobord . Alors f jUi = fi ci se recolle en une
fonction globale, primitive de ! qui a des cocycles nuls.
Ainsi on voit que :
H 1 (U ; C);
1
HDR
(S; C) !
pour un bon recouvrement:
Définitions. Pour tout ce paragraphe, on pourra se référer à Hartshorne REFERENCE. Le concept de faisceaux est une façon de transporter l’information algébrique locale sur un espace topologique.
Définition 4.1 (Préfaisceau). Un préfaisceau F en groupes abéliens sur l’espace
topologique X , c’est la donnée :
– Pour tout ouvert U de X , d’un groupe abélien F (U ) et
– Pour toute inclusion d’ouverts de X , V U d’une restriction UV , morphisme abélien de F (U ) dans F (V )
tels que :
0. F (;) = 0.
1. UU = 0 et si W V U X , UW = V W UV . (Conditions de
cocycle)
On a une définition analogue pour des préfaisceaux dans n’importe quelle catégorie en remplaçant “groupe abélien” par “objet de telle catégorie”.
On appelle section de F au dessus de U les éléments de F (U ). On note souvent
sjV := UV (s), en s’inspirant des fonctions.
Un faisceau est un préfaisceau vérifiant des propriétés de recollement.
Définition 4.2 (Faisceau). Un préfaisceau F sur X est un faisceau s’il vérifie en
outre les conditions de recollement : Si (Vi ) est un recouvrement ouvert de l’ouvert
U X,
- Unicité. 8s 2 F (U ) : 8i; sjVi = 0 ) s = 0:
- Localité. 8(si ) 2 (F (Vi )) : 8i; j si jVi \Vj = sj jVi \Vj ) 9s 2
F (U ); 8i sjVi = si:
24
J. DUVAL
Exemple. [faisceau des fonctions régulières.] C’est le faisceau dont la régularité
correspond à la structure de X :
– F (U ) := C k (U; ); 0 6 k 6 1, pour les espaces topologiques.
– F (U ) := Diff (U; ), pour les variétés différentielles.
– F (U ) := O(U; ) (fonctions holomorphes sur U ), pour les variétés complexes.
Exemple. [faisceau constant] C’est les applications continues à valeurs dans un
anneau A muni de la topologie discrète.
A(U ) = A#U , où #U est le nombre de composantes connexes de U:
C
C
C
Exemple. [Surfaces de Riemann]
Définition 4.3 (Morphisme de préfaisceaux).
Définition 4.4 (Isomorphisme de préfaisceaux).
Définition 4.5 (Fibre). (en anglais stalk, signifie tige.) Il est naturel de vouloir
définir la fibre au dessus d’un point associé à un préfaisceau F par
Fp := lim
! F (U 3 p):
On peut voir cet espace comme f< U; s >g= où
< U; s >< V; t > si sjU \V = tjU \V :
Cette construction est calquée sur celles des germes de fonctions. On appelle donc
germes les éléments de Fp .
La notion d’isomorphisme de faisceaux est une notion locale :
Proposition 4.1 (Isomorphisme de faisceaux). Un morphisme de faisceaux est un
isomorphisme de faisceaux si et seulement s’il induit un isomorphisme sur chaque
fibre.
Définition 4.6 (Noyau, image, conoyau de préfaisceau).
Proposition 4.2 (Noyau, image, conoyau de préfaisceau d’un faisceau). Si :
F ! G est un morphisme de faisceaux, son noyau de préfaisceau est un faisceau
mais en général son image et son conoyau ne sont pas des faisceaux.
Proposition 4.3 (Faisceautisation des préfaisceaux). Si F est un préfaisceau,
jFj := gnagna
est un faisceau.
Définition 4.7 (Sous-faisceau).
Définition 4.8 (Image, conoyau, quotient de faisceaux.).
Définition 4.9 (Suite exacte de faisceau).
Proposition 4.4. La notion de suite exacte de faisceaux est une notion locale. Elle
se lit sur les fibres.
Définition 4.10 (image directe, inverse, restriction d’un faisceau).
SURFACES DE RIEMANN
25
4.2. Cohomologie des faisceaux. Dans cette partie, on se limite à nouveau aux
surfaces de Riemann. Soit S une surface de Riemann. On note U un recouvrement
“adéquat” de S . Soit F un faisceau sur S .
0-cochaînes C 0 (U ; F ) i2I FUi :
0-cocycles Z 0 (U ; F ) ci jUi \Uj cj jUi \Uj = 0:
0-cobords B 0 (U ; F ) ;:
F IGURE 1. Cohomologie en degré 0.
D’après la propriété de localité des faisceaux, un 0-cocycle c’est une section
globale de F . On les notes FS .
H 0 (U ; F ) = Z 0 (U ; F ) = FS .
1-cochaînes C 1 (U ; F ) (i;j )2I 2 FUi \Uj :
1-cocycles Z 1 (U ; F ) cij = cik + ckj sur Ui \ Uj \ Uk :
1-cobords B 1 (U ; F ) cij = ci cj avec (ci ) 2 C 0 (U ; F ):
F IGURE 2. Cohomologie en degré 1.
H 1 (U ; F ) = Z 1 (U ; F )=B 1 (U ; F ) défini le premier espace de cohomologie.
Cependant, cet espace dépend du choix de U . Si V est plus fin que U , alors l’appli
cation de raffinement induit H 1 (U ; F ) ! H 1 (V ; F ) : [cij ] = c (i) (j ) jVi \Vj :
Exercice. En cohomologie, ne dépend pas du choix de .
L EMME . Quand on raffine, on fait grandir la cohomologie : est injective.
L’idée est donc de passer à la limite pour avoir le plus d’information possible. On
pose :
1
H 1 (S; F ) = lim
! H (U ; F ):
lim
! est un objet de faisceau, il est défini grâce aux restrictions.
On dit qu’un recouvrement U est acyclique si 8i; H 1 (Ui ; F ) = 0.
Théorème 5 (Leray).
H 1 (S; F ) = H 1 (U ; F ) dès que U est acyclique.
Définition 4.11 (Faisceau flasque). un faisceau est flasque si
exemple C infini
h1 () = 0 donner
4.3. Suites exactes de faisceaux. Dans cette partie, S est une surface de Riemann
compacte connexe.
Une suite exacte courte de faisceaux
0!E
!
F!
G!0
26
J. DUVAL
donne une longue suite exacte en cohomologie :
0
0
0 ! H (S; E ) ! H (S; F ) ! H 0 (S; G )
!@ H 1(S; E ) ! H 1(S; F ) ! H 1(S; G )
..
.
! :::
!@ H k (S; E ) ! H k (S; F ) ! H k (S; G ) ! : : :
Exemple. [Complexe de Poincaré]
d 1
0!C!E !
F ! 0:
donne en notant Ker(d) = f1-formes fermées C 1 g :
d
@
0 ! C ! C 1 (S ! C) !
Ker(d) !
