Fonctions de référence

FONCTIONS DE REFERENCE
I) Fonctions affines
Définition : La fonction f définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine.
Représentation graphique : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = ax + b est la
droite D d'équation y = ax + b.
Le nombre a est le coefficient directeur de D.
Le nombre b, qui est égal à f(0), est l’ordonnée à l'origine.
Cas particuliers :
• a = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = b ; f est dans ce cas une fonction dite constante représentée par une droite
parallèle à l'axe des abscisses d’équation y = b.
• b = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = ax ; f est dans ce cas une fonction linéaire représentée par une droite
passant par l'origine du repère.
Sens de variation : Soit f une fonction affine définie sur R par f ( x ) = ax + b .
• Si a > 0, alors f est croissante
sur R.
D : y = ax + b
• Si a < 0, alors f est décroissante
sur R.
• Si a = 0, alors f est constante sur
R.
b
b
O
O
D : y = ax + b
Conséquence graphique et tableau de variation :
• Si a > 0, la droite D « monte ».
x
−∞
+∞
• Si a < 0, la droite D « descend ».
−∞
x
Variation
de f
+∞
Variation
de f
Signe : Soit f une fonction affine définie sur R par f ( x ) = ax + b avec a ' 0, f(x) est du signe de a pour les valeurs de x
supérieures à la valeur x0 qui annule la fonction f.
Tableau de signe de f(x) en fonction de x :
•a>0
x
−∞
Signe de
ax + b
x0
0
+∞
•a<0
x
−∞
Signe de
ax + b
x0
+∞
0
Remarque : La valeur x0 qui annule la fonction f est l'antécédent de 0 par f, mais aussi la solution de l’équation
f(x) = 0, c’est-à-dire de l’équation ax + b = 0 . x0 est l’abscisse du point d’intersection de D et de l’axe des abscisses.
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II) Fonction carré
Définition : on appelle fonction carré la fonction f : x a x 2 définie sur R.
Remarques :
• Tout réel admet un carré ; l’ensemble de définition de la fonction carré est donc R.
‚ On a noté f la fonction carré, donc f(3) = 9 et f(.3) = 9, alors 9 a deux antécédents par la fonction carré. L’équation
x 2 = 9 admet deux solutions qui sont .3 et 3.
Lorsqu’on représente dans un repère les points de coordonnées (x ; x 2 ), on
obtient la représentation graphique de la fonction carré.
y = x2
Représentation graphique : Dans un repère, la représentation graphique de la
fonction carré est une courbe appelée parabole ; son équation est y = x 2 .
Remarques :
• La parabole représentant la fonction carré admet l’axe des ordonnées
comme axe de symétrie ; on dit que la fonction carré est paire.
‚ La parabole d’équation y = x 2 est située au dessus de l’axe des
abscisses.
Sens de variation :
• La fonction carré est croissante sur R+ = [0 ;+∞[ ;
• La fonction carré est décroissante sur R− = ]−∞ ; 0].
Tableau de variation :
x
Variation
de la
fonction
carré
−∞
0
1
+∞
O
1
0
La fonction carré possède un minimum 0 atteint pour x = 0 (en 0), c’est-à-dire : pour tout x ∈ R , on a : f ( x ) ≥ f ( 0 )
soit x 2 ≥ 0 .
Signe : La fonction carré est positive ; pour tout x S R, x 2 ≥ 0 .
Tableau de signe de x 2 en fonction de x :
x
−∞
Signe de
x2
0
+∞
0
Méthodes algébriques
Equations x 2 = k :
• Lorsque k > 0, l’équation x 2 = k admet deux solutions − k et
• Pour k = 0 , l’équation x 2 = 0 a une seule solution 0.
• Lorsque k < 0, l’équation x 2 = k n’a pas de solution.
k.
Inéquations x 2 < k (ou x 2 > k ), k étant un réel positif :
• L’inéquation est du seconde degré, on transforme l’écriture : x 2 < k équivaut à x 2 − k < 0 .
‚ On factorise x 2 − k en utilisant l’identité remarquable a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b) en écrivant k comme un carré. On
obtient ainsi une inéquation produit.
