I. Signaux déterministes à temps continu

I. Signaux déterministes à temps continu
I.1. Définition et propriétés d'un filtre linéaire
Dans le cas des signaux déterministes à temps continu, donner la définition et les propriétés
essentielles des filtres linéaires. Qu'appelle-t-on stabilité ? Donner une CNS de stabilité.
I.2. Propriétés de la TF
Compléter la colonne de droite du tableau suivant :
x(t) ←
→ X(f )
x(t–t0)
x(t) exp(2jπf0t)
dx(t)
dt
réelle
I.3. Famille orthogonale à bande limitée
On considère le système de fonctions définies pour k∈{0,…,M–1} par :
ϕk(t) = λ g(t–kT)
sin(2πB(t–kT))
avec
1)
2)
2)
g(t) = 2πB(t–kT)
Déterminer la transformée de Fourier de g(t). En déduire celle de ϕk(t).
Déterminer la relation entre B et T, pour que ce système soit orthogonal (utiliser l'égalité de
Parseval sur le produit scalaire).
Déterminer λ pour que ce système soit en plus normé.
I.4. Triangle périodisé, filtré
On considère le signal périodique défini par :
∞
x(t) =
∑ g(t–2nT)
n=–∞
où g(t) désigne le signal triangle, pair, de durée 2T et de hauteur A :
|t|
g(t) = A (1–T ) pour t∈(–T,T) et 0 sinon
1)
2)
3)
Calculer la transformée de Fourier de g(t).
En déduire la décomposition en série de Fourier de x(t).
1
1
Ce signal est mis à l'entrée d'un filtre passe-bas idéal de bande T (son gain est nul pour |f |>T ) .
Déterminer l'expression du signal en sortie.
I.5. Filtrage de sinusoïdes
BTS – Exercices – 1
On applique le signal x(t) = A cos(2πf0t) + B sin(2πf1t) à l'entrée d'un filtre gain complexe H(f ).
Déterminer l'expression du signal y(t) en sortie (on suppose A et B positifs).
I.6. Impulsion sinusoïdale
On considère le filtre de réponse impulsionnelle h(t) définie par :
1
T
h(t) = T cos(2πf0t) rectT(t–2 )
On suppose que f0T »1.
1)
Déterminer son gain complexe et esquisser la forme de son gain. Quel est type de filtrage est
réalisé ?
2)
Déterminer le gain complexe et la réponse impulsionnelle du filtre équivalent en bande de base
par rapport à la fréquence f0 (on justifiera l'approximation faite).
I.7. Filtre moyenneur
On considère le système dont la relation entre l'entrée x(t) et la sortie y(t) a pour expression :
1
y(t) = T
t
⌠
⌡ x(u)du
t–T
Montrer que ce système est un filtre linéaire. En déduire sa réponse impulsionnelle et son gain
complexe. Est-il stable, causal ?
I.8.
I.9. Esquisser le signal de sortie
On considère le filtre de réponse impulsionnelle représenté ci-dessous :
θ
x(t)
h(t)
A
t
t
T
t0
T
On applique à l'entrée le signal x(t) = A rectT(t– 2 ).
On donne t0=0,5µs, θ=10ns et T=1µs.
Esquisser la forme du signal y(t) en sortie du filtre. On précisera l'échelle du temps.
I.10. Ambiguïté
En radar pour estimer l'instant d'arrivée d'un écho dû à une cible, on calcule à la réception la fonction
g(t) définie par :
⌠ r(u)x(u–t) du
g(t) = ⌡
où r(t) désigne le signal reçu et où x(t) représente le signal émis (de forme connue). En l'absence de
bruit et de distorsion, on peut écrire : r(t)=x(t–t0).
On considère les deux signaux x(t) suivants :
BTS – Exercices – 2
x 2(t)
x 1(t)
A
A
t
t
T
T
–A
1)
2)
3)
Calculer l'énergie de x1(t) et de x2(t).
Déterminer pour x1(t) et x2(t), la fonction g(t). En déduire un moyen de mesurer t0.
Comparer de façon qualitative les deux situations lorsque les signaux sont soumis à un faible
bruit additif.
I.11. Multitrajets
Lors de la transmission d'un signal x(t) à travers un canal, le signal reçu r(t) a pour expression :
r(t) = ax(t) + x(t–t0) + bx(t–2t0) où a et b « 1
Montrer que le canal se comporte comme un filtre linéaire. En déduire son gain et en esquisser la
forme.
