Les outils mathématiques de la mécanique quantique Emmanuel

Transcription

Les outils mathématiques de la mécanique quantique
Emmanuel Fromager
Institut de Chimie de Strasbourg - Laboratoire de Chimie Quantique Université de Strasbourg /CNRS
ECPM, Strasbourg, France
Page 1
Reformulation de l’équation de Schrödinger indépendante du temps
— En mécanique ondulatoire, l’équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles où
l’énergie E et la fonction d’onde ϕ(r) sont toutes deux inconnues :
~2 2
−
∇ ϕ(r) + V (r) × ϕ(r) = Eϕ(r)
2m
— Difficile, a priori, de résoudre une telle équation de manière générale, d’où ces questions :
(1) Peut-on trouver une solution analytique ? Existe-t-il toujours des solutions ?
(2) La quantité E est interprétée comme une énergie : est-on sûr que seules des valeurs réelles de
E ont une solution ϕ(r) associée ? Ce n’est en effet pas évident de donner un sens physique à une
énergie complexe ...
(3) Cette formulation n’est pas assez générale (elle ne permet pour l’instant de décrire qu’une seule
particule) : ne pourrait-on pas réécrire l’équation de Schrödinger sous une forme facilement
généralisable à n’importe quel système quantique ?
Page 2
Ô
— Introduction d’opérateurs agissant sur les fonctions d’onde : f (r) 7−→ Ôf (r).
~2 2
Par exemple T̂ = −
∇ −→
2m
~2 2
T̂ f (r) = −
∇ f (r)
2m
V̂ = V (r)× −→
V̂ f (r) = V (r) × f (r)
Ĥϕ (r) = Eϕ(r)
— L’équation de Schrödinger s’écrit ainsi
où Ĥ = T̂ + V̂
←−
opérateur hamiltonien
— Analogie
 avec une
 équation aux valeurs propres : [A]W = λW où, par exemple,
α β
.
[A] = 
W
←→
ϕ(r)
β α
λ
←→
E
[A]
←→
Ĥ
Page 3
Valeur et vecteur propres
— Définition : un vecteur propre W de la matrice [A] est un vecteur non nul tel que
[A]W = λW
où λ est un nombre (réel ou complexe) que l’on appelle valeur propre.

— Détermination de λ : en notant [1] = 
1
0
0
1

 la matrice identité, il vient
[A] − λ[1] W = 0.
Nous en déduisons que [A] − λ[1] n’est pas inversible sinon
−1 [A] − λ[1]
[A] − λ[1] W = 0 = W ←− absurde !
de sorte que
α−λ
— Dans notre exemple β
det [A] − λ[1] = 0
β
= (α − λ)2 − β 2 = 0 −→ λ = α + β ou λ = α − β
α−λ ECPM, Strasbourg, France
Page 4
— Détermination de W :

[A]W+ = (α + β)W+ −→ W+ = w+ 

[A]W− = (α − β)W− −→ W− = w− 
1
1



1
−1

où w+ et w− sont deux nombres complexes non nuls quelconques.

— Un vecteur colonne W = 
w1
w2

→
→
 est la représentation d’un vecteur →
w = w1 u1 + w2 u2 dans
n→ →o
une base donnée u1 , u2 .
— La représentation change si l’on utilise une autre base mais le vecteur reste le même !
Par exemple, en posant
→
u01
=
→
u1
+
→
u2
→
→
w2 →0
w1 →0
→
0
u1 + u2 +
u1 − u02
w=
2
2
et
→
u02
→
→
= u1 − u2 ,

−→ W0 = 
(w1 + w2 )/2
(w1 − w2 )/2


Page 5
— Considérons
de manière plus générale un espace vectoriel EN de dimension N dont une base est
n→o
→
ui
. Tout vecteur w de EN peut se décomposer dans cette base discrète :
i=1,N
→
w=
→
w1 u1
+
→
w2 u2
+ ... +
→
wN uN
=
N
X
→
wi ui
i=1
→
— Nous adoptons désormais les notations de Dirac : tout vecteur v sera noté |vi et appelé "ket v".
On notera ainsi |wi tout élément (ket donc) de EN et on écrira
|wi =
N
X
wi |ui i
i=1
— En réécrivant l’équation de Schrödinger, nous avons fait précédemment une analogie entre un
vecteur colonne W et l’ensemble des valeurs ϕ(r) que prend la fonction d’onde lorsque r varie
dans R3 .


w1


 w2 



|wi ←− W =  . 
←→
{ϕ(r)}r∈R3 −→ |ϕi =?

