l`analyse en composantes principales acp

L’ANALYSE
EN COMPOSANTES
PRINCIPALES
A.C.P.
Remarque: Les aspects mathématiques et les démonstrations
seront développés en cours
Pierre-Louis Gonzalez
INTRODUCTION
Données : n individus observés sur p variables quantitatives.
L’A.C.P. permet d’explorer les liaisons entre variables et les
ressemblances entre individus.
Résultats :
Ö Visualisation des individus
(Notion de distances entre individus)
Ö Visualisation des variables
(en fonction de leurs corrélations)
2
INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS
c Mesurer la qualité des représentations obtenues :
z
critère global
z critères
individuels
d « Donner des noms aux axes »
Expliquer la position des individus
e Utilisation éventuelle de variables supplémentaires
(illustratives)
3
I.
L’ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
LE PROBLÈME
1.
LES DONNÉES
p variables quantitatives observées sur n individus.
X1
X
(n,p)
n
X2
Xj
Xp
x11
x1j
x1p
x12
x 2j
x 2p
x12
x ij
x ip
x1n
x nj
x pn
individu e'i
Variable Xj
p
INDIVIDU = Élément de Rp
VARIABLE = Élément de Rn
4
On cherche à représenter le nuage des individus.
A chaque individu noté ei, on peut associer un point dans
Rp = espace des individus.
X3
x 3i
ei
x1i
X
1
x 2i
X2
A chaque variable du tableau X est associé un axe de Rp.
Impossible à visualiser dès que p > 3.
5
2.
PRINCIPE DE L’A.C.P.
On cherche une représentation des n individus
e1 , e 2 . .. e n , dans un sous-espace Fk de Rp de
dimension k
(k petit 2 ; 3 ...)
(par exemple un plan)
Autrement dit, on cherche à définir k nouvelles
variables combinaisons linéaires des p variables
initiales qui feront perdre le moins d’information
possible.
Ces variables seront appelées
« composantes principales »,
les axes qu’elles déterminent :
« axes principaux »
les formes linéaires associées :
« facteurs principaux »
6
« Perdre le moins
d’information possible »
c
Fk devra être « ajusté » le mieux possible au nuage
des e i : la somme des carrés des distances des e i à Fk
doit être minimale.
d
Fk est le sous-espace tel que le nuage projeté
ait une inertie (dispersion) maximale.
c et d sont basés sur les notions de :
distance
projection orthogonale
7
ei
ej
Δ2
βi
βj
fi
fj
αi
αj
Δ1
La distance entre fi et fj est inférieure à la distance entre ei et ej
8
3.
LE CHOIX DE LA DISTANCE ENTRE INDIVIDUS
B
yB
Dans le plan :
A
d 2 (A, B) = (x B − x A ) + (y B − y A )
2
yA
xB
xA
Dans l’espace Rp à p dimensions, on généralise cette notion : la
distance euclidienne entre deux individus s’écrit :
(
= (x
)
... x )
e i = x1i x 2i ... x ip
ej
1
j
x 2j
p
j
) (
(
) (
2
d 2 e i , e j = x1i − x1j + x 2i − x 2j
(e , e ) = ∑ (x
p
d
2
i
!
j
k =1
k
i
− x kj
)
)
2
(
+ . .. x ip − x pj
)
2
2
Le problème des unités ?
9
2
Pour résoudre ce problème, on choisit de transformer les données
en données centrées-réduites.
L’observation x ik est alors remplacée par :
UNITÉS D’ÉCART TYPE :
x ik x k
sk
où : x k = moyenne de la variable X k
Δ k = écart-type de la variable X k
Exemple :
Puissance moyenne de 30 voitures
= 92 ch
Ecart-type
= 24 ch
Renault 21 TXI : 140 ch
La Renault 21 TXI a une puissance qui est de :
140 − 92
= 2 écarts-type au-dessus de la moyenne.
24
10
4.
INERTIE TOTALE
n
1 2
d (e i , g)
n
Ig = ∑
i
= somme pondérée des carrés des distances des individus au
centre de gravité g .
L’inertie mesure la dispersion totale du nuage de points.
L’inertie est donc aussi égale à la somme des variances des variables
étudiées.
En notant V la matrice de variances-covariances :
...........
............
