Filtres passifs

Filtres passifs
I24. Amplificateur sélectif.
1) Un amplificateur sélectif est représenté ci-contre. Il
ve(t)
gve(t)
L
R
vs(t)
C
comporte une source de courant commandée par la
tension d’entrée, une résistance, une inductance et un
condensateur ; g est une constante réelle. On suppose qu’il débite sur une impédance infinie. Exprimer sa fonction
vs
de transfert en tension H =
en fonction de g, R , L, C et de la pulsation ω.
ve
A
et exprimer A,Q et ω0 en fonction de g, R, L et C.
⎛ ω
ω ⎞
1 + jQ ⎜⎜
− 0 ⎟⎟
⎝ ω0
ω⎠
3) Calculer L, C et g pour que A = 1, R = 100 Ω, Q = 100 et pour que la fréquence correspondant à ω0 soit
f0 = 5 MHz .
2) La mettre sous la forme H =
4) Quel type de filtrage réalise cet amplificateur ?
5) Déterminer le domaine de fréquence où il déphase vs par rapport à ve de moins de ϕ = 10°.
6) Quel est dans ce domaine la variation extrême du rapport des amplitudes Vsm /Vem ?
II30. Filtre passif.
Un générateur, non représenté, applique au montage une tension
R
ve = Vem cos ωt ; le montage applique la tension vs à un appareil non représenté
équivalent à une résistance infinie.
L
vs
1) Calculer la fonction de transfert complexe H = vs/ve en fonction de R, L, C et ve
C
ω.
1
ω
2) Montrer que l’on peut écrire H =
où x =
et où ω0 et Q sont deux constantes à exprimer en
1
ω0
1 + jQ x −
x
fonction de R, L et C.
3) Pour quelle valeur de ω le gain G = |H| est-il maximum ? Quel est sa valeur maximale Gmax ?
4) On suppose pour cette question Q grand. Déterminer une expression approximative simple de x – 1/x au voisinage de
x = 1. En déduire des expressions approximatives, mais simples des pulsations ω1 et ω2 (ω1 < ω2) délimitant la bande
passante à –3 dB, c’est-à-dire l’intervalle de ω pour lequel le gain est supérieur à Gmax / 2 .
5) Ecrire les équations rigoureuses donnant ω1 et ω2 pour Q quelconque et les résoudre.
ω − ω1
obtenues à partir des résultats des questions 4) et 5).
6) Comparer les expressions de 2
ω0
7) Exprimer vs(t) dans les deux cas ω = ω0 et ω = ω1.
8) Tracer schématiquement les graphes de G et φ en fonction de ω.
9) Cette théorie est-elle valable si le générateur branché à l’entrée a une résistance non nulle ? si le récepteur branché à
la sortie a une résistance finie ?
(
)
III39.
Un filtre comportant des résistances R , des capacités C et d’autres composants linéaires a pour fonction de transfert
v
1
H ( j ω) = s =
ve
1 + 2 jRC ω − 2R2C 2 ω2
où ve et vs sont les représentations complexes des tensions ve = Vem cos ωt et vs = Vsm cos(ωt + ϕ) à l’entrée et
à la sortie du filtre.
1) Exprimer en fonction de R,C , ω le coefficient d’amplification H = Vsm /Vem pour ce filtre.
v
1
2) On souhaite écrire la fonction de transfert sous la forme : H ( j ω) = s =
. Exprimer les
ve
ω
⎛ ω ⎞⎟2
−⎜
1 + 2jσ
ω0 ⎜⎝ ω0 ⎠⎟
constantes σ (coefficient d’amortissement du filtre) et ω0 en fonction de R et C .
3) Déterminer en fonction de R,C , ω le déphasage ϕ par sa tangente.
4) Donner le tableau de variation de ϕ en fonction de ω .
5) Quelle est la nature du filtre, passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande ?
6) Donner la définition du gain GdB exprimé en décibel en fonction de H .
7) Déterminer le comportement asymptotique de GdB pour ω
ω0 ;
DS : filtres, page 1
8) et pour ω
ω0 .
9) Définir la bande passante du filtre.
