Matrices symétriques

Denis Pasquignon
Matrices symétriques
Résumé du cours :
1. Endomorphisme symétrique
2
~u =
1
Soit E un espace euclidien, f est un endomorphisme symétrique si
∀x, y ∈ E < f (x), y >=< x, f (y) > .
f est un endomorphisme symétrique si et seulement la matrice de f est
symétrique dans toute base orthonormale de E.
2. Diagonalisation des endomorphismes symétriques
Soit E un espace euclidien et f est un endomorphisme symétrique. Il existe
une base orthonormale formée de vecteurs propres de f . L’endomorphisme
f est diagonalisable.
Soit f un endomorphisme symétrique dans un espace euclidien E. Soit
B = (e1 , · · · , en ) une base orthonormale formée de vecteurs propres de
f et (λ1 , · · · , λn ) les valeurs propres correspondantes, pas nécessairement
distinctes. On note λmin et λmax la plus petite et la plus grande des valeurs
propres de f . Alors ∀x ∈ E,
λmin kxk2 ≤< f (x), x >≤ λmax kxk2 .
3. Diagonalisation des matrices symétriques
Toute matrice symétrique A ∈ Mn (R) a toutes ses valeurs propres réelles
et est diagonalisable. Il existe donc une matrice diagonale D telle que
dans une base orthonormale de vecteurs propres, il existe O orthogonale
D = O−1 AO = t OAO. Soit A ∈ Mn (R) matrice symétrique.
•
•
•
•
A est positive si pour tout X ∈ Mn1 (R), t XAX ≥ 0.
A est définie positive si pour tout X ∈ Mn1 (R) et X 6= 0, t XAX > 0.
A est négative si pour tout X ∈ Mn1 (R), t XAX ≤ 0.
A est définie négative si pour tout X ∈ Mn1 (R) et X 6= 0, t XAX <
0.
• A est positive ⇐⇒ les valeurs propres de A sont positives.
• A est définie positive ⇐⇒ les valeurs propres de A sont strictement
positives.
• A est négative ⇐⇒ les valeurs propres de A sont négatives.
• A est définie négative ⇐⇒ les valeurs propres de A sont strictement
négatives.
1


1−i
1
3
2−i
7  est-elle inversible ?
Exercice 1 La matrice A =  1
3
7
4−i
Exercice 2 (Début de ESSEC 1980) Soit

a+b
a
a−b
a
 a
a
+
b
a
a
−
b
A=
 a−b
a
a+b
a
a
a−b
a
a+b




Soit E = {M (a, b) (a, b) ∈ R2 }. On note : J = M (1, 0) et K = M (0, 1).
1. (a) Montrer que E est un espace vectoriel sur R dont on donnera une
base.
(b) Calculer les produits JK, KJ, J 2 et K 2 .
(c) Montrer que E est stable pour le produit matriciel.
2. Dire pourquoi M (a, b) est diagonalisable. On note j et k les endomorphismes dont les matrices dans la base canonique, supposée orthonormale,
de R4 euclidien sont respectivement J et K.
(a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de j et k.
(b) Montrer qu’il existe une base orthonormale de R4 dans laquelle les
matrices de j et k sont toutes les deux diagonales : déterminer effectivement une telle base et écrire les matrices de j et k dans cette
base.
(c) En déduire les valeurs propres de M (a, b) et une matrice P orthogonale telle que : P −1 M (a, b)P soit diagonale.
3. Soit (a, b) ∈ R2 et n ∈ N ∗ , calculer [M (a, b)]n .
Exercice 3
1. Montrer qu’il n’existe pas de matrice symétrique de Mn (R),
non nulle et de carré nul.
2. Soit A une matrice symétrique, montrer qu’il existe une matrice symétrique
B telle que A = B 3 .
3. Soit A une matrice symétrique de Mn (R). On suppose que A est une
matrice positive. Montrer qu’il existe une matrice symétrique R de Mn (R)
vérifiant : A = R2 .
Exercice 4 (Oral HEC 99 - S.P.) Soit E un espace vectoriel euclidien, f et g
deux endomorphismes symétriques de E vérifiant : f ◦ g = g ◦ f .
1. Montrer que si λ est une valeur propre de f , Eλ (f ) le sous-espace propre
associé, alors Eλ (f ) est stable par g.
2. Montrer que gλ , restriction de g à Eλ (f ), est diagonalisable.
2
3. Montrer que f et g sont diagonalisables dans une même base.
Exercice 5 (HEC 98) Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2.
On note <, > le produit scalaire et k.k la norme associée. Soit (a, b) une famille
libre d’éléments de E. On définit l’application f sur E par : ∀x ∈ E, f (x) =<
a, x > b+ < b, x > a.
1. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E.
2. Déterminer le noyau de f .
3. Déterminer le rang de f .
4. Montrer que F = Imf est stable par f .
5. Soit g l’endomorphisme induit par f sur F .
(a) Donner la matrice de g dans une base de F .
(b) Trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres de g.
(c) En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de f .
6. En déduire supkxk=1 < f (x), x > et inf kxk=1 < f (x), x >.
Exercice 6 (Oral HEC 97) Soit E l’ensemble de polynômes de degré inférieur
ou égal à n à coefficients réels.
R +∞
1. Pour P et Q éléments de E, étudier la convergence de l’intégrale 0 P (t)Q(t)e−t dt.
R +∞
2. Montrer que l’application (P, Q) →< P, Q >= 0 P (t)Q(t)e−t dt définit
un produit scalaire sur E.
3. Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par les polynômes t et t2 .
Déterminer la projection orthogonale de 1 sur F .
R +∞
4. Déterminer inf (a,b)∈R2 0 (1 + at + bt2 )2 e−t dt.
R +∞
5. Dans E = R1 [X], on pose : ∀(P, Q) ∈ E 2 , < P, Q >= 0 P (t)Q(t)e−t dt.
(a) Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
(b) On considère l’endomorphisme φ de E défini par : P → Q où
Q(X) =< X, P > +X < 1, P >. Ecrire la matrice représentant φ
dans la base canonique de E. L’endomorphisme φ est-il symétrique?
3
Exercice 7 Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et f un endomorphisme de E admettant n valeurs propres distinctes.
1. Montrer qu’il existe sur E un produit scalaire tel que f soit symétrique
pour ce produit scalaire.
2. On se place dans R3 , on suppose que f est repérée dans la base canonique
(e1 , e2 , e3 ) par la matrice