I.12. Filtre en cosinus
On considère un filtre de gain complexe :

f
H0 cos(π ) pour |f | < B
2B
H(f ) = 
 0 sinon
On applique à son entrée un signal x(t) de bande limitée B.
1)
Déterminer sa réponse impulsionnelle h(t).
1
1
2)
Montrer que le signal y(t) en sortie s'exprime simplement en fonction de x(t–4B ) et de x(t+4B ).
I.13. Filtrage d'un signal modulé en impulsions
On considère le signal x(t) défini par :
x(t) = A g(t) – A g(t–T) – A g(t–2T)
T
où g(t) = rectT(t–2 ).
Ce signal passe à travers un filtre de réponse impulsionnelle g(t). Déterminer le signal de sortie.
I.14. Filtre analytique
On considère le filtre de gain complexe :
 2 pour f> 0
G(f ) = 
0 pour f< 0
On applique à l'entrée le signal réel x(t). On note y(t) le signal en sortie. On décompose y(t) en partie
réelle et partie imaginaire suivant : y(t) = a(t) + j b(t). On note respectivement A(f ) et B(f ) les
transformées de Fourier de a(t) et b(t).
1)
Montrer que a(t) = x(t).
2)
Montrer que B(f ) = –j signe(f )A(f ). En déduire que b(t) est obtenu à partir de x(t) par filtrage
linéaire.
BTS – Exercices – 3
I.15. Reconstruction d'un signal sur-échantillonné
On dispose d'une suite de valeurs x(kTe) provenant de l'échantillonnage d'un signal x(t) réel à la
cadence Te. On note X(f ) la transformée de Fourier de x(t). On suppose que ce signal est de bande
1
limitée B=4T , c'est-à-dire X(f )=0 pour |f |>B.
e
On réalise à partir de la suite x(kTe), le signal y(t) défini par :
∞
y(t) =
∑ x(kTe) h(t–kTe)
k=–∞
où h(t) désigne un signal, dont on note H(f ) la transformée de Fourier. On note Y(f ) la transformée de
Fourier de y(t).
1)
En utilisant la formule de Poisson, déterminer Y(f ) en fonction de X(f ) et de H(f ).
2)
Comment peut-on choisir H(f ) pour que y(t)=x(t).
I.16. Sous-échantillonnage
On dispose d'une suite de valeurs provenant de l'échantillonnage d'un signal réel à la fréquence fe =
8000 Hz. On souhaite synthétiser la suite des échantillons que l'on aurait obtenus si l'on avait effectuer
(correctement) l'échantillonnage à 4000Hz. Décrire le traitement nécessaire pour réaliser cette
opération.
II. Signal déterministe à temps discret
II.1. Signal triangulaire
On considère le signal numérique x(n) défini par :
 1 0≤n≤6
x(n) = 
0 sinon
On note y(n) le signal défini par la convolution de x(n) par lui-même : y(n) = x(n)*x(n).
1)
Déterminer y(n).
2)
Calculer la transformée de Fourier à temps discret X(e2jπf) du signal x(n).
3)
En déduire la transformée de Fourier à temps discret Y(e2jπf) du signal y(n).
II.2. Définition et propriétés d'un filtre linéaire
Dans le cas des signaux déterministes à temps discret, donner la définition et les propriétés essentielles
des filtres linéaires. Dans le cas des filtres causaux, dont la fonction de transfert est une fraction
rationnelle, donner une CNS de stabilité.
II.3. Filtrage numérique - Filtrage analogique
1
1
On considère le signal à temps continu x(t) à bande limitée (–2 T ,2 T ). On note X(f ) sa transformée
de Fourier. Ce signal est passé par un filtre de gain complexe Ha(f ). On note y(t) le signal en sortie et
Y(f ) sa transformée de Fourier.
On désigne respectivement par xe(n)=x(nT) et par ye(n)=y(nT) les suites échantillonnées à la cadence T
des signaux x(t) et y(t).