10) Calculer cette bande passante.
11) La tension d’entrée est désormais la tension triangulaire représentée ci-contre,
ve
ω
Em
de fréquence f0 = 0 , où ω0 a la valeur calculée à la question 2 et dont la
2π
décomposition de Fourier est
8E ⎡
1
1
⎤
ve (t ) = 2m ⎢ cos ω0t + 2 cos(3ω0t ) + 2 cos(5ω0t ) + … ⎥ où Em = 1 volt .
t
π ⎣
3
5
⎦
On constate expérimentalement que la tension de sortie est sensiblement sinusoïdale :
−E m
vs ≈ Vsm cos(ω0t + ϕ) . Expliquer ce fait.
12) Calculer Vsm .
13) Calculer ϕ .
14) La tension d’entrée est à présent une fonction quelconque du temps. En utilisant l’expression de la fonction de
transfert, déterminer l’équation différentielle du second ordre qui relie vs et ve .
15) La tension d’entrée est à présent un échelon de
tension, c’est-à-dire que ve (t ) = 0 pour t < 0 et
ve (t ) = E pour t > 0 , où E est une constante. La
figure ci-contre donne le graphe de la tension de sortie
vs en fonction du temps. Quelle est la valeur numérique
de E ?
16) Commenter le graphe de vs ( t ) représenté cicontre : nature du régime ? est-il proche ou éloigné du
régime critique ? conditions initiales ?
IV40.
1) Calculer la fonction de transfert H 1 = vs / ve du filtre ci-contre quand sa sortie
débite sur une charge d’impédance infinie.
2) Définir et calculer son impédance d’entrée Ze .
3) Définir et calculer son impédance de sortie Zs moyennant une certaine
hypothèse.
ve
4) Calculer la fonction de transfert H 2 = vs / ve du filtre ci-contre quand
sa sortie débite sur une charge d’impédance infinie.
5) Expliquer pourquoi H 2 ≠ H 12 .
6) Calculer la bande passante du premier filtre pour R = 1000 Ω et C = 100 nF .
R
ve
C
R
vs
R
C
C
vs
7) On applique à l’entrée du premier filtre la tension continue Ve = 2 volts . Quelle est la tension à la sortie ?
8) On applique à l’entrée du premier filtre la tension ve = Vem cos ωt , où Vem = 2 volts et ω = 105 rad/s . Quelle
est la tension à la sortie ?
9) On applique à l’entrée du premier filtre la tension ve = Ve + Vem cos ωt . Quelle est approximativement la tension
à la sortie, sous forme numérique ?
10) Si v1 et v2 sont les valeurs minimales et maximales de vs ( t ) et vs sa valeur moyenne, le taux d’ondulation de
v − v1
vs est λ = 2
. Calculer λ .
2 vs
11) On branche à la sortie un voltmètre de bonne qualité, donc « rms », réglé en continu. Qu’indique-t-il ?
12) On règle ce voltmètre en alternatif. Qu’indique-t-il ?
V36. d’après petites mines 2003.
R
A
R
1) Le filtre ci-contre débite sur une résistance d’utilisation infinie. En
vs
ve = Vem cos ωt
L
L
considérant son comportement asymptotique à haute et basse fréquence,
déterminer sans calcul sa nature, passe bas, passe haut, passe bande ou
coupe bande.
2) Exprimer sa fonction de transfert H = vs / ve en fonction de x = L ω / R .
Nota : ne pas transformer l’expression obtenue sans raison.
3) Tracer qualitativement le diagramme de Bode de ce filtre, c’est-à-dire les deux graphes de GdB = 20 log H et
ϕ = arg (H ) en fonction de log x . On précisera les équations des asymptotes.
4) Quel est le plus grand, la pulsation de coupure ou R / L ?
DS : filtres, page 2
5) On peut considérer ce filtre comme constitué par la mise en série de deux cellules formées par une résistance R et
une bobine L . Comment modifier ce montage pour obtenir un filtre dont la fonction de transfert est le carré de celle
d’un filtre ne comportant qu’une cellule R, L ?