H 1 (S; C) ! 0
d
L’exactitude en ! Ker(d) H 1 (S; C) signifie qu’il y a un isomorphisme
1
H 1 (S; C) ' Ker(d)=Im(d) = HDR
(S; C):
Ce qui rend cette suite longue effectve, c’est la présence d’un faisceau flasque, qui
permet de la couper. Le connectant est @ : dfi 7! fi fj .
Lorsqu’on a deux faisceaux flasques dans la suite, on parle de résolution flasque.
Exemple. [Complexe de Dolbeault]
0!O!E
@
!
E (0; 1) ! 0
donne
0 ! H 0 (S; O) ! H 0 (S; E ) ! H 0 (S; E (0; 1)) ! H 1 (S; O) ! H 1 (S; E )
Soit en notant Ker(@) = f(0; 1)-formes (globales) C 1 g,
0 ! 0 ! C 1 (S ! C) ! Ker(@) ! H 1 (S; O) ! 0
Ce qui prouve l’existence de l’isomorphisme de Dolbeault
;1)
(1)
H 1 (S; O) ' H@(0
(S; O) = Ker(@)=Im(@):
i ) 7! fi fj 2 H 1 (S; O) qui est holomorphe
le connectant @ c’est ( =loc @f
par Cauchy-Riemann.
On s’inspire de ces exemples pour construire le connectant dans le cas général.
Soit g 2 G . La surjectivité de la suite exacte de faisceaux en G signifie qu’il existe
un recouvrement U de S tel que g jUi = fi . Sur Ui \ Uj , fi fj est dans le
noyau de . Quitte à fractionner à nouveau, on peut supposer qu’on a choisit U de
façon à ce que l’exactitude en F signifie fi fj = (eij ). L’exactitude en E donne
l’injectivité de donc eij est bien définie. On définit :
@ (g) = (eij ):
Exercice.
– Montrer que @ (g ) ne dépend pas du choix de fi à cobord près.
– Montrer l’exactitude de la suite longue en cohomologie.
SURFACES DE RIEMANN
27
4.4. Cohomologie structurale. On s’intéresse à une surface de Riemann S compacte connexe lisse de genre g et de faisceau structural O. On note
hk (S; O) = dim H k (S; O):
= C donc h0 (S; O) = 1.
Théorème 6. h1 (S; O) = g:
Comme S est une surface si k > 1, hk (S; O) = 0. La caractéristique du faisceau
On a H 0 (S; O) = OS
structural est donc :
(S; O) =
X
( 1)k hk (S; O) = h0 (S; O) h1 (S; O) = 1 g:
Démonstration de h1 (S; O) < 1. La démonstration utilise le théorème de Montel
REFERENCE ? et l’ajout d’une structure de Hilbert :
Proposition 4.5 (théorème de Montel/Stieltjes-Osgood). D’une suite de fonctions
holomorphes fn : U ! définie sur un domaine localement uniformément bornée
on peut extraire une sous-suite convergeant uniformément sur tout compact vers
une fonction holomorphe. (C’est une propriété de compacité dans l’espace des
fonctions holomorphes.)
C
Par Leray, H 1 (S; O) = H 1 (U ; O) si le recouvrement est acyclique. Ceci est
équivalent par le théorème de Dolbeault à ce que Ui satisfasse le lemme de Dolbeault. REFERENCES
Une fonction holomorphe est régulière dans son disque de convergence mais
peut être très sauvage au bord. On demande donc aux fonctions d’êtres holomorphes au voisinage des ouverts du recouvrement. Concrètement, on se donne des
recouvrements de S U et V tels que 8i; Vi b Ui : Vi est relativement compact dans
Ui . Les premiers groupes de cohomologies sont en bijection via l’application de
raffinement. On va introduire une structure de Hilbert. On note avec un indice la
cohomologie L2 :
H21 (V ; O) = Z21 (V ; O)=B21 (V ; O);
où Z21 (V ; O) = Z 1 (V ; O) \ C21 (V ; O) : on ne demande pas que les cocycles proviennent de cochaînes L2 .
On a le diagramme :
H 1 (U ; O) / H8 1 (V ; O)
q
qqq
q
q
q
qqq
H (V ; O)
Car l’application de restriction C 1 (U ; O) ! C 1 (V ; O) donne des cochaînes
L2 : Vi \ Vj b Ui \ Uj donc fij jVi \Vj s’étend continument à Ui \ Uj , donc elle
est bornée, en particulier L2 . On a donc l’injectivité.
Pour montrer la surjectivité, on considère fij cocycle L2 sur V . Comme le faisceau des fonctions C 1 est flasque, on peut écrire fij = fu fj en utilisant les
partitions de l’unité. De plus fi = k fik est L2 . fij est holomorphe donc par
1
2
28
J. DUVAL
i se recolle ( par localité des faisceau) en une (0; 1-forme globCauchy-Riemann @f
ale .
i avec gi C 1 sur Ui (donc L2 sur Vi b Ui ) car Ui comme il
On a Ui = @g
faut. gij := gi gj est holomorphe. On a
gij = fij
((gi
fi ) (gj fj ));
et (gi fi ) est bien une fonction holomorphe L2 sur Vi . Donc [gij ] = [fij ].
'
On montre de la même manière H21 (U ; O) ! H21 (V ; O). Il suffit de prendre
un troisième recouvrement W tel que Vi b Ui b Wi et d’appliquer le résultat
précédent à U puis à V .
On obtient
Z21 (U ; O) C20 (V ; O)
(fij
;
gi )
r ! Z21(V ; O) :
7
!
fij jV + gi gj
Cette application est continue entre espces de Hilbert. On a
H 1 (S; O) = H21 (V ; O) = Z21 (V ; O)=Im :
On invoque alors un théorème général qui dit que l’image d’un opérateur quasicompact est de codimension finie.
4.5. Dualité de Serre (cas particulier). On appelle faisceau dualisant le faisceau des formes holomorphes. La dualité de Serre donne une relation entre la cohomologie duale du faisceau structural et la cohomologie du faisceau dualisant.
Théorème 7 (Dualité de Serre).
H 1 (S; O) H 0 (S; )(= S ' Cg ):
Démonstration. cadre Hilbertien + lemme de régularité du type Weyl : faiblement
holom ) holom.
L’isomorphisme de Dolbeault (1) permet de voir H 1 (S; O) comme
;1)
H@(0
(S; O). Ceci permet de construire :
! H 1(S;RO) = H@(0 ;1)(S; O) :
7! ( 7! S ! ^ )
;1)
2 [] 2 H (0
Soit + @f
@ (S; O).
d(f!) = df ^ ! + fd!
^!+f ^0
= @f
^ ! +@f
| {z }
H 0 (S; )
!
(2;0)-forme=0
^ !:
d(f!) = @f
R
R
).
Donc par Stokes sur S sans bord, S ! ^ = S ! ^ ( + @f
L’injectivité Rest directe. Si ! est une forme holomorphe non-nulle,
(0; 1)-forme et S ! ^ ! > 0. La surjectivité est plus difficile.