.
 . 


wN
Page 6
— Cas d’un espace E de base continue {|uξ i}ξ∈R :
Z
∀|wi ∈ E,
+∞
|wi =
dξ w(ξ) |uξ i
−∞
— La fonction w(ξ) représente le ket |wi dans la base {|uξ i}ξ∈R .
— Cas d’une particule se déplaçant sur l’axe des x :
on peut construire, à partir de la fonction d’onde ϕ(x) décrivant la particule, le ket
Z
+∞
dx ϕ(x) |ux i.
|ϕi =
−∞
Dans la suite on notera simplement |xi = |ux i le ket que l’on associera à l’état quantique "la
particule est à la position x".
— En mécanique quantique les kets décrivent des états quantiques. Il est donc usuel d’employer le
mot "état" au lieu du mot "ket".
Page 7
Espace des états quantiques et représentation |ri
— Construction d’un espace vectoriel décrivant les états possibles de la particule : on note
|x, y, zi = |ri
le ket décrivant l’état "la particule est à la position r".
— L’ensemble des kets |ri obtenus en faisant varier r dans R3 forme l’espace vectoriel ESchrödinger
des états quantiques de la particule en théorie de Schrödinger : ESchrödinger = {|ri}r∈R3 .
— Différences notables entre ESchrödinger et l’espace EN introduit précédemment : ESchrödinger est un
espace de dimension infinie dans lequel on passe continûment d’un vecteur (ou ket) de base à
l’autre.
— Étant donnée une fonction d’onde ϕ(r) décrivant la particule, le ket |ϕi peut être construit
comme suit
Z
|ϕi =
dr ϕ(r) |ri
R3
Page 8
Espace des états quantiques et représentation |ri
— La fonction d’onde calculée en r est alors interprétée comme la composante du ket |ϕi selon le
ket de base |ri . En d’autres termes, la fonction d’onde est une représentation du ket |ϕi qui
existe donc indépendamment de la base et que nous appellerons tout simplement état quantique
de la particule.
EN
←→
wi |ui i
←→
— En résumé,
|wi =
N
X
ESchrödinger
Z
|ϕi =
dr ϕ(r) |ri
R3
i=1
N
X
Z
←→
i=1

w1

 w2

W=
 ..
 .

wN
dr
R3








←→
{ϕ(r)}r∈R3
Page 9
Opérateur linéaire et représentation matricielle
— Un opérateur Â de l’espace vectoriel EN transforme un ket quelconque |wi de EN en un autre
ket de EN noté Â|wi.
— Dans la suite, tous les opérateurs que nous considèrerons seront linéaires, c’est-à-dire qu’ils
vérifient les relations suivantes :
∀|vi ∈ EN , ∀|wi ∈ EN , Â |vi + |wi = Â|vi + Â|wi,
∀α ∈ C , ∀|wi ∈ EN , Â α|wi = αÂ|wi.
— Du fait de sa linéarité, si l’on sait comment Â agit sur les kets de base {|ui i}i=1,N alors on sait
comment Â agit sur n’importe quel ket de EN et donc Â est parfaitement défini.
Page 10
Opérateur linéaire et représentation matricielle
En effet, si Â|uj i =
N
X
Aij |ui i
et
|wi =
i=1
N
X
wj |uj i
alors
j=1
Â|wi =
N
X
N
X
i=1
j=1
!
Aij wj
|ui i
— Représentation matricielle dans la base {|ui i}i=1,N :

A11

 A21

Â −→ [Â] = 
..


.