Réponses
I. 1) H =
Rg
jR
1 + jRC ω −
Lω
; 2) A = Rg ; ω0 =
A
1
C
;Q =R
; 3) g =
= 0, 01S ;
R
L
LC
R
Q
tan ϕ
= 3,18.10−8 H ; C =
= 3,18.10−8 F ; 4) passe-bande ; 5) f1 = f0 (1 −
) = 4, 9956 MHz ;
2πf0Q
Rω0
2Q
tan ϕ
f2 = f0 (1 +
) = 5, 0044 MHz ; 6) de 1 à 0,9848.
2Q
1
1
C
II. 1) H =
; 2) ω0 =
;Q =R
; 3) ω = ω0 ; G max = 1 ; 4)
1
L
LC
1 + jR C ω −
Lω
1 ⎞⎟
1 ⎞⎟
ω0 ⎡
1
1⎤
ω ⎡
1
1⎤
⎛
⎛
⎢ 4 + 2 − ⎥ ; ω2 = 0 ⎢ 4 + 2 + ⎥ ; 6)
ω1 = ω0 ⎜⎜ 1 −
⎟ < ω < ω2 = ω0 ⎝⎜⎜ 1 +
⎟ ; 5) ω1 =
⎝
2Q ⎠⎟
2Q ⎠⎟
2 ⎢⎣
Q
2
⎢
Q
⎥⎦
⎥
Q
Q
⎦
⎣
ω2 − ω1
1
V
π
=
; 7) si ω = ω0 , vs = ve = Vem cos ωt ; si ω = ω1 , vs = em cos ωt +
;
ω0
Q
4
2
L=
(
)
(
)
φ
G
π
2
1
0
0
w0
ω
ω0
−
ω
π
2
8)
9) valables si le générateur branché à l’entrée a une résistance rg ; non valables si l’appareil branché à la sortie a une
impédance finie.
III. 1) H =
1
4
4 4
1 + 4R C ω
2ω / ω
2RC ω
1
1
= 2 2 0 ; 4)
; σ=
; 3) tan ϕ =
2 2 2
2RC
2
ω / ω0 − 1
2R C ω − 1
ω0
+∞
ω
0
tan ϕ 0
0
−∞ +∞
ϕ
0
−π
−π / 2
; 2) ω0 =
5) passe bas ; 6) GdB = 20 log H ; 7) GdB ≈ 0 ; 8) GdB ≈ −40 log ( ω / ω0 ) ; 9) si H max est la valeur maximale de
la fonction H (ω) , la bande passante est le domaine de fréquence pour lequel H est supérieur à H max
(
2 ; 10)
)
1
; 11) les composantes de la série de Fourier de fréquence 3 f0 , 5f0 ... sont
2π 2RC
davantage atténuées que la composante de fréquence f0 ; 12) Vsm = 4 2Em / π2 = 0, 573 volt ; 13) ϕ = −π / 2 ;
l’intervalle de fréquence 0,
d 2vs
dv
+ 2RC s + vs = ve ; 15) E = 1 volt ; 16) régime pseudopériodique proche du régime critique ;
dt
dt 2
dvs
vs (0) = 0 et
(0) = 0 .
dt
1
1
IV. 1) H 1 =
; 2) le montage équivaut vis à vis de l’entrée à une impédance Ze = R +
; 3)
1 + jRC ω
jC ω
l’ensemble du circuit branché à l’entrée et du filtre équivaut à une source de tension en série avec une impédance
1
1
1
Zs =
ou Zs =
; 4) H 2 =
; 6) du continu à 1592 Hz ; 7)
1
1
1 + 3 jRC ω − R2C 2 ω2
+ jC ω
+ jC ω
R
R + rg
14) 2R2C 2
DS : filtres, page 3
vs = 2 V ; 8) approximativement vs = 0, 2 sin ( 105 t ) ou vs = 0,199 cos ( 105 t − 1, 471rad ) ; 9)
vs = 2 + 0, 2 sin ( 105 t ) en volts ; 10) λ = 0,1 ; 11) 2 volts ; 12) 0,14 volts.
DS : filtres, page 4
Corrigés
I.