!
est une
SURFACES DE RIEMANN
29
5. F IBRÉS EN DROITE HOLOMORPHES .
5.1. Groupe de Picard. Un fibré en droites holomorphe c’est un fibré vectoriel L
de rang 1 sur avec des changements de trivialisations holomorphes. Comme les
isomorphismes de sont les applications -linéaires, les cocycles associés sont
des fonctions holomorphes sur L :
C
C
C
(p; v) 7! (p; gij (p):v) avec gij 2 Z 1 (U ; O ):
Le fibré (en droites) trivial c’est le fibré S C associé au cocycle trivial. Un fibré
en droite est parallélisable s’il est isomorphe au fibré trivial.
L EMME . Un fibré est parallélisable si et seulement si le cocycle associé est un
cobord.
Un cocycle permet de construite un fibré en droite holomorphe abstrait qui est
un un fibré en droite holomorphe.
Définition 5.1 (Groupe de Picard). C’est l’ensemble des classes d’isomorphisme
de fibrés en droites holomorphes.
Pic(S ) := ffibrés en droites holomorphesg=ffibrés en droites parallélisablesg:
La loi est le produit tensoriel, qui redonne bien un fibré en droite (C C = C).
L’élément neutre est le fibré trivial. L’inversion est le passage au dual. (Considérer
les cocycles). En particulier 8L; L L = S .
C
Proposition 5.1. Le groupe de Picard est un groupe abélien. Plus précisément :
Pic(S ) ' H 1 (S; O ):
Soit L un fibré en droites holomorphe de base S . On note
H i (S; L) := H i (S; OL );
le i-eme groupe de cohomologie du fibré holomorphe OL (associé à L). L’espace
H 0 (S; L) des sections globales holomorphes de L est aussi noté OL (S ). On note
aussi :
hi (S; L) := dim H i (S; L):
L’existence de sections holomorphes globales d’un fibré en droites holomorphe
n’est pas évidente. Par exemple les sections globales du fibré canonique KP1 C sont
les formes holomorphes globales sur la sphère de Riemann. La seule section est
identiquement nulle. Par contre, il y a (beaucoup) de sections méromorphes. Par
exemple, soit S une surface de Riemann compacte. alors h1 (S; L) est finie, or on a
la suite exacte de faisceaux :
0 ! OL ! ML ! PL ! 0;
d’où la suite exacte d’espaces vectoriels :
0 ! OL (S ) ! ML (S ) ! PL (S ) ! H 1 (S; L) ! : : :
Si on considère les dimensions, on remarque que si OL (S ) et H 1 (S; L) sont "petits", la grande taille de PL (S ) impose que ML (S ) soit "grand".
On peut définir un opérateur @L par :
@L (s) = @L (s0 f ) := s0 @f:
30
J. DUVAL
C
Comme EL section de L , on fait agir @ sur
C pour obtenir @L en posant :
@L (s f ) := s @(f ):
On a donc :
;1)
H 1 (S; C) ' f(0; 1)formes à valeurs dans Lg@fsections de Lg ' H@(0
L (S; L)
le premier groupe de cohomologie de Dolbeault.
On a alors l’isomorphisme de Dolbeault :
@L (0;1)
0 ! OL ! EL !
EL ! 0;
ainsi que la dualité de Serre :
;1)
1
0
H@(0
L ' H (S; L) ' H (S; L KS ):
Le dernier espace est l’espace des formes holomorphes à valeurs dans L . La deuxième équivalence est réalisée par l’isomorphisme :
! 7! 7!
Z
! ^ : ;
S
où est pris dans l’espace des (0; 1) formes à valeurs dans L. Il est fondamental
de remarquer que ! ^ est une 2-forme usuelle. Localement :
! =^
et
=^s
donc :
! ^ = (s) ^ :
Et on remarque que (s) est un scalaire.
E XEMPLES :
– H 1 (S; O ) ' H 0 (S; ):
– H 1 (S; S ) ' H 0 (S; (S ) KS ) ' H 0 (S; KS ) ' H 0 (S; ):
– H 1 (S; ) ' H 1 (S; KS ) ' H 0 (S; KS KS ) ' H 0 (S; S ) =
C
C
C
h1C (S; ) = 1:
C;
5.2. Diviseurs. On appelle diviseur une combinaison formelle à support fini de
points de S (avec coefficient entiers). On note Div(S ) le groupe (abélien) des diviseurs. Un diviseur D est effectif si ses coefficients sont positifs, on note alors :
D > 0. Un diviseur D est principal s’il existe une fonction méromorphe f telle
que :
D = (f ) :=
X
ordrep (f ) p:
Z (f );P (f )
Un diviseur D est canonique s’il existe une forme méromorphe ! telle que :
D = (!) :=
X
Z (!);P (!)
ordrep (!) p:
SURFACES DE RIEMANN
31
Plus généralement, on peut définir le diviseur d’une section méromorphe. On
définit le degré d’un diviseur comme la somme algébrique de ses coefficients. C’est
un morphisme de Div(S ) dans .
Z
Proposition 5.2. Soit S une surface de Riemann compacte connexe. On note
Div0 (S ) l’ensemble des diviseurs de degré 0 et Divp (S ) l’ensemble des diviseurs
principaux. On a : Divp (S ) Div0 (S ). De plus, deux sections méromorphes du
fibré en droites holomorphes L ont des diviseurs de même degré. On note deg(L)
cet entier.
Démonstration. Une fonction méromorphe a le même nombre de pôles et de zéros,
donc elle est de degré nul. Le quotient de deux sections
méromorphes est une
fonction méromorphe (par localité des faisceaux). Or ss0 = (s) (s0 ). On conclut
en appliquant deg.
5.3. Lien entre fibrés et diviseurs.
Proposition 5.3. On a le morphisme de groupe :
Pic(S ) ' Div(S )=Divp (S ):
Démonstration.
Soit D 2 Div(S ) un diviseur. On peut lui associer un fibré en droite holomorphe
[D] avec une section méromorphe dite canonique de diviseur D. Quitte à raffiner,
on utilise un atlas où les ouverts de trivialisation contiennent au plus un pont du
support de D. Sur l’ouvert Ui contenant le point pi de poids ni , on sait construire
une section méromorphe mi de diviseur ni pi . Sur les autres ouverts on prend
mi 2 Z 1 (S; O ) définit un fibré en droite holomorphe abstrait [D]. De
mj = 1. m
j
plus la section globale sD obtenue par recollement des mi est méromorphe de
diviseur D.
! Soit L un fibré en droites holomorphes. On a vu qu’il existe des sections méromorphes et que les diviseurs de deux fonctions méromorphes sont linéairement
équivalents. i.e. 9f 2 MS : (s) = (s0 ) + (f ):
Notation. On rappelle O[D] est le faisceau des fonctions holomorphes de [D]. On
note OD le faisceau des fonctions méromorphes à pôles peu profonds dominés par
D, c’est à dire ff 2 MS : (f )+ D > 0g. De la même façon on note D le faisceau
des formes méromorphes à pôles peu profonds dominés par D. On note L(D) le
faisceau L [D].
