Les réseaux de diffraction - Le site de Julien Hillairet
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Les réseaux de diffraction - Le site de Julien Hillairet
Les réseaux de diffraction 1 Généralités α λd Un réseau est un objet diffractant dont la transparence est périodique. La période p s’appelle le pas du réseau. L’inverse du pas est la fréquence spatiale du réseau ; celle-ci s’exprime souvent en ”traits par millimètre”, ce qui correspond à l’unité : mm−1 . L’objet étant de largeur finie L, la périodicité n’éxiste qu à l’intérieur d’une ”fenêtre” de largeur L. On appelle motif la description de la transparence de l’objet sur une longueur égale au pas. La transparence t(x) du réseau est donc la répétition périodique du motif, tronquée par une fonction rectangle de largeur L : x x 1 (1) ·u t(x) = m(x) ∗ p p L Ø m(x) est nulle en dehors d’une intervalle de largeur p. Le motif peut être plus étroit que p. Par exemple : Fentes fines de largeur a < p : m(x) = u xa h i Profil sinusoı̈dal : m(x) = 12 1 + cos 2π xp · u xp 2π Profil miroitant (blazé) : m(x) = ei λ (n−1)ψx · u xp (si (n − 1)ψ = kλ p , alors quasiment toute k’intensité est concentrée dans le seul ordre d’interf. k) si le réseau est éclairé en lumière convergente et qu’on observe au niveau du point de convergence situé à la distance d. L’intensité diffractée est le carré du module de l’amplitude. En faisant l’hypothèse que les amplitudes des différents ordres ne se recouvrent pas (en négligeant au voisinage de l’odre k les amplitudes des ordres k 0 6= k) : 2 |f (ν)| ∝ |m̂(ν)|2 · Ø(pν) ∗ L sinc (Lν) 2 2 Caractéristiques de la figure de diffraction – La périodicité du réseau génère une périodicité au niveau du spectre, décrite par la fonction (pν). Les différents maximas d’amplitude que l’on oberserve sont appelés les ordres. L’écart entre les ordres est ∆k = 1/p ; – La répartition de l’amplitude dans les différents ordres dépend de la fonction m̂(ν), donc du profil du motif m(x). En jouant sur la fonction m(x), il est possible de jouer sur cette répartition ; – Au niveau de chaque ordre, la figure diffraction observée est celle du diphragme limitant du réseau sinc(Lν). C’est cette figure de diffraction qui va déterminer principalement le pouvoit de résolution d’un spectromètre à réseau. Ø Pouvoir de résolution Si la lumière incidente est composée de deux radiations λ et λ0 = λ + ∆λ, les maximas kλ0 du k eme ordre se trouvent en kλ p et p . Selon le critère de Rayleigh, on considère que deux raies de long. d’onde λ et λ0 sont séparées l’une de l’autre dans l’odre k si le maximum de l’une des taches de diffraction de l’une coı̈ncide avec le minimum de l’autre. Le plus petit écart en long. d’onde corpλ respond à la limite de résolution : (λ − λ0 )min = Lk . D’où le pouvoir de résolution : Le motif peut modifier l’amplitude (réseau d’amplitude ; t(x) ∈ R), la phase (réseau de phase ; t(x) ∈ C) ou les deux. Le nombre de motifs par milimètre est de l’odre de 100 à 1000 (5000 pour les réseaux holographiques UV). Amplitude et intensité diffractée Dans les conditions de Fraunhofer, l’amplitude diffractée f (ν) est la transformée de Fourier de la transparence de l’objet diffractant. Dans le cas d’un réseau dont la transparence est décrite comme l’équation (1) : f (ν) ∝ t̂(ν) = [m̂(ν) · Ø(pν)] ∗ Lsinc(Lν) où ν est la variable de Fourier conjuguée à x (fréquence spatiale) qui peut être : α λ α λf si l’on fait une obervation à l’infini dans la direction repérée par l’angle α par rapport à l’axe du faisceau d’éclairage du réseau ; si l’on fait une observation au foyer d’une lentille de distance focale f , le réseau étant placé dans le faisceau de lumière parallèle avant la lentille ; R= λ = kN (λ − λ0 )min avec N le nombre total de motifs du réseau. Relation des réseaux La résolution d’un réseau de longueur L ne peut pas être augmentée infiniment en diminuant le pas p. En effet, pour un réseau éclairé par une onde plane d’incidence αi , la relation entre l’angle d’incidence αi et l’angle diffracté αd est (− pour les réseaux en transmission, + pour les réseaux en réflexion) : sin αi ∓ sin αd = k λ p L’onde n’est pas déphasée en sortie du réseau ssi la différence de phase entre les deux faisceaux vaut 2kπ, k étant l’ordre du réseau : 2π ∆φ = φi − φd = p(sin αi − sin αd ) = 2kπ λ La différence des sinus étant au plus égale à 2, la relation est bornée et : 2L Rmax = λ Avec un réseau donné, il suffirait de choisir un ordre d’interférence k élevé mais dans ce cas l’intensité de la lumière analysée chute très rapidement. Le compromis consiste à utiliser des réseaux miroitant (”blazés”) où pratiquement toute l’énergie lumineuse diffractée est concentrée dans un seul ordre. Ce sont des réseaux de phase. (Pour un réseau d’amplitude, l’intensité diffractée ne peut être maximum qu’en ν = 0).