ƒ Pour résoudre l’inéquation produit, on utilise un tableau de signe dans lequel on étudie le signe de chaque facteur du
1er degré pour en déduire le signe du produit.
„ On utilise le tableau pour déterminer l’ensemble solution.
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• Un exemple traité : Résoudre l’inéquation x 2 < 9 .
• x 2 < 9 équivaut à x 2 − 9 < 0 .
‚ On factorise ; l’inéquation devient x 2 − 32 < 0 soit ( x − 3)( x + 3) < 0 .
ƒ On étudie le signe du produit ( x − 3)( x + 3) dans un tableau.
.3
−∞
x
signe de x − 3
3
+∞
x − 3 = 0 pour x = 3.
0
signe de x + 3
0
signe du produit
x + 3 = 0 pour x= .3.
0
( x − 3)( x + 3)
Inéquation produit
0
à On revient à l'inéquation produit ( x − 3)( x + 3) < 0 : le « < 0 » signifie ( x − 3)( x + 3) de signe − . Il s'agit de lire,
dans le cadre des x, l'intervalle correspondant au(x) signe(s) − de la dernière ligne du tableau (ligne du produit bien sûr).
L'ensemble solution de l'inéquation ( x − 3)( x + 3) < 0 (ou x 2 < 9 ) est donc l'intervalle ].3 ; 3[ où les crochets sont
ouverts car les valeurs .3 et 3 ne sont pas solutions (on a inférieur strict à 0).
• Comment résoudre l’inéquation x 2 ≥ 9 . Cette inéquation se ramène à l’inéquation produit ( x − 3)( x + 3) ≥ 0 . Il s'agit
de la même étude que précédemment : seul le signe d'inégalité est changé. Le « ? 0 » signifie de signe + .
L'ensemble solution de l'inéquation x 2 ≥ 9 est donc ]−∞ ; .3] U [3 ;+∞[ où les crochets sont fermés car les valeurs .3 et
3 sont solutions.
III) Fonction cube
Définition : on appelle fonction cube la fonction f : x a x 3 définie sur R.
y = x3
Lorsqu’on représente dans un repère les points de coordonnées (x ; x 3 ), on
obtient la représentation graphique de la fonction cube.
Remarque : La courbe représentant la fonction cube admet l’origine du
repère comme centre de symétrie ; on dit que la fonction cube est impaire.
Sens de variation :
La fonction cube est strictement croissante sur R.
1
Tableau de variation :
x
Variation
de la
fonction
cube
−∞
0
O
+∞
1
0
Signe : La fonction cube est négative sur ].o ; 0] et positive sur [0 ;+∞[.
Tableau de signe de x 3 en fonction de x :
x
−∞
Signe de
x3
0
+∞
0
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Méthode algébrique
Equations x 3 = k :
Quel que soit le réel k, l’équation x 3 = k admet une solution unique
Remarque : On peut calculer
3
3
k (racine cubique de k).
k en élevant k à la puissance 1 3 .
Inéquations x 3 < k (ou x 3 > k ) : On effectuera une résolution graphique en utilisant la représentation graphique de la
fonction cube ou son tableau de variation.
Exemple :
IV) Comparaison de deux fonctions de référence
Soit f et g deux fonctions de référence.
Méthode graphique :
• On trace les représentations graphiques de f et g.
‚ On marque les points d’intersection des deux courbes.
ƒ On note la position relative d’une courbe par rapport à l’autre.
„ On détermine, sur l’axe des abscisses, les intervalles des deux situations f(x) ; g(x) ou g(x) ; f(x).
Méthode algébrique :
• On calcule la différence f( x ) − g ( x ) .
‚ On établit le signe de f( x ) − g ( x ) dans un tableau.
ƒ • Sur le (ou les) intervalle(s) où f( x ) − g ( x ) est négatif ou nul, on a :
• Sur le (ou les) intervalle(s) où f( x ) − g ( x ) est positif ou nul, on a :
Remarques :
• Lorsque f et g sont deux fonctions affines, f( x ) − g ( x ) est aussi affine, donc l’étude de son signe est aisée.
‚ Lorsque l’une des deux fonctions est soit la fonction carré, soit la fonction cube, il est alors nécessaire de
……………………………… pour déterminer le signe de f( x ) − g ( x ) .
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