Spherical Circle-Packing in Nature, Practice and Theory

Spherical Circle-Packing in Nature,
Practice and Theory
T. Tarnai
R&urn6
Topologie structurale #9, 1984
Abstract
Structural Topology #9, 1984
La juxtaposition de cercles sur la sph6re dans la nature, pratique
et thkorie
Comment doit-on juxtaposer sur une sphere n cercles Cgaux (calottes spheriques) ne
se recouvrant pas, de man&e a ce que le diametre angulaire des cercles soit aussi
grand que possible? Dans cet article, nous presentons un bref resume des resultats
de notre recherche reliee a ce probleme. Au tours de cette recherche, nous avons
construit des juxtapositions ameliorees grace a la mecanique des structures (en
effectuant des deplacements de graphes); nous avons aussi fait de nouveaux arrangements presentant des symetries de revolution tetraedriques, octatdriques et
icosatdriques en nous basant sur la morphologie des virus. Nous y presentons
Cgalement une vue d’ensemble illustree des circonstances ou l’on retrouve des
juxtapositions de cercles sur la sphere (distributions de points) dans la nature et
dans la pratique.
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How must n equal nonoverlapping circles (spherical caps) be packed on a sphere so
that the angular diameter of the circles will be as great as possible? In the paper a
short account is presented on the results of our research, executed in connection
with this problem, in which improved arrangements have been constructed by
means of structural mechanics (by moving the graph) and new packings of
tetrahedral, octahedral and icosahedral rotational symmetries have been given by
consulting with virus morphology. An illustrated survey is also presented on the
occurrence of spherical circle-packings (point-distributions)
in nature and practice.
Introduction
Introduction
On peut observer dans la nature que plusieurs micro-objets presentent des formes sphb
riques ou l’on retrouve des points, des particules ou des trous distribues sur la surface de la
sphere. Dans certains cas, on peut formuler mathematiquement la regle de distribution.
Un tel cas nous a amen6 au probleme de Tammes: disposer n points sur la sphere afin de
maximiser la distance minimum entre deux.points quelconques. fividemment, ce probleme est le meme que le probleme de la juxtaposition de cercles la plus dense possible sur
la sphere: determiner le plus grand diametre angulaire de n cercles Cgaux (calottes
spheriques) pouvant &re entasses sur la surface de la sphere sans se chevaucher.
It has been observed in nature that many micro-objects have spherical shape such that
points, particles or holes are distributed on the surface of the sphere. In some cases the
rule of the distribution can be mathematically formulated. Such a case has led to the
Tammes problem: to arrange n points on the unit sphere so as to maximize the minimum
distance between any two of the points. Of course this problem is the same as the problem
of the densest spherical circle-packing: to determine the largest angular diameter of n
equal circles (spherical caps) which can be packed on the surface of a sphere without
overlapping.
On connait des solutions au probleme uniquement dans le cas ou n = 3 a 12 et 24, mais
pour plusieurs valeurs de n, on doit se contenter de conjectures (n = 13 a 23,25 a 60,80,
110, 119, 120, 122). On peut trouver un compte rendu detaille du probleme de Tammes,
par exemple dans [Fejes Toth 1964, 19721 et des resultats recents dans [Melnyk 19771.
Solutions of the problem are known only for n = 3 to 12 and 24 but for many values of n
there are only conjectures (n = 13 to 23,25 to 60,80,110,119, 120, 122). A comprehensive
survey on the Tammes problem can be found, e.g., in [Fejes T&h 1964, 19721 and on
recent results in [Melnyk 19771.
Dans les recherches, deux termes sont importants: la densite et le graphe d’une juxtaposition de cercles. La densit de la juxtaposition est definie comme le rapport de l’aire totale
de la surface des calottes spheriques a l’aire de surface de la sphere. Le graphe est defini de
telle sorte que les sommets du graphe soient les centres des cercles spheriques et que les
aretes du graphe soient les arcs les plus courts de grands cercles reliant les centres des
cercles spheriques contigus. Par consequent, toutes les aretes du graphe d’une juxtaposition de cercles Cgaux sont d’egale longueur. Par exemple, on peut voir la juxtaposition la
plus dense de 24 cercles egaux et son graphe ZI la Figure 1.