AN 1
A12
...
A1N




,



A22
..
.
...
..
.
A2N
..
.
AN 2
...
AN N
Â|wi −→ [Â] W
Page 11
Opérateur hamiltonien défini sur ESchrödinger
— Un opérateur Ô agira sur l’espace des états quantiques de la particule ESchrödinger comme suit
Z
Z
∀|ϕi ∈ ESchrödinger , |ϕi =
dr ϕ(r) |ri
et
Ô|ϕi =
dr Ôϕ (r) |ri
R3
— Exemples :
~2
T̂ |ϕi = −
2m
Z
R3
dr ∇2 ϕ(r) |ri
R3
Z
et
V̂ |ϕi =
dr V (r) × ϕ(r) |ri
R3
— Analogies avec EN :
|wi =
N
X
EN
←→
wi |ui i
←→
ESchrödinger
Z
|ϕi =
dr ϕ(r) |ri
R3
i=1
Â|wi =
N
X
N
X
i=1
j=1
!
Aij wj
Z
|ui i
[Â] W
←→
dr Ôϕ (r) |ri
Ô|ϕi =
R3
←→
n
o
Ôϕ (r)
r∈R3
Page 12
Équation de Schrödinger pour un système quantique quelconque
— Cas de la particule : l’équation de Schrödinger réécrite sous la forme
vérifiée pour n’importe quelle valeur de r dans R3 . Ainsi
Z
dr Ĥϕ (r) |ri =
R3
soit
Ĥ|ϕi = E|ϕi
temps
Ĥϕ (r) = Eϕ(r) est
Z
dr Eϕ(r) |ri
R3
←− forme la plus générale de l’Éq. de Schrödinger indépendante du
— Extension à n’importe quel système quantique :
(1) définir l’espace des états quantiques
(2) définir l’opérateur hamiltonien dans une base de cet espace
Exemple : créez votre propre théorie quantique. On considère l’espace des états Eétudiant d’un
étudiant en considérant son humeur. On suppose que cet espace a pour dimension 2 et qu’une base
est donnée par les kets |u1 i = |î
¨ et |u2 i = |_i
¨ .
Page 13
Plusieurs représentations dans cette base sont possibles pour l’hamiltonien de l’étudiant :


h i
−ε
0
 avec ε > 0 .
— un hamiltonien optimiste serait représenté par Ĥ = 
0
+ε
Ainsi Ĥ|î
¨ = −ε|î
¨ et Ĥ|_i
¨ = +ε|_i
¨ .
L’état stationnaire (nous en reparlerons ...) et de plus basse énergie (état fondamental) est donc
l’état "content" |î.
¨