On se propose de comparer :
• la suite re(n) obtenue par filtrage numérique direct de xe(n) par le filtre numérique de gain
complexe Hd(e2jπfT),
BTS – Exercices – 4
• et la suite ye(n) obtenue par échantillonnage de la sortie du filtre analogique Ha(f )
suivant le schéma ci-dessous :
x e(n)=x(nT)
x(t)
Hd(e2j πfT )
T
x(t)
1)
2)
3)
Ha(f )
re(n)
y e(n)=y(nT)
y(t)
T
En utilisant la formule de Poisson donner l'expression de la transformée de Fourier à temps
discret Xe(e2jπfT) de la suite xe(n) en fonction de X(f ). En déduire la transformée de Fourier à
temps discret Re(e2jπfT) de la suite re(n) en fonction de X(f ) et de Hd(e2jπfT).
En utilisant la formule de Poisson donner l'expression de la transformée de Fourier à temps
discret Ye(e2jπfT) de la suite ye(n) en fonction de Y(f ), puis en fonction de X(f ) et de Ha(f ).
En déduire l'expression de Hd(e2jπfT) en fonction de Ha(f ) qui assure Ye(e2jπfT) = Re(e2jπfT).
II.4. RIF symétrique
On considère les filtres linéaires dont la réponse impulsionnelle h(n) vérifie :
 h(M–n) pour 0 ≤ n ≤ M
h(n) = 
0 sinon
On note H(z) sa fonction de transfert.
1
1)
Calculer H(z ) en fonction de H(z). En déduire que ce filtre n'est pas à minimum de phase.
2)
Déterminer l'expression du gain complexe. En déduire l'expression de la phase.
II.5. Filtre idéal à phase linéaire
On applique à l'entrée d'un filtre dont le gain complexe à phase linéaire a pour expression :
1
H(f ) = H0 exp(–2jπndf ) f∈(–1 ,2 )
2
On applique à l'entrée de ce filtre le signal x(n). Donner l'expression du signal y(n) en sortie.
II.6. Filtre Passe-tout
On considère le filtre dont la fonction de transfert est donné par :
H(z) =
1)
2)
3)
z–1–a*
1–az–1 avec |a|<1
En écrivant H(z) = (z–1–a*)G(z) et en développant G(z), déterminer la réponse impulsionnelle
causale de ce filtre. Ce filtre est-il stable ?
Calculer le module du gain complexe de ce filtre.
On désigne respectivement par x(n) et y(n) les signaux en entrée et en sortie. Montrer que :
∞
∞
∑ |x(n)|2 =
n=–∞
∑ |y(n)|2
n=–∞
II.7. Minimum de phase
Soit q(n) un signal numérique, dont on note Q(z) sa transformée en Z. On considère les deux signaux
h(n) et g(n) définis, à partir de leur transformées en Z respectives H(z) et G(z), par les relations :
BTS – Exercices – 5
H(z) = Q(z) ( 1 – a z–1 ) et G(z) = Q(z) ( z–1 – a* ) où a vérifie |a |<1.
1)
2)
Montrer que H(e2jπf) et G(e2jπf) ont même module.
Déterminer les expressions de h(n) et de g(n) en fonction de q(n) et de a. En déduire
l'expression de :
n0
ε(n0) =
n0
∑ |h(n)|2 – ∑ |g(n)|2
n=0
3)
n=0
Que peut-on en conclure pour un filtre à minimum de phase.
II.8. Second ordre - 1
On considère le filtre linéaire dont la relation d'entrée-sortie s'écrit :
y(n) – 1,7y(n–1) + 0,9y(n–2) = x(n)
On note h(n) la réponse impulsionnelle (solution causale).
1)
Déterminer la fonction de transfert H(z) (on précisera le domaine de convergence). Ce filtre estil stable ?
∞
2)
En utilisant la formule de Parseval, déduire ∑ |h(n)|2
n=–∞ impulsionnelle.
3)
Calculer les cinq premières valeurs de la réponse
II.9. Second ordre - 2
On considère le filtre défini par l'équation récurrente :
y(n) – y(n–1) + 0,81 y(n–2) = x(n)
1)
2)
Déterminer la fonction de transfert H(z) correspondant à la solution causale.
En déduire ses pôles et ses zéros. Ce filtre est-il stable ?