1) vs = Zgve =
gve
Rg
⇒ H =
1
1
jR
+
+ jC ω
1 + jRC ω −
R
jLω
Lω
2) En identifiant les deux formules, on obtient A = Rg
RC =
Q
ω0
quotient membre à membre de ces deux dernières formules ω0 =
3) g =
A
= 0, 01S
R
L=
R
= 3,18.10−8 H
2πf0Q
C =
R
= Q ω0 , d’où en formant le produit et le
L
1
LC
Q =R
C
L
Q
= 3,18.10−8 F
Rω 0
4) C’est un passe-bande.
ω
f
1
5) Posons x =
= . Les limites correspondent à tan ϕ = ±Q(x − ) .
f0
ω0
x
Comme le domaine est étroit, le calcul est plus simple en approximant la fonction x −
x−
1
par
x
d (x − 1/ x )
1
≈ (x − 1)
= 2(x − 1)
x
dx
x =1
x ≈1±
tan ϕ
2Q
f1 = f0 (1 −
tan ϕ
) = 4, 9956 MHz
2Q
f2 = f0 (1 +
tan ϕ
) = 5, 0044 MHz
2Q
6) Le gain reste très voisin de 1 ; sa valeur extrême a lieu pour ϕ = 10° ; alors il vaut
1
= cos ϕ = 0, 9848 ; il varie donc de 1 à 0,9848.
1 + tan2 ϕ
II. Filtre passif.
ve
1
R
1) D’après le théorème de Millman, vs =
⇒H =
1
1
1
1 + jR C ω −
+
+ jC ω
R
jLω
Lω
2) Il faut identifier les deux expressions de
1
1
H =
=
1
⎛ ω
ω0 ⎞⎟
1 + jR C ω −
1 + jQ ⎜⎜
−
Lω
⎝ ω0
ω ⎠⎟
Q
R
= RC Q ω0 =
L
ω0
(
(
)
)
1
R2C
R
Q2 =
Q =
= RC ω 0
LC
L
Lω0
Remarquons que l’expression de Q n’est pas celle d’un circuit RLC série.
1
1
3) G = H =
est maximum quand x − = 0 soit x = 1 ou ω = ω0 . Sa valeur maximale
2
x
1
1 + Q2 x −
x
est G max = 1 .
G
1
1
1
1
1
4) G > max G 2 >
Q 2 ( x − 1/ x )2 < 1 x −
>
<
2 1 + Q 2 ( x − 1/ x )2
2
x
Q
2
En prenant le produit et le rapport membre à membre , on obtient : ω20 =
(
Soit f ( x ) = x − 1/ x
)
d ( f ( x ) ) = ( 1 + 1/ x 2 )dx . En remplaçant les différentielles par des petites variations au
voisinage de x = 1 , on obtient, f ( x ) − f ( 1 ) ≈ 2 ( x − 1 ) . Si Q est grand, la bande passante est sensiblement
l’intervalle de fréquence pour lequel :
1
1
1
1 ⎞⎟
1 ⎞⎟
⎛
⎛
< x < x2 = 1 +
ω1 = ω0 ⎜⎜ 1 −
2 ( x − 1) <
x1 = 1 −
⎟ < ω < ω2 = ω0 ⎝⎜⎜ 1 +
⎟
⎝
Q
2Q
2Q
2Q ⎠⎟
2Q ⎠⎟
DS : filtres, page 5
5) Les pulsations de coupures sont les solutions de x −
1
1
=
soit x 2 ± x /Q − 1 = 0 dont les racines sont
x
Q
⎤
1⎡ 1
1
⎢± ±
+ 4 ⎥ . Comme une pulsation est positive, les deux solutions acceptables sont :
2
2 ⎢⎣ Q
⎥⎦
Q
ω ⎡
1⎡
1
1⎤
1
1⎤
x1 = ⎢ 4 + 2 − ⎥ ω1 = 0 ⎢ 4 + 2 − ⎥
Q ⎦⎥
Q ⎦⎥
2 ⎣⎢
2 ⎣⎢
Q
Q
ω ⎡
1⎡
1
1⎤
1
1⎤
x 2 = ⎢ 4 + 2 + ⎥ ω2 = 0 ⎢ 4 + 2 + ⎥
Q ⎥⎦
Q ⎥⎦
2 ⎢⎣
2 ⎢⎣
Q
Q
ω2 − ω1
1
= .