2
⎛ s1 s12 ........ s1p ⎞
⎜
⎟
2
⎟
V= ⎜
s2
⎜
⎟
2
s
s
⎝ p1
p ⎠
p
I g = ∑ si2
i =1
I g = Tr ( V)
Remarque 1 :
Dans le cas où les variables sont centrées réduites, la variance de
chaque variable vaut 1.
L’inertie totale est alors égale à p (nombre de variables).
11
Remarque 2 : Equivalence des deux critères concernant la « perte
d’information »
Projection orthogonale du nuage sur un sous-espace
ei
fi
g
F
Soit F un sous-ensemble de Rp
f i la projection orthogonale de e i sur F
On va chercher F tel que :
n
c
pi
∑
i 1
=
ei − f i
2
soit minimal , ce qui revient d’après le
théorème de Pythagore à maximiser :
n
d
∑ pi f i − g
2
i =1
2
, car on a :
ei − g = ei − f i + f i − g
n
Donc :
2
p i ei − g
∑
i
=
1
quantité
fixe
2
−
n
2
∀i = 1 . .. n
pi ei − f i
=
∑
i
=
1
minimiser cette
⇔
quantité (carrés
des distances entre
points individus et
leurs projections
2
n
pi f i − g
∑
i
=
1
maximiser
l’inertie du
nuage projeté
2
12
II. LA SOLUTION DU PROBLÈME POSÉ
La recherche d’axes portant le maximum d’inertie équivaut à la
construction de nouvelles variables (auxquelles sont associées ces axes)
de variance maximale.
En d’autres termes, on effectue un changement de repère dans Rp de
façon à se placer dans un nouveau système de représentation où le
premier axe apporte le plus possible de l’inertie totale du nuage, le
deuxième axe le plus possible de l’inertie non prise en compte par le
premier axe, et ainsi de suite.
Cette réorganisation s’appuie sur la diagonalisation de la matrice de
variances-covariances.
13
1.
SOLUTION
Axes principaux
On appelle axes principaux d’inertie les axes de direction des
vecteurs propres de V normés à 1.
Il y en a p.
Le premier axe est celui associé à la plus grande valeur propre λ 1 .
On le note u1 .
Le deuxième axe est celui associé à la deuxième valeur propre λ 2 .
On le note u 2 .
Composantes principales
A chaque axe est associé une variable appelée composante
principale.
La composante c1 est le vecteur renfermant les cordonnées des
projections des individus sur l’axe 1.
La composante c 2 est le vecteur renfermant les cordonnées des
projections des individus sur l’axe 2.
Pour obtenir ces coordonnées, on écrit que chaque composante
principale est une combinaison linéaire des variables initiales.
Exemple :
c1 = u11 x1 + u12 x 2 + ... u1p x p
14
2.
PROPRIÉTÉS DES COMPOSANTES PRINCIPALES
c La variance d’une composante principale est égale à
l’inertie apportée par l’axe principal qui lui est associé.
1ère composante c1
variance : λ 1
2ème composante c 2
variance : λ 2
3ème composante c 3
variance : λ 3
d Les composantes principales sont non corrélées
deux à deux.
En effet, les axes associés sont orthogonaux.
15
3.
REPRÉSENTATION DES INDIVIDUS
La jème composante principale
........
⎛ c1j ⎞
⎜ j⎟
⎜ c2 ⎟
j
c =⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ j⎟
⎝ cn ⎠
fournit les coordonnées des n individus
sur le jème axe principal.
Si on désire une représentation plane des individus, la meilleure sera celle
réalisée grâce aux deux premières composantes principales.
ei
2
c2i
g
1
c1i
!
ej
Attention à la qualité de représentation de chaque individu.
16
4.
REPRÉSENTATION DES VARIABLES
Les « proximités » entre les composantes principales et les variables
initiales sont mesurées par les covariances, et surtout les corrélations.
(
)
r c j , x i est le coefficient de corrélation linéaire entre c j et x i .
c2
(
2
r c ,x
i
xi
)
(
r c1 , x i
)
1
c
CERCLE DES CORRÉLATIONS
17
5.
INTERPRETATION DES « PROXIMITÉS » ENTRE
VARIABLES
On utilise un produit scalaire entre variables permettant d’associer
aux paramètres courants : écart-type, coefficient de corrélation
linéaire des représentations géométriques.