Proposition 5.4 (Dictionnaire). On a : OD
' O[D] et D ' H 0(S; OKS (D)).
Démonstration. Il suffit de multiplier ou de diviser par la section canonique sD .
Proposition 5.5 (Dualité de Serre). On rappelle que :
H 1 (S; L) ' H 0 (S; L KS );
de la même façon que dans le cas particulier L = S C. Si on prend L = [D], on
obtient :
H 1 (S; OD ) ' D
32
J. DUVAL
Démonstration. On rappelle que H k (S; L) := H k (S; OL ). D’un côté
O[D] ' OD . De l’autre, en utilisant le morphisme de groupe [D] = [ D]
et H 0 (S; OKS ( D) ) ' D .
SURFACES DE RIEMANN
33
6. L E THÉORÈME DE R IEMANN -ROCH .
6.1. Énoncés. Le théorème de Riemann-Roch est un cas particulier de théorème
de l’indice : il relie une quantité analytique et une quantité topologique.
Notation. En langage divisoriel, on note OD le faisceau des fonctions méromorphes telles que (f ) + D > 0 et
hi (D) := dimC H i (S; OD );
ses dimensions cohomologiques.
En langage des fibrés, on note OL le faisceau des sections holomorphes de L et
hi (L) := dimC H i (S; OL );
ses dimensions cohomologiques.
Théorème 8 (R-R divisoriel). On a les deux énoncés suivants, équivalents à
travers la dualité de Serre. Pour tout diviseur D sur une surface de Riemann compacte connexe de genre g :
Version faible :
(D) = h0 (D) h1 (D) = deg(D) + (1 g)
Version forte : pour tout diviseur canonique K ,
(3)
h0 (D) h0 (K D) = deg(D) + (1 g)
(2)
Théorème 9 (R-R en langage des fibrés). On a les deux énoncés suivants, équivalents à travers la dualité de Serre. Pour tout fibré en droite holomorphe L au-dessus
d’une surface de Riemann compacte connexe de genre g :
Version faible :
(L) = h0 (L) h1 (L) = deg(L) + (1 g)
(4)
Version forte :
h0 (L) h0 (L KS ) = deg(L) + (1 g)
(5)
Définition 6.1 (Faisceau gratte-ciel). Soit D un diviseur sur la surface de Riemann
S . On définit le faisceau D comme le faisceau dont les germes sont :
– 0 si le point n’est pas dans le support de D.
– L’espace w où w est le poids du point dans D si le point est dans le support
de D.
Comme ce faisceau est à support fini, il est flasque (prendre des cartes dont les
intersections ne contiennent aucun point du support de D) et on calcule facilement
h0 (S; D ) = deg(D).
C
C
C
Démonstration des théorèmes. On utilise le langage divisoriel. On considère
d’abord le cas (le plus important !) D = 0. On a bien (O) = 1 g .
Pour D effectif, on a la suite exacte courte de faisceaux :
0 ! O ! OD ! CD ! 0;
34
J. DUVAL
C
où OD ! D est la donnée de la partie polaire. On en déduit la suite exacte (courte
car D est flasque)
0 ! H 0 (O) ! H 0 (OD ) ! deg D ! H 1 (O) ! H 1 (OD ) ! 0:
C
C
La caractéristique d’Euler d’une suite exacte d’espaces vectoriels est nulle donc :
h0 (O) h0 (OD ) + deg(D) h1 (O) + h1 (OD ) = 0
soit :
(O) (OD ) + deg(D) = 0:
On en déduit le résultat :
(OD ) = deg(D) + 1 g:
Z avec P et Z diviseurs effectifs, on considère la suite exacte
Pour D = P
courte de faisceaux :
0 ! OD ! OP
! CZ ! 0:
On obtient le résultat :
(OD ) (OP ) + deg(Z ) = 0:
Donc :
(OD ) = deg(D) + 1 g:
Ce qui conclut la démonstration.
6.2. Applications.
Proposition 6.1 (degré d’un diviseur canonique). Si K est un diviseur canonique
sur une surface de Riemann compacte connexe de genre g , alors
Démonstration.
deg(K ) = 2g 2:
Par (3) : deg(K ) = h0 (K ) h0 (O) + g
Notons qu’on a donc, pour toute forme méromorphe ! de diviseur K
deg(K ) = 2g
1.
= (!),
2 = (S );
où on note (S ) la caractéristique d’Euler réelle du fibré tangent T S .
Proposition 6.2 (formule de Riemann-Hürwitz). Soient S et S 0 deux surfaces de
Riemann compactes connexes et f : S ! S 0 une fonction holomorphe . Le degré d
de f est bien défini. On note r et on appelle indice de ramification le nombre (avec
multiplicité) de points critiques de f (sans donner plus de détails, notons que f est
en effet un revêtement ramifié). Alors
deg KS = d deg KS 0 + r:
Démonstration. Soit ! 0 une forme méromorphe sur S 0 . Quitte à approximer, on
peut demander que le diviseur (! 0 ) soit simple (ie. que les pôles et les zéros de ! 0
soient simples) et que (! 0 ) ne contienne pas de valeur critique de f . On note R
(6)
et on appelle diviseur de ramification la combinaison formelle des points critiques
SURFACES DE RIEMANN
de f (avec multiplicités). Soit !
méromorphe sur S . On a :
35
= f !0 le pullback de !0 par f . C’est une forme
(w) = f 1 (!0 ) + R;
– Si on se place autour d’une valeur non-critique p0 en coordonnées locales
centrées, ! 0 =loc a dz , avec a non identiquement nulle présentant un pôle
d’ordre au plus 1 en zéro. On a donc :
! = f !0 =loc a f df = a f f 0 dz:
! a le même nombre de pôles (en chaque point tel que f (p) = p0 ).
– Si on se place autour d’une valeur critique, le modèle local est, en tenant
compte de nos précautions, f (z ) = z p : p > 2 ; ! 0 = dz . On a alors :
! = f !0 =loc p z p 1 dz:
L’ordre de ! est p 1.
On en déduit :
deg(!) = d deg(!0 ) + r:
Et puisque les formes ! , ! 0 sont méromorphes, les diviseurs associés sont canon-
iques. On en déduit :
(S ) = d (S 0 ) + r:
Il existe une autre démonstration de ce résultat utilisant des triangulations adaptées à f . Les valeurs critiques faisant parties des sommets de 0 , on relève 0 via
f.
Proposition 6.3 (Inégalité de Riemann). On obtient immédiatement :
(7)
h0 (D) > deg(D) + (1 g):
Si deg(D) > g +1, il existe donc des fonctions méromorphes non-constantes telles
que (f ) + D > 0.