h i
+ε
— un hamiltonien pessimiste serait représenté par Ĥ = 
0
0
−ε


L’état fondamental serait alors l’état "pas content" |_i.
¨
Page 14

h i
−ε
— un hamiltonien réaliste serait représenté par Ĥ = 
K
K
+ε

 où K est un nombre réel.
On dit que K couple les états "content" et "pas content". L’état fondamental, dont l’énergie est
√
− ε2 + K 2 , est alors une combinaison linéaire des états "content" et "pas content".
Plus sérieusement, la reformulation de l’équation de Schrödinger indépendante du temps permet
la construction d’une théorie quantique générale dans laquelle le système considéré n’est pas
nécessairement une particule. Nous pourrons ainsi aborder les problèmes multi-électroniques
(chimie quantique et physique du solide) mais également la vibration et rotation des molécules, la
description quantique du champ électromagnétique et son interaction avec la matière
(électrodynamique quantique), la description quantique du champ gravitationnel (gravitons), mais
également les ordinateurs quantiques, etc ...
Dans le cas de la particule, nous pourrons également inclure plus de degrés de liberté, le spin par
exemple (théorie de Pauli) mais aussi le signe de l’énergie en théorie quantique relativiste (théorie
de Dirac)
Page 15
Produit scalaire
— Produit scalaire dans un repère cartésien :
si
→
→
→
→
u = ux ex + uy ey + uz ez
alors
et
→
→
→
→
v = vx ex + vy ey + vz ez
→→
u . v = ux vx + uy vy + uz vz
— Notation de Dirac :
→→
u.v
−→
hu|vi
— Généralisation : produit scalaire complexe satisfaisant les conditions suivantes
(1)
||u||2 = hu|ui ≥ 0
(2)
hu|vi = hv|ui∗
(3)
∀α ∈ C, hu|α vi = αhu|vi ←− linéarité à droite
(4)
hu|v + wi = hu|vi + hu|wi ←− linéarité à droite
←− complexe conjugué de hv|ui
Page 16
Produit scalaire
Conséquences de (2) et (3), puis (2) et (4) :
(5)
∀α ∈ C, hα u|vi = α∗ hu|vi ←− anti-linéarité à gauche
(6) hu + v|wi = hu|wi + hv|wi
— En dotant l’espace vectoriel EN d’un tel produit scalaire on obtient un espace dit de Hilbert. Une
base orthonormée {|ui i}i=1,N vérifie
hui |uj i = δij ←− symbole de Kronecker (1 si i = j , 0 si i 6= j)
— ∀|wi ∈ EN , |wi =
N
X
wj |uj i −→ hui |wi = wi
j=1
Page 17
Produit scalaire
Ainsi
|wi =
N
X
i=1
hui |wi |ui i =
N
X
|ui ihui |wi
i=1
— Notion de "bra" : si |Ψi est un ket de EN , son "bra" noté hΨ| est défini comme l’application de EN
dans C associant à tout ket |wi de EN le nombre complexe hΨ|wi soit
|wi ∈ EN
hΨ|
7−→
hΨ|wi ∈ C
— On peut ainsi écrire ∀|wi ∈ EN
|wi =
N
X
!
|ui ihui | |wi = 1̂|wi
i=1
soit
N
X
|ui ihui | = 1̂
←− résolution de l’identité
i=1
Page 18
Représentation matricielle en base orthonormée
— Soit Â un opérateur dans EN défini par les éléments de matrice Aij comme suit
Â|uj i =
N
X
Aij |ui i
i=1
On a donc pour une base orthonormée
huk |Â|uj i = Akj
— En utilisant la résolution de l’identité :
Â = 1̂ Â 1̂ =
N X
N
X
Aij |ui ihuj |
i=1 j=1
Page 19
Opérateur adjoint, opérateur hermitien
— Définition : soit Â un opérateur dans EN . L’opérateur adjoint qui lui est associé, et qui est noté
Â† , est défini comme suit
2
∀ |vi, |wi ∈ EN
,
hv|Â|wi = hÂ† v|wi = hw|Â† |vi∗
— Représentation matricielle de l’opérateur adjoint en base orthonormée :
[Â† ]
ij
=
hui |Â† |uj i
=
A∗ji
soit
†
[Â ] = [Â]
T ∗
←−
trans-conjuguée de [Â]
— Définition : un opérateur Â est dit hermitien (ou hermitique ou auto-adjoint) s’il est égal à son
opérateur adjoint soit Â† = Â.
— Propriétés d’un opérateur hermitien :
(1) les valeurs propres d’un opérateur hermitien Â sont réelles
(2) Il existe toujours une base orthonormée de EN constituée uniquement de vecteurs propres de Â
Page 20
Opérateur adjoint, opérateur hermitien
— En imposant à l’opérateur hamiltonien d’être hermitien, quel que soit le système quantique étudié,