II.10. Filtre décrit par ses pôles et ses zéros
On considère le filtre dont la fonction de transfert
est donnée par ses pôles et ses zéros suivant (voir
figure ci-contre) :
4 pôles (×) :
2 zéros (Ο) :
1)
2)
|p1,2| = 0,9 et Ré{p1,2} = 0,85
|p3,4| = 0,9 et Ré{p3,4} = 0,7
|z1,2| = 1 et Ré{z1,2} = b<0
Donner l'expression de sa fonction de transfert. Quel type de filtre a-t-on réalisé ?
On applique à l'entrée des signaux provenant d'un échantillonnage à 1000 Hz et on souhaite
annuler complètement la fréquence 350 Hz. Quelle valeur de b doit-on choisir ?
II.11. Moyenneur
On considère un système dont la sortie y(n) est reliée à l'entrée x(n) par la relation :
y(n)
1
=N
n
∑ x(k)
k=n–N+1
Donner l'expression de sa réponse impulsionnelle et de son gain en fréquence.
II.12. Filtre passe-bas
On considère le filtre numérique suivant :
BTS – Exercices – 6
x(n)
y(n)
+
+
a
T
où a désigne un terme d'amplification et T une cellule mémoire.
1)
Déterminer la fonction de transfert H(z) entre l'entrée x(n) et la sortie y(n) correspondant à la
solution causale. En déduire la condition de stabilité sur a.
2)
En déduire la réponse impulsionnelle h(n).
II.13. Filtre réjecteur
On considère le schéma suivant :
x(n)
+
A(z)
1
2
+
y(n)
où A(z) désigne la fonction de transfert donnée par :
a 2 + a 1 z –1 + z –2
A(z) = 1 + a z–1 + a z–2
1
2
1)
2)
En se limitant au cas où A(z) a uniquement des pôles complexes conjugués, omment doit-on
choisir a1 et a2 et le domaine de convergence, pour que le filtre correspondant à A(z) soit causal
et stable.
Déterminer la fonction de transfert G(z) du filtre linéaire d'entrée x(n) et de sortie y(n). Esquisser
la forme du module du gain complexe. Montrer que le filtre obtenu élimine une fréquence
particulière, dont on donnera l'expression en fonction de a1 et a2.
II.14. Transposition en fréquence d'un filtre passe-bas
On considère un filtre de réponse impulsionnelle h(n) et de gain complexe H(e2jπf) supposé nul en
dehors de la bande de fréquence |f | < 0.05. A partir du filtre précédent on construit le filtre de réponse
impulsionnelle g(n) = h(n) cos(2παn). On note G(e2jπf) son gain complexe.
Calculer le gain complexe G(e2jπf) en fonction de H(e2jπf) pour α=0.25 puis pour α=0.5.
II.15. Approximation d'un RII par un RIF
On souhaite réaliser une approximation d'un filtre numérique de réponse impulsionnelle hd(n)
supposée infinie, dont on note Hd(e2jπf) le gain complexe. Pour cela on utilise un filtre à réponse
impulsionnelle finie h(n) de taille M, dont on note H(e2jπf) son gain complexe. On pose :
1/2
⌡ Hd(e2jπf)–H(e2jπf)
ε2 = ⌠
2
df
–1/2
1)
2)
En utilisant la relation de Parseval, déterminer les valeurs de h(n) qui minimisent ε2.
Pour M=5, appliquer le résultat précédent au filtre de gain complexe Hd(e2jπf) = 2jπf rect1(f ).
II.16. Fenêtrage de la réponse impulsionnelle
On considère une filtre numérique de réponse impulsionnelle infinie hd(n). On l'approxime par une
filtre à réponse impulsionnelle finie h(n) en tronquant la suite hd(n) à M valeurs.
BTS – Exercices – 7
1)
2)
3)
Comment doit-on choisir les M valeurs ?
Quelles sont les conséquences de la troncature, sur le gain complexe du filtre ?
En quoi consiste l'opération de fenêtrage ? Quelles sont les conséquences du fenêtrage, sur le
gain complexe du filtre ?
II.17. Décimation
On considère le système d'entrée x(n) et de sortie y(m) défini par la relation :
y(m) = x(mM)
On note respectivement X(e2jπf) et Y(e2jπf) les transformées de Fourier à temps discret des suites x(n)
et y(m).
1)
Montrer que :
1
Y(e2jπf) = M
M–1
2jπ(f–r)
M ))
∑ X(exp(
r=0
2)
3)
Dans le cas M=2, esquisser la forme de Y(e2jπf).
Comment peut-on éviter l'effet de repliement ?
