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DEFINITIONS GENERALES DE L’ENERGETIQUE
FORMULAIRE ET BILAN THERMIQUE
I DEFINITIONS GENERALES ET FORMULAIRE
Dans ce paragraphe nous allons rappeler les diverses notations et définitions
communes aux différents cours d’énergétique : thermodynamique, moteurs, turbomachines,
machines à froid, échangeurs, économies d’énergie… afin d’uniformiser les notations
utilisées en TP de thermique.
I-1 Travaux et puissances, chaleurs et flux.
Les travaux (cycliques ou massiques) sont liés aux puissances par les relations cidessous, leurs qualificatifs sont identiques : nous parlerons indifféremment par exemple de
puissance indiquée ou de travail indiqué massique ou cyclique. Cela nous permettra de donner
les définitions sous une forme de puissance ou de travail sans alourdir le texte. Nous saurons
nous adapter facilement à la forme correspondant le mieux au problème à traiter :
P=n.Nc.W=qm.w
Il en est de même pour les chaleurs et les flux :
Φ=n.Nc.Q=qm.q
n est le nombre de cylindres de la machine, Nc est sa fréquence cyclique (en cycles /s),
W (ou Q) le travail (ou la chaleur) unitaire (par cycle en J/cycle), w (ou q) le travail (ou la
chaleur) massique et qm le débit massique du fluide « énergo-porteur » traversant la machine.
N
La fréquence cyclique est en général égale à la vitesse de rotation N c =
(N étant
60
N
exprimé en tr/mn), sauf dans le cas du moteur 4temps où N c =
car pour ce moteur, un
120
cycle dure 2tours.
On désigne par le terme « puissance effective »la puissance récupérée ou fournie à
l’arbre de la machine. Elle se calcule ainsi :
π .N
Peff = C.ω = C.
30
La puissance échangée entre le fluide et les parties mobiles de la machine sera
appelée : « puissance indiquée ». On l’obtient pour les machines alternatives en planimétrant
le diagramme de Watt mesuré grâce à un indicateur de Watt (voir rappels de thermo et TP de
thermique) ce qui nous donne le travail indiqué Wi :
Pi = Wi .n.N c avec Wi = ∫
cycle
p.dV ∗
Christian Guilié Janvier 2014
2
Pour les machines à flux continu (compresseurs ou turbines), on l’obtient par la
mesure des pressions et températures en entrée et en sortie. Ces machines étant adiabatiques,
en négligeant les variations d’énergie cinétique (voir rappels de thermo et cours de machines
thermiques) le 1er principe en système ouvert donne :
wi = hs − he
Il suffit donc pour calculer wi de déterminer hs − he par la mesure de p et T et les
méthodes classiques (GI, tables, diagrammes…).
La puissance calorifique maximum PCM est la puissance thermique que peut fournir
le carburant :
PCM = qmc .Ip
qmc est le débit massique de carburant et Ip le pouvoir calorifique de celui-ci (voir
cours de combustion)
L’équivalent unitaire ou massique de cette « puissance » sera désigné par QCM et qCM
pour des raisons évidentes…
I-2 Rendements et pertes énergétiques
Les processus réels de transformation de l’énergie thermique ou chimique d’un
carburant en énergie mécanique ne sont jamais parfaits mais une partie de l’énergie est
« dégradée », au sens du deuxième principe, en chaleur ou dissipée dans l’atmosphère, c’est
ce que l’on appelle « pertes »… On distingue en général plusieurs types de pertes suivant
leurs origines physiques :
-
-
Les pertes mécaniques dues aux frottements des pièces mécaniques entre-elles ou
avec le lubrifiant dans les systèmes de transmission ou de transformation de
mouvement (pistons, bielles, vilebrequins, paliers, barbotage…)
Les pertes chimiques dues à la combustion incomplète du combustible révélées par la
présence d’imbrûlés dans les fumées
Les pertes thermodynamiques inhérentes à la transformation de la chaleur en travail
et dépendantes du cycle choisi
Les pertes thermiques dues aux échanges thermiques du fluide « énergo-porteur »
avec l’extérieur à travers les parois de la machine
Les pertes « visqueuses » dues au frottement du fluide sur les parois de la machine
(phénomènes de laminage dans les clapets ou soupapes, frottement sur les aubages…)
a) Pertes mécaniques
Christian Guilié Janvier 2014
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Sur la figure ci-dessus, je représente deux systèmes classiques de transformation de
l’énergie mécanique de « pression » en énergie mécanique de rotation : un système bielle
manivelle de moteur alternatif et un aubage de turbomachine. Le sens de la transformation
représentée est celle d’un moteur. Dans ce cas Pi > Peff et la différence des deux est égale
aux pertes mécaniques Pméc donc dans le cas d’un moteur :
Pméc = Pi − Peff
et
η méc =
Peff
Pi
Pour un récepteur (compresseur volumétrique ou axial), c’est la puissance effective
qui est fournie au système de transformation « l’énergie circule en sens inverse », donc pour
un récepteur:
Pi
Pméc = Peff − Pi
et η méc =
Peff
b) Pertes chimiques
Comme le montre la figure ci-dessous, dans le cas général une quantité de carburant
n’a pas été entièrement consommée, elle s’est transformée en autres combustibles appelés
imbrûlés : C, CO, H2, HC… (Voir cours de combustion 1ère partie et 2ème partie).
