Formulaire de Révision pour le Brevet des Collèges

Formulaire de Révision pour le Brevet des Collèges
Algèbre
Calculs sur les fractions
●
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, on les réduit au même
dénominateur, puis on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on
conserve le dénominateur commun.
●
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et
les dénominateurs entre eux.
●
Pour diviser deux fractions, on multiplie la fraction numérateur par
l'inverse de la fraction dénominateur.
Calculs sur les puissances
m
a et b étant deux réels, m et n étant deux
entiers naturels:
( a × b )m
m+ n
n
a × a = a
 am 


n
m
= a × b
m
m
a = am − n
n
a
m× n
= a
3
Remarques relatives aux puissances de 10:
10 = 10 × 10 × 10 = 1000
10
−3
=
1 = 1 = 0,001
3
1000
10
Notation scientifique normalisée
Tout nombre positif x peut s'écrire sous la forme x=a×10n , où 1< a < 10 et n
est un entier relatif.
Calculs sur les racines carrées
a× b =
a×
b
Identités remarquables
( a + b )2
= a + 2ab + b
( a − b )2
= a − 2ab + b
2
2
2
2
( a − b )( a + b )
2
= a − b
2
a et b étant des réels positifs:
2
a =
( a)
2
= a
a et b étant deux réels quelconques:
a =
b
a
b
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Arithmétique
Multiple d'un entier naturel
On appelle multiple d'un nombre entier naturel, le produit de ce nombre entier
naturel par un autre nombre entier naturel.
Diviseur d'un entier naturel
Soit deux entiers naturels a et b.
a est diviseur de b lorsque la division de b par a se fait exactement, c'est-à-dire
ne donne pas de reste.
Diviseur commun à deux entiers naturels
Un entier naturel est diviseur commun de deux entiers naturels s'il les divise
tous les deux.
PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels Soit deux
entiers naturels a et b. Le plus grand de tous les diviseurs communs à a et b
est appelé PGCD de ces deux nombres.
Nombre premier
Un nombre est premier lorsqu'il est divisible que par 1 et par lui-même.
Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Fraction irréductible
La fraction a est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
b
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, la fraction a est simplifiable.
b
En divisant les deux entiers naturels a et b par leur PGCD, on obtient une
fraction irréductible.
Algorithme d'Euclide
Il permet de déterminer le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b tels
que a> b. On effectue la division de a par b. On appelle q1 le quotient obtenu et
r1 le reste. On effectue la division de b par r1 . On appelle q2 le quotient obtenu
et r2 le reste. Et ainsi de suite; le dernier reste non nul est le PGCD de a et b.
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Géométrie
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal (0 ; I, J) :
(
AB xB − x A; y B − y A
Vecteur défini par ses coordonnées
( xB −
AB =
Distance de deux points
xA
)2 + ( yB −
Coordonnées du milieu M d'un segment [AB]
yA
)
)2
 x + xB y A + y B 

M A
;
2
2


Relation de Chasles avec des vecteurs
Quels que soient les points A, B et C du plan, alors: AB + BC = AC
Tangente en un point A d'un cercle de centre 0
En chaque point A d'un cercle, il existe une tangente au cercle de centre O;
cette tangente est perpendiculaire au rayon [OA].
THALES
1. Propriété de Thalès
. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et les droites (BC) et (MN) sont
AM = AN = MN
parallèles, alors d'après la propriété de Thalès:
AB
AC
BC
2. Réciproque de la propriété de Thalès .
Si les points A, B et M d'une part et les points A, C, et N d'autre part sont dans
le même ordre et si AM = AB alors d'après la réciproque de la propriété de
AB
AC
Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
PYTHAGORE
1. Propriété de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors d'après la théorème de Pythagore
2
2
BC = AB + AC
2
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2. Réciproque de la propriété de Pythagore
Si un triangle ABC est tel que BC 2 = AB2 + AC 2 , alors d'après la réciproque du
théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A.
Triangle rectangle
Tout triangle ABC rectangle en A a pour cercle circonscrit le cercle de diamètre
[BC].
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la
moitié de l'hypoténuse.
Trigonométrie
Agrandissements et réductions
Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport k:
- Les longueurs sont multipliées (ou divisées) par k.
- Les aires sont multipliées (ou divisées) par k2.
-
Les volumes sont multipliés (ou divisées) par k3.
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Propriétés des angles
•
Angles correspondants
Si (xx') est parallèle à (yy'), alors 
zMx '=
zNy '
•
Angles alternes internes
Si (xx') est parallèle à (yy'), alors 
xMz ' =
zNy ' .
•
Angles complémentaires
Angles dont la somme des mesures vaut 90 degrés.
•
Angles supplémentaires
Angles dont la somme des mesures vaut 180 degrés.
•
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles vaut 180°.
•
Dans un quadrilatère, la somme des mesures des quatre angles vaut 360°.
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Aire et Volume
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Statistiques
Caractéristiques de position
•
Moyenne d'une série statistique
C'est le nombre m réel égal au quotient de la somme de toutes les
valeurs de la série statistique par l'effectif total.
•
Médiane
C'est la valeur qui partage la série statistique, rangée par ordre croissant
(ou décroissant), en deux parties de même effectif. Si l'effectif total de la
série est un nombre impair, la médiane est une valeur de la série. Sinon,
c'est un nombre compris entre deux valeurs de la série.
On prend souvent pour médiane la moyenne de ces deux valeurs.
Caractéristiques de dispersion
•
étendue
C'est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série
statistique.
•
écart moyen
C'est la moyenne de la série obtenue en prenant les valeurs positives des
différences entre chaque valeur de la série statistique et la valeur
moyenne de la série.