II.18. Interpolation
On considère le système d'entrée x(n) et de sortie y(n) défini par la relation :
 n
x(M ) si n=0 modulo M
y(n) = 

0 sinon
On note respectivement X(e2jπf) et Y(e2jπf) les transformées de Fourier à temps discret des suites x(n)
et y(m).
1)
Déterminer l'expression de Y(e2jπf) en fonction de X(e2jπf).
2)
Dans le cas M=2, esquisser la forme de Y(e2jπf).
3)
Comment peut-on éviter l'effet miroir ?
II.19. Résolution de deux sinusoïdes
On considère un signal contenant deux composantes sinusoïdales de même amplitude et de fréquences
respectives 200Hz et 203Hz. On dispose d'un échantillon de ce signal, constitué de 100 valeurs
prélevées à la fréquence de 1000Hz. Peut-on par une transformée de Fourier discrète résoudre ces
deux composantes ?
II.20. Analyse d'une sinusoïde et précision spectrale
On dispose pour calculer le spectre d'un signal, d'un enregistrement de N = 100 échantillons, prélevés
à la fréquence de 1000Hz.
1)
Expliquer l'effet de la fenêtre rectangulaire sur le calcul du spectre.
2)
On effectue une transformée de Fourier discrète sur l'enregistrement. Quel doit-être le nombre
de points calculés si l'on veut obtenir une précision de 1 Hz entre deux points de fréquence ?
II.21. Relation de Parseval pour la TFD
Soit la suite x(n) pour n∈{0,…,N–1}. On note X(k) sa transformée de Fourier discrète.
En utilisant la définition de X(k) calculer en fonction de x(n), la quantité :
BTS – Exercices – 8
1
N
N–1
∑ Xk
2
n=0
III. Signal aléatoire à temps continu
III.1. Mesure de N0
Un filtre linéaire a comme réponse impulsionnelle :
 1
T pour 0≤t≤T
h(t) = 

0 sinon
N0
Le signal à l'entrée est un bruit blanc de densité spectrale de puissance 2 .
1)
Déterminer la densité spectrale de puissance du processus y(t) en sortie.
2)
Déterminer la fonction d'autocorrélation du processus y(t) en sortie.
3)
Sachant que la puissance en sortie est de 1µW et que T=1ms, déterminer la valeur de N0.
III.2. Accroissement quadratique d'un processus stationnaire
Soit x(t) un processus aléatoire complexe stationnaire au second ordre. On note Rxx(τ) sa fonction
d'autocorrélation. Déterminer l'expression de :
E x(t+τ) – x(t) 2
en fonction de Rxx(τ).
III.3. Spectre d'un signal modulé
Soit m(t) un processus aléatoire réel, stationnaire du second ordre, centré. On note Smm(f ) sa densité
spectrale de puissance et Pm sa puissance.
On considère le signal x(t) défini par x(t) = A m(t) cos(2πf0t).
1)
Montrer que ce processus n'est pas stationnaire au second ordre. Qu'envisage-t-on pour le
"stationnariser" ?
2)
Déterminer son spectre. Calculer sa puissance en fonction de A et Pm.
III.4. Puissance en sortie d'un dérivateur
Soit x(t) un processus aléatoire réel, stationnaire du second ordre, centré, dont la densité spectrale de
puissance est donnée par :
 N0
2
S xx (f ) = 
0
pour |f | ∈ (–B,B)
sinon
Ce signal est passé à travers un filtre dérivateur de gain égal à 1 à la fréquence 0. On note y(t) le signal
en sortie. Déterminer la densité spectrale de puissance du signal y(t). Calculer sa puissance.
III.5. Bruit de quantification
On désire numériser un signal à temps continu supposé stationnaire au second ordre, de puissance 10
mWatts et qui occuppe une bande de 4 kHz (sa densité spectrale de puissance est nulle à l'extérieur de
la bande (–4kHz,4kHz)).
BTS – Exercices – 9
1)
2)
Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimum qu'il faut choisir pour éviter le phénomène de
"repliement de spectre" ?
On utilise pour le numériser une quantification linéaire sur 8 bits. Donner une valeur
approximative du rapport signal sur bruit de quantification. En déduire la puissance du bruit de
quantification.
III.6. Définition d'un processus gaussien
Donner la définition d'un processus aléatoire gaussien. Quelles en sont les propriétés essentielles ?