La puissance réellement dégagée par la combustion est donc réduite du fait de la
puissance calorifique restant contenue dans les produits d’échappement :
PC = PCM − PI = PCM − ∑ qm I .Ip I
qmI est le débit de l’imbrûlé I de pouvoir calorifique IpI. PI désigne les pertes par
imbrûlés. Le rendement de combustion peut donc ce définir comme suit :
ηC =
PC
PCM
c) Pertes thermodynamiques
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Pour distinguer les pertes thermodynamiques des pertes thermiques et des pertes
« visqueuses », on a recours à des modèles de « cycles » thermodynamiques plus ou moins
sophistiqués (exemple les cycles de Beau de Rochas, Brayton, Hirn…Voir cours de machines
thermiques). On obtient avec ces modèles un travail indiqué théorique with que l’on compare
au travail indiqué réel. On définit donc le rendement thermodynamique ou thermique du
cycle comme suit :
η th =
− with
q
La chaleur q est la chaleur transmise au fluide. Dans le cas d’un moteur à combustion
interne, il s’agit de qc la chaleur massique de combustion donc :
Pc
q = qc =
qm
Ce rendement est arbitraire puisse qu’il dépend du cycle choisi. Il en est donc de
même du rendement du cycle défini au paragraphe suivant qui lui est étroitement lié.
Pour les machines réceptrices (MAF ou PAC), on procède de la même manière sauf
que le rendement thermodynamique doit être remplacé par l’efficacité :
ε th =
q
with
q est selon le cas la chaleur cédée par le fluide au condenseur (PAC) ou fournie par
celui-ci à l’évaporateur (MAF).
d) Pertes thermiques et pertes visqueuses
Elles sont souvent indissociables l’une de l’autre et seront simplement prises en
compte par le rendement de cycle qui compare le travail réellement fourni ou reçu au travail
théorique. Pour un moteur, on écrit :
w
η cycle = i
with
Pour un récepteur et pour des raisons identique à celle du §a) :
η cycle =
with
wi
Remarque : Les machines alternatives sont relativement lentes et les débits faibles.
Les pertes quantifiées par ce rendement de cycle sont donc principalement d’origine
thermiques (échanges par avec parois).
Par contre, dans les turbomachines la vitesse des fluides et leurs débits sont grands.
Ils n’échangent donc que très peu de chaleur avec les parois en regard des autres puissances.
Ici le frottement du fluide sur les aubages sera la source principale de dégradation de
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l’énergie. On calculera alors le rendement isentropique des éléments de ces machines. Le
rendement de cycle est étroitement lié à ces rendements isentropiques.
e) Rendement et coefficients de performance globaux
La notion de rendement est attachée aux machines motrices. Le rendement global
s’exprime comme le rapport du travail fourni par la machine à la chaleur qu’elle a reçu. Il y a
plusieurs façons d’exprimer ce rendement selon que l’on s’attache à la chaîne complète de la
transformation ou simplement à la conversion par le fluide. Par exemple, on parlera de
rendement effectif d’un moteur à combustion interne sous la forme :
η eff =
Peff
PCM
Et de rendement indiqué :
ηi =
Pi
PC
Dans le cas d’une turbine à vapeur, le rendement indiqué s’écrira :
P
ηi = i
ΦV
Ces rendements globaux peuvent s’écrire comme le produit des rendements partiels
définis ci-dessus. Par exemple pour un moteur à combustion interne:
η eff =
Peff
PCM
=
Peff Pi PC
P
P P
= η méc .η i .η C et η i = i = i ith = η th .η cycle
Pi PC PCM
PC Pith PC
Pour une turbine à vapeur, il faudrait définir un rendement de chaudière comme suit :
Φ
η ch = V
PCM
Alors, nous aurions :
η eff = η méc .η i .η ch avec η i = η th .η cycle et η ch = η C .η foyer …
Dans le cas des machines réceptrices, on parle de coefficients de performance :
COP =
Φ
Φ Pith Pi
=
= ε th .η cycle .η mec
Peff
Pith Pi Peff
Où Φ est la puissance de l’évaporateur ou du condenseur…
f) Consommation spécifique
Pour les machines à combustion interne, on défini la consommation spécifique de la
manière suivante :
Christian Guilié Janvier 2014
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Cs =
qmc
Peff
Il existe une relation évidente entre Cs et ηeff :
qmc
qmc
qmc
1
Cs =
=
=
=
Peff η eff .PCM η eff .qmc.Ip η eff .Ip
Cs est donc inversement proportionnelle au rendement effectif du moteur.
On n’utilisera surtout pas cette formule qui pose un problème d’unités. En effet Cs est
exprimé en général en g/kWh ou g/cv.h et Ip est en MJ/kg !
I-3 Définitions particulières des machines alternatives
a) Définitions géométriques
La cylindrée est le volume balayé par le piston
durant sa course du point mort haut au point mort bas :
π .c.D 2
Vc =
4
Si n est le nombre de cylindres de la machine, la
cylindrée totale est :
Vcn = n.Vc
Souvent la cylindrée donnée est la cylindrée totale,
alors on ne fera pas la différence.
Le volume mort ou résiduel, Vm est le volume
restant dans la chambre de combustion lorsque le piston est au point mort haut. On défini
alors le taux de compression volumique comme le rapport du volume maximum Vc+Vm au
volume mort Vm :
ρ=
Vc + Vm
Vm
b) Pressions moyennes
Cette pression permet de comparer les performances de moteurs de technologie ou de
cylindrée différente. C’est par définition la différence des pressions d’un cycle rectangulaire
en diagramme de Watt de même cylindrée fournissant le même travail que le moteur étudié.
On défini donc ainsi la pression moyenne indiquée :
pmi =
Wi
Pi
=
Vc Vc.n.Nc
Par extension, on défini la pression moyenne effective pme et la pression moyenne due
aux frottements mécaniques pmf, évidemment par le §I-2a:
pmi = pme + pmf
Les valeurs à retenir à titre de comparaison sont les suivantes :
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- Pour un moteur 2 temps : 4bars<pme<8bars
- Pour un moteur 4 temps atmosphérique : 8bars<pme<12bars
- Pour un moteur 4 temps turbocompressé : pme ≈ 12 à 14bars
- Pour un moteur turbo compressé de compétition : pme ≈ 16bars
- Formule 1 : pme ≈ 30 à 40bars
Les moteurs diesels ont des pme plus faibles que les moteurs à essence d’où leur faible
intérêt dans les domaines des hautes performances comme l’aviation ou la compétition
automobile. Les moteurs 2 temps quant à eux, handicapés par une pme relativement faible
dues aux problèmes de remplissages, jouissent de l’avantage d’avoir 1 cycle par
tour contrairement aux moteurs 4temps: à pme et cylindrée égale ils sont deux fois plus
puissants.
c) rendements volumiques
Cette définition est commune aux moteurs alternatifs et aux compresseurs alternatifs
de MAF ou PAC. Le débit théorique est obtenu lorsque la machine aspire par cycle le volume
de sa cylindrée de fluide dans les conditions extérieures de l’admission c'est-à-dire :
qmth = Vcn.Nc.ρ a
Le rendement volumique appelé aussi taux de remplissage est donc :
ηv =
qmréel
qmth
Il quantifie les fuites (au piston ou aux soupapes) mais surtout les effets néfastes de la
compressibilité (délai de mise en mouvement de la colonne de gaz) et de la viscosité (pertes
de charges) et dans le cas des compresseurs de la détente du gaz résiduel du volume mort
(voir TD rappels de thermo).
I-4 Définitions particulières utilisée dans les turbomachines
a) Généralités
Les caractéristiques géométriques des turbomachines (diamètre de la roue, nombre
d’étages, forme et calage des aubages…) ont un impact beaucoup moins évident sur les
performances de la machines. La vitesse périphérique est la grandeur la plus caractéristique
des turbomachines :
D π . N .D
V = ω. =
2
60
Elle est souvent de l’ordre de la vitesse du son qui constitue la limite maxi comme
nous le verrons en dynamique des fluides compressibles. Elles sont parfois limitées par la
résistance de la roue à l’éclatement.
Les taux de compressions sont ici manométriques contrairement aux moteurs
alternatifs:
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Pour les compresseurs : π c =
p sortie
p
et pour les turbines : π d = entrée
p entrée
p sortie
Et l’on défini des rendements isentropiques de compression et de détente :
ηc =
wisc
w
et η d = id (voir rappel de thermo)
wic
wisd
b) Turboréacteurs
Pour ces machines, on ne peut pas définir de puissance effective car il n’y a pas
d’arbre de transmission mais elles produisent une poussée. Cette poussée F quantifie l’effet
moteur. En mécanique des fluides, le théorème d’Euler précise que :
F = qm ( C sortie − C 0 )
Où C0 est la vitesse de vol et Csortie la vitesse de d’échappement à la tuyère.
La puissance de propulsion est la puissance de cette force se déplaçant à la vitesse de
l’avion :
Pp = F .C 0
La puissance utile fournie par le moteur pour développer cette force est la puissance
nécessaire pour augmenter la vitesse de l’air donc sa variation d’énergie cinétique :
1 2
1 2
Pu = qm( C sortie
− C entrée
)
2
2
On défini ainsi trois rendements :
Pp
ηp =
- Le rendement propulsif :
Pu
Pu
PCM
- Le rendement thermique :
η th =
- Le rendement thermopropulsif :
η thp = η th .η p =
Pp
PCM
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II BILAN ENERGETIQUE
II-1Cas général
a) Généralités
Faire le bilan énergétique d’une installation consiste à dresser, pour un régime donné,
un tableau des puissances fournies utiles et perdues. Pour cela on isole le système à étudier.
Dans le cas général, ce système subit de l’extérieur des actions mécaniques, échange de la
chaleur et de la matière. On obtient le schéma suivant :
Pour l’interprétation à posteriori des résultats, il est très important de définir le
système le plus précisément possible. Dans le cas où l’on a choisi d’isoler la machine
complète, fluide énergo-porteur, parties mobiles et carter compris, la puissance mécanique
échangée est par définition de la puissance effective (les pertes mécaniques sont contenues
dans Φ). Dans le cas où l’on n’a isolé que le fluide, la puissance échangée entre le système et
l’extérieur est de la puissance indiquée (les pertes mécaniques sont encore contenues dans Pi).
Dans tous les cas, si le régime est stationnaire, on peut écrire le premier principe en
système ouvert :
1
1
Pi + Φ = ∑ qm S (hS + C S2 + gz S ) − ∑ qm E (hE + C E2 + gz E )
2
2
Si le système n’était pas rigoureusement en régime stationnaire, on ne pourrait plus
écrire le premier principe de la manière précédente mais son deuxième membre comporterait
dU
alors les termes de variations d’énergie interne des différents constituants du système
qui
dt
sont expérimentalement impossibles à chiffrer rigoureusement.
Boucler le bilan consiste à vérifier l’égalité entre le premier et le second membre
après avoir estimé chacun des termes : C’est faire la preuve par 9 de nos mesures et de nos
calculs.
- Les puissances sont calculées ou estimées comme nous l’avons expliqué au
paragraphe I -1.
- Les flux de chaleur dans les machines à combustion interne sont ce que l’on appelle
des « pertes thermiques directes » c'est-à-dire un flux non désiré dû à des problèmes
d’isolation thermique de la machine ou à la nécessité de refroidir ses pièces mécaniques. Nous
donnons au paragraphe II-4 une méthode simple pour les estimer.
Christian Guilié Janvier 2014
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Ces flux, dans les PAC ou MAF, peuvent être des puissances utiles. Il est simple, à
l’instar de la puissance indiquée des machines à flux continu, de n’isoler que la partie
concernée de l’installation, par exemple l’évaporateur, pour les déterminer.
- Reste le second membre. Les variations d’énergie potentielle et cinétique sont en
général faibles. Si tel n’est pas le cas, pour l’énergie cinétique en l’occurrence, on peut
estimer facilement les vitesses d’entrée et de sortie par la connaissance des débits et des
sections.
Pour les enthalpies, la connaissance de la nature du fluide, de sa température et de sa
pression nous permet de les chiffrer soit :
- dans le cas d’un liquide (en négligeant v0 ∆p ) : h − h0 = C (T − T0 )
- dans le cas d’un gaz idéal h − h0 = Cp (T − T0 )
- dans les autres cas par les tables ou les diagrammes.
Dans le cas où il y a variation de la composition chimique dans la machine,
l’estimation des enthalpies peut être moins simple. Pour nous énergéticien, il s’agit de
combustions et nous avons vu dans le cours de combustion 1ère partie et au paragraphe I-1 que
l’on pouvait remplacer cette combustion par un apport de chaleur extérieur de puissance
PC=PCM-PI, ce qui simplifie les calculs.
Si les estimations et les déterminations précédentes conduisent à l’égalité des deux
membres du premier principe (moyennant une erreur estimée) le bilan est alors bouclé. On
dresse alors un tableau de présentation des résultats qui peut prendre diverses formes :
b) acquisition des mesures
Démarrer l’installation et attendre que les différents paramètres (températures, débits
pressions…) n’évoluent plus. On peut choisir pour cela un paramètre test dont on relève
l’évolution fréquemment.
Les installations thermiques sont en général très longues à stabiliser. On peut dans
certains cas anticiper sur l’évolution afin d’obtenir plus rapidement le régime établi (par
exemple couper le refroidissement pendant la mise en température, diminuer la puissance
demandée à une chaudière …)
Lorsque le régime stationnaire semble atteint, ne plus toucher aux paramètres de
réglage, éviter toute perturbation autour de la machine. Attendre encore un laps de temps
Christian Guilié Janvier 2014
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comparable à celui qui a nécessité l’obtention du régime stationnaire τ en contrôlant
l’évolution puis effectuer chaque série de mesures rapidement.
On acquiérera au minimum trois séries de mesures à des intervalles de temps de
l’ordre de τ. On vérifiera qu’il n’y a pas d’évolution notable entre les séries et l’on effectuera
la moyenne des mesures afin de dresser le bilan avec ces moyennes.
c) méthode pour dresser le bilan.
1- Faire un schéma clair et suffisamment détaillé de l’installation
2- Isoler le système, c'est-à-dire remplacer sur le schéma les éléments extérieurs par
les actions mécaniques, les échanges de chaleur. Attention au signe. Faire de même pour les
échanges de matière.
3- Ecrire le premier principe (et le principe de conservation de la masse si
nécessaire).
4- Calculer ou estimer chaque terme.
5- Vérifier l’égalité et commenter. Le commentaire porte sur la justification des
hypothèses et la précision des mesures (un calcul d’erreur s’impose souvent).
6- Dresser le bilan sous forme d’un tableau.
II-2 Machines sans réaction chimique
Par exemple, on veut dresser le bilan d’un échangeur de chaleur eau-eau. Isolons le
système :
Les valeurs relevées sur l’échangeur en fonctionnement sont les suivantes :
Te=40,2°C, Ts=30,2°C, qmc=500/h, te=14,5°C, ts=24,6°C, qmf=500l/h
Les seules actions de l’extérieur sont dues au contact de l’air ambiant et de
l’échangeur. Il n’y a pas d’échange autre que cet échange de chaleur. Ecrivons le premier
principe en système ouvert :
(1) Φ = qmc (hcs − hce ) + qm f (h fs − h fe )
L’enthalpie d’un fluide incompressible s’écrit :
h − h0 = C (T − T0 )
C est chaleur spécifique de l’eau=4180J/kgK
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Estimons les pertes thermiques directes. On peut estimer la température des parois
extérieures de l’échangeur, le fluide froid est en contact avec ces parois et sa température
moyenne est de 19,5°C. La température ambiante était de 17°C durant l’essai.
La surface extérieure de l’échangeur est de 0,4m2 et l’on admet un coefficient
d’échange de 11W/m2°C (voir §II-4a). Donc les pertes thermiques directes sont estimées à :
Φ = 11.0,4.(−2,5) = −11W
En effet la température de l’échangeur est supérieure à la température ambiante le flux
est bien négatif.
Calculons le second membre, le flux perdu par le circuit chaud est de :
Φ c = qmc (hcs − hce ) = −5805W
Celui reçu par le circuit froid est de :
Φ f = qm f (h fs − h fe ) = +5863W
On voit que l’égalité (1) n’est pas vérifiée − 11 ≠ 5863 − 5805 il y a une erreur de
69W. Voyons si l’on peut expliquer cela par l’instrumentation.
Pour cela estimons l’erreur sur les températures à 0,1°C (thermistances en platine). Les
débitmètres indiquent 1000l/h pleine échelle et sont de classe 1 (voir §II-4b). L’erreur sur les
débit est donc de 10l/h. Donc l’incertitude sur chaque flux Φc et Φf, en négligeant l’incertitude
0,2 10
sur capacité calorifique de l’eau C , est de
+
= 4% .(voir équation (1) §II-4b)
10 500
Conclusion :
L’erreur de 69W c'est-à-dire de 1,2% sur Φc ou Φf du bilan est justifiée en regard des
4% c'est-à-dire 230W, estimés par le calcul d’erreur. On peut aussi négliger les pertes
thermiques estimées à 11W inférieures à l’erreur instrumentale.
II-3 Machines à combustion interne
Les résultats suivants ont été démontrés dans le cours de combustion 1ère partie (§ III-1
2°).
Nous remplaçons le système
réel par un système équivalent en
substituant au carburant la chaleur
de combustion qu’il dégage dans le
moteur Pc. Nous pouvons ainsi
écrire le premier principe comme
pour un système sans réaction
chimique c'est-à-dire en calculant
les enthalpies sans préoccuper des
enthalpies de références des
différents composés (enthalpies de
formation). Ainsi si l’on fait
l’hypothèse que les produits de
combustion ont un comportement
idéal, h' e − h' ac = Cp e (Te − Ta ) , Cpe
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étant la chaleur spécifique des produits de combustion.
Le premier principe s’écrit : Pc + Peff + Φ = qm(h' e − h' ac )
Le terme qm(h'e − h'ac ) représente les pertes thermiques aux fumées par chaleur
sensible. Comme nous l’avons vu au début de ce cours : PC = PCM − PI . PI représente les
pertes par imbrulés. Au paragraphe suivant nous rappelons comment déterminer ces pertes.
L’ordre de grandeur de PI est de 4% sur PCM par % de CO.
Pour des questions de pollution, nous nous apercevons que dans nos machines PI est
négligeable. En effet, les normes imposent dans les faits des teneurs en CO inférieures à 0,2%
(par exemple 2g/km pour les véhicule légers à essence) et bien moins pour les chaudières. Les
négliger conduit à une erreur maximum de 0,8% faible par rapport aux erreurs instrumentales.
Après avoir calculé chacun des termes (§II-4) nous pouvons représenter le bilan de
cette machine sous forme d’un organigramme. Par exemple pour un moteur alternatif:
Puissance calorifique maximum
PCM=
kW
100%
Puissance combustion
Pertes par imbrulés
Pc=
ηc=
PI=
kW
%
kW
Puissance calorifique utile
Pcu=
kW
Puissance indiquée
Pi=
ηi=
Pertes thermodynamiques
Ptho=
kW
%
Pertes thermiques paroi
Φ p=
kW
kW
Pertes mécaniques
Pméc=
ηméc=
Puissance effective
Peff=
ηeff=
kW
%
Pertes thermiques échap.
kW
%
PSF=
Pertes thermiques directes
Pthe=
εthe=
kW
%
kW
Pertes totales à l’échap.
Ptech=
εtech=
Christian Guilié Janvier 2014
kW
%
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Ce schéma résume le plus clairement possible la décomposition des puissances à
l’intérieur du moteur tel qu’on l’a décrit dans ce cours :
En haut l’énergie potentielle du carburant PCM est transformée au cours de la
combustion partiellement en chaleur (puissance de combustion) et en pertes par imbrulés. Les
pertes par imbrulés seront évacuées à l’échappement alors que la puissance de combustion est
en partie perdue par les parois (évacuée par les ailettes du moteurs ou l’eau de
refroidissement) et en partie transformée au cours du cycle en force sur le piston (puissance
indiquée) et en pertes thermodynamiques qui seront évacuées sous forme de chaleur sensible
à l’échappement. Ce qu’a reçu le piston (puissance indiquée) est en partie perdu dans le
système transformateur de mouvement (pertes per frottement) et en partie transmis à l’arbre
(puissance effective).
La dernière ligne de l’organigramme explicite le bilan global tel qu’on l’a écrit à la
page précédente en considérant le système comme une boite noire sans se préoccuper des
transformations internes de l’énergie.
Les moyens d’obtenir certaines puissances comme par exemple les pertes mécaniques
ou les pertes thermiques aux parois sont en générales multiples (littérature (§II-4), bouclage
du bilan) ce qui nous permet de vérifier l’exactitude de nos calculs.
