ch10-Agrandissement et reduction

CHAPITRE 10
AGRANDISSEMENT ET REDUCTION
I. NOTION D’AGRANDISSEMENT ET REDUCTION
Faire un agrandissement d’une figure c’est multiplier toutes les longueurs par un même
nombre k plus grand que 1.
Exemple :
Le 2ème triangle est un agrandissement du 1er, les longueurs ont été multipliées par 1,5
En effet : 3 × 1,5 = 4,5 4×1,5 = 6 et 5×1,5 = 7,5.
Le coefficient d’agrandissement k est égal à 1,5.
Faire une réduction d’une figure c’est multiplier toutes les longueurs par un même nombre k
plus grand compris entre 0 et 1.
Exemple :
Le 2ème triangle est une réduction du 1er, les longueurs ont été divisées par 2. On préfère dire
1
qu’elles ont été multipliées par .
2
1
1
1
En effet : 4 ×
=2
6× = 3 et 8× = 4
2
2
2
Le coefficient d’agrandissement k est égal à
1
c'est-à-dire à 0,5.
2
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Calcul du coefficient k :
Coefficient d’agrandissement =
Longueur réduite
Longueur initiale
Coefficient de réduction =
Dans le 1er exemple : k =
Longueur agrandie
Longueur initiale
4,5 6 7,5
= =
= 1,5.
3
4 1,5
Dans le 2ème exemple : k =
2 3 4 1
= = = .
4 6 8 2
II. EFFET SUR LES ANGLES
Dans un agrandissement ou une réduction, les angles sont conservés.
Les angles les deux triangles du premier exemple du paragraphe I son égaux, de même pour les
triangles du deuxième exemple.
III. EFFET SUR LES AIRES
A. ACTIVITE
Quand on agrandit une figure, l’aire aussi augmente mais pas de la même façon que les
longueurs.
Considérons les deux rectangles ci-dessous :
Il est clair que le 2ème est un agrandissement du 1er de coefficient 3.
Que se passe-il pour les aires ?
1cm×2cm = 2 cm²
3cm × 6cm = 18 cm²
L’aire du 1er est égale à 2 cm² et celle du 2ème est égale à 18 cm².
L’aire a été multipliée par 9 !
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Explication : Chacune des deux dimensions du petit rectangle est multipliée par 3. Son aire, qui
est le produit des deux dimensions, est donc multipliée par 3×3 c'est-à-dire par 9.
Autre exemple :
Considérons un rectangle quelconque de longueur L et de largeur ℓ.
Faisons un agrandissement de coefficient 10.
Les longueurs des côtés sont multipliées par 10 mais pas l’aire !
Il est facile de démontrer que l’aire du grand rectangle est 100 fois plus grande.
En effet :
L’aire du petit rectangle est égale à L× ℓ.
La longueur du grand est 10L et sa largeur 10ℓ.
L’aire du grand est égale à 10L× 10ℓ soit 10×10× L× ℓ soit 100 L× ℓ c'est-à-dire 100 fois
l’aire du petit.
Cas d’une réduction : le principe est le même. Revenons au premier exemple de l’activité. On
1
peut dire aussi que le petit rectangle est une réduction du grand de coefficient . L’aire du petit
3
1 1
1
est égale à l’aire du grand multipliée par × soit .
3 3
9
B. THEOREME (ADMIS)
Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre k (positif), alors l’aire est
multipliée par k2.
IV. EFFET SUR LES VOLUMES
A. ACTIVITE
De la même façon, lors d’un agrandissement, le volume n’augmente pas de la même façon que
les longueurs.
Considérons les deux cubes ci-dessous :
1 cm
3 cm
Il est clair que le 2ème est un agrandissement du 1er de coefficient 3.
Que se passe-il pour les volumes?
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1cm×1cm×1cm = 3 cm3
3cm × 3cm × 3cm = 27 cm3
Le volume du 1er est égal à 3 cm3 et celui du 2ème est égal à 27 cm3.
Le volume a été multiplié par 27 !
Explication : Chacune des trois dimensions du petit cube est multipliée par 3. Son volume qui est
le produit des trois dimensions, est donc multipliée par 3×3×3 c'est-à-dire par 27.
Autre exemple :
Considérons un pavé quelconque de longueur L, de largeur ℓ et de hauteur h.
Faisons un agrandissement de coefficient 10.
Les longueurs des côtés sont multipliées par 10 mais pas le volume !
Il est facile de démontrer que le volume du grand pavé est 1000 fois plus grand.
En effet :
L’aire du petit rectangle est égale à L× ℓ × h.
La longueur du grand est 10L, sa largeur 10ℓ et sa hauteur 10h.
Le volume du grand est égal à 10L× 10ℓ × 10h soit 10×10×10× L× ℓ × h soit 1000 L× ℓ × h
c'est-à-dire 1000 fois le volume du petit.
B. THEOREME (ADMIS)
Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre k (positif), alors le volume est
multiplié par k3.