Il existe donc une fonction holomorphe sur S n fpg avec un pôle d’ordre au
plus g + 1 en p. On peut remarquer que ceci donne une autre démonstration de
l’uniformisation des surfaces compactes simplement connexes.
Proposition 6.4. Une surface de Riemann S de genre nul possède une fonction
méromorphe avec un pôle simple, donc une fonction méromorphe de degré 1,
autrement dit un isomorphisme S ! 1 !
PC
Définition 6.2 (Surface hyperelliptique). Une surface de Riemann compacte connexe est hyperelliptique si c’est un revêtement ramifié de degré 2 de 1 (i.e. s’il
existe une fonction holomorphe de S dans 1 de degré 2).
PC
PC
Proposition 6.5. Les surfaces de genre 1 sont hyperelliptiques.
Démonstration. Soit p 2 S . Par (7) : h0 (2p) > 2 + 1 1. Il existe donc une
fonction méromorphe non-constante f telle que (f ) > 2p. Elle est de degré
d 6 2. Si d = 0, f est constante. Si d = 1, f est un isomorphisme sur 1 or
g 6= 0. La fonction f est donc de degré 2.
PC
36
J. DUVAL
Exercice : fz22
tique.
= P (z1 )g se compactifie en une surface de Riemann hyperellip-
6.3. Plongement projectif. On veut plonger une surface de Riemann S dans un
espace projectif N . On cherche donc une application S ,! N holomorphe
immersive injective. Étant donné un fibré en droites holomorphe L, on dispose
d’une base s1 ; : : : ; sN +1 des sections holomorphes de OL . Il est assez naturel
(par exemple dans le cas du fibré trivial) d’essayer de s’en servir comme coordonnées homogènes.L’application est définie si et seulement si le point [s1 (p) :
: : : : sN +1 (p)] est toujours bien défini. On utilise donc des fibrés particuliers.
P C
P C
Définition 6.3 (Fibré sans point base). Soit L un fibré en droite holomorphe sur
une surface de Riemann S compacte connexe de genre g . L est sans point base si
en tout point p de S , il existe une section holomorphe de L qui ne s’annule pas en
p.
Lemme 6.1. Si deg(L) > deg(KS ), alors h0 (L) = deg(L) + 1
g.
Démonstration. Par (5), on a
h0 (L) h0 (L KS ) = deg(L) + 1 g:
De plus deg est un morphisme de (Pic(S ); ) dans (Z; +) Donc :
deg(L KS ) = deg(L) + deg(KS ) < 0:
Donc il n’y a pas de sections holomorphe de L KS .
Proposition 6.6. Si deg(L) 1 > deg(KS ), L est sans point base.
Démonstration. Soit p 2 S . Le problème se ramène à montrer que h0 (L) >
h0 (L( p)). On a deg(L( p)) = deg(L [ p]) = deg(L) 1. Par le lemme
6.1 on montre donc facilement h0 (L) = h0 L( p) + 1.
Définition 6.4 (Plongement projectif). Soit L un fibré en droites holomorphe sans
point base sur la surface de Riemann compacte connexe S . Si h0 (S; L) = N + 1,
soit s1 ; : : : ; sN +1 une base des sections holomorphes sur S . On définit l’application
holomorphe L : S ! PN C par L (p) = [s1 (p) : : : : : sN +1 (p)] en coordonnées
homogènes.
Un fibré en droites L est dit très ample si L est un plongement.
Proposition 6.7. Si deg(L)
2 > deg(KS ), L est très ample.
Démonstration. Par le lemme 6.1, on montre facilement : h0 (L( p)) >
h0 (L( p q)) et h0 (L( p)) > h0 (L( p p)). Ce qui donne respectivement
l’injectivité et l’immersivité.
6.4. Plongement canonique. Le fibré canonique K ne vérifie évidement pas les
conditions précédentes. Cependant, son rôle de faisceau dualisant permet d’obtenir
des résultats similaires. Soit S une surface de Riemann compacte connexe de genre
g.
Proposition 6.8. Si g
6= 0 (ie. S 6' P1C), le fibré canonique K est sans point base.
SURFACES DE RIEMANN
37
Démonstration. Par (3),
h0 (K p) = h0 (p) + g 2:
Or si (f ) > p, la fonction f est de degré inférieur ou égal à 1. Le degré 0 donne
les constantes. Le degré 1 est interdit car il n’y a pas de bijections de S dans P1 C
puisque g 6= 0. Donc h0 (p) = 1 et h0 (K p) = g 1 < h0 (K ).
Définition 6.5 (Application canonique). On appelle application (ou plongement
quand ça en est un) canonique l’application KS .
Proposition 6.9. Si g
6= 0 et S n’est pas hyperelliptique, KS est très ample.
Démonstration. Par (3),
h0 (K
p q) = h0 (p + q) + g 3:
Or si (f ) > p q , la fonction f est de degré inférieur ou égal à 2. Le degré 0 donne
les constantes. Le degré 1 est interdit car il n’y a pas de bijections de S dans P1 C
(puisque g 6= 0). Le degré 2 est aussi interdit car il n’y a pas de revêtement ramifié
de degré 2. Donc h0 (p + q ) = 1 et h0 (K p q ) = g 2 < h0 (K p) = g 1.
L’application canonique est donc injective. En prenant q = p, opn obtient que c’est
aussi une immersion.
Lemme 6.2. Les surfaces de genre 2 sont hyperelliptiques.
Démonstration. L’application canonique est holomorphe car le fibré canonique est
sans point base. On a K1S (1) = !2 1 (0). Donc deg(KS ) = deg(!2 ) = 2g 2 =
2. L’application canonique est donc un revêtement ramifié de degré 2.
38
J. DUVAL
Compléments
7. A BEL -JACOBI .
On adopte le point de vue divisoriel. On veut résoudre les deux problèmes suivants : caractériser les diviseurs principaux et plonger S dans une variété abélienne
(la Jacobienne de S ). Pour rappel, une surface de genre 1 peut être vue comme
, où est un sous-groupe discret de rang 2. Une variété abélienne c’est
g avec sous-groupe discret de rang 2g .
C
C
Proposition 7.1 (Périodes). HOn note Per(S ) l’ensemble des formes linéaires de
c ! . C’est un ensemble discret de rang 2
H 0 (S; ) de la forme ! 7!
Démonstration.
Proposition 7.2 (Jacobienne). On définit
une variété abélienne de genre g .
Jac(S ) := H 0 (S; ) =Per(S ).
C’est
Démonstration.
Définition 7.1 (Application d’Abel). Soit D 2 Div0 (S ) un diviseur. Il bordeR une
chaîne c. On définit l’application A : Div0 (S ) ! Jac(S ) par A(D) : ! 7! C !
(qui est bien défini dans Jac(S )).
Lemme 7.1 (Dolbeault-duale). Soit une courbe sur S , il existe une (0; 1)-forme
telle que
Z
!=
Z
S
^ !:
Démonstration. Si = [p; q ] avec p et q dans le même ouvert de trivialisation U .
