système d`équations

3ème Chapitre A7
I)
SYSTEME D ‘EQUATIONS A DEUX INCONNUES DU
PREMIER DEGRE.
Equation du premier degré à deux inconnues.
Exemples :
5x + 3y = 1
 Si x = 0 alors 5  0 + 3y = 1
3y = 1
1
y=
3
1
Donc le couple ( 0 ; ) est solution de l’équation.
3
1
1
 Si x =
alors 5  + 3y = 1
5
5
1 + 3y = 1
3y = 1 – 1
3y=0
0
y=
3
y=0
1
Donc le couple ( ; 0 ) est solution de l’équation.
5
On peut prendre les valeurs que l’on veut pour une des inconnues, et
trouver une valeur de l’autre qui permet de vérifier l’équation.
Une équation du premier degré à une inconnue admet une infinité de
couples solutions.
On ne peut pas tous les nommer, mais on peut les représenter par un
graphique dans un repère orthonormé.
Exemples
 Soient les équations 5x + 3y = 1 et 2x – y = 3
x
y
–1
0
1
2
x
y
–1
0
1
2
1
3ème Chapitre A7
SYSTEME D ‘EQUATIONS A DEUX INCONNUES DU
PREMIER DEGRE.
2
Construire les graphiques sur un même repère, et trouver graphiquement
les coordonnées du point d’intersection des deux droites
Vérifier si le couple donné est solution des deux équations en même
temps.
1) Couple solution d’un systèmes de deux équations à deux inconnues.
Résoudre un système de deux équations du premier degré à deux
inconnues c’est trouver toutes les valeurs des inconnues qui vérifient les
deux équations à la fois.
En classe de troisième, la plupart des systèmes étudiés admettent un
couple solution unique.
Exemple :
 Le couple ( 5 ; – 2 ) est –il solution du système
2x + y = 4 ?
x+y=3
Je remplace x par 5 et y par – 2 dans le premier membre de chacune des
équations et je les calcule pour voir si ces équations sont vérifiées :
2x + y = 2  5 + 2 = 10 – 2 = 8
x+y = 5–2=3
Les deux équations ne sont pas vérifiées simultanément pour
x = 5 et y = – 2, donc le couple ( 5 ; – 2 ) n’est pas solution de ce système.
 Le couple ( 1 ; 2 ) est –il solution du système
2x + y = 2  1 + 2 = 2 + 2 = 4
2x + y = 4 ?
x+y=3
x+y = 1+2=3
Les deux équations sont vérifiées pour x = 1 et y = 3
donc le couple ( 1 ; 2 ) est solution du système.
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SYSTEME D ‘EQUATIONS A DEUX INCONNUES DU
PREMIER DEGRE.
3
2) Résolution d’un système de deux équations du premeir degré à deux
inconnues.
Pour résoudre un système de deux équations du premier degré à deux
inconnues, on élimine l’une des inconnues pour se ramener à un système
dont l’une des équations est une équation du premier degré à une seule
inconnue.
Il existe deux méthodes d’élimination de cette inconnue.
a) Méthode d’élimination par substitution.
x + 3y = 10
3x + 5y = 18
x = 10 – 3y
3x + 5y = 18
x = 10 – 3y
3 ( 10 – 3y ) + 5 y = 18
x = 10 – 3y
30 – 9 y + 5y = 18
x = 10 – 3y
– 4y = 18 – 30
x = 10 – 3y
– 4y = – 12
x = 10 – 3y
– 12
y=
–4
1- Exprimer, dans l’une des deux
équations, une inconnue en fonction
de l’autre. ( On choisit parmi les 4
possibilités celle qui est la plus
simple.)
2- Réécrire le système en remplaçant
dans l’autre équation l’inconnue
choisie, par l’expression obtenue dans
l’étape 1.On obtient une équation du
premier degré à une inconnue.
3.- Résoudre l’équation du premier
degré à une inconnue pour trouver la
valeur de cette inconnue.
4- Remplacer cette inconnue par sa
valeur trouvée à l’étape 3 dans
l’équation à deux inconnue et
calculer la deuxième inconnue.
5- Donner le couple solution du
système.
x = 10 – 3y
y=3
x = 10 – 3  3
y=3
x=1
y=3
Le couple solution est ( 1 ; 3 )
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SYSTEME D ‘EQUATIONS A DEUX INCONNUES DU
PREMIER DEGRE.
4
b) Méthode d’élimination par combinaison.
x + 3y = 10
3x + 5y = 18
(– 3)
– 3x – 9y = – 30
3x + 5y = 18
x + 3y = 10
– 9y + 5y = – 30 + 18
x + 3y = 10
– 4y = – 12
x + 3y = 10
y=3
x + 3  3 = 10
y=3
1- Choisir l’inconnue que l’on veut
éliminer.
Multiplier les deux membres d’une
ou de chacune des deux équations par
des nombres choisis de façon à
obtenir des coefficients de cette
inconnue opposés dans chacune des
deux équations.
2- Additionner membre à membre les
deux équations obtenues à l’étape 1.
On obtient une équation du premier
degré à une inconnue.
Réécrire un systèmes contenant
l’équation obtenue, et l’une des deux
équations de départ.
x=1
y=3
3- Résoudre l’équation du premier
degré à une inconnue, pour trouver la
valeur de cette inconnue
le couple solution est ( 1 ; 3 )
4 et 5- Finir comme pour la méthode
par substitution.
c) Problème se résolvant à l’aide d’un système de deux équations à deux
inconnues .
Les étapes sont les mêmes que dans des problèmes utilisant des équations
à une inconnue.
Exemple :
On veut répartir 6 kg de confiture dans 14 pots. Certains pots contiennent
500g et d’autres 375g. Combien utilise-t-on de pots de chaque sorte ?
J’appelle x le nombre de pots de 500g et y le nombre de pots de 375g.
3ème Chapitre A7
SYSTEME D ‘EQUATIONS A DEUX INCONNUES DU
PREMIER DEGRE.
Les nombres x et y sont positifs, et inférieurs à 14.
La masse de confiture contenue dans les pots de 500g est 500 x
La masse de confiture contenue dans les pots de 375g est 375y
La masse totale de confiture est de 6000g
Le nombre total de pots est x + y
Le système à résoudre est le suivant :
x + y = 14
500x + 375y = 6000
x = 14 – y
500x + 375y = 6000
x = 14 – y
500( 14 – y ) + 357y = 6000
x = 14 – y
7000 – 500y + 375y = 6000
x = 14 – y
– 125y = – 1000
On utilise 6 pots de 500g et 8 pots de 375g.
x = 14 – y
1000
y=
125
x = 14 – y
y=8
x = 14 – 8
y=8
x=6
y=8
5