In the investigations, two terms are important: the density and the graph of a circlepacking. The density of packing is defined as the ratio of the total area of the surface of the
spherical caps and the surface area of the sphere. The graph is defined so that the vertices
of the graph are the centres of the spherical circles and the edges of the graph are the
shorter arcs of great circles joining the centres of the touching spherical circles. Thus, all
the edges of the graph of a packing of equal circles are of equal length. For example, the
densest packing of 24 equal circles and its graph may be seen in Figure 1.
Dans cette revue [Tarnai 19801, nous avions promis de faire un rapport sur le probleme de
la juxtaposition de cercles la plus dense sur la sphere et sur la facon dont ce probleme s’est
present6 lors de l’erection d’une statue metallique en Hongrie. Toutefois, nous avons
dirige entretemps une recherche dans ce domaine [Tarnai 1983a, 1983b, 1983c, 19834,
1983e, 1983f1 et nous avons compris qu’un monde merveilleux se cachait derriere ce
probleme. Nous communiquerons Cgalement ici des decouvertes additionnelles que nous
avons faites a cette occasion. Le but de cet article est de rendre compte de la presence de
juxtapositions de cercles sur la sphere dans la nature et dans la pratique, de donner un bref
compte rendu des resultats de notre recherche et d’attirer l’attention sur la relation entre le
probleme de Tammes et la rigidite des graphes.
In this journal [Tarnai 19801, we made a promise that we would report on the problem of
the densest spherical circle-packing and how it had arisen in a metal statue set up in
Hungary. However, we have meanwhile conducted a research into this field [Tarnai
1983a, 1983b, 1983c, 19834, 1983e, 1983f’J and found a wonderful world behind this
problem, so we can also report on some additional things. The aim of this paper is to make
a brief survey of presences of the spherical circle-packings in nature and practice, to give a
short account of the results of our research and to call attention to the relation between the
Tammes problem and the rigidity of graphs.
Observations dans la nature
Observations in nature
Le botaniste hollandais Tammes, qui le premier souleva le probleme portant son nom, a
decouvert que les pores de certains grains de pollen spheriques ont tendance a se disperser
le plus possible les uns des autres, de sorte que les pores se distribuent de facon plus ou
moins uniforme [Tammes 19301. On peut apercevoir de tels grains de pollen a l’aide de
micrographes provenant de microscopes electroniques [Riollet 19761(Figures 2,3,4,5 et 6).
The Dutch botanist Tammes, who raised the problem bearing his name, discovered that
the pores on certain spherical pollen grains endeavour to be dispersed as far as possible
from one another, and so the pores are distributed more or less uniformly [Tammes 19301.
Such pollen grains are shown by scanning electron micrographs in [Riollet 19761(Figures
2, 3, 4, 5 and 6).
Une tendance similaire, c’est-a-dire un arrangement approximativement
uniforme de
cercles quasi Cgaux sur la sphere, semble predominer dans certaines especes de radiolaires
[Kling 19781, comme on peut le voir aux Figures 7,8 et 9. La distribution des ouvertures
sur la coquille spherique du foraminif&re Globigerinoi’des sacculifera (Figures 10 et 11) et
l’arrangement des spicules sur l’iponge Aurora rowi (Figures 12,13,14 et 15) presentent
des caracteristiques qui s’apparentent [Kirkpatrick 19751. On peut decouvrir des proprietes similaires dans les motifs form& par le sterigmata dans le conidiophore de la moisissure
Aspergillus (Figure 16) [Fujita 19711, les petites excroissances des plaquettes sanguines
(Figure 17), les cellules de I’algue verte Volvox dans leur agregation (Figure 18) et ailleurs
(par exemple, dans les yeux composes des insectes, quoique leur forme ne soit pas
exactement spherique).