On a une détermination principale de log zz pq sur le disque fendu U n [p; q ] On peut
prendre une fonction plateau nulle près de et valant 1 près de @U . Alors
z p z p
= @ log
z q
z q
est une (0; 1)-forme nulle près de @U qu’on prolonge par zéro.
:= @ log
On a
Z
S
^! =
Z
ZU
^!
log z
@
z
ZU z
= @ log
z
ZU z
= d log
z
U
=
p
^!
q
p !
q
p !
q
SURFACES DE RIEMANN
39
car il n’y a pas de formes (2,0)
Z
S
Z
S
Z
z
z
Z@U
z
log
=
z
@U
Z
p
!
q
p
df
q
dz
z p f
f
d log
=
z q
z p
@U
= 2{(f (q) f (p))
^! =
^ ! = 2{
log
Z
dz
z q
!:
Théorème 10 (Abel). Le noyau de l’application d’Abel correspond exactement
aux diviseurs principaux sur S :
ker(A) = Divp (S ):
Démonstration.
) Si
D=
k
X
k
X
pi
qi
2 Divp(S )
i=1
i=1
c’est le diviseur d’un revêtement ramifié f : S ! 1 de degré k . On peut supposer que les valeurs critiques sont différentes de O et 1. Soit un chemin sur
1 de 1 à 0 qui évite les valeurs critiques. Quitte à réindexer, se relève à travers
f en un chemin i de qi à pi . On note := [i . On a @ = D et
PC
PC
Z
!=
Z
Z
f ! =
XZ
fi !:
f 1 ()
f ! s’étend
aux valeurs critiques en une forme holomorphe donc elle est nulle.
R
Ainsi ! = 0.
( Si D 2 ker(A) Pic(S ). On rappelle Pic(expS ) ' H 1(S; O). On considère la
suite exacte courte de faisceaux 0 ! ! O ! O ! 0. On en déduit :
Z
! H (S; O) ! H (S; O) deg! H 2(S; Z) ' Z:
1
Donc Pic0 (S )
de Dolbeault :
!=
exp
1
:= ker(deg) = im(exp). On rappelle par ailleurs l’isomorphisme
H 1 (S; O) ' H@(0;1) (SZ; C)
EN FAIT “Dolbeault-duale”. Elle est triviale, donc D est triviale.
Théorème 11 (Abel-Jacobi). De plus, l’application d’Abel réalise un homéomorphisme du groupe Pic0 (S ) := Div0 (S )=Divp (S ) dans la jacobienne Jac(S ) de
S.
Lemme 7.2 (Homologie en rang 1). Van Kampen + H (S; ) = (S )ab
1
Z
1
40
J. DUVAL
choisit une base (!1 ; : : : ; !g ) de H 0 (S; ) et une base
aR1 ; : : : ; ag ; b1R; : : : ; bg deR H1 (S; ). RLes périodes
par R
R Per(S )R sont engendrées
R
( a1 !1 ; : : : ; a1 !g ) : : : ( ag !1 ; : : : ; ag !g ) et ( b1 !1 ; : : : ; b1 !g ) : : : ( bg !1 ; : : : ; bg !g ).
On
Z
Lemme 7.3. L’ensemble de périodes Per(S ) est un réseau de rang 2g isomorphe
à H1 (S; ).
Z
Démonstration.
Proposition 7.3. Si g
phe.
6= 0, S ,! Div0(S ) ! Jac(S ) est un plongement holomor-
Démonstration. Pour g = 1, on a plus : c’est le théorème d’uniformisation car
Jac(S ) = = est un tore de genre 1. On choisit un point base p0 . On a l’injection
S ! Div0 (S ): p 7! p p0 . Elle passe au quotient en une application injective
S ! Pic0 (S ). En effet si p p0 = q p0 + (f ), f est de degré au plus 1 et
cette application ne peut pas être de degré 1 car g 6= 0. (On aurait une bijection sur
1 .)
On peut donc définir l’application d’Abel (injective) A : S ! Jac(S ) par
Z p
Z p
A(p) :=
!1 ; : : : ; !g :
p0
p0
C’est une immersion car dp A = (!1;p0 ; : : : ; !g;p0 ) et KS est sans point base. C
PC
On étudie maintenant Per(S).
Lemme 7.4.
Per(S ) est discret
Démonstration. De même on construit A :
Lemme 7.5.
S g ! Jac(S )
Per(S ) est de rang 2g
Démonstration. L’application d’Abel A : S g !
S g ! Pic0 (S ); (q1 ; : : : ; qg ) 7! q1 + + qg
puisque : Soit D un diviseur de degré 0.
Jac(S ) est surjective. En effet
(p1 + + pg ) est surjective
1
D = q1 ; : : : ; qg ) 7! q1 + +qg (p1 + +pg )+(f ) , D+p1 + +pg +( ) > 0 , h0 (D+p1 + +pg ) > 1:
f
Cette dernière assertion est vraie par Riemann-Roch, puisque deg(D + p1 + +
pg ) = g .
On conclut car Jac(S ) est alors compacte et donc
rg(Per(S )) = 2g:
SURFACES DE RIEMANN
Par la suite on note S
41
8. C OURBES PROJECTIVES .
,! N un plongement projectif.
P C
Théorème 12. Toute surface de Riemann compacte connexe peut se plonger dans
P3C et s’immerger dans P2C.
Démonstration. On va montrer qu’il y a une formule du genre pour les courbes
plongées dans 2 . Elle donne par exemple S de genre 2 ne peut pas se plonger
dans 2 . L’outil est la projection centrale définie pour un hyperplan projectif H
et pour tout point p 2
= H par :
p
N 1
N
PC
PC
P C n f pg ! H ' P C
q 7! (pq) \ H:
Si une courbe
C
P C évite le point p, quand est-ce que p
de N
: C
!
H est
hol
encore un plongement ? Pour l’injectivité, il suffit de choisir p hors des cordes de
C (i.e. hors des droites affines (q1 q2 ). Donc codimC = 3.) Ainsi si N > 3, pnc
moins union cordes de C est non vide. Obstruction du fait p C immersive ? p 2
=
tangentes de C , de dimC = 2, d’où le résultat.
Définition 8.1 (degré d’une courbe projective). Considérons une courbe C ,!
2 . Soit L une droite projective et p 2
= C [ L un point n’appartenant ni à C ni
à L . On peut donc considérer p C ! L ' 1 . On définit le degré de la courbe
C par :
deg(C ) := deg p C :
PC
PC
P2C1 n (C [ L ) est connexe et invariant par petite perturbation. NB : deg C =
C (q ) pour q général dans L (q n’est pas valeurs critique i.e. pas sur une
tangente à C ). Donc si L droite projective non tangente à C ,
#p
deg C = #(C
\ L ):
Par exemple, une droite projective est de degré 1. 1 (L) est un plan vectoriel
c’est à dire l’ensemble des zéros de a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 = 0 $ équation en coord
homogènes de L .