Quelle est l'implication entre le caractère gaussien et le caractère blanc ?
III.7. Synthèse d'un p.a. par filtrage d'un bruit blanc
On considère les deux fonctions suivantes Rxx(τ) = P0 rectT(τ) et Rxx(τ) = P0 rectT(τ) * rectT(τ).
Peuvent-elles être les fonctions d'autocorrélation d'un processus stationnaire du second ordre ? Si oui,
imaginer un moyen d'engendrer ce processus par filtrage d'un bruit blanc.
III.8. Processus harmonique
On considère le processus aléatoire défini par :
K
∑ α k e2jπfkt
X(t) =
k= 1
où αk (k=1,…,K) désigne une suite de variables aléatoires et {fk} une suite de constantes.
Montrer que le processus X(t) est stationnaire du second ordre au sens large, si la suite α k est
décorrélée et centrée.
III.9. Densité de probabilité d'un processus gaussien
On considère le processus aléatoire X(t) gaussien, stationnaire au second ordre au sens large, centré
N0
1
dont la densité spectrale de puissance Sxx(f ) = 2 rectB(f ). On note X1 la variable aléatoire X(t+2B ) et
X2 la variable aléatoire X(t). Déterminer l'expression de la densité de probabilité conjointe du couple de
variables aléatoires {X1,X2} (en fonction de N0, B ).
III.10. Composantes de bruit dans un espace de signaux
Soit W(t) un processus aléatoire gaussien, stationnaire du second ordre, centré, de densité spectrale de
N0
puissance 2 rectB(f ). Et soit { ϕk(t) } avec k∈{1,…,M}, un système orthonormé de l'espace des
signaux d'énergie finie et de durée finie T, c'est-à-dire :
⌠
⌡ ϕk(t) ϕ*p (t) dt = δkp
T
On considère les M variables aléatoires :
⌠ W(t)ϕ (t) dt
W k =⌡
k
T
1)
2)
3)
4)
Calculer E(Wk).
Déterminer la fonction d'autocorrélation E(W(t+τ)W*(t)) de W(t).
En supposant que B est très grand devant la bande des signaux ϕk(t), calculer E(WkW*
p ).
En déduire la densité de probabilité conjointe des M variables aléatoires {Wk}.
BTS – Exercices – 10
IV. Signal aléatoire à temps discret
IV.1. Principales propriétés de la d.s.p.
On considère une suite aléatoire x(n) stationnaire du second ordre, réelle. On note S xx(e2jπf) sa densité
spectrale de puissance.
Donner les principales propriétés de Sxx(e2jπf). Dans quel cas y-a-t'il une raie à l'origine ? Dans quel
cas y-a-t'il des raies à des fréquences non nulles. Quelle est l'expression de la puissance en fonction de
S xx(e2jπf).
IV.2. Puissance d'une sinusoïde à phase aléatoire
On considère la suite aléatoire sinusoïdale X(n) définie par :
X(n) = A cos(2πf0n + Φ)
où Φ désigne une variable aléatoire uniforme sur (–π,π).
1)
Déterminer sa moyenne E(X(n)).
2)
Déterminer sa fonction de d'autocorrélation E(X(k+n)X(n)). En déduire sa puissance.
IV.3. Calcul direct de la d.s.p.
On considère la suite aléatoire X(n) réelle, stationnaire du second ordre. On note Rxx(k) sa fonction
d'autocorrélation. On donne Rxx(0) = 1, Rxx(1) = 0,5 et Rxx(k) = 0 si k≥2. Calculer sa densité spectrale
de puissance.
IV.4. Intercorrélation entrée/sortie
On considère le filtre linéaire numérique de réponse impulsionnelle réelle h(n). On applique à l'entrée
la suite aléatoire x(n) stationnaire au second ordre, réelle, centrée, blanche. On note σ2 sa densité
spectrale de puissance. Déterminer l'expression de l'intercorrélation entrée/sortie E(y(k+n)x(k)).
IV.5. Estimation de la puissance d'un p.a. gaussien
On considère une suite aléatoire x(n) stationnaire du second ordre, réelle, gaussienne, centrée. On note
Rxx(k) sa fonction d'autocorrélation.
On utilise pour estimer sa puissance P la quantité définie par :
1
PN = N
N
∑ x2(n)
k= 1
1)
2)
Calculer E(PN).