V. RESUME
Dans un agrandissement de coefficient k :
k=
Longueur agrandie
Longueur initiale
k>1
Dans une réduction de coefficient k :
k=
Longueur réduite
Longueur initiale
0<k<1
Longueur agrandie = Longueur initiale × k
Longueur réduite = Longueur initiale × k
Aire agrandie = Aire initiale × k2
Aire réduite = Aire initiale × k2
Volume agrandi = Volume initial × k3
Volume réduit = Volume initial × k3
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VI.
APPLICATIONS
Enoncé1 :
La maquette d’une maison a une hauteur de 30 cm, une surface au sol d’aire 1,2 m² et un volume
de 0,3 m3. La maison réelle est un agrandissement de la maquette.
Le coefficient d’agrandissement est 10.
Calculer la hauteur réelle H, l’aire A de la surface réelle au sol et le volume réel V.
Solution : Le coefficient d’agrandissement est 10 donc :
H = 30 cm × 10 = 300 cm = 3 m
A = 1,2 m² × 10² = 1,2 m² × 100 = 120 cm²
V = 0,3 m3 × 103 = 0,3 m3 × 1000 = 300 cm3
Enoncé 2 :
Un objet a une hauteur de 2 m et un volume V égal à 120 dm3.
Un autre objet est une réduction du premier. Sa hauteur est égale à 1,60 m.
a) Calculer le coefficient de réduction.
b) Calculer son volume V’.
Solution :
a) Soit k le coefficient de réduction.
k=
Longueur réduite 1,6
=
= 0,8 (Il s’agit d’une réduction, k est bien plus petit que 1).
2
Longueur initiale
b) V’ = V × k3 = 120 dm3 × 0,83 = 61,44 dm3
Enoncé 3 :
Un rectangle a une aire A égale à 12 cm² et les diagonales de longueur 5 cm.
On réalise un agrandissement de ce rectangle de façon que les diagonales aient une longueur
égale à 8 cm.
a) Calculer le coefficient d’agrandissement.
b) Calculer l’aire A’ du grand rectangle.
Solution :
a) Soit k le coefficient d’agrandissement.
k=
Longueur agrandie 8
= = 1,6 (Il s’agit d’un agrandissement, k est bien plus grand que 1).
Longueur initiale
5
b) A’ = A× k2 = 12 cm2 × 1,62 = 30,72 cm2
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Enoncé 4 :
La Tour Eiffel, qui est construite en fer, mesure environ 300 m de haut et sa masse M est égale à
8 000 tonnes. On fabrique maquette en fer de 1 m de haut.
a) Calculer le coefficient de réduction.
b) Calculer la masse M’ de la maquette (le coefficient de réduction des masses est le même
que celui des volumes.
Solution :
a) Soit k le coefficient de réduction.
k=
Longueur réduite
3
1
=
=
= 0,01 (Il s’agit d’une réduction, k est bien plus petit que 1).
Longueur initiale 300 100
b) Il en va des masse comme des volumes donc :
M’ = M × k3 = 8 000 tonnes × 0,013 = 0,008 tonnes = 8 kg.
VII. SECTION D’UN PYRAMIDE OU D’UN CONE
S
S
D’
A’
C’
B’
R’
O’
A’
C
D
O
A
B
A
A. THEOREME (ADMIS)
Lorsqu’on coupe une pyramide (ou un cône) par un plan parallèle à la base on obtient une petite
pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction due la grande pyramide (du grand cône).
Le coefficient de réduction k est égal à
SA’ SB’ A’B’ SO’ O’A’
=
=
=
=
etc…
SA
SB
AB
SO
OA
Rappel : on a aussi (voir chapitre 7) (A’B’) // (AB) (B’C’) // (BC) ….. (A’O’)//(AO)
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B. APPLICATION
La figure représente une pyramide régulière dont la
base est un pentagone régulier. Elle a été coupée par
un plan parallèle à la base. I et J sont les centres
respectifs de la base et de la section.
A et A’ sont les aires de la base et de la section.
V et V’ sont les volumes de la grande et de la petite
pyramide.
On donne : SJ = 12 cm , SI = 20 cm et A = 150 cm².
1) Calculer V.
2) Quelle est la nature de la section ?
3) Calculer le coefficient de réduction des longueurs k.
4) Calculer A’.
5) Calculer V’.
Solution :
Aire de la base × hauteur 150 cm2 × 20 cm
=
= 1 000 cm3
a) V =
3
3
b) La section est une réduction de la base donc c’est un pentagone régulier.
c) k =
Longueur réduite SJ 12
= = = 0,6.
Longueur initiale SI 20
d) A’ = A× k2 = 150 cm2× 0,6 2 = 150 × 0,36 cm2 = 54 cm2
e) V’ = V× k3 = 1000 cm3× 0,6 3 = 1000× 0,216 cm3 = 21,6 cm3
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