PC
Théorème 13 (Principe GA-GA). Soit C une courbe compacte plongée dans 2
de degré d, alors C est le lieu d’annulation d’un polynôme homogène de degré d.
Démonstration. On appelle ensemble analytique un ensemble qui possède des
équations locales holomorphes.
On peut tirer en arrière la courbe C
1C

C

/
C3 n f0g
PC
/ 2
42
J. DUVAL
On obtient le cône 1 C , qui est une surface analytique, et on veut le prolonger en
0. Or, un ensemble analytique hors d’un point est un ensemble analytique (ADMIS),
il existe donc une équation locale du cône en 0. Plus précisement, il existe un réel
> 0 et une fonction f holomorphe tels que :
ff (z1; z2; z3) = 0g = 1C [ f0g \ B (0; )
Or, f (t z ) = 0 dès que f (z ) = 0; jtj 6 1; jz 2 j < 2 . Si on développe f en série
formelle :
f =:
X
an;m;l z1n z2m z3l :
n;m;l
On note alors fk le terme homogène de degré k :
X
fk (z ) :=
an;m;l z1n z2m z
n+m+l=k
et on a pour tout z 2 C :
f (t z ) =
1
X
3l :
tk fk (z ) = 0:
k=0
La fonction t 7! f (t z ) est holomorphe en t, donc son annulation implique l’annulatin de tous les coefficients fk (z ) = 0. Ceci nous donne des équations. On prend
le plus petit k tel que l’équation est non-triviale (il existe car f est non triviale).
Alors :
L EMME .
– k = d,
– fk est l’équation de la surface.
p 2= L [ C
L
C
0
P2 C
1C
C3
P2 C
H
F IGURE 3. Positions relatives des ensembles considérés
SURFACES DE RIEMANN
43
P3C ' C3 [ P2C, on 1considère un hyperplan projectif quelconque
H ' C [ L où on note L ' P C la droite projective correspondant à l’intersection de H avec le bord P2 C de P3 C. La courbe C s’injecte dans le bord tandis
que le cône s’injecte dans P3 C. On prend un point p du bord n’appartenant ni
à la droite projective L = H \ P2 C, ni à la courbe C . La projection centrale
p : P3 C ! H par rapport à p et H est bien définie. Elle est de degré d. Ses
restrictions p C : C ! L et p 1 C : 1 C ! C2 H sont aussi de degré d.
Ainsi Cone(C ) = fa1 (z1 ; z2 ); : : : ; ad (z1 ; z2 )g: C’est à dire localement au
dessus d’un voisinage de (z1 ; z2 ) 2 U C2 , c’est le graphe de df = . Au-dessus
Dans
2
de U :
d
Y
(E q= ):
z3 ai (z1 ; z2 ) = 0
i=1
en développant : symétrique en les ai , donc c’est OK. On a :
d
d
Y
X
d
1
d
d
ai (z1 ; z2 ) = 0:
z3
ai (z1 ; z2 )z3 + + ( 1)
i=1
i=1
Ainsi
f = z3d + f1 (z1 ; z2 )z3d 1 + + fd (z1 ; z2 ) = 0
polynôme de degré 6 d en z3 . Et
f=
X
fk (z1 ; z2 ; z3 )
On peut choisir k 6 d car une surface définie par Pk avec k < d est de degré k . et
C fPk = 0g est de degré 6 à degfPk = 0g.
2 cas à rédiger !
Donc on a montré que f se réduit à fd .
Théorème 14 (Bezout). Soient
plongées dans 2 . Alors
PC
C
(de degré d) et
#(C
C 0 (de degré d0 ) deux courbes
\ C 0) = dd0:
Proposition 8.1 (Formule du genre). Soit
degré d, de genre g . Alors
g=
C
une courbe plongée dans
(d 1)(d 2)
:
2
P2C, de
44
J. DUVAL
Appendice
A NNEXE A. C OHOMOLOGIE DE DE R AHM .
Soit S une surface compacte connexe orientée lisse (C 1 ). Un fibré vectoriel réel
de rang r r sur S , c’est : ...
On peut renverser le point de vue, qui part des "changements de cartes" pour
définir le fibré. Étant donné un recouvrement U, on appelle cocycle la donnée d’applications gij : Ui Uj ! Gl2 ( ) vérifiant :
– Sur Ui : gi i = id
– Sur Ui \ Uj : gij gji = id
– Sur Ui \ Uj \ Uk : gij gjk gki = id.
Étant donné un cocycle on peut construire un fibré vectoriel réel de rang 2.
R
E=
G
Ui Rr
: (p; v) (p; gij v); p 2 Ui \ Uj :
E est le fibré vectoriel abstrait associé au cocycle gij . Une section...
Fibré tangent. On note T S son fibré tangent. C’est une variété C 1 de dimension
réelle 4. Ses cartes sont les cartes associées aux cartes de S. Les ouverts de T S
sont naturellement définis par la demande (; d) est un homéomorphisme. T S
est un fibré vectoriel de rang 2. Les changements de trivialisation locale conservent
la structure linéaire transportée par l’identification Tp S ' fpg 2 . On appelle
champ de vecteur une section du fibré tangent, c’est-à-dire une application : S !
T S telle que = id, c’est-à-dire que (p) 2 Tp S . En coordonnées locales,
c’est un champ de vecteur sur un ouvert de n , on a donc une base locale des
champs de vecteurs (@x ; @y ). On décide de noter v f := df (v ) et on choisit la
base pour que @x f = df (@x ) = @f=@x.
R
R
Fibré cotangent. Avec le fibré tangent, il vient un second fibré particulier : le fibré
cotangent. Sa définition ensembliste est :
T S :=
G
p
(Tp S ) :
En terme de cocycles, il est définit par :
g~ij := | gji :
R
Cohomologie de de Rahm. Soit M une variété différentielle. On note Ai (M; )
l’espace des formes différentielles de degré i sur M et Z i (M; ) le sous-espace
des i-formes fermées. Puisque d2 = 0 :
dAi (M; ) Z i+1 (M; ):
R
R
R
R
R
On appelle i-ème groupe de cohomologie de de Rahm le groupe quotient :
i
i (M; ) := Z (M; ) :
HDR
dAi 1 (M; )
1 (S;
Calcul de HDR
R).
R
SURFACES DE RIEMANN
45
Application des périodes. Soit une surface de Riemann S . On dit que deux lacets
a et b sont homologues s’il existe une surface de Riemann (orientée) M avec deux
composantes de bord et une application ' : M ! S telle que '(@M ) = a b.
L’homotopie est un exemple d’homologie, où la variété M est un anneau. Il existe
aussi des chemins homologues qui ne sont pas homotopes.
a
b
F IGURE 4. chemins homologues mais pas homotopes
Si on se donne une 1-forme ! , on peut l’intégrer sur a. Cette opération ne dépend
ni du représentant de la classe d’homologie, ni du représentant de la classe de
cohomologie.
