Egaliseur de spectre Audio

UNIVERSITE DE NANCY I
Année Universitaire 1999-2000
Maîtrise EEA – Signaux et systèmes numériques
(Epreuve non surveillée à rendre le lundi 18 décembre 2000)
Egaliseur de spectre audio (10 band graphic Equalizer)
Introduction : l’objectif de cette étude est la conception des algorithmes numériques permettant de réaliser un égaliseur
de spectre à 10 octaves.
I - Préliminaires
On considère le circuit analogique passif de la figure 1.
Vs
1) Déterminer la fonction de transfert H A (p) =
(p)
Ve
2) Régime harmonique. Montrer que la transmittance H A (jω ) de ce filtre peut s’écrire :
H A (jω ) =
H Ao
1 + jQ A . X
avec X =
ω Ao
ω
ω Ao
ω
Identifier H Ao , Q A et ω Ao en fonction des composants.
3) Déterminer les pulsations ω + et ω - à - 3dB en fonction de ω Ao et Q A
4) Tracer l’allure de G(dB) = 20log H(jω )
II - Version numérique du filtre passe-bande précédent
Afin de déterminer la fonction de transfert H(z) d’un filtre numérique pouvant jouer le rôle du circuit précédent, on
1 - z -1
2
applique à H A (p) la transformation bilinéaire p = k
avec k =
, Te étant la période d’échantillonnage.
-1
Te
1 + z
1) Déterminer H(z) et la mettre sous la forme (E 1 ) :
α (1 - z -2 )
1 + γ z −1 + β z -2
Identifier α, β et γ en fonction de k, R, L, C.
2) Montrer sans calcul qu’il s’agit bien d’un filtre passe-bande.
3) Rappeler la relation permettant de déterminer la pulsation centrale du filtre numérique ω o en fonction de ω Ao
III - Etude détaillée de la réponse en fréquence du filtre numérique
f
1
En régime harmonique, on pose z = e jΩ avec Ω = 2π
; fe =
fe
Te
1) En utilisant la forme (E1) montrer que : H(jΩ
2
=
4α 2 sin 2 (Ω)
[γ + (1+ β)cosΩ ] + [(1- β)
2
2
sin 2 Ω
]
2) Déterminer Ω o telle que H(jΩ o ) est maximale. On exprimera Ω o en fonction de γ et β puis en fonction de k, L et
C. Montrer au passage que Ω o est conforme à la relation rappelée en II-3.
3) On note Ho le module H(jΩ o ) . Exprimer Ho en fonction de α et β
2
4) Exprimer alors H(jΩ sous une forme du type (E2) :
2
5) Approximation de H(jΩ pour f <
fe
8
H 2o
2
( Ω, Ω o , β)
1 + f onct
π
, on peut utiliser les développements limités suivants :
4
x2
(erreur relative max. de 2 %)
sin(x) ≈ x (erreur relative max. de 10 %) et cos (x) ≈ 1 2
Lorsque x est inférieur à
H 2o
2
Dans ce cas, mettre H(jΩ sous une forme approchée du type (E3) :
 Ω 2 − Ω 2o 
1 + Q2 

 Ω. Ω o 
2
Exprimer β en fonction de Q et Ωo
IV - Détermination des coefficients de l’égaliseur de spectre numérique
Le schéma de principe de l’égaliseur est donné en figure 2
Les fréquences centrales de chaque bande sont respectivement : 31, 62, 125, 250, 500, 1k, 2k, 4k, 8k et 16k (Hz).
On choisit un facteur de qualité Q = 1,4 et Ho = 1 pour chaque filtre passe-bande.
La fréquence d’échantillonnage est fe = 44,1 kHz (fréquence normalisée des C.D.).
fe
2
, on utilisera la forme approchée de H(jΩ
8
Remplir alors le tableau des coefficients suivant :
(Les coefficients seront exprimés avec une précision de 6 chiffres après la virgule)
1) Pour les 8 premières bandes : f <
Fréquences
centrales
31 Hz
62 Hz
125 Hz
250 Hz
500 Hz
1 kHz
2 kHz
4 kHz
α
β
γ
2) Proposer un mode de détermination des coefficients des filtres des bandes 8 kHz et 16 kHz.
3) On désire que chaque bande de fréquence du signal yk puisse être atténuées ou amplifiées entre - 14 dB et + 14 dB.
Déterminer alors la plage de variation à donner aux facteurs gi (1 ≤ i ≤ 10).
-2
2
C
L
Ve
R
Vs
xk
Filtre 1
(31 Hz)
g1
Filtre 2
(62 Hz)
g2
Filtre 10
(16 kHz)
Figure 1
g10
Figure 2
+
2
2
yk
Note : les facteurs gi
sont réels et réglables