(
)
1
x ,x =
n
i
j
n
∑x
k =1
i
k
x kj
On suppose les variables centrées.
z
zz
(x , x ) = Cov (x , x )
x
i
j
i 2
1
= x ,x =
n
xi
Î
zzz
zzzz
2
xi
i
(
i
j
j
)
∑ (x )
n
k =1
= s2i = variance de x i
2
= écart-type de x i
Coefficient de corrélation linéaire
(X , X ) = Cov (X , X ) = r
Cos ( X , X ) =
i
Î
i 2
k
i
j
i
j
X
i
X
j
si s j
j
(X , X )
i
j
18
X
3
X
1
X2
X1 et X 2 ont une corrélation proche de 1.
X1 et X 3 ont une corrélation proche de 0.
19
III. VALIDITÉ DES REPRÉSENTATIONS
1.
CRITÈRE GLOBAL
λi
mesure la part d’inertie expliquée par l’axe i.
λ 1 + λ 2 + ... λ p
Exemple :
λ1 + λ 2
p
∑λ
i =1
i
est la part d’inertie expliquée par le
premier plan principal.
Ce critère (souvent exprimé en pourcentage) mesure le degré de
reconstitution des carrés des distances.
La réduction de dimension est d’autant plus forte que les variables
de départ sont plus corrélées.
20
Combien d’axes ?
Différentes procédures :
c Pourcentage d’inertie souhaité : a priori
d Diviser l’inertie totale par le nombre de variables initiales
Ö inertie moyenne par variable : I.M.
Conserver tous les axes apportant une inertie supérieure à cette
valeur I.M.
(inertie > 1 si variables centrées réduites).
e Histogramme
4
3
..
.
2
1
λ1 λ 2
λ 1 = 4,5
λ 2 = 3,8
λ 3 = 2,9
λ3
....
λ4
λ5
λ6
λ7
cassure
21
2.
CRITÈRES INDIVIDUELS
Pour chaque individu e i , la qualité de sa représentation est définie
par le carré du cosinus de l’angle entre l’axe de projection et le
vecteur e i .
ei
axe 2
θ2
θ
θ1
y
fi
axe 1
cos2 θ = cos2 θ1 + cos2 θ 2
En général, les qualités de représentation sont données axe par axe.
Pour avoir la qualité de représentation dans un plan, on additionne
les critères correspondant aux axes étudiés.
!
Ce critère n’a pas de signification pour les individus proches
de g .
c regarder les distances des individus au centre de
gravité g
d utiliser le critère de cos2 pour les individus
suffisamment éloignés de g .
22
CONTRIBUTIONS
Il est très utile aussi de calculer pour chaque axe la contribution
apportée par les divers individus à cet axe.
Considérons la kème composante principale c k , soit c ik la valeur de la
composante pour le ième individu.
( )
n
1 k
c
n i
∑
i =1
2
= λk
La contribution de l’individu e i à la composante n° k est définie par :
( )
1 k
c
n i
λk
2
Remarque :
„
Il n’est pas souhaitable qu’un individu ait une contribution
excessive (car facteur d’instabilité) Î éliminer les individus
dont la contribution est trop importante.
„ Problème
des enquêtes par sondage
23
3.
REPRÉSENTATION DES VARIABLES
Le cercle des corrélations est la projection du nuage des variables sur le
plan des composantes principales.
corrélation = cosinus
c2
c1
Les variables bien représentées sont celles qui sont proches du cercle :
celles qui sont proches de l’origine sont mal représentées.
24
4.
INTERPRÉTATION EXTERNE : VARIABLES
ET INDIVIDUS SUPPLÉMENTAIRES
(ILLUSTRATIFS)
„
Variables
• Variable quantitative : On calcule le coefficient de
corrélation entre la variable supplémentaire et les composantes
principales.
Ceci permet sa représentation sur le cercle des corrélations.
zz
Variable qualitative :
 Identification des individus de chaque catégorie de la
variable
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 Représentation de chaque catégorie par son centre de gravité.
?
?
?
 Calcul du rapport de corrélation entre la variable qualitative
supplémentaire et chaque composante principale (test de FischerSnedecor) ou valeur-test dans SPAD.
„
Individus
Individu de poids nul ne participant pas à l’analyse (fichier test).
Appliquer aux coordonnées de l’individu les expressions
définissant les composantes principales.
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