A similar tendency, that is, approximately uniform arrangement of nearly equal circles on
the sphere seems to predominate at some species of radiolarians [Kling 19781,as it may be
seen in Figures 7, 8 and 9. Distribution of the openings on the spherical shell of the
foraminifer Globigerinoides sacculifera (Figures 10 and 11) and arrangement of the
spicules of the sponge Aurora rowi (Figures 12,13,14 and 15) also show a related character
[Kirkpatrick
19751. Similar properties can be discovered in the patterns formed by the
sterigmata in the conidiophore of the mould fungus Aspergillus (Figure 16) [Fujita 19711,
the small outgrowths on blood platelets (Figure 17), the cells of the green algae Volvox in
their aggregation (Figure 18) and elsewhere (e.g., at compound eyes of insects, but their
shape is not exactly spherical).
On peut observer une disposition analogue des unites structurales dans les virus icosaedriques (Figures 19 et 20). Bien que Goldberg ait demontre que la disposition des unites
structurales sur la surface des virus icosaedriques ne constitue pas la solution au probleme
de Tammes [Goldberg 19671,dans certains cas la forme des enveloppes des virus peut etre
d&rite mathematiquement comme une solution a une generalisation du probleme de
An analogous arrangement of the structural units can be observed at icosahedral viruses
(Figures 19 and 20). Although Goldberg has shown that the arrangement of the structural
units on the surface of icosahedral viruses does not constitute the solution of the Tammes
problem [Goldberg 19671, in certain cases the shape of virus coats could be mathematically described as solution of a generalization of the Tammes problem [Molnar 19751, in
40
41
Tammes [Molnar 19751, dans laquelle chacun des cercles egaux a un ((espace propre),,
c’est-a-dire un cercle tangent d’un rayon donne. La morphologie des virus icosaedriques,
toutefois, est en relation etroite avec un autre domaine: la geometric des dames geodesiques [Coxeter 19721.
which each one of the equal circles has <<space-claim)), that is, a tangent circle of a given
radius. Morphology of icosahedral viruses, however, is in closer relationship with another
field: geometry of geodesic domes [Coxeter 19721.
La juxtaposition de cercles sur la sph6re dans la pratique
Spherical circle-packings in practice
En pratique, probablement pour parvenir a une plus grande simplicite, les gens ont essay6
d’obtenir une juxtaposition relativement dense de cercles Cgaux sur la sphere principalement en disposant les centres des cercles sur de petits cercles de la sphere, reposant sur des
plans paralleles, comme dans la balle de golf 5 la Figure 21 ou dans le satellite geodynamique de Laser A la Figure 22 [Laser 19761. Dans plusieurs cas, pour que la juxtaposition soit
plus simple, on abandonne l’egalite des cercles comme pour la boule imprimante du
dactylographe IBM (Figure 23) et la camera de cinema Polyvision (Figure 24). Toutefois,
nous pouvons Cgalement trouver des exemples pour des juxtapositions multi-symetriques
de cercles Cgaux sur la sphere. Par exemple, la balle de golf i la Figure 21 presente
Cgalement une symetrie octaedrique et la sphere etoilee du premier planetarium avec
projecteur install6 a Munich en 1924 (Figure 25) possede une symetrie icosaedrique.
In practice, presumably striving for simplicity people tried to obtain relatively dense
packing of equal circles on the sphere mainly so that the centres of the circles were fitted to
small circles of the sphere, lying in parallel planes, as in the golf ball in Figure 21 or Laser’s
geodynamic satellite in Figure 22 [Laser 19761. In many cases, in order that the packing be
more simple, equality of the circles is given up as for the printing ball of the IBM typewriter
(Figure 23) and the camera of Polyvision moving pictures (Figure 24). However, we can
also find examples for multi-symmetric packings of equal circles on the sphere. For
instance, the golf ball in Figure 21 also shows an octahedral symmetry and the star sphere
of the first projector planetarium set up in Munich in 1924 (Figure 25) has icosahedral
symmetry.
On peut egalement retrouver ces types de dispositions de cