ter: introduction à la théorie de Morse, le théorème de Reeb et la

ter: introduction à la théorie de Morse, le
théorème de Reeb et la classication des
surfaces
carl Tipler
June 18, 2007
1
1 sommaire
1) Sommaire ...............................................................................page 2
2) Introduction ...........................................................................page 3
3) Variétés diérentiables ............................................................page 4
4) Le lemme de Morse .................................................................page 6
5) Groupe à un paramètre, application .......................................page 11
6) Le théorème de Reeb ..............................................................page 15
7) Fonctions de Morse .................................................................page 22
8) Classication des surfaces .......................................................page 31
2
2 introduction
La géométrie diérentielle éxistait déjà au 18e siècle comme en témoignent
les travaux de Léonhard Euler. Cette branche des mathématiques utilise les
outils du calcul diérentiel pour résoudre des problèmes géométriques. Elle
permet notamment l'étude des courbes et des surfaces dans l'espace ou, plus
généralement, des variétés.
La théorie de Morse (Martson Morse,1892-1977) permet l'étude des variétés diérentiables. Son principe repose sur l'étude des points critiques d'une
application diérentiable agissant sur une variété.
Pour comprendre cette idée, imaginons le tore dans l'espace (voir gure
suivante) et considérons la fonction qui à tout point du tore associe sa hauteur. On remarque alors que les changements de formes du tore sont localisés
aux niveaux des points critiques de la fonction hauteur. On peut interpréter
ces changements en imaginant qu'on remplisse le tore d'eau, quand le niveau
de l'eau passe un point critique, l'eau se sépare dans divers "canalisations"
ou au contraire se retrouve dans la même. On peut alors imaginer comment
étudier une telle surface.
Des applications de la théorie de Morse sont proposées ici, à savoir le
théorème de Reeb et la classication des surfaces .
Figure 1 : remplissage d'un tore
3
3 Variétés diérentiables
3.1 dénitions: variétés
On appelle variété topologique un espace topologique X tel que :
∀x ∈ X, ∃(Ux , ϕx , n) tels que :
a) Ux est un ouvert de X, voisinage de x
b) ϕx : Ux → ϕx (Ux ) ⊂ Rn est un homéomorphisme.
(Ux ,ϕx ) est appelé carte et ϕ−1
x est appelée paramètrage local.
On admettra que si X est connexe, alors l'entier n ne dépend pas de x et
est appelé dimension de X.
Si (U,ϕ) et (V,ψ ) sont deux cartes avec U ∩ V 6= ∅ alors ψ ◦ ϕ−1 est
appelé changement de carte.
On appelle alors variété diérentiable de classe C k toute variété
topologique dont les changements de cartes sont des diéomorphismes de
classe C k .
On admettra un résultat important: toute variété diérentiable de
dimension nie peut être plongée dans un espace vectoriel Rm pour m
susamment grand.
Soit alors M une variété diérentiable plongée dans Rm . Si P :Rn → M
est un paramétrage local de M au voisinage de x∈ M , on appel espace
∂P
(x), i = 1..n).
tangeant à M en x l'espace Tx M := Vect( ∂x
i
3.2 dénitions: fonctions lisses
La notion de diérentiabilité n'a pas de sens sur un espace topologique
quelconque. Pour dénir celle-ci sur les variétés, on utilise alors la notion de
carte.
Soient alors M une variété diérentiable et f : M→ R. On dira de f
qu'elle est diérentiable (de classe Ck ) si pour toute carte (U,ϕ) de M,
f◦ϕ−1 est diérentiable (de classe Ck ). Cette notion est indépendante de la
carte choisie car les changements de cartes sont des diéomorphismes.
De plus, si f est de classe C∞ , on l'appelera fonction lisse.
Un champ de vecteur de classe C k sur M est une application
X : M → Rn de classe C k et telle que ∀x ∈ M , X(x) ∈ Tx M .
Remarque: Si f est une fonction C1 et (U,ϕ) une carte, On appelle
système de coordonnées locales les fonctions coordonnées de ϕ. On notera
∂f
les dérivées partielles de la fonction f ◦ ϕ−1 .
alors ∂x
i
4
3.3 dénitions: points critiques, Hessiennes
Soit P∈ M . P est appelé point critique de f s'il existe une carte (U,ϕ)
telle que P∈ U et la diérentielle de f ◦ ϕ−1 s'annule en P. Alors cette
propriété reste vraie pour toute carte (U,ϕ) telle que P∈ U , les
changements de carte étant des diéomorphismes.
En tout point critique de f, on peut dénir la matrice Hessienne de f à
l'aide d'une carte en suivant la dénition de la matrice Hessienne d'une
application dénie sur un ouvert de Rn . Cette matrice est symétrique et
dénit une forme bilinéaire. On admettra que la dimension de son noyau ne
dépend pas de la carte considérée.
Si cette dernière est non dégénérée, le point critique P est non dégénéré.
Enn, l'indice de P par rapport à f est la dimension du plus grand
sous-espace de Rn sur lequel la Hessienne représente une forme dénie
négative. On admettra que cet indice ne dépend pas de la carte avec
laquelle on dénit la Hessienne.
Dans la suite, toutes les variétés seront supposées diérentiables.
5
4
le lemme de Morse
Dans ce paragraphe, on considère M une variété diérentiable de dimension
n et f : M → R une foncton lisse.
lemme de Morse :
Supposons qu'il existe p dans M tel que p soit un point critique non
dégénéré de f.
Alors il existe U un voisinage ouvert de p et
(x1 , ... ,xn ) : U → Rn
un système de coordonnées locales de M tel que :
∀ q ∈ U, f(q)=f(p)−x1 (q)2 − x2 (q)2 − ... − xλ (q)2 + xλ+1 (q)2 + ... + xn (q)2 ,
où λ est l'indice de p pour f.
Pour la démonstration, nous aurons besoin de cet autre lemme :
lemme 1 :
Soient V un ouvert convexe de Rn contenant 0 et g : V → R une fonction
de classe C ∞ .
Supposons g(0)=0.
Alors il existe g1 , g2 , ..., gn des fonctions de classes C ∞ dénies sur V telles
que :
P
∂f
(0) et f (x1 , ..., xn ) = ni=1 xi gi (x1 , ..., xn ).
∀i = 1...n, gi (0) = ∂x
i
Les démonstrations du lemme 1 et du lemme de Morse sont largement inspirées de celles proposées par John Milnor dans son ouvrage "Morse Théory",
cependant quelques points sont plus détaillés ici pour faciliter la lecture d'un
élève de Master.
démonstration du lemme 1 :
Comme g(0) = 0 :
Z
1
g(x1 , . . . , xn ) =
0
D'où :
Z
g(x1 , . . . , xn ) =
0
i=n
1X
i=0
6
dg(tx1 , . . . , txn )
dt.
dt
xi
∂g
(tx1 , . . . , txn )dt.
∂xi
Par linéarité de l'intégrale :
i=n
X
g(x1 , . . . , xn ) =
xi gi (x1 , . . . , xn ),
i=0
où
Z
1
gi (x1 , . . . , xn ) =
0
∂g
(tx1 , . . . , txn )dt.
∂xi
Or g est de classe C et [0, 1] est compact, donc, d'après le théorème de dérivation sous le signe intégral, gi est C ∞ pour tout i, 1 ≤ i ≤ n. Le résultat
suit.
∞
démonstration du lemme de Morse :
On garde les notations de l'énoncé.
1ere étape :
Supposons qu'il existe un systéme de coordonnées locales
(x1 , ... ,xn ) : U → Rn et λ ∈ N tels que:
∀ q ∈ U, f(q)=f(p)−x1 (q)2 − x2 (q)2 − ... − xλ (q)2 + xλ+1 (q)2 + ... + xn (q)2 .
Montrons alors que λ est l'indice de p.
f(q)=f(p)−x1 (q)2 − x2 (q)2 − ... − xλ (q)2 + xλ+1 (q)2 + ... + xn (q)2
Donc

 −2 si i=j ≤ λ
∂2f
2
2
si i=j >λ
∀(i, j) ∈ N , ∂xi ∂xj (q) =

0
sinon
et donc la Hessienne de f en p est :

−2








0
...
...
...
...
0
...
...
...
...
...
... ... ... ...
0 −2 0 ... ...
... 0 2 0 ...
...
...
...
...
7
0
...
...
0








0 
2
λ est donc l'indice de p.
2eme étape :
Montrons qu'un tel système de coordonnées existe :
En plongeant M dans un espace vectoriel, on peut supposer p=0. De plus,
quite à remplacer f par f-f(p), on peut supposer f(p)=0.
Soit (U, (x1 , ..., xn )) une carte de M dans un voisinage de 0. D'après le
lemme 1, comme f(p)=0, on peut xer (f1 , ..., fn ) des fonctions lisses dénies
sur U et telles que :
∀x ∈ U, f (x) =
i=n
X
xi fi (x1 , ..., xn ).
i=0
D'autre part, p est un point critique de f donc :
∀i = 1..n,
∂f
(0) = 0.
∂xi
D'où
∀i = 1..n, fi (0) = 0.
En réappliquant le lemme 1 aux fonctions fi , on peut déterminer les
gi,j , des fonctions lisses dénies sur U et telles que
i,j=n
∀x ∈ U, f (x) =
X
xi xj gi,j (x1 , ..., xn ).
i,j=0
Enn, en posant hi,j = 12 gi,j + 21 gj,i , on obtient :
i,j=n
∀x ∈ U, f (x) =
X
xi xj hi,j (x1 , ..., xn ), avec hi,j = hj,i
i,j=0
On notera que la Hessienne de f en 0 est alors:








h0,0 (0)
..
.
..
.
..
.
hn,1 (0)
...
...
...
hi,j (0)
...
...
8
...
...
...
h0,n (0)
..
.
..
.
..
.
hn,n (0)








On va alors procéder par récurrence sur k pour démontrer que :
∀k ∈ [1, n] ∃(Uk , (y1 , ..., yn )) une carte au voisinage de 0 et fi,j , i, j =
k + 1...n des fonctions lisses dénies sur Uk telles P
que :
2
2
∀y = (y1 , ..., yn ) ∈ Uk , f(y)=ε1 y1 + ... + εk yk + ni,j=k+1 yi yj fi,j (y1 , ..., yn ),
avec εi = 1 ou εi = −1.
D'après ce qui précède, le résultat est vrai pour k=1.
Supposons alors le résultat vrai pour k xé et démontrons le résultat pour
k+1:
Par hypothèse,
∃(Uk , (y1 , ..., yn )) et fi,j , i, j = k + 1...n telles que:
∀y = (y1 , ..., yn ) ∈ Uk , f (y) =
ε1 y12
+ ... +
εk yk2
+
n
X
yi yj fi,j (y1 , ..., yn ),
i,j=k+1
avec εi = 1 ou εi = −1 .
De plus, dans ces coordonnées, la Hessienne de f en 0 est :

2ε1







0
...
0
fk+1,k+1 (0)
..
.
... fn,k+1 (0)
..
.
..
.
0
...
...
...
...
0

..
.



fk+1,n (0) 


..

.
fn,n (0)
Par hypothèse, cette matrice est non dégénérée donc on peut supposer
fk+1,k+1 (0) 6= 0 à changements linéaires près sur les n-k+1 dernières coordonnées.
Posons alors
q
∀y = (y1 , ..., yn ) ∈ U, g(y1 , ..., yn ) = |fk+1,k+1 (y1 , ..., yn )|
g est une fonction lisse qui ne s'annule pas sur Uk0 ⊂ Uk pour Uk0 assez petit.
On introduit alors les nouvelles coordonnées (u1 , .., un ) dénies comme suit:
(
ui = y i
si i6= k + 1
Pn
fi,k+1 (y1 ,...,yn )
uk+1 = g(y1 , ..., yn )(yk+1 + i=k+2 yi fk+1,k+1 (y1 ,...,yn ) ) si i= k+1
9
dénies sur Uk0 .
Ces nouvelles coordonnées induisent un changement de carte sur un voisinage de 0 inclus dans Uk0 . En eet, elles sont de classes C ∞ et le calcul montre
que le Jacobien de l'application (y1 , ..., yn ) → (u1 , ..., un ) est égal à g(0) 6= 0.
Par le théorème d'inversion local, il existe Uk+2 tel que (Uk+2 , (u1 , ..., un ))
soit une carte de M.
De plus, dans cette nouvelle carte :
f (u1 , ..., un ) =
2
fk+1,k+1 (y1 , ..., yn )+2
ε1 u21 +...+εk u2k +yk+1,k+1
n
X
yk+1 ui fi,k+1 (u1 , ..., un )
i=k+2
n
X
+
ui uj fi,j (u1 , ..., un )
i,j=k+2,i6=j
Or
u2k+1
=
2
εfk+1,k+1 (y1 , ..., yn )yk+1
+2
n
X
yk+1 ui fi,k+1 (u1 , ..., un )+
n
X
0
u2i fi,j
(u1 , ..., un )
i=k+2
i=k+2
0
convenablement choisies.
pour fi,j
Donc on retrouve l'expression désirée:
f (u1 , ..., un ) =
ε1 u21
+ ... +
εk+1 u2k+1
+
n
X
0
ui uj fi,j
(u1 , ...,n )
i,j=k+2
On à donc exhibé une nouvelle carte qui détermine l'expression recherchée
pour f.
Ceci clos la démonstration de l'hérédité de l'hypothèse et donc la démonstration. En eet, au rang n, on obtient le résultat recherché.
Grâce au lemme de Morse, on peut connaitre le comportement locale
d'une surface au voisinage de ses points critiques. La section suivante à pour
but de comprendre que la "forme" d'une surface ne dépend que de ses points
critiques.
10
5 groupe à un paramètre, application
dénition :
On appel groupe à un paramètre de diéomorphismes d'une variété M
toute fonction lisse ϕ : R × M → M vériant:
i) ∀ t ∈ R :
ϕt :
M → M
est un
q 7→ ϕt (q) = ϕ(t, q)
C∞ -diéomorphisme.
ii) ∀(t, s) ∈ R2 , ϕt+s = ϕt ◦ ϕs
On vérie alors que {ϕt , t ∈ R} forme un groupe de diéomorphismes
de M, d'élément neutre l'identité.
Soit X : M → Rm un champ de vecteur sur M. On dit que X engendre le
groupe à un paramètre ϕ si ϕ vérie le système diérentiel suivant :
∀p ∈ M, X(p) =
dϕ
(t, p) et p = ϕ(0, p).
dt
On obtient alors le lemme suivant :
lemme 2 :
Un champ de vecteur C ∞ sur une variété M qui s'annule en dehors d'un
compact engendre un unique goupe à un paramètre.
démonstration :
La démarche de cette démonstration suit celle de John Milnor, en précisant comment construire ce groupe à un paramètre à l'aide de cartes.
Supposons M⊂ Rm et soit n la dimension de M .
Soit X : M → Rm un tel champ de vecteur, s'annulant en dehors de K un
compact de M.
Si ϕ est un groupe à un paramètre engendré par X,
alors
∀x ∈ M \K , ∀t ∈ R, ϕt (x) = x .
Donc ϕ existe et est uniquement déterminée sur M\K.
11
D'autre part, on résout l'équation diérentielle sur K en se ramenant à
l'équation sur Rn :
∀x ∈ K , soit (Ux ,ψx ) une carte au voisinage de x. On sait alors que :
∀x =
ψx−1 (u)
∈ K,
X(ψx−1 (u)) =
x = ϕ(0, x)
dϕ
(t, ψx−1 (u))
dt
admet une unique solution maximale ϕ(t, ψx−1 (u)) dénie sur (Ix × Vx )
⊂ R × Rn . De plus, ces solutions dépendent de manière C ∞ de la condition
initiale. (1)
K étant compact, on peut donc le recouvrir par un nombre ni d'ouverts
de la forme ψx−1 (Vx ) , notons les (Ui )i=0..k .
∀x ∈ K, ∃ i / x ∈ Ui ,
et ϕt (x) est dénie sur Ix .
Alors il existe ε > 0 tel que l'équation diérentielle
dϕt (q)
= X(ϕt (q)) et ϕ0 (q) = q ∈ Ui
dt
admette une unique solution sur ] − ε, ε[×Ui .
Reste à déterminer ϕ sur R, pour tout x appartenant à K.
∀t ∈ R, ∃(k, r) , k ∈ Z et r ∈ R |r| < ε/2 / t=k(ε/2)+r.
Posons alors
ϕt = (ϕε/2 )k + ϕr si k > 0
et
ϕt = (ϕ−ε/2 )k + ϕr si k < 0.
Alors ϕt est dénie sur R × M .
De plus, ϕ ainsi construite est C ∞ ,
∀t ∈ R, ϕt est un diéomorphisme
et
∀(t, r) ∈ R2 , ϕt+s = ϕt ◦ ϕs .
Donc ϕ est bien un groupe à un paramètre. De plus, il est uniquement
déterminé d'après (1). Ceci termine la preuve du lemme.
Ce lemme va nous servir pour démontrer le théorème qui suit.
Soient M une variété diérentiable et f : M → R une fonction lisse. Pour
tout a ∈ R, on notera M a :={ x ∈ M/f (x) ≤ a }.
12
théorème 1 :
Soient a<b, et supposons que f −1 ([a,b]) soit compact et ne contienne aucun point critique de f. Alors M a est diéomorphe à M b .
Grâce à ce théorème, et sous réserve de l'existence d'une telle fonction f,
on remarque que l'on peut caractériser la variété M à partir de l'étude des
points critiques de f.
démonstration :
L'idée de cette démonstration est de "pousser" M b sur M a le long des
trajectoires orthogonales aux hypersurfaces f=constante à l' aide d'une application ϕb−a . Le point de cette démonstration qui est détaillé ici par rapport
à la démonstration de John Milnor est l'action du diéomorphisme ϕb−a .
Fixons m∈ N de tel sorte que M soit inclus dans Rm . Notons <,>le
produit scalaire usuel sur Rm .
Considérons le champ de vecteur grad f sur M déni par :
pour tout champ de vecteur X sur M, <X(m),grad f(m)> = Dfm DXm .
Ce champ de vecteur s'annule précisement aux points critiques de f.
Introduisons alors ρ : M→ R une fonction lisse telle que
ρ=1/(<grad f,grad f>) sur f −1 ([a,b])
et
ρ=0 en dehors d'un voisinage compact de cet ensemble.
Un tel voisinage existe car f −1 ([a,b]) est compact par hypothèse. De plus,
une telle fonction peut être obtenue à l'aide de fonctions "plateaux", c'est à
dire par convolution de la fonction indicatrice de f −1 ([a,b]).
Soit alors le champ de vecteur sur M:
X:
M →
x 7→
Rm
ρ(x) (gradf )(x)
Ce champ de vecteur satisfait les conditions du lemme précedent. Donc X
engendre un groupe à un paramètre de diéomorphismes :
ϕ : R × M →M
Pour tout q dans M, considérons alors t7→f(ϕt (q)).
Si ϕt (q) ∈ f −1 ([a,b]), on a :
dϕt (q)
df (ϕt (q))
=<
, gradf (ϕt (q)) >
dt
dt
13
D'où
et
df (ϕt (q))
=< X(ϕt (q)), gradf (ϕt (q)) >
dt
df (ϕt (q))
=1
dt
par construction de X.
D'où t7→f(ϕt (q)) est ane de pente 1 tant que f(ϕt (q)) reste dans [a,b].
Considérons alors le diéomorphisme
ϕb−a : M→M.
ϕb−a : M a → M b est un diéomorphisme.
En eet: ϕb−a (M a )=M b car
Si f(x)=a,
alors f(ϕb−a (x))=b-a+f(ϕ0 (x))=b-a+a=b
Et si f(x)≤f(y)≤a,
alors ρ(x) ≤ ρ(y) par construction de ρ,
ce qui entraine
df (ϕt (y))
df (ϕt (x))
≤
,
dt
dt
d'où
f (ϕb−a )(x) ≤ f (ϕb−a )(y).
Donc
ϕb−a (M a ) ⊂ M b .
D'autre part, si f(y)≤b, on vérie de même que
ϕa−b (y) ∈ M a
et
ϕb−a ◦ ϕa−b (y) = y.
D'où
ϕb−a (M a ) ⊃ M b .
Donc M a est diéomorphe à M b .
Nous allons désormais pouvoir démontrer le théorème de Reeb.
14
6 le théorème de Reeb
le théorème de Reeb :
Soient M une variété compact de dimension n et f : M → R une fonction
lisse admettant exactement deux point critiques, supposés non dégénérés.
Alors M est homéomorphe à une sphère S n , où n est la dimension de M.
Remarque : M n'est pas forcément diéomorphe à la sphère. En eet, un
contre-exemple en dimension 7 à été exhibé par John Milnor. Cependant, on
verra par la suite que si M est de dimension 2, M est diéomorphe à S 2 .
démonstration :
M est compact donc f(M) est compact, et f atteint ses bornes.
Or f ne possède que deux points critiques. Nécessairement, c'est en ces deux
points que f admet son maximum et son minimum. Notons p et q ces points.
(p)
, on peut supposer f(p)=0 et f(q)=1.
Quite à remplacer f par x → ff (x)−f
(q)−f (p)
Notez que si f(p)=f(q), alors f(M)=f(p) et f est donc constante.
Or f admet exactement deux points critiques donc M={p, q} est homéomorphe à S 0 .
D'après le lemme de Morse, on peut xer
(Up , (x1 , ..., xn )) et (Uq , (y1 , ..., yn )) des coordonnées locales en p et q telles
que:
∀x ∈ Up , f (x) =
n
X
x2i (x)
i=1
et
∀x ∈ Uq , f (x) = 1 −
n
X
yi2 (x).
i=1
Les indices de p et q sont nécessairement 0 et n car p (resp.q) minimise f
(resp. maximise f).
Soit alors ε > 0 tel que f −1 ([1 − ε, 1]) ⊂ Uq et M ε ⊂ Up .
Alors Mε et f −1 ([1 − ε, 1]) sont diéomorphes à des boules unités fermées de
dimension n.
Posons:
ϕq :
f −1 ([1 − ε, 1]) → Bn (0, 1)√1
√
x
7→ (y1 (x)/ ε, ..., yn (x)/ ε)
15
et :
ϕp :
M ε → Bn (0, 1)√
2
√
x
7→ (x1 (x)/ ε, ..., xn (x)/ ε)
les diéomorphismes correspondant.
D'autre part, f−1 ([ε,1-ε]) est compact et ne contient pas de points critiques, donc d'après le théorème de la section précédente, il existe ϕ : M ε →
M 1−ε un diéomorphisme.
D'où M 1−ε est diéomorphe à Bn (0, 1)2 , notons encore ϕp ce diéomorphisme.
Reste à recoller ces deux boules. Notons g la restriction de ϕp ◦ ϕ−1
q au
bord de la boule Bn (0, 1)1 .
g : S1n−1 → S2n−1 est un diéomorphisme.
Posons alors
F :
Bn (0, 1)1
x
→
7→
Bn (0, 1)1
|| x || g(x/ || x ||) si x 6=0, 0 sinon.
F est un diéomorphisme.
D'autre part, le recollement de Bn (0, 1)1 et Bn (0, 1)2 le long de leurs bords
est homéomorphe à S n .
Enn,
F ◦ ϕq : f −1 ([1 − ε, 1]) → Bn (0, 1)1
et
ϕp : M 1−ε → Bn (0, 1)2
sont des homéomorphismes qui coïncident sur f −1 (1 − ε) et qui sont dénis
sur deux fermés de M. Leur recollement est donc un homéomorphisme de M
vers S n .
Ceci achève la démonstration.
Sur la page suivante, la gure 2 montre comment le recollement peut ne
pas être diérentiable. Le point encerclé sur la gure du haut est un point
où la diérentielle n'est pas dénie. La gure 3 illustre comment remédier à
ce défaut, en dimension deux.
16
Figure 2, Cas non diérentiable :
Figure 3, Cas diérentiable :
17
Cas particulier : n=2
Dans le cas où M est de dimension 2, M est diéomorphe à la sphère S 2 .
démonstration :
Le problème se situe au niveau du recollement des deux sphères. En effet, les coordonnées de Morse sont diérentiables mais leur recollement sur
S 2 peut être non diérentiable. An d'y remédier, remarquons tout d'abord
que tout diéomorphisme S 1 → S 1 est homotope à l'identité.
En eet :
Soit f : S 1 → S 1 un diéomorphisme.
Il existe α : [0, 1] → [0, 1] un diéomorphime tel que :
∀s ∈ [0, 1], f (exp 2iπs) = exp 2iπα(s)
Posons alors :
F :
S1 × [0, 1]
(exp 2iπs, t)
→
7
→
S1
exp 2iπ((1 − t)α(s) + ts).
F est un diéomorphisme et une homotopie de f vers l'identité.
Reprenons alors les notations de la démonstration du théorème de Reeb.
On dispose alors de :
B(0, 1)1 , B(0, 1)2 et de g : S11 → S21 un diéomorphisme.
D'après ce qui précède, xons
H : S 1 × [0, 1] → S 1
une homotopie diérentiable de g vers l'identité.
Soient alors
ψq : B(0, 1)1 → B(0, 1)
la fonction :
(
∀x ∈ B(0, 1)1 , ψq (x) =
x
)
kxkg( kxk
x
kxkH( kxk , kxk − 1/2)
et
ψp : B(0, 1)2 → B(0, 1)
la fonction :
18
si kxk ≤ 1/2
si kxk > 1/2
∀x ∈ B(0, 1)2 , ψp (x) =
x
kxkH( kxk
, 3/2 − kxk)
x
si kxk > 1/2
si kxk ≤ 1/2
ψp et ψq ainsi construites sont des diéomorphismes.
De plus, grâce à l'homotopie diérentiable, le recollement est un diéomorphisme. Dans ce cas, en considérant
ψp ◦ ϕp et ψq ◦ ϕq , on obtient un diéomorphisme entre M et S 2 .
19
Dans la suite, nous allons procéder à la classication des surfaces compactes, connexes et orientables de l'espace. Pour cela, nous allons utiliser des
fonctions de Morse.
Une variété diérentiable de dimension 2 est orientable si on peut dénir
une orientation de son plan tangeant en chacun de ses points, cette orientation dépendant continuement du point. Une telle variété peut être plongée
dans R3 . Le contre-exemple par excellence est le ruban de Möbius.
La classication se fera à diéomorphismes près et pour cela, un résultat
provenant de la démonstration du théorème de Reeb sera utilisé à plusieurs
reprises:
lemme de recollement :
Soient M et N deux variétées diérentiables de dimension 2, compactes
connexes et orientables. Soient V et W deux bords réguliers de ces variétés.
C'est à dire qu'on considère
f : M → R une fonction lisse, a ∈ R et V := {x ∈ M/f (x) = a}
tel que V ne contienne pas de points critiques de f. On procède de même
pour W avec :
g : N → R une fonction lisse, b ∈ R et W := {x ∈ N/g(x) = b}
Supposons qu'il existe ϕ : V → W un diéomorphisme.
Alors si V et W sont chacun diéomorphes à S 1 , le recollement de M a
et N b par ϕ fournit une variété diérentiable.
Démonstration :
Soient ε > 0 , Vε et Wε des voisinages de V et W dans M a et M b dénis
comme suit:
Vε = {x ∈ R3 /d(x, V ) < ε} ∩ M a
et
Wε = {x ∈ R3 /d(x, W ) < ε} ∩ N b
où d(x,X) désigne la distance usuelle d'un point x à un ensemble X dans R3 .
On xera ε tel que Vε et Wε ne contiennent pas de points critiques de f et
g. Ceci est possible car les points critiques de f et g sont isolés comme on le
verra par la suite.
20
On va se ramener à la démonstration du théorème de Reeb en dimension
deux. Pour cela, on va identier chacun des points de Vε à un point de
la boule unité de dimension deux. Soit alors x dans Vε et posons f(x)=c.
D'après le théorème 1, M a est diéomorphe à M c et f −1 (a) est diéomorphe
à f −1 (c) . Donc f −1 (c) est diéomorphe à S 1 , notons ψc ce diéomorphisme.
En considérant S 1 plongée dans le plan, on peut dénir ψ :
∀y ∈ Vε , ψ(y) = (
f (y) − i 1
+ )ψf (y) (y)
a−i
2
où i :=inf{f (y), y ∈ Vε }.
Alors
ψ : Vε → {x ∈ R2 /kxk ≥ 1/2}
est un diéomorphisme.
On procède de même pour Wε .
D'après la démonstration du théorème de Reeb dans le cas de la dimension deux, et comme V et W sont diéomorphes à S 1 , on peut xer H une
homotopie diérentiable entre ϕ et l'identité de S 1 .
On s'est alors ramené à des voisinages de V et W diéomorphes à la moitié
extérieur d'une boule unité du plan. En utilisant l'homotopie H et en suivant
la méthode utilisée dans le cas particulier du théorème de Reeb, on obtient
le résultat recherché.
21
7 fonctions de Morse
Soit M une variété diérentiable de dimension 2, compacte, connexe et orientable.
7.1 fonction de morse : existence
On appelle fonction de Morse sur M toute application lisse f : M → R
n'admettant que des points critiques non dégénérés et dont les valeurs critiques sont toutes distinctes. Nous allons démontrer l'existence d'une fonction lisse dont tous les points critiques sont non dégénérés, le choix des valeurs
critiques distinctes sera expliqué dans une section suivante. Notez que ce qui
suit se généralise à toute variété de dimension nie, se réferer pour cela au
livre de M.Milnor: "Morse Theory". Remarquez d'ailleurs que le paragraphe
7.1 est une adaptation de la présentation contenue dans cet ouvrage à la
dimension deux.
Soit N ⊂ M × R3 la variété diérentiable de dimension 3 dénie par :
N={(q, v) ∈ M × R3 / v est orthogonal à Tq M }.
Notez que N est de dimension 3 car le fait que v soit orthogonal à Tq M
implique qu'à q xé, v n'est déterminé que par une cordonnée.
Soit E : N→ R3 la fonction lisse dénie par E(q,v)=q+v.
Soit e∈ R3 . e est un point focal de M s' il existe q un point de M tel que
e=q+v, (q,v)∈ N et (q,v) est un point critique de E. On dira que e est alors
un point focal de (M,q) de multiplicité la dimension du ker de dE en (q,v).
Un point focal de M est un point de l'espace où les normales à M se
rencontrent.
N.B: ici, (q,v) est un point critique de E signie que dE(q,v) n'est pas
inversible.
Nous admettrons ce théorème :
Théorème de Sard :
Si M1 et M2 sont deux variétés diérentiables de même dimension au
plus dénombrable, et si g : M1 → M2 est de classe C 1 , alors l'image par g de
l'ensemble de ses points critiques est de mesure nulle.
22
Corollaire :
L'ensemble des point focaux de M est de mesure nulle.
démonstration :
On considére E : N→ R3 , E est de classe C 1 et N est de dimension 3.
D'après le théorème de Sard, l'ensemble des points critiques de E est de
mesure nulle, d'où le résultat.
Nous allons maintenant démontrer que si p n'est pas un point focal de
→
M, alors la fonction Lp : M → R dénie par Lp (q)=k−
pqk2 n'a pas de point
critique dégénéré.
dénitions : 1ere et 2de formes fondamentales
Soit q un point de M et soit P un paramètrage de M dans un voisinage de
q. La première forme fondamentale de M en q, relativement au paramètrage
P est la restriction du produit scalaire canonique au plan tangeant à M en
q. Cette forme bilinéaire est dénie par la matrice :
G(q):=[gi,j ], où gi,j =<
∂P ∂P
,
∂xi ∂xj
>.
Soit ν un vecteur normal à M en q. La seconde forme fondamentale est la
forme bilinéaire dénie par la matrice :
H(q):=[hi,j ], où hi,j =<
∂2P
,ν
∂xi xj
>
Elle représente le comportement de M par rapport à Tq M au voisinage
de q, à l'ordre 2.
Quite à changer de paramètrage en q, on peut supposer que G(q) est la
matrice identité. Alors les valeurs propres de H(q) sont les courbures principales de M en q. Leurs inverses, s'ils sont dénis, sont les rayons de courbure
principaux en q.
Soit v un vecteur normal à M en q et posons l={q + tv, t ∈ R}.
lemme 3 :
Les points focaux de (M,q) sur l sont exactement les points : q+ri−1 v, où
les ri sont les rayons de courbure principaux de M en q.
23
démonstration :
On garde les notations précedentes, en notant ν (x,y) le vecteur normal
unitaire déni dans un voisinage de q de manière continue et tel que ν (0,0)=ν .
Pour tout (m,v) proches de (q,ν ) appartenant à N, on peut xer (x,y,t)∈
R3 tel que (m,v)=(P(x,y),tν ). Alors (x,y,t) dénit un système de coordonnées locales sur N. Dans ce système, E(x,y,t) = P(x,y) + tν . Donc la matrice
Jacobienne de E en (x,y,t) dans la base (∂x P (x, y),y P (x, y), ν(x, y)) est la
matrice suivante, où les vecteurs sont évalués en (x,y):
h∂x P, ∂x P i +t h∂x ν, ∂x P i
 h∂x P, ∂y P i +t h∂x ν, ∂y P i
th∂x ν, νi

h∂y P, ∂x P i +t h∂y ν, ∂x P i
h∂y P, ∂y P i +t h∂y ν, ∂y P i
th∂y ν, νi

0
0 
1
Car
h∂x P (x, y), ν(x, y)i = h∂y P (x, y), ν(x, y)i = 0.
De plus, en dérivant cette relation selon x on obtient:
h∂x ν(x, y), ∂x P (x, y)i = −hν(x, y), ∂x2 P (x, y)i.
En procédant de même par rapport à y et en considérant un paramètrage tel
que G soit l'identité en P(x,y), on obtient:
1 − thν(x, y), ∂x2 P (x, y)i
2
 −thν(x, y), ∂x,y
P (x, y)i
th∂x ν(x, y), ν(x, y)i

2
−thν(x, y), ∂x,y
P (x, y)i
2
1 − thν(x, y), ∂y P (x, y)i
th∂y ν(x, y), ν(x, y)i

0
0 
1
Donc (P(x,y), tν (x,y)) est un point focal de M si et seulement si le ker
de la matrice Id-tH(x,y) n'est pas réduit à zéro. C'est à dire si t−1 est valeur
propre de H(x,y). D'où le résultat par dénition des rayons de courbures
principaux.
Remarque : La démonstration prouve également que la multiplicité d'un
point focal de M est la multiplicité de la courbure principale correspondante.
De plus, il y a au plus 2 points focaux pour (M,q) le long de l.
lemme 4 :
Le point q de M est un point critique dégénéré de Lp si et seulement si p
est un point focal de (M,q).
24
démonstration :
→
Posons f=Lp et q=P(x,y). f est une fonction lisse sur M et f(q)=k−
pqk2 .
Donc :
∂f
∂P (x, y) −
∂f
∂P (x, y) −
= 2h
,→
pqi et
= 2h
,→
pqi.
∂x
∂x
∂y
∂y
→
Donc q est un point critique de f si et seulement si −
pq est normal à M en q.
De plus, la Hessienne de f en un pont critique q dans la base (∂x P (x, y), ∂y P (x, y))
est :
→
pqi)
2(h∂x P, ∂x P i + h∂x2 P, −
→
2
2(h∂y P, ∂x P i + h∂y,x
P, −
pqi)
→
2
P, −
pqi)
2(h∂x P, ∂y P i + h∂x,y
→
2(h∂y P, ∂y P i + h∂y2 P, −
pqi)
où ∂x P et ∂y P sont évalués en (x,y).
En posant p=P(x,y)+tν (x,y), on obtient la matrice 2(Id- tH(x,y)). D'où le
résultat d'après le lemme 3.
On obtient alors le théorème :
Théorème : existence de fonctions de Morse :
Pour presque tout p∈ M, la fonction Lp est une fonction lisse sans point
critique dégénéré.
démonstration :
D'après le corollaire du théorème de Sard et le lemme précédent, le résultat est immédiat.
Nous verrons par la suite comment distinguer les valeurs critiques d'une
telle fonction.
caractéristiques d'une fonction de Morse :
Soit f une fonction de Morse. Ses points critiques sont alors isolés et
en nombre ni. En eet, d'après le lemme de Morse, on peut décrire le
comportement de f sur un voisinage des points critiques. L'écriture de f sur
ces voisinages (du type f= −x21 + ... + x2n ) prouve que sa diérentielle ne
s'annule qu'au point critique considéré. M étant compacte, si f admettait
une suite de points critiques distincts, on pourrait en extraire une suite qui
25
convergerait vers un point critique. Celui-ci ne serait pas isolé, ce qui est
absurde. f admet donc un nombre ni de points critiques distincts et isolés.
Une fonction de Morse ordonnée est une fonction de Morse dont les
valeurs critiques sont fonction croissante de l'indice des points critiques. C'est
à dire que les valeurs critiques d'indice 0 sont plus petites que celles d'indice
1 et 2. Nous démontrerons plus loin comment obtenir une telle fonction.
7.2 voisinages canoniques
Dans cette partie, on décrit des voisinages des points critiques qui seront
pratiques à utiliser par la suite. M étant de dimension 2, l'indice de ses
points critiques ne peut être que 0,1 ou 2.
Posons alors
g0 (X, Y ) = X 2 + Y 2 ,
et
g1 (X, Y ) = X 2 − Y 2
g2 (X, Y ) = −X 2 − Y 2 .
Soit q un point critique de f. D'après le lemme de morse, il existe un
ouvert U de R2 contenant 0 et un diéomorphisme ϕ : U → ϕ(U ) ⊂ M tels
que :
∀x ∈ ϕ(U ), f (x) = f (q) + gi (ϕ−1 (x)),
où i est l'indice de q.
On appellera alors voisinage modèle pour la fonction gi un tel ouvert U(ε)
centré en 0 et délimité par ε. C'est à dire:
√
si i=0, U(ε) est limité par le cercle g0 =ε, U(ε)=B(0, ε).
si i=1, U(ε) est limité par |X 2 −Y 2 | ≤ ε et |XY | ≤ ε. U(ε) est homéomorphe
à un octogone.
√
si i=2, U(ε) est limité par le cercle g0 =−ε, U(ε)=B(0, ε).
Un voisinage canonique de q est la donnée d'une paramétrisation
ϕ : U (ε) → M,
centrée en q, d'image notée U et telle que
∀(X, Y ) ∈ U (ε), f (ϕ(X, Y )) = f (q) + gi (X, Y ).
26
7.3 Séparation des valeurs critiques
Par la suite, nous verrons qu'il peut être nécessaire de modier la valeur critique d'un point critque de f. Les propositions 1 et 2 qui suivent expliquent
dans quelle mesure on peut faire varier ces valeurs critiques en modiant f
dans un voisinage du point considéré. Leurs démonstrations sont issues du
livre d'André Gramain: topologie des surfaces. Les gures 4 et 5 illustrent
ces changements de fonctions.
Soit q un point critique de f d'indice i et U un voisinage canonique de q.
Proposition 1 :
Supposons i=0 et U délimité par la courbe de niveau f=a, a∈ R.
Alors pour tout b < a, il existe g une fonction de Morse coïncidant avec f
en dehors de U et telle que q soit le seul point critique de g sur U, de même
indice que pour f mais avec g(q)=b.
démonstration :
Fixons une fonction lisse φ dénie sur un voisinage ouvert de [ f(q), a ] à
valeur dans R et telle que
φ0 > 0, φ(f (q)) = b
et
φ(t) = t sur un voisinage de a.
Si ϕ : U (ε) → U est une paramétrisation du voisinage canonique, on peut
dénir la fonction g : M → R comme suit :
∀x ∈ M
g(x) = φ(f (q) + g0 (ϕ−1 (x))) si x ∈ U
g(x) = f (x)
si x ∈ M \U
g est une fonction lisse sur M par choix de φ. De plus, le seul point critique de g dans U est bien q car φ' ne s'annule pas, g(q)=b et g coïncide avec
f en dehors de U.
Remarque :
Si i=2, on obtient la même prosition avec g(q)≥b où b est le niveau inférieur
de U. La démonstration est immédiate en considérant -f.
27
Figure 4 : cas où i=0
Proposition 2 :
Supposons i=1 et U délimité par f=a au niveau inférieur et f=b au niveau
supérieur.
Alors ∀d ∈]a, b[,
il existe g une fonction de Morse coïncidant avec f en dehors de U et telle
que q soit le seul point critique de g sur U, de même indice que pour f mais
avec g(q)=d.
Figure 5 : cas où i=1
28
démonstration :
On va modier la fonction g1 (X, Y ) = X 2 − Y 2 dans un voisinage de q.
Quite à multiplier par un scalaire, on peut supposer que le voisinage modèle
de q est U(1). On va alors construire une fonction H dénie sur U(1), coïncidant avec g1 sur le bord de U(1) et telle que H(0,0)=-β , pour β ∈]0, 1[.
La démonstration reste analogue si l'on désire réhausser la valeur de f(q), on
montre que H existe avec H(0,0)=β >0 en échangeant les variables X et Y .
Soit ω :R → R une fonction lisse positive ou nulle et à support dans
[−ε, ε] telle que
ω(0) = 1 et ∀x ∈ R, xω 0 (x) ≤ 0.
Soit ensuite σ : R → R une fonction lisse positive ou nulle et à support dans
[−γ, γ ], avec
p
γ ∈]
β, 1[
telle que
σ(0) = β
et telle que la dérivée σ 0 vérie :
2y + σ 0 (y) > 0 si y > 0 et 2y + σ 0 (y) < 0 si y < 0.
Notez qu'on peut obtenir σ à partir de la fonction y 7→ β − y 2 + ηy 2 en
"règlant" η et en lissant cette fonction aux voisinages de ses zéros.
Alors, pour ε et γ assez petits, [−ε, ε]×[−γ, γ ] ⊂ U(1). On pose alors
H(X, Y ) = X 2 − Y 2 − σ(Y )ω(X).
H est une fonction lisse dénie sur U(1) et qui coïncide avec g1 sur un voisinage de la frontière de U(1).
De plus, par construction de ω et σ , H(0,0)=−β .
∂H
(X, Y ) = 2X − ω 0 (X)σ(Y )
∂X
donc
car
∂H
(X, Y ) = 0 si et seulement si X = 0
∂X
ω 0 (X) est du signe de -X pour X 6= 0.
29
Alors on a
∂H
(0, Y ) = −2Y − σ 0 (Y ) = 0
∂Y
si et seulement si Y=0.
Donc le seul point critique de H est (0,0).
Pour conclure, on considère g dénie sur U par
g(x) = f (q) + h(ϕ−1 (x))
où ϕ : U (1) → U est une paramétrisation du voisinage canonique. On prolonge g à M par f et g convient.
Le nombre de points critiques d'une fonction lisse étant ni, on peut alors
modier cette fonction de telle sorte que toutes les valeurs critiques soient
distinctes deux à deux. Ceci clos la démonstration de l'existence d'une fonction de morse.
On rappel qu'une fonction de Morse ordonnée sur M est une fonction de
Morse g : M→ R telle que ses valeurs critiques soient fonction croissante des
indices .
Théorème 2 :
Si M est une variété compacte de dimension 2, elle admet une fonction
de Morse ordonnée.
démonstration :
D'après ce qui précède, on peut xer f une fonction de Morse sur M. M
étant compacte, f admet un nombre ni de points critiques. Soit alors a un
minorant des valeurs critiques des points d'indices 1 et b un majorant de ces
valeurs. D'après la proposition 1, on peut déterminer une fonction de Morse
g sur M qui coïncide avec f en dehors des voisinages des points critiques
d'indices 0 et 2 et telle que les valeurs des points critiques d'indices 0 soient
inférieures à a, celles d'indices 2 supérieures à b. Une telle fonction convient.
Nous allons alors montrer que la donnée d'une fonction de Morse sur une
variété compacte connexe et orientable de l'espace permet une caractérisation de cette dernière.
30
8 Classication des surfaces
Dans toute la suite de cette section, M désigne une surface compacte, connexe et orientable de dimension 2 et f une fonction de Morse ordonnée sur
M.
8.1 sphères à anses
On notera Mn la sphère à n anses. M0 est la sphère, M1 le tore puis on
obtient Mn , n ∈ N, n ≥ 2, en enlevant un disque au tore et à Mn−1 puis
en recollant ces derniers le long du bord de ces disques. Ceci fournit une
structure topologique de Mn . Nous allons maintenant munir ces espaces
d'une structure diérentiable.
Pour M0 =S 2 , on peut considérer les coordonnées sphériques qui nécessitent deux cartes sur la sphère pour la décrire. Ainsi,
∀(θ, ϕ) ∈]0, 2π[×] − π/2, π/2[, (θ, ϕ) → (cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ)
et
∀(θ, ϕ) ∈]0, 2π[×] − π/2, π/2[, (θ, ϕ) → (sin ϕ, cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ)
dénissent une structure diérentiable sur S 2 . En eet on peut vérier que
ces applications dénissent des paramètrages de S 2 .
Pour M1 le tore, on utilise la même méthode avec deux paramètrages
dont :
∀(θ, ϕ) ∈]0, 2π[×]0, 2π[, (θ, ϕ) → ((R+r cos ϕ) cos θ, (R+r cos ϕ) sin θ, r sin ϕ)
qui dénit un tore dès que R>r.
Enn pour le cas général, on procède comme pour la dénition de la structure topologique, par récurrence, et en utilisant le lemme de recollement.
On va alors démontrer que toute variété diérentiable de dimension 2,
compacte, connexe et orientable est diéomorphe à l'une des variétés dénies
précedemment. Notez que ceci démontrera de plus qu'il n'existe qu'une seule
structure diérentiable sur Mn à diéomorphisme près.
31
8.2 Franchissement d'une valeur critique
On rappel que ∀a ∈ R, M a désigne l'ensemble des points de M situés sous la
ligne de niveau f=a. De plus, on notera cette dernière V(a).
Soit (a,b) ∈ R2 , a < b .
Nous allons observer le lien entre M a et M b s'il existe une valeur critique de
f dans ]a,b[.
Supposons alors que f admette un unique point critique q ∈ f −1 (]a, b[).
Les démonstrations des propositions 3 et 4 suivent le schéma des preuves
contenues dans l'ouvrage "topologie des surfaces" de M.Gramain. Cependant, elles dièrent de ces dernières car leur résultat est plus fort. En eet,
on obtient ici des diéomorphismes et non pas des homéomorphismes, c'est
cette diérence qui est expliquée dans la suite.
Proposition 3 :
Supposons que l'indice de q soit 0.
Alors M b est diéomorphe à la réunion disjointe de M a et d'un disque.
Remarque :
Si q est d'indice 2, on obtient le même résultat et la démonstration est
analogue en considérant -f.
démontration :
Soit U(2ε) un voisinage canonique de q. D'après le théorème 1, on peut
supposer a et b aussi proche que l'on veut de f(q). Supposons alors a=f(q)-ε
et b=f(q)+ε.
D'après la propsition 2, on peut xer g une fonction de Morse sur M
coïncidant avec f hors de U(2ε) et telle que
g(q) ∈]f (q) + ε, f (q) + 2ε[.
Alors g −1 ([a, b]) est compacte et ne contient aucun point critique. Donc
d'après le théorème 1, g −1 (] − ∞, b]) est diéomorphe à g −1 (] − ∞, a]).
Mais alors M b \ U(ε) est diéomorphe à M a par choix de g. Or U(ε) est
diéomorphe à un disque.
D'où le résultat.
32
Figure 6 : Franchissement d'une valeur critique d'indice 0
Proposition 4 :
Supposons que l'indice de q soit 1.
Alors M b est diéomorphe à M a auquel on recolle une bande selon deux
segments de V(a).
démonstration :
Trois cas sont envisageables lors du franchissement de q. En eet, d'après
le lemme de Morse, il existe des coordonnées locales telles que dans un voisinages de q, la fonction f est du type X 2 − Y 2 . Alors, soit V(b) a une composante connexe de plus que V(a), soit une de moins, soit le même nombre.
Dans le dernier cas, la surface n'est pas orientable. En eet, si le nombre
de composantes connexes est le même pour V(a) et V(b), la surface n'est
pas orientable en q. On peut comprendre ce problème d'orientation avec la
gure suivante. Sur la gure, on observe un champ de vecteurs normaux à M
qui dénissent une orientation de M en tout point. Pour que la surface soit
orientable, ce champ doit être continu. Mais alors cette continuité impose
l'annulation du champ en q, la surface n'est pas orientable en q. Nous allons
alors démontrer la proposition dans le premier cas, la démonstration étant
identique pour le second en considérant -f.
33
Figure 7 : orientation au voisinage de q
Comme pour la proposition précédente, on peut supposer a=f(q)-ε et
b=f(q)+ε. Posons Wa,b =f −1 ([a, b]) et soit ϕ : U (ε) → M un voisinage canonique de q tel que U:=ϕ(U (ε)) soit inclus dans Wa,b , de niveau supérieur b et
de niveau inférieur a. Posons T=Wa,b − U .
M b est le recollement de M a et de Wa,b et Wa,b est le recollement de T et
de U. Ces recollements conservent la structure diérentiable de M.
Nous allons démontrer que T est diéomorphe à deux rectangles et que
U se décompose en trois parties P, Q et R (voir sur la gure suivante). Ensuite, nous verrons que M a est diéomorphe au recollement de M a avec T,
P et Q. Enn, M b sera alors obtenue par recollement de M a et de la partie R.
34
Figure 8 : démonstration de la proposition 4
35
U ∩ V (a) est constitué de deux composantes connexes I et J qui correspondent à ϕ({X 2 − Y 2 = ε}). Posons K:=T∩V (a)=V (a)\(I ∪ J) . Alors T
est diéomorphe à K × [a, b].
Nous allons dénir un groupe à un paramètre ψ , engendré par un champ
de vecteur sur T transverse aux lignes de niveaux de f et tel que les lignes
{ψt (x), t ∈ [a, b]} pour x∈ K restent dans T. Alors ψ 0 : K × [a, b] → T déni
par ψ 0 (x, t)=ψt−a (x) sera un diéomorphisme.
Les courbes intégralles du champ de vecteur passant dans T restent dans
T si et seulemant si les courbes intégralles de ce champ passant par U restent
dans U. Soit alors Z le champ de vecteur sur U(2ε) déni par Z(x,y)=(x,-y).
Ce champ est nul en 0, transverse aux lignes de niveaux de f et dirigé dans
le sens f croissante. Soit alors Z' le champ de vecteur image de Z par Dϕ sur
M. Z' a les mêmes propriétées que Z et ces courbes intégrales sont les images
par ϕ des hyperboles XY=constante, celles qui sont issues d'un point de U
sont en entier dans U entre a et b.
Soit alors χ une fonction lisse de M vers R qui soit égale à 1 sur U et à 0 en
dehors de ϕ(U (3/2ε)). Soit enn X0 un champ de vecteur sur M, transverse
aux courbes de niveaux de f, nul aux points critiques de f. Dénissons alors
X le champ de vecteur sur M tel que :
∀x ∈ M
X(x) = χ(x)Z 0 (x) + (1 − χ(x))X0 (x) si x ∈ ϕ(U (2ε))
X(x) = X0 (x)
si x ∈ M \ϕ(U (2ε))
Le champ X ainsi déni est égal à Z' sur U. Ses courbes intégrales passant
par U restent dans U entre a et b. De plus M est compacte donc X engendre
un unique groupe à un paramètre sur M. Ce dernier convient pour dénir ψ 0 ,
donc K × [a, b] est diéomorphe à T.
On considère maitenant U(ε). Posons P', Q' et R' les parties de U(ε)
délimitées par A'B'C'D', E'F'G'H' et D'E'H'A' (voir sur la gure 9 page
suivante). Posons P, Q et R leurs images respectives par ϕ. P' et Q' sont
diéomorphes à des rectangles donc P et Q sont diéomorphes à I × [a, b]
et J × [a, b]. On peut alors exhiber un diéomorphisme de T ∪ P ∪ Q vers
(K ∪ I ∪ J )×[a,b]=V(a)×[a,b]. En eet, en modiant le champ de vecteur X
sur Q et P, on peut dénir un nouveau groupe à un paramètre qui conviendra.
A partir de là, M a est diéomorphe à M b \R . Enn, M b est obtenu par
recollement de M a et R, on admettra qu'on peut obtenir ici une structure
diérentiable, d'où le résultat.
36
Figure 9 : découpage de U(ε)
8.3 simplication de la fonction de Morse
Soit (b,c)∈ R2 tel qu'entre les niveaux b et c la fonction f a exactement deux
points critiques q0 et q1 d'ndice respectif 0 et 1. On dit que q0 et q1 sont en
bonne position si q0 a un voisinage canonique U0 de niveau supérieur d∈]b, c[
et q1 un voisinage canonique U1 de niveau inférieur d tels qu'il existe une
unique composante connexe de U1 ∩ V (d) qui soit incluse dans U0 ∩ V (d) (
voir gure 10 page suivante). Dans ce cas, on a la proposition :
Proposition 5 :
Si q0 et q1 sont en bonne position, alors M c et M b sont diéomorphes.
37
Figure 10: deux points en bonne position
démonstration :
D'après la proposition 4, M c est diéomorphe à M d auquel on a recollé
une bande. Nécessairement, le passage du point critique q1 relie deux composantes connexes de V(d) car il existe une unique composante connexe de
U1 ∩ V (d) qui soit incluse dans U0 ∩ V (d). Posons E:=M d \U0 , on retire à
M d sa composante connexe contenant le point critique d'indice 0. D'après
la proposition 3, M d est la réunion disjoint de E et de U0 . Alors M c est
diéomorphe au recollement de E et d'un disque par une bande et d'après le
38
théorème 1, E est diéomorphe à M b .
Donc M c est diéomorphe au recollement de M b et d'un disque par une
bande. Montrons alors que nous pouvons "rétracter cette bande dans M b ".
Tout d'abord, le disque en question est diéomorphe à un carré, donc à un
rectangle, quite à dilater un côté. Nous pouvons alors considérer le recollement d'une bande à M b selon la partie I incluse dans Vb . On peut supposer
que la bande est incluse dans Vb et paramétrée par P:(x,y) → (x,y,h(x,y))
où P à pour départ un rectangle de R2 tel que le côté C soit envoyé sur I.
Soit alors U un voisinage de I dans M b et soit le champ de vecteur X sur M
image par DP du champ (1,0) normal à C sur le rectangle et qui soit nul en
dehors de U. Ce champ engendre un unique groupe à un paramètre et grâce
à ce dernier, on peut rétracté la bande dans M b , d'où le résultat.
On va maintenant montrer comment M est obenue à partir de disques et
de rectangles.
Etendons la dénition de voisinage canonique en admettant des voisinages
modèles pour les points critiques d'indice 1 du type : −r ≤ X 2 − Y 2 ≤ s et
|XY | ≤ t, où (r,s,t)∈ R3 . Les propositions qui précèdent restent valables.
Soit a un niveau supérieur à tous les points critiques d'indice 0 et inférieur
à ceux d'indice 1, et b un niveau inférieur à tous ceux d'indice 2, supérieur à
ceux d'indice 1. Alors M a est une union disjointe de disques, tous voisinages
canoniques d'un point critique d'indice 0, de même que pour f −1 ([b, +∞[)
avec les points critiques d'indice 2. Ces disques sont bien disjoints sinon f
admettrait un autre point critique dans l'intersection et son indice ne coïnciderait pas. De même, pour les points critiques d'indice 1, on admettra qu'il
existe pour chacun de ces points un voisinage canonique de niveau inférieur
a et de niveau supérieur b, ces voisinages étant deux à deux disjoints. De
plus, chacun de ces voisinages est un octogone, diéomorphe à un rectangle.
Nous noterons par la suite U(x) le voisinage canonique de x un point
critique décrit ci-dessus.
Soient n0 , n1 et n2 le nombre respectif de points critiques d'indices 0, 1 et
2. Notez que n0 et n2 sont non nuls car f admet un maximum et un minimum.
D'après ce qui précède, M b est obtenu en recollant n0 disques disjoints
à n1 bandes. En eet, en partant de M a , et en franchissant une à une les
valeurs critiques d'indice 1 dans l'ordre croissant, d'après la proposition 4,
on recolle une bande à chaque franchissement. De plus, ces recollements sont
des diéomorphismes.
On obtient ensuite M en recollant à M b les disques de f −1 ([b, +∞[).
39
On va alors se ramener au cas d'une fonction n'admettant qu'un seul
point critique d'indice 0 et qu'un seul point critique d'indice 2.
Proposition 6 :
Il existe une fonction de Morse g sur M ayant les mêmes points critiques
que f, avec mêmes indices, et admettant deux niveaux c et d tels que:
i) M c := g −1 (] − ∞, c]) contient n0 points critiques d'indice 0 et n0 -1 points
critiques d'indice 1. De plus, M c est diéomorphe à un disque.
ii) M d := g −1 ([d, ∞[) contient n2 points critiques d'indice 2 et n2 -1 points
critiques d'indice 1. De plus, M d est diéomorphe à un disque.
iii) W(c,d):= g −1 ([c, d]) contient n1 − n0 − n2 + 2 points critiques d'indice 1.
démonstration :
Cette démonstration provient du livre "topologie des surfaces".
Pour démontrer cette proposition, il sut de démontrer la première assertion en modiant f en-dessous de b. Ainsi, en considérant -f en-dessous de
c, on obtiendra, en réitérant le procédé, les deux autres assertions.
Si n0 =1, le résultat est vrai pour f=g et a=c. Supposons n0 ≥2 et soit p1
le point critique d'indice 0 de niveau le plus élevé.
M b est alors le complémentaire dans M de disques disjoints. M étant
connexe, M b l'est nécessairement aussi. Or M a est lui aussi la réunion de
disques disjoints. Donc il existe un point critique q1 d'indice 1 et un point
critique p2 d'indice 0 tels que le voisinage U(q1 ) relie les voisinages U (p1 )
et U (p2 ). D'après la proposition 2, quite à changer f à l'intérieur de U(q1 ),
on peut supposer que f(q1 ) est la plus faible des valeurs critiques d'indice
1. Alors f −1 (]f (p1 ), f (q1 )[) ne contient pas de point critique et U(p1 )∩V(a)
contient une et une seule composante connexe de U(q1 )∩V(a).
Les points p1 et q1 sont donc en bonne position. Soient alors a' et b'
deux niveaux tels que f(p1 ) et f(q1 ) soient les deux seules valeurs critiques
0
0
de l'intervalle ]a',b'[. D'après la proposition 5, M a et M b sont diéomorphes.
L'espace M b est donc la réunion disjointes de n0 −1 composantes connexes
diéomorphes à des disques. L'une de ces composantes contient p1 , q1 et p2 .
Si n0 =2, la proposition est démontrée.
0
40
Sinon, on peut alors modier f dans les n0 − 2 autres composantes de
0
M b de telle sorte que les valeurs critiques des points correspondants soient
plus grandes que f(q1 ). En eet, il sut d'appliquer la proposition 1 avec les
voisinages canoniques de niveaux supérieurs b'.
On réitère alors le procédé de réduction en déterminant p3 le point critique d'indice 0 de valeur la plus élevée. n0 étant ni, le processus se termine
et le dernier niveau noté b0 correspond au niveau c recherché et la fonction g
est la fonction f toutes modications eectuées.
8.4 Le théorème de classication
Théorème : classication des surfaces compactes, connexes et orientables:
Soit M une variété diérentiable de dimension 2, compacte,connexe et
orientable.
Alors il existe n∈ N tel que M soit diéomorphe à Mn .
Plus précisement, si f est une fonction de Morse sur M admettant un
point critique d'indice 0, un d'indice 2 et m d'indice 1, alors m=2n et M est
diéomorphe à Mn .
Remarque :
Chacune des surfaces Mn est une surface diérentiable compacte, connexe
et orientable. Le caractère orientable de ces surfaces provient de l'existence
d'un champ continu de vecteurs normaux non nuls sur chacune de ces dernières.
Ces surfaces ne sont pas homéomorphes les unes aux autres, de telle sorte
qu'on a exhibé toutes les classes d'équivalences à diéomorphismes près. On
admettra ce dernier résultat dont la démonstration repose sur le calcul de
l'homologie des Mn .
41
Figure 11 : fonction de Morse f sur M
Démonstration :
Soit f une fonction de morse sur M telle que f admette 1 point critique
d'indice 0, un d'indice 2 et m d'indice 1. Une telle fonction existe d'après la
proposition 6.
On va alors procéder en plusieurs étapes. Tout d'abord, on va montrer
que le nombre de points critiques d'indice 1 est paire. Ensuite, on va ordonner ces points par paires, de telle sorte que chaque paire forme un tore. Puis
on obtiendra le résultat.
Premier cas: si m=0, d'après le théorème de Reeb, M est diéomorphe à
M0 .
Supposons m ≥ 0. Alors m est paire. En eet, si on pose a et b, a<b,
deux niveaux séparant les points critiques d'indices 0, 1 et 2, comme f n'admet
qu'un point critique d'indice 0 , V(a) n'a qu'une composante connexe et il
en va de même pour V(b). Or comme on l'a vu précedemment, les points
42
critiques d'indices 1 sont ceux qui change la parité du nombre de composantes
connexes des niveaux. Donc entre a et b, il y a un nombre paire de points
critiques d'indice 1, d'où m est pair.
Posons alors m=2n.
Nécessairement, pour la même raison , il y a autant de points critiques
d'indice 1 séparant les composantes connexes que reliant deux de ces dernières.
Alors, quite à changer leurs valeurs critiques en utilisant la proposition 2, on
peut supposer que ces dernières sont ordonnées de telle sorte que les points
critiques sont classés par paire de points, le plus bas séparant et le plus haut
reliant les composantes connexes des niveaux correspondants. Suite à ces
modications, nous allons démontrer le résultat par récurrence sur n.
Supposons n=1 et montrons que M est diéomorphe au tore.
Soit d un niveau situé entre les valeurs critiques des deux points d'indice 1.
D'après la proposition 4, M d est diéomorphe au recollement d'une bande sur
un disque selon deux arcs de ce dernier. Donc M d est diéomorphe à la moitié
d'un tore, comme illustré sur la gure suivante. De même, f −1 ([d, +∞[)
est elle aussi diéomorphe à un demi-tore. Donc M est diéomorphe au
recollement de ces derniers selon des cercles, en respectant l'orientation car
M est orientable. Ce recollement respecte la structure diérentiable de M
d'après le lemme de recollement.
Supposons le résultat vrai au rang r≥ 1 et montrons que si n=r+1, alors
M est diéomorphe à Mr+1 .
Soit d un niveau supérieur à la deuxième valeur critique d'indice 1 et
inférieur à la troisième, celles-ci étant classées comme précèdemment. Alors
comme pour le cas n=1, M d est diéomorphe à un tore privé d'un disque.
De même, par hypothèse de récurrence, f −1 ([d, +∞[) est diéomorphe à Mr
privé d'un disque. Donc M est diéomorphe au recollement de ces deux
parties selon un cercle, ce qui donne Mr+1 , on utilise à nouveau le lemme de
recollement. Ceci achève la démonstation de la réccurence et donc la preuve
du théorème.
43
Figure 12 : Construction du tore à partir de f et de ses points critiques
44
9 Sources
quelques mathématiciens :
- Georges Reeb (1920-1992).
- John Milnor (1931). Médail Fields en 1962.
ouvrages de mathématiques :
- "Morse theory" de John Milnor
- "Topologie des surfaces" d' André Gramain
site internet :
- wikipedia.fr
Remerciements à M.Franjou pour sa patience et son investissement dans la
réalisation de ce mémoire.
45