ω0
Q
7) Si ω = ω0 , H = 1 , vs = ve = Vem cos ωt .
π
π
π
1
1
V
V
=
exp j
vs = em exp j ωt +
vs = Re ( vs ) = em cos ωt +
.
Si ω = ω1 , H =
1− j
4
4
4
2
2
2
8) Si
jx
π
x
ω→0
H ≈
φ→
G ≈
g
20 log x − 20 log Q
Q
Q
2
π
1+ j
1
ω = ω1
H =
φ=
G =
g = −3 dB
2
4
2
ω = ω0
H =1
φ=0
G =1
g =0
6) Dans les deux cas,
( )
1− j
2
1
H ≈
jQx
ω = ω2
π
4
π
φ→−
2
H =
ω→∞
((
φ=−
))
1
2
G =
G ≈
1
Qx
)
g = −3 dB
20 log x − 20 log Q
g
φ
G
π
2
1
0
(
w0
0
ω
ω0
−
ω
π
2
9) Ces résultats restent valables si le générateur branché à l’entrée a une résistance rg , à condition qu’on soit capable
de faire varier ω sans changer Vem , ce qui est assez irréaliste. On peut songer à remplacer R par R + rg .
Ils ne sont plus valables si l’appareil branché à la sortie a une impédance finie.
III.
1) Comme H est de la forme
1
, son module est H = H =
a + jb
H =
2) Il faut identifier les deux fonctions de j ω,
Ces deux fonctions sont identiques si : RC =
1
a 2 + b2
=
1
(1 − 2R2C 2 ω2 )2 + (2RC ω)2
1
1 + 4R 4C 4 ω4
v
1
H ( j ω) = s =
=
ve
1 + 2 jRC ω − 2R2C 2 ω2
σ
1
et 2R2C 2 = 2 ⇒ ω0 =
ω0
ω0
1
.
ω
⎛ ω ⎞⎟2
1 + 2jσ
−⎜
ω0 ⎜⎝ ω0 ⎠⎟
1
1
et σ =
2RC
2
1
b
, son argument ϕ est compris entre 0 et −π et est tel que tan ϕ = − , soit
a + jb
a
2ω / ω
2RC ω
= 2 2 0 .
tan ϕ =
ω / ω0 − 1
2R2C 2 ω2 − 1
3) Comme H est de la forme
DS : filtres, page 6
1
1
. Comme H est de la forme
, où a est positif à
a + jb
2RC
basse fréquence et négatif à haute fréquence et b est positif
ω0
+∞
ω
0
tan ϕ 0
0
−∞ +∞
ϕ
0
−π
−π / 2
4) Posons, en accord avec une question qui suit, ω0 =
5) Ce filtre est passe bas.
⎡
⎛ ω ⎞4 ⎤
6) GdB = 20 log H = −10 log ⎢ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥ .
⎢
⎝ ω0 ⎠ ⎥⎦
⎣
7) Si ω
ω0 , GdB ≈ 0 .
ω
8) Si ω
ω0 , GdB ≈ −40 log
(–40 dB/décade).
ω0
9) Soit H max la valeur maximale de la fonction H (ω) . La bande passante est le domaine de fréquence pour lequel H
est supérieur à H max
2.
10) Comme H max = 1 , la bande passante est le domaine où
1
4
⎛ ω⎞
1 + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
>
1
, soit ω < ω0 . La bande passante est
2
1
).
2π 2RC
11) Comme le filtre est passe bas et de bande passante (0, f0 ) , les composantes de la série de Fourier de fréquence
3 f0 , 5 f0 ... sont davantage atténuées que la composante de fréquence f0 ; le signal à la sortie est donc intermédiaire
entre un signal triangulaire et un signal sinusoïdal de fréquence f0 . Si on néglige les harmoniques devant le
fondamental dans vs , ce signal est sinusoïdal ; sa représentation complexe est s’obtient en multipliant le fondamental de
8E
1
4 2Em
exp ( j ωt ) .
ve , soit 2m exp ( j ωt ) , par H ( j ω0 ) =
, d’où vs =
j 2
π2 j
π
donc l’intervalle de fréquence (0,
4 2Em
= 0, 573 volt .