– Si ! = ! 0 + d :
Z
Z
Z
a
– Si a b :
Z
a
!
Z
b
!=
Z
'(@M )
!
!=
a
Z
@M
!0 =
' ! =
a
d = 0
Z
M d(' !) =
Z
M
' (d!) = 0
À chaque classe d’homologie [a], on peut donc associer une application dans
H 1 (S; ) de la façon suivante :
R
[!] 7!
Z
!:
a
Notre démonstration de la classification des surfaces utilisant les polynômes montre qu’un tore de genre g a 2g éléments f(ai ; bi )g16i6g qui engendrent son homologie.
b1
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a1
b3
a3
a1 b1
b3 a3
a2
b2
a2
b2
F IGURE 5. Générateurs de l’homologie de T #3 .
R
On définit l’application des périodes comme l’application linéaire H 1 (S; ) !
associant à un classe de cohomologie ses intégrales sur chaque élément de la
base de l’homologie. L’application des périodes est surjective :
R
2g
46
J. DUVAL
Proposition A.1 (Poincaré-duale). Pour toute courbe
dite Poincaré-duale telles que
Z
8! exacte ! =
Z
c sur S, il existe une forme
^ !:
S
c
Démonstration. On trace un anneau A autour de c, on étiquette @1 A et @2 A (orienté
dans le sens de c) ses bords. On dispose d’une fonction marche f qui vaut 0 sur
@1 A et 1 sur @2 A. nulle en dehors de A de différentielle nulle sur le bord. On peut
prolonger naturellement df en une forme différentielle sur S .
Z
S
^! =
=
=
Z
ZA
^! =
@A
Z
c
f! =
Z
Z A
@2 A
df ^ ! =
Z
A
d(f!)
!
!:
Théorème 15 (Calcul de cohomologie). Soit
orienté lisse de genre g . Alors
S
une surface compacte connexe
1
HDR
(S; R) ' R2g :
Démonstration. Il s’agit de montrer que l’application des périodes est injective,
c’est-à-dire que toute forme vérifiant :
8i;
Z
Z
!=
!=0
bi
ai
est exacte. On "fabrique" la primitive en utilisant la représentation polynomiale de
la surface. Le pullback de la forme ! est fermé (car la différentielle extérieur commute avec le pullback). Elle est donc exacte sur le disque intérieur du polygone :
! = df sur D. On choisit un point p0 et on pose :
g(p) =
Z
[p0 ;p]
f:
Si p 2 @D, ilfaut vérifier que la définition ne dépend pas de l’arrête choisie pour
représenter p. Soit donc p et q les deux points qui s’envoient sur p. Par Stokes :
a1
b3
b1
a3
p
a1 b1
q a2
b2
a2
b3 a3
b2
SURFACES DE RIEMANN
g(p) g(q) =
Z
!:
47
_ @D
pq
Il suffit de découper l’arc sur les périodes qui sont entièrement dans l’arc. Les deux
morceaux qui restent se compensent. On a finalement : ! = dg .
48
J. DUVAL
A NNEXE B. D ISTRIBUTIONS .
La théorie des distributions unifie l’oeuvre de Fourier et la théorie des EDP.
blabla n ->variété paracompacte
Une fonction ' sur n est dite lisse si elle est partout indéfiniment dérivable.
Une fonction-test est une fonction lisse à support compact. L’espace vectoriel (de
dimension infinie) des fonctions-test est noté D. On définit la topologie de D en
donnant les conditions de convergence d’uns suite ('j ) 2 DN : on dit qu’une suite
de fonctions-test ('j ) 2 DN converge vers une fonction-test ' 2 D si :
– les supports des fonctions 'j sont contenus dans un compact fixe K
– les dérivées de tous ordres des 'j convergent uniformément vers les dérivées
de '.
de E est l’espace
Soit E une espace vectoriel topologique. Le dual topologique E
vectoriel des formes linéaires (fortement) continues sur E . L’espace vectoriel des
est par définition le dual topologique de l’espace vectoriel D des
distributions D
de la topologie faible-*. Une suite (Tj ) 2 D N converge
fonctions-test. On muni D
si et seulement si pour toute fonction-test ' 2 D la
vers la distribution T 2 D
suite (Tj (')) 2 N converge vers T (') 2 . On peut donner quelques premiers
exemples de distributions :
– Si f est une fonction localement intégrable :
R
R
R
R
hTf ; 'i :=
– L’évaluation en x 2
masse de Dirac x :
Z
Rn
f':
Rn, où on voit apparaître dans les notations la fameuse
evx () := hx ; 'i = '(x):
Convolution. On peut définir le produit de convolution de deux fonctions-test, puis
le produit de convolution de deux distributions. Si ' est une fonction-test, on introduit la convolution par ' comme l’opération ('): D ! D définie par la formule :
(' )(x) :=
Z
Rn
'(x y) (y) dy:
.
L’ensemble D des distributions qui viennent d’une fonction-test est dense dans D
On peut donc définir des opérations sur D puis les étendre par continuité. Ceci permet d’obtenir des définitions par dualité. Pour '; ; fonctions-test l’application
du théorème de Fubini permet d’écrire :
où '~(x) = '(
distribution T :
hT' ; i = hT ; '~ i;
x). On étend cette définition par continuité en posant pour toute
h' T; i := hT; '~ i:
Enfin, pour deux distributions T et S , la distribution T
vérifiant :
(T S ) ' = T (S '):
S est la seule distribution
SURFACES DE RIEMANN
49
RÉGULARISÉE de f par g (quand g est que continue). Dirac. Approximation
de l’unité.
Laplacien. Laplacien et convolution.
Noyau de Cauchy
I NDEX
Pôle, 2
Abel
application d’, 38
théorème d’, 39
Ramification, 34
Revêtement, 16
universel, 16
Riemann-Hürwitz, 34
Riemann-Roch, 33
Cocycle, 44
Cohomologie
cobord, 23
de de Rahm, 44
Courbes elliptiques, 19
Serre, dualité de, 28, 31
Structure complexe, 6
Surface
de Riemann, 2
hyperelliptique, 35
Degré
d’un diviseur, 31
d’un fibré, 31
Distributions
convolution, 48
dual topologique, 48
espace des, 48
fonction-test, 48
Diviseur, 30
canonique, 34
effectif, 30
principal, 30
Triangulation, 4
Weyl
lemme de, 8
Faisceau, 23
dualisant, 28
flasque, 25
Fibré
en droites holomorphe, 29
sans point base, 36
très ample, 36
Fibré canonique
plongement, 36
Fonction
holomorphe, 2
méromorphe, 2
Forme différentielle
coexacte, 6
cofermée, 6
de type (0; 1), 10
de type (1; 0), 10
harmonique, 6
holomorphe, 10
Hodge
étoile de, 6
théorie de, 6
Homographie
hyperbolique, 18
parabolique, 18
Périodes
application des, 45
50