II-4 Estimation des pertes et de l’incertitude sur le bilan.
a) Pertes thermiques directes
Nous l’avons vu plus haut : l’échange parasite entre la machine et son environnement
s’appelle « pertes thermique directes ». Pour l’estimer lorsque l’on connaît la température du
capotage extérieur de la machine, on fait l’hypothèse que cet échange s’opère par convection
et par rayonnement avec l’extérieur. On peut utiliser cette méthode pour les échangeurs, les
chaudières et les machines à flux continu mais pas pour les moteurs alternatifs dont les
déperditions sont beaucoup plus importantes et ont une nécessité vitale dans le
fonctionnement (éviter le grippage).
En convection naturelle si les différences de température ne sont pas trop importantes
on peut utiliser les relations suivantes pour les surfaces verticales, les surfaces inclinées et les
surfaces horizontales dont la face chaude est tournée vers le haut. Pour les surfaces
horizontales dont la face chaude est tournée vers le bas, on prendra la moitié des coefficients
ci-dessous :
- en régime laminaire Ra < 3.10 9 => Nu = 0,555( Ra ) 0, 25
- en régime turbulent Ra > 3.10 9 => Nu = 0,021( Ra ) 0, 40
µCp
g.β .θ 0 L3
hL
k
k
ν
h coefficient de convection naturelle, k conductivité thermique (kair =0,025W/mK)
L dimension caractéristique de la surface d’échange
µ Viscosité dynamique et ν la viscosité cinématique (νair=14.10-6m2/s)
Cp chaleur spécifique à pression constante (Cpair=1kJ/kgK)
g accélération de la pesanteur
1  ∂ρ 
1
β Coefficient de dilatation à pression constante = −  
=
pour les gaz
ρ  ∂T  p =cte T
parfaits.
θ0 différence de température entre l’air et la paroi : θ 0 = T∞ − T p
Avec Ra = Gr. Pr , Pr =
( Pr air = 0,75 ), Gr =
2
, Nu =
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15
En prenant une dimension caractéristique de 0,5m, 80°C de température de la paroi
extérieure et 20°C de température ambiante, on trouve Gr = 1,16.10 9 donc on utilise la
première corrélation (régime laminaire) et on obtient Nu = 95
D’où le coefficient de convection naturelle:
hCN = 4,75W/m 2 K
On peut démonter facilement que ce coefficient est peu variable autour des conditions
définies ci-dessus.
En rayonnement, la paroi échange à distance avec les surfaces des solides l’entourant
dont on va supposer la température égale à la température ambiante. On utilise la loi de
Stephan :
ϕ = εσ (Ta4 − T p4 )
Que l’on peut écrire ϕ sous la forme :
  (T p − Ta )  4 
ϕ = εσT 1 − 1 +
  (1)
Ta
 
 
(Ta − T p )
Pour faire apparaître le terme
qui est, dans notre cas, petit devant 1. On
Ta
4
a
4
 (T p − Ta ) 
pourra ainsi linéariser en développant au premier ordre la fonction puissance 1 +
 .
Ta


On rappelle que (1 + α ) a = 1 + aα + 0(α 2 ) où 0(α 2 ) est un terme petit du second ordre.
Au premier ordre l’équation (1) devient :



ϕ = εσTa4 1 − 1 + 4

(T p − Ta )  
(Ta − T p )
4
= 4εσTa3 (Ta − T p ) = hR (Ta − T p )
  = 4εσTa
Ta
Ta
 
Le coefficient d’échange par rayonnement est donc :
hR = 4εσTa3
ε est voisin de 1 en infrarouge et σ=5,7.10-8W/m2K4 donc finalement :
hR = 6 W/m 2 K
Le coefficient d’échange global est donc de l’ordre de :
h = hCN + hR = 11W/m 2 K
Pour estimer les pertes thermiques directes, ou au moins avoir un ordre de grandeur,
on peut utiliser ce coefficient d’échange. La précision de ce calcul est en général suffisante
car ces pertes sont faibles. Pour cela on estime la surface du capotage de la machine ainsi que
sa température moyenne.
Christian Guilié Janvier 2014
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b) Incertitude
Rappelons les deux règles simples du calcul d’incertitude :
- L’erreur absolue sur une somme ou une différence est la somme des erreurs absolues
de chacun des termes de la somme ou de la différence.
- L’erreur relative sur un produit ou un rapport est la somme des erreurs relatives de
chacun des termes du produit ou du rapport.
1°) Le bilan thermique se présente sous la forme :
PCM − PU − pertes = 0
Donc l’erreur ε sur le bilan s’exprime ainsi :
ε = ∆PCM + ∆PU + ∆pertes = 0
∆P est l’erreur absolue sur chacune des puissances.
2°) Calculons l’erreur absolue sur le PCM qui se présente sous forme d’un produit :
PCM = qmc.Ip , donc :
∆PCM ∆qmc ∆Ip
=
+
= A% .