π2
π
13) ϕ = arg(H ) = − .
2
d
14) En remplaçant j ω par
dans ve = [1 + 2 jRC ω + 2R2C 2 ( j ω)2 ]vs , on obtient
dt
d 2v
dv
2R2C 2 2s + 2RC s + vs = ve .
dt
dt
12) Vsm = vs =
15) E = limt →+∞ vs = 1 volt .
16)
• Le régime transitoire est pseudopériodique ; en effet, un régime apériodique ne peut pas comporter deux instants
différents pour lesquels la dérivée de vs est nulle. On peut le vérifier en calculant le discriminant de l’équation
caractéristique, soit ∆ = −4R2C 2 et remarquant qu’il est négatif.
• Le régime est relativement proche du régime critique ; en effet, il y a très peu d'oscillation.
dv
• Les conditions initiales sont vs (0) = 0 et s (0) = 0 .
dt
IV.
v
1
⇒ s = H1 =
.
1
ve
1 + jRC ω
R+
jC ω
v
1
2) Le montage équivaut vis à vis de l’entrée à une impédance e = Ze = R +
ie
jC ω
1) Le même courant ie traverse R et C : ie = jC ω vs =
ve
3) L’ensemble du circuit branché à l’entrée et du filtre équivaut à une source de tension en série avec une impédance
Zs ,ou à une source de courant en parallèle avec cette impédance. Selon le circuit branché à l’entrée, plusieurs réponses
sont possibles.
Si sur l’entrée est branchée une
R
source de tension, l’équivalence
vs
R
ve
ve/R
vs
ve/R
Zs
vs
C
C
DS : filtres, page 7
modèle de Thévenin modèle de Norton donne les équivalents successifs ci-contre :
1
D’où Zs =
.
1
+ jC ω
R
Si sur l’entrée est branchée une source de tension en série avec une résistance rg , alors Zs =
1
.
1
+ jC ω
R + rg
4) Voici deux résolutions possibles :
a) Appliquons le théorème de Millman au point A commun aux deux résistances
ve / R
ve
v (A) =
=
et à la sortie
1
1
jRC ω
+ jC ω +
1 + jRC ω +
1
R
1 + jRC ω
R+
jC ω
v ( A )/ R
ve
1
=
⇒ H2 =
vs =
1
jRC ω ⎞⎟
⎛
+
ω
− R2C 2 ω2
1
3
jRC
⎜⎜ 1 + jRC ω +
+ jC ω
(
)
+
ω
jRC
1
⎟
R
⎝
1 + jRC ω ⎠⎟
1
.
1 + 2 jRC ω − R2C 2 ω2
b) Appliquons le théorème de Millman :
alors que H 12 =
– au point A commun aux deux résistances v ( A ) =
– et à la sortie vs =
ve / R + vs / R
v + vs
= e
2 / R + jC ω
2 + jRC ω
v ( A )/ R
⇒ v ( A ) = ( 1 + jRC ω ) vs .
1/ R + jC ω
ve + vs
= ( 1 + jRC ω ) vs
2 + jRC ω
ve = [ ( 1 + jRC ω )( 2 + jRC ω ) − 1 ] vs
H2 =
1
1 + 3 jRC ω − R2C 2 ω2
1
.
1 + 2 jRC ω − R2C 2 ω2
5) Si on place plusieurs quadripôles en série, la fonction de transfert de
H1
H2
ve
vs
v1
l’ensemble est le produit des fonctions de transfert des éléments
vs
vs v1
(H =
=
= H 1H 2 ) si l’impédance de sortie de chaque élément est
ve
v1 ve
beaucoup plus petite que l’impédance d’entrée de l’élément suivant. En effet, dans le cas contraire, la fonction de
transfert n’est pas une propriété du seul quadripôle, elle dépend aussi des éléments qui sont branchés sur lui. Or, d’après
les calculs des questions précédentes, l’impédance de sortie du premier étage est de l’ordre de celle d’entrée du second
étage.