1 0 0
A =  1 2 0 .
1 1 3
Trouver la matrice du produit scalaire dans la base canonique.
3. Déterminer le plan orthogonal au vecteur e3 .
Exercice 8 Diagonaliser les

−2
A =  −2
1
matrices
−2
1
−2


1
1
−2 ,  B =  0
−2
2
0
2
0

2
0 .
1
On donnera une base orthonormale de vecteurs propres.
Exercice 9
1. Montrer que le noyau et l’image d’un endomorphisme symétrique
sont deux sous espaces orthogonaux et supplémentaires.
2. Montrer qu’une projection orthogonale p est un endomorphisme symétrique.
3. Montrer qu’un projecteur p est une projection orthogonale si et seulement
si p est un endomorphisme symétrique.


0
c −b
a  où a, b, c sont
Exercice 10 (Oral HEC 97 - S.P.) Soit A =  −c 0
b −a 0
trois réels non tous nuls.
1. Cette matrice est-elle inversible ? (indication : calculer Au où u =t (abc)).
2. Calculer < AX, X > pour X vecteur colonne. Peut-on en déduire les
valeurs propres de A. Cette matrice est-elle diagonalisable dans Mn (R) ?
Exercice 11 (HEC 98) On se place dans un espace euclidien E de dimension
n. Soit a un vecteur non nul de E et f l’application définie sur E par : ∀x ∈ E,
f (x) = x− < x, a > a.
1. Que vaut f (a) ?
2. Montrer que f est un endomorphisme de E.
4
3. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f .
4. L’endomorphisme f est-il injectif ? symétrique ?
5. Déterminer la matrice A de f dans une base B orthonormale de E.
Exercice 12 (HEC 88) Soit



A=


a
b
···
···
b
b ···
b ···
··· ···
··· ···
b ···
b
a
···
···
b
b
b
b
b
a



.


Pour quelles valeurs de (a, b), cette matrice est-elle orthogonale ? Dans le cas
où elle est orthogonale, trouver ses valeurs propres et ses sous espaces propres.
Exercice 13 On se place dans Rn .
1. Soit f un endomorphisme symétrique, B = (v1 , v2 , · · · , vn ) une base orthonormale de Rn constituée de vecteurs propres de f et λ1 , · · · , λn les
valeurs propres correspondantes (pas forcément distinctes). Notons λmin
et λmax la plus petite et la plus grande valeur propre de f .
Pn
(a) Montrer que : ∀x ∈ Rn , on a : < x, f (x) >= i=1 λi < x, vi >2 .
Pn
(b) Montrer que : ∀x ∈ Rn , on a : kf (x)k2 = i=1 λ2i < x, vi >2 .
(c) Montrer que :∀x ∈ Rn , on a : λmin kxk2 ≤< x, f (x) >≤ λmax kxk2 .
2. Soit f et g deux endomorphismes symétriques dont les valeurs propres
sont toutes de module inférieur à 1.
(a) Montrer que : ∀x ∈ Rn , on a : | < x, f (x) > | ≤ kxk2 .
(b) Montrer que f ◦ f est un endomorphisme symétrique dont les valeurs
propres sont de module inférieur à 1.
(c) Montrer que : | < f ◦ g(x), x > | ≤ kf (x)k.k|g(x)k.
(d) Montrer que les valeurs propres de f ◦ g sont en module inférieures à
1.
Exercice 14 Soit un espace vectoriel euclidien E de dimension supérieure ou
égal à 2. Soit φ une application linéaire de E dans R et u un vecteur non nul
de E.
1. Chercher toutes les applications linéaires φ telles que l’endomorphisme f
défini par : ∀x ∈ E, f (x) = x + φ(x)u soit symétrique.
2. Soit h l’application définie sur E par : ∀x ∈ E, x 6= 0, h(x) =< f (x), x >
/kxk2 . Trouver le minimum de h.
5