PCM
qmc
Ip
∆qmc
∆Ip
est connu par le manuel du constructeur du débitmètre et
est
qmc
Ip
l’indétermination sur le pouvoir calorifique qui est donnée par les normes ou par le
fournisseur du carburant. Finalement, on peut donc calculer l’erreur absolue sur le PCM par :
∆PCM =
A
PCM
100
3°) Les pertes thermiques ou les puissances utiles sont souvent sous la forme :
P = qm.C.(T2 − T1 )
En appliquant les deux règles du calcul d’incertitude énoncées ci-dessus:
(1)
∆P ∆qm ∆C ∆T2 + ∆T1
=
+
+
P
qm
C
T2 − T1
c) Estimation de l’incertitude sur les grandeurs mesurées :
Pour la grandeur G mesurée, l’erreur absolue ∆G sur cette grandeur peut être estimée
de la façon suivante:
Christian Guilié Janvier 2014
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- Consulter la notice du constructeur de l’appareil qui indique obligatoirement la
précision de son appareil (si le constructeur est honnête).
- Regarder sur l’appareil, sa classe qui est le pourcentage de l’erreur pleine échelle. Par
exemple : pour un débitmètre de 1000l/h pleine échelle, de classe 1 quelque soit la mesure
effectuée avec ce débitmètre l’incertitude absolue de cette mesure est de 10l/h. A 200l/h
10
l’erreur relative est de
= 5%
200
- Sur les appareils à lecture directe, on peut estimer l’erreur absolue par addition de
l’erreur de parallaxe et du pouvoir diviseur de l’œil.
- Si les mesures varient de manière aléatoire comme c’est souvent le cas sur nos
machines à causes de problèmes de perturbation extérieures et d’instabilité, on doit tenir
compte de l’écart type que l’on prend comme ordre de grandeur de l’erreur statistique.
d) Rappel du cours de combustion : pertes aux fumées
Pertes thermiques aux fumées par chaleur sensible :
La figure ci-dessous représente Cp pour les produits de combustion d’un
hydrocarbure lourd (peu différent pour l’essence, le gazoil et fuel lourd) en fonction de la
température et du facteur d’air.
Cp produits comb. hydrocarbure lourd+air
1500
1,5
λ=1
1400
1,4
λ=1,2
λ=1,5
λ=2
λ=3
Cp(kJ/kg°K)
1300
1,3
λ=6
air pur
1200
1,2
1,1
1100
1000
1
0
5
500
1000
10
1500
15
2000
20
T(°K)
Vous pouvez aussi télécharger les γ et Cp pour d’autres combustibles hydrocarbures
(hydrogène, méthane, butane, hydrocarbure lourd et charbon) sur le site de l’IUT.
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18
On peut remarquer que sur un large domaine Cp est linéaire. On montre que, dans ce
cas, le Cp moyen est égal au Cp à la température moyenne : Cp = Cp (T ) . Alors si
Cp F ≈ Cp R (première partie du cours III-1-2°), on peut calculer les pertes par chaleur
sensible par la formule ci-dessous :
Pth ≈ q m F Cp F (TF − TR )
Un autre moyen d’obtenir ces pertes est la formule très utilisée de Siegert. Elle donne
une précision de l’ordre de 5% dans les plages correctes de CO2 et de T. Elle calcule le
pourcentage des pertes thermiques par chaleur sensibles rapportées au PCI sous la forme
suivante:
% Pth =
Ks=
Ks
(TF − TR )
100.γ CO 2
0,47 pour le Gaz naturel,
0,6 pour les hydrocarbures moyens,
0,62 pour le fuel lourd et
0,71 pour le charbon.
% Pth
PCM avec PCM = qmcPCI
100
Les analyseurs électrochimiques sont aujourd’hui équipés de calculateurs qui donnent
au technicien une valeur directe de ces pertes calculées à partir de la mesure du CO2 et de la
connaissance du combustible (voir TPTh).
Pth =
Pertes par chaleur latente
Dans la plupart des cas, l’eau reste sous forme vapeur dans les fumées et l’on n’a pas à
tenir compte de sa chaleur latente. Le seul cas où l’on doit en tenir compte pour le bilan, c’est
dans le cas des chaudières au gaz naturel à condensation. On calcule le débit d’eau
condensable au maximum qmH2O à partir du calcul de l’hydrogène total VH2O
qm H 2O = qmc.V H 2O .ρ ( H 2O ) 0
Où qmc est le débit du carburant en Nm3 si c’est un gaz ou en kg s’il s’agit d’un solide
ou d’un liquide. ρ(H2O)0 est la masse volumique de la vapeur d’eau dans les conditions
normales :
18
ρ ( H 2O ) 0 =
= 0,8036kg / Nm 3
22,4
Les pertes par chaleur latentes peuvent donc s’écrire :
PLV = (qm H 2O − qmcond ) Lv H 2O
Où qmcond est le dédit d’eau condensée et LvH2O=2500kJ/kg
Christian Guilié Janvier 2014
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Calculée comme ci-dessus ces pertes ne rentrent que dans le bilan sur PCS. Pour un
bilan sur PCI et en cas de condensation des fumées, la grandeur qmcond LvH2O doit être
considérée comme un gain sur PCM.
Pertes par imbrulés
Les pertes par imbrulés sont beaucoup plus simples à calculer avec la notion de
volume des fumées sèches V’FS :
PI = V ' FS qmc∑ γ I Ip I
qmc est ici le débit du carburant en Nm3/s si le combustible est un gaz ou en kg/s s’il
s’agit d’un solide ou d’un liquide.