Calculer E(PN2 ). En déduire l'écart quadratique E(PN–P)2.
IV.6. Sinusoïde dans du bruit blanc
On considère la suite aléatoire sinusoïdale X(n) définie par :
X(n) = A cos(2πf0n + Φ) + B(n)
où B(n) désigne un bruit stationnaire du second ordre, centrée, blanc, de variance σ2 et où Φ désigne
une variable aléatoire uniforme sur (–π,π), décorrélée de B(n).
1)
Déterminer en fonction de A, f0 et σ2 les expressions de E(X(n)) et de E(X(n+k)X(n)).
2)
En déduire la densité spectrale de puissance Sxx(e2jπf) de la suite X(n).
IV.7. Filtrage RIF d'un bruit blanc
On considère le filtre numérique défini par la relation d'entrée x(n) sortie y(n) suivante :
BTS – Exercices – 11
y(n) = x(n) + a x(n–1)
On suppose que la suite x(n) est une suite aléatoire, stationnaire, centrée, blanche, de puissance Px.
1)
Calculer la densité spectrale de puissance Syy(z) de la suite y(n).
2)
Calculer la puissance Py de la suite y(n).
IV.8. Estimation linéaire en m.q.
Soit b(n) une suite aléatoire, centrée, stationnaire au second ordre, de fonction d'autocorrélation connue
Rbb(k) (b(n) représente une grandeur observée).
On souhaite estimer à partir de b(n), la grandeur a(n), dont on suppose connue la fonction
d'intercorrélation Rab(k) qui la lie à b(n). Pour cela on prend comme estimée de a(n) :
â(n) = λb(n)
On définit l'écart quadratique entre a(n) et â(n) par :
ε2 = E(a(n) – â(n) )2
1)
2)
Déterminer la valeur de λ qui minimise ε2.
Déterminer l'expression de l'erreur résiduelle minimum.
IV.9. Processus AR1.v1
On considère une suite aléatoire réelle x(n) engendrée par l'équation récurrente :
x(n) – a x(n–1) = w(n) avec 0<a<1
(1)
où w(n) est une suite aléatoire réelle, stationnaire du second ordre, centrée, blanche de variance σ2.
On note R xx(m) la fonction d'autocorrélation de la suite x(n) et S xx(e2jπf) sa densité spectrale de
puissance.
1)
En appliquant la formule de filtrage, calculer Rxx(0) en fonction de a et σ2.
2)
En élevant au carré les deux membres de l'équation (1), déduire la relation entre Rxx(0) et R xx(1).
Calculer Rxx(1) en fonction de a et σ2.
3)
On donne Rxx(0) = 1 et Rxx(1) = 0,25. En déduire Sxx(e2jπf).
IV.10. Processus AR1.v2
Soit x(n) une suite aléatoire, centrée, stationnaire au second ordre, de fonction d'autocorrélation connue
Rxx(k). On se propose d'estimer le processus à l'instant n à partir de sa valeur à l'instant n–1.
Pour cela on prend comme estimée ax(n), où a est une valeur à déterminer. On peut donc écrire
x(n) =a x(n–1) + ε(n)
où εn représente l'erreur de prédiction.
Le principe d'orthogonalité dit que l'erreur est minimale, lorsque ε(n) est orthogonale à x(n–1).
1)
En utilisant le principe d'orthogonalité, montrer que a vérifie Rxx(1) – aRxx(0) = 0.
2)
En déduire que l'erreur est minimale vérifie E(ε2(n)) = Rxx(0) – aRxx(1).
IV.11. Périodogramme
On considère la suite aléatoire définie par :
x(n) = A exp(2jπf0n) + b(n)
où b(n) désigne une suite aléatoire, centrée, blanche de variance σ2.
On rappelle que le périodogramme est défini par :
BTS – Exercices – 12
PN(f ) =
1
N
2
N–1
∑x(n) exp(–2jπnf )
n=0
1)
2)
Calculer E(x(n+k)x*(n)).
Déterminer l'expression de E(PN(f )). En déduire sa valeur pour f=f0.