1
est maximum pour ω = 0 et vaut alors H max = 1 . La fréquence de coupure est telle que
6) H =
1 + R2C 2 ω2
H
1
ω
1
H = max ⇒ ωc =
fc = c =
= 1592 Hz .
RC
2π
2
2π × 103 × 10−7
La bande passante va du continu à 1592 Hz .
7) H = 1 vs = 2 V .
alors que H 12 =
1
1
=
. Si on ne cherche pas le déphasage entre la sortie et l’entrée, une bonne
−7
5
1 + 10 j
1 + j 10 × 10 × 10
⎛V e j ωt ⎞⎟
1
approximation est H =
Re ⎜⎜ em
= vs = 0, 2 sin ( 105 t ) en volts. Cette approximation est suffisante pour
⎜⎝ 10 j ⎠⎟⎟
10 j
répondre aux questions suivantes.
Si on souhaite connaître le déphasage entre l’entrée et la sortie, on peut faire un calcul plus précis :
⎛V e j ωt ⎞⎟
⎛ ( 1 − 10 j )Vem e j ωt ⎞⎟ Vem
10Vem
= Re ⎜⎜
vs = Re ⎜⎜ em
cos ωt +
sin ωt = 0,199 cos ( 105 t − ϕ )
⎟=
⎜⎝ 1 + 10 j ⎠⎟⎟
101
101
101
⎝⎜
⎠⎟
.
π
ϕ = 0, 9365 = 1, 471 rad = 84, 3°
2
8) H =
3
DS : filtres, page 8
9) vs = 2 + 0, 2 sin ( 105 t ) en volts.
10) v1 = 2 − 0, 2
v2 = 2 + 0, 2
v = 2 ⇒ λ = 0,1 .
11) Le voltmètre indique la valeur moyenne, soit 2 volts.
12). Le voltmètre indique la valeur efficace de la composante alternative, soit
0, 2
= 0,14 V .
2
Remarque : si le voltmètre était trms, il indiquerait la valeur efficace du signal, soit
22 + 0,142 = 2, 005 V .
V.
1) A basse fréquence, une bobine est un court-circuit, donc vs = 0 . A haute fréquence, son impédance est infinie,
donc vs = ve . On peut donc présumer que ce filtre est passe-haut.
ve
ve
R
=
2) Millman : vA =
;
1
1
1
1
1
+
+
+
1+
R jL ω R + jL ω
jx 1 + jx
A droite, R et L forment un diviseur de tension :
vA
v
vA
1
= s ⇒ vs =
⇒H =
1
⎛
⎞⎛
⎞
R + jL ω
jL ω
⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ⎜⎜1 + 1 + 1 ⎟⎟
1+
⎟
jx
⎟
⎜⎝
⎜
jx ⎠⎝
jx 1 + jx ⎠⎟⎟
1
20 log H
−40 log x ϕ → +π (et non −π , car les deux expressions entre
x2
parenthèses au dénominateur de l’expression de H ont toutes deux une partie réelle positive et une partie imaginaire
négative ; voir aussi que x = 1 ⇒ H = j / 3) ).
3) A basse fréquence, H
−
A haute fréquence, 20 log H
0
ϕ → 0.
Pour x = 1 , H = j / 3 .
ϕ
π
0
log x
20 log H
log x
−40 log x
0
–
∞ R
4) Pour x = 1 , H = j / 3 , H = 1/ 3 < 1/ 2 , donc la fréquence
R
+
L
de coupure correspond à x > 1 , soit ω > R / L .
ve = Vem cos ωt
L
En fait, la fréquence de coupure correspond à x = 1,194 .
5) Pour que la fonction de transfert de deux quadripôles disposés en
série soit le produit des fonctions de transfert de ces deux quadripôles, il faut que la résistance de sortie de la première
cellule soit très petite par rapport à celle d’entrée de la seconde ; or dans le montage, elles paraissent du même ordre de
grandeur ; il faut donc interposer un montage suiveur entre les deux cellules.
DS : filtres, page 9
vs