On peut mesurer les teneurs γI des fumées en imbrulés grâce aux analyseurs de fumées
En pratique on ne mesure pas tous les imbrulés (pas l’hydrogène et très mal les CxHy) mais
seulement le CO dans le meilleur des cas. On doit alors dans la plupart des cas déterminer les
autres (en particulier l’hydrogène) en nous servant des diagrammes d’équilibre (à télécharger
sur le site de l’IUT) ou par le calcul approximatif suivant (voir première partie du cours de
combustion) :
Pour les moteurs (équilibre supposé à 1850°C) : γCO /γH2 =8x/y
Pour les fours ou chaudières (1450°C) : γCO /γH2 =5x/y
II-5 Précisions sur le bilan
1°) Corrections de débitmétrie
Que l'on utilise un rotamètre ou un compteur volumétrique les variations de masse
volumique du gaz avec sa composition et les conditions de pression et de température
induisent des erreurs importantes sur les débits lus. On doit donc effectuer dans tous les cas
une correction de masse volumique.
a) comptage
Le compteur gaz est un compteur volumique. Il nous donne donc avec précision le volume V
gaz de gaz qui l'a traversé. Pour transformer cette quantité en masse, il suffit de multiplier le
volume lu par la masse volumique du gaz au niveau du compteur. Pour cela, il est nécessaire
de connaitre le gaz, c'est à dire sa densité d par rapport à l'air (qui est indépendante des
conditions de pression et de température si l'on fait une hypothèse de gaz parfait), la pression
absolue p et la température absolue T du gaz au niveau du compteur.
La pression absolue est obtenue en ajoutant la pression différentielle du gaz et la pression
atmosphérique lue sur le baromètre.
La masse volumique dans les conditions normales est ρ gaz = d .1,293 kg/m 3, la masse
volumique du gaz au niveau du compteur est donc:
d .1,293. p.T0
ρ gaz =
= 0,711 kg/m 3 avec p0=1atm et T0 =0°C
p0 .T
Exemple:
Christian Guilié Janvier 2014
20
On a calculé un débit de 2,154m3/h qui a traversé le compteur. La température était de 15°C,
la pression différentielle de 19mbars, la pression atmosphérique de 720,5mmHg et la densité
du gaz de 0,6. La pression absolue est donc de 720,5+19.760/1013=734,75mmHg. On en
déduit la masse volumique du gaz:
ρ gaz =
0,6.1,293.734,75.273,15
= 0,711 kg/m3
760.288
Le débit massique est égal à:
qm gaz = 0,711.2,154 = 1,532 kg/h
b) Correction de masse volumique pour rotamètres, diaphragmes, venturis…
L'indication fournie par ces instruments dépend de la masse volumique du fluide et de
sa viscosité. Si le nombre de Reynolds est suffisamment important pour qu'on puisse négliger
l'influence de la viscosité (cas général des gaz…), pour tous les débitmètres utilisant les effets
dynamiques des écoulements (rotamètres, diaphragmes, venturis…), la correction de masse
volumique s'effectue ainsi (Bernoulli voir TP climatisation, tour de refroidissement,
moteur…) si ρ est la masse volumique du fluide qans les conditions d’essai et ρ0 dans les
conditions de l’étalonnage :
qmcorrigé =
ρ
qmlu ou qvcorrigé =
ρ0
ρ0
qvlu
ρ
2°) Précisions pour le bilan des moteurs alternatifs (TOTEM et Robin)
Je donne ci-dessous les formules que l’on trouve dans la littérature pour calculer les
pertes thermiques et les pertes par frottement dans les moteurs alternatifs.
a) Pertes thermiques aux parois:
Le calcul des pertes thermiques se fait comme suit :
Φ p = Ah(T − T p ) + Aεσ (T 4 − T p4 )
T : température des gaz dans la chambre en °K
Tp : température moyenne des parois en °K (chambre, piston cylindre)
σ : constante de Stéphan =5,67 10 -8 W/m2 °K4
A : surface de contact gaz paroi en m²
h : coefficient de transfert convectif en W/m2 OK
Nusselt donne:
h = 1,05(1 + 1,24C piston )( p 2 .T )1 / 3
2.cN
est la vitesse moyenne du piston (c = course en m, N vitesse de
60
rotation en tr/min) et p la pression en bar.
En supposant que la majorité des pertes a lieu pendant le demi tour correspondant à la
combustion et à la détente, c'est à dire pendant le ¼ cycle, calculez les pertes thermiques en
prenant pour A deux fois la surface de la calotte du piston (πd2/4), Tp ~ 300°C, T ~ 1700 °C,
p=25bars, ε=0,075 pour les moteurs à allumage commandé. Pour le moteur Robin
Où C piston =
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21
p=35bars, ε=0,57 (pour les moteurs diesel, la flamme de diffusion est particulièrement
rayonnante)
b) Pertes par frottement :
Pour calculer les pertes par frottement pour les moteurs atmosphériques, on utilise la
formule empirique suivante :
pmf =
ρ −4
14,5
2
+ 0,475.10 −3 N + 3,95.10 −3 C piston
pmf est la pression moyenne effective des forces de frottement en bar, ρ le taux de
compression, N la vitesse de rotation en tr/mn, Cpiston la vitesse moyenne du piston comme
calculé plus haut.
Les pertes mécaniques en sont déduites par (voir poly bilan) :
Pmec = pmf .Nc.Vcn
Pour cette dernière formule, attention de tout mettre en unité SI (W,Pa,cycles/s,m3)
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