IV.12. Transmission numérique
On considère la suite aléatoire a(n), à valeurs dans {–3,–1,+1,+3}, supposée indépendante et
identiquement distribuée. On donne Prob(a(n)=c) = 0,25 ∀c∈{–3,–1,+1,+3}
On considère d'autre part le signal à temps continu, défini par :
∞
x(t) =
∑ a(n) h(t–nT)
n=–∞
T
où h(t) désigne l'impulsion rectangulaire : h(t) = rectT(t–2 ).
1)
Calculer ma = E(a(n)) et Raa(k) = E(a(n+k)a(n)). En déduire la densité spectrale de puissance
Saa(e2jπf) de la suite a(n).
2)
Montrer que :
Rxx(τ) = E(x(t+τ)x(t)) = 5
1
T
∞
⌠ h(u+τ)h(u) du
⌡
–∞
En déduire le spectre Sxx(f ) de x(t).
V. Signal à bande étroite
V.1. Modulation DBSP
On considère le signal réel x(t) = Am(t) cos(2πf0t) où A une constante positive et m(t) désigne un
signal réel. On note M(f) la transformée de Fourier de m(t) et on suppose que M(f)=0 pour |f |>b et
que b>f0.
1)
Déterminer la transformée de Fourier de x(t). En déduire le signal analytique associé.
2)
En déduire l'enveloppe complexe par rapport à la fréquence f0.
V.2. Filtrage d'une impulsion sinusoïdale
On considère le signal x(t) défini par :
x(t) = Acos(2πf0t) rectT(t)
Ce signal est mis à l'entrée d'un filtre réel dont le gain complexe est donné par :
sin(π(f +f0)T)
H(f ) = H 0 ( π(f +f ) T
0
sin(π(f –f0 )T)
+ π(f –f 0 ) T
) où H0 > 0
On note y(t) le signal en sortie.
On suppose que f0T » 1.
1)
Déterminer l'expression de l'enveloppe complexe de x(t) par rapport à la fréquence f0.
2)
Déterminer le gain complexe et la réponse impulsionnelle du filtre équivalent en bande de base
(par rapport à la fréquence f0).
BTS – Exercices – 13
3)
En déduire l'expression de l'enveloppe complexe du signal y(t). Esquisser la forme du signal de
sortie y(t).
V.3. Composantes en phase et quadrature
Soit x(t) un processus aléatoire du second ordre, centré, dont la densité spectrale de puissance est
donnée par :
 N0
S xx (f ) =  2 pour |f | ∈ (f0−B,f0+B)
 0 sinon
On note respectivement p(t) et q(t) les composantes en phase et en quadrature de x(t) par rapport à la
fréquence f0.
1)
Calculer la puissance de x(t).
2)
Déterminer les densités spectrales de puissance de p(t) et q(t). Calculer leur puissance.
V.4. Modulation en quadrature
Soit m1(t), m2(t) deux processus aléatoires, réels, stationnaire du second ordre, centrés, décorrélés. On
note respectivement Sm1(f ) et Sm2(f ) leurs densités spectrales de puissance. On suppose que ces deux
processus ont même largeur spectrale B et même puissance Pm.
On considère le signal x(t) défini par :
x(t) = A m1(t) cos(2πf0t) – A m2(t) sin(2πf0t)
On note xb(t) son enveloppe complexe par rapport à f0 et on suppose B«f0.
1)
Donner l'expression de xb(t).
2)
Déterminer l'expression de Rxb(τ) = E(xb(t+τ)xb*(t) ).
3)
En déduire l'expression de la densité spectrale de puissance S xb (f ) de xb(t), en fonction de
Sm1(f ) et Sm2(f ) et de A.
4)
En déduire la densité spectrale de puissance Sx(f ) du signal x(t).
5)
En déduire la puissance Px du signal x(t).
V.5. Loi de Raylegh de l'enveloppe d'un processus gaussien
Soit x(t) un processus aléatoire gaussien, stationnaire du second ordre, centré. On note Px sa
puissance.
1)
Qu'appelle-t-on enveloppe complexe de x(t). Montrer que l'enveloppe, contrairement à
l'enveloppe complexe, ne dépend pas du choix d'une fréquence f0.
2)
Soit X et Y deux variables aléatoires gaussiennes, centrées, décorrélées de même variance σ2.
Déterminer l'expression de la densité de probabilité de la variable aléatoire R = X 2 +Y 2 .
3)
En déduire l'expression de la densité de probabilité de l'enveloppe de a(t) de x(t).
BTS – Exercices – 14