on garantit que ses valeurs propres, que l’on interprète comme les énergies du système, sont réelles.
De plus, une base orthonormée de vecteurs propres associés à ces énergies pouvant être
déterminée, du fait de l’hermiticité de l’hamiltonien, cela signifie qu’il est toujours possible de
résoudre l’équation de Schrödinger indépendante du temps.
— Une théorie quantique dans laquelle l’hamiltonien n’est pas hermitien pourrait conduire à des
résultats non physiques (énergies complexes par exemple).
— Dans les théories quantiques conventionnelles (les seules que nous aborderons), l’hamiltonien sera
systématiquement hermitien.
Page 21
Postulats de la mécanique quantique sur les observables
(P1) On postule qu’il est possible d’associer à toute observable A (l’énergie par exemple) un opérateur
hermitien Â dont les valeurs propres {ai }i=1,N sont les seules valeurs qui pourront être mesurées pour
A.
(P2) Soit {|ai i}i=1,N une base orthonormée de vecteurs propres de Â ,
∀i ∈ [1, N ], Â|ai i = ai |ai i.
On suppose que les ai sont tous différents (pas de dégénérescence). Tout état quantique |ϕi de EN peut
se décomposer dans cette base :
N
X
|ϕi =
hai |ϕi |ai i
i=1
On postule alors que la probabilité de mesurer ai pour l’observable A est
P(ai ) = |hai |ϕi|2
Condition de normalisation : d’après ces deux postulats, un état physique |ϕi vérifie la condition
N
X
P(ai ) = 1 = hϕ|ϕi
i=1
Page 22
Postulats de la mécanique quantique sur les observables
Valeur moyenne de A :
hAi =
N
X
ai P(ai ) = hϕ|Â|ϕi
i=1
(P3)
Si ai est mesuré, alors le système est dans l’état |ai i juste après la mesure.
Page 23
Application : cas de la particule
— Espace des états quantiques : ESchrödinger = {|ri}r∈R3
— Base orthonormée :
hr0 |ri = δ(r0 − r)
←− distribution de Dirac (généralisation du symbole de Kronecker)
Z
Formule à utiliser : ∀f (r)
dr f (r) δ(r0 − r) = f (r0 )
R3
Z
— Produit scalaire entre deux kets :
R3
Z
— Condition de normalisation :
ondulatoire
dr Ψ∗ (r)ϕ(r)
hΨ|ϕi =
hϕ|ϕi =
dr |ϕ(r)|2 = 1
R3
←−
comme en mécanique
— Définition : les opérateurs position x̂ , ŷ et ẑ sont définis comme suit
x̂ = x×
ŷ = y×
ẑ = z×
Page 24
Application : cas de la particule
— Valeur moyenne de la position x :
Z
dr x |ϕ(r)|2
hxi = hϕ|x̂|ϕi =
←−
R3
comme en mécanique ondulatoire
— Définition : les opérateurs composantes de l’impulsion p̂x , p̂y et p̂z sont définis comme suit
∂
∂x
∂
p̂y = −i~
∂y
∂
p̂z = −i~
∂z
p̂x = −i~
— Valeur moyenne de la composante x de l’impulsion :
Z
dr ϕ∗ (r)
hpx i = hϕ|p̂x |ϕi = −i~
R3
∂ϕ(r)
∂x
←−
comme en mécanique ondulatoire
Page 25
Complément sur le produit scalaire en base continue
+∞
Z
— La distribution de Dirac δ(ξ) définie sur R est telle que
∀f (ξ),
dξ f (ξ)δ(ξ) = f (0).
−∞
Ainsi
∀ξ 0 ,
Z
+∞
0
+∞
Z
dξ f (ξ)δ(ξ − ξ) =
−∞
dξ f (ξ)δ(ξ − ξ 0 ) = f (ξ 0 )
−∞
— Cas d’un espace E de base continue orthonormée {|uξ i}ξ∈R : huξ0 |uξ i = δ(ξ 0 − ξ)
Z
∀|wi ∈ E,
+∞
|wi =
dξ w(ξ) |uξ i −→
−∞
Z
∀|vi ∈ E,
huξ0 |wi = w(ξ 0 )
+∞
|vi =
Z
dξ v(ξ) |uξ i
−→
hw|vi =
−∞
— Distribution de Dirac définie sur R3 :
ainsi
+∞
dξ w(ξ)∗ v(ξ)
−∞
δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z)
δ(r0 − r) = δ(x0 − x)δ(y 0 − y)δ(z 0 − z)
Page 26

Les outils mathématiques de la mécanique quantique Emmanuel

Transcription

Documents pareils

ComUE - Photons, physique quantique et philosophie

présentation conference toute la medecine holistique est quantique

cours, méthodes,exercices 6 2 Aide mémoire mécanique générale 5

"Techno-santé quantique" dans le magazine Génération Tao n°62

livret sur des metaphores

Les intervenants du colloque Qu`est

Biographie de François Martin - Théorie de la Double Causalité

Ateliers

Être et ne pas être : et si telle était la question

Prix Gay-Lussac Humboldt - cache.media.enseignementsup