BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL Systèmes Electroniques

SESSION 2007
BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
Systèmes Electroniques Numériques
E1
ÉPREUVE SCIENTIFIQUE A CARACTERE PROFESSIONNEL
Sous épreuve E11
MATHÉMATIQUES
Contrôle en Cours de Formation
Evaluation n° 2
Date : 11 / 06 / 07
Durée : 2 heures
Coefficient : 2
Le matériel autorisé comprend toutes les calculatrices de poche y compris les
calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur
fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante (Réf. C n° 99186 du 16-11-1999).
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront
l’appréciation des copies.
CCF2 de mathématiques
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dans
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Exercice 1 (3 points)
1. Donner la solution générale de l’équation différentielle :
2. Donner la solution particulière qui vérifie :
y' ' +100 y = 0
y' ( 0 ) = 20 et y( 0 ) = 2
Exercice 2 (17 points)
Les fibres optiques sont des supports de transmission qui présentent de nombreux avantages
par rapport aux câbles classiques. Cependant et malgré la grande pureté de la silice utilisée,
une partie du signal transporté est perdue. La puissance à la sortie de la fibre est alors
atténuée.
Gaine
O
Cœur
x
Gaine
On se propose dans cet exercice d’étudier un modèle simplifié de cette atténuation.
Lorsqu’on injecte à l’entrée de la fibre une puissance P0 = 600 W / mm , la puissance
2
transmise par la fibre est : Pt = P0 × e −0 ,05× L ; L étant la longueur de la fibre en km.
Les parties I ; II ; III ; et IV sont indépendantes, elles peuvent êtres traités dans
n’importe quel ordre.
I. Calculs numériques (4 points)
1. Calculer les valeurs P1t ; P2t ; P3t et P4t correspondant aux longueurs : 1 ; 2 ; 3 et 4
km. Tous les résultats seront arrondis à 10-2.
2. Les quatre puissances obtenues forment une suite numérique.
a. De quelle suite s’agit-il ? Préciser sa raison.
b. En déduire, en utilisant les formules des suites numériques, Pt à 5 puis à 80 km.
II. Equations différentielles du premier ordre (2 points)
1. Donner la solution générale de l’équation différentielle :
y' +0 ,05 y = 0
2. En déduire la solution qui vérifie y( 0 ) = 600 .
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3. La puissance Pt transmise par la fibre est solution de l’équation différentielle
précédente. Que représente y et x dans ce cas ?
III. Etude de modèle mathématique (6 points)
Soit f définie sur l’intervalle [0 ; 100] par : f ( x ) = 600 × e
−0 ,05 x
1. On note f ' la dérivée de la fonction f. Déterminer l’expression de f '(x).
2. Quel est le signe de f '(x) sur l'intervalle [0 ; 100] ?
3. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 100] en complétant
le tableau de l’annexe 1.
4. Compléter le tableau de valeurs de l'annexe 1. Arrondir le résultat à l’unité.
5. Soit C la représentation graphique de la fonction f et T sa tangente au point A.
a. Placer le point A (20 ; 221) dans le repère orthonormal de l'annexe 1.
b. Déterminer l’équation de la tangente T.
Rappel : équation de la tangente en un point M (a ; b) : y = f ′( a ) × ( x − a ) + b .
6. Tracer T et la courbe C dans le repère de l'annexe 1.
IV. Calcul intégral (5 points)
La valeur moyenne de la fonction f définie par f ( x ) = 600 × e
[0 ; 100] est donnée par : f ( x) =
1
×
100
−0 ,05 x
sur l’intervalle
100
∫ f ( x).dx
0
100
1. Hachurer dans le repère de l’annexe 1 la partie qui correspond à
∫ f ( x ).dx .
0
2. On décide d’affecter pour les carreaux situés entre C et l’axe des abscisses (Ox), une
aire de 5 si le carreau est entier et 2,5 si non. Calculer l’aire de la partie située entre C
et (Ox) à l’unité près.
3. Donner une primitive de 600 × e
−0 ,05 x
.
100
4. calculer
∫ f ( x ).dx . Comparer la valeur obtenue à celle trouvée au IV.2.
0
5. En déduire La valeur moyenne de f sur l’intervalle [0 ; 100].
6. Exploitation. : Donner la valeur moyenne de la puissance transmise par une fibre de
100 km de longueur.
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Annexe 1 (À rendre avec la copie)
Nom :
Prénom :
III.3 : Tableau de variations
x
0
100
Signe de f’(x)
Variations de f(x)
III.4 : Tableau de valeurs
x
f(x)
0
10
20
30
50
70
90
100
III.5 Representation graphique
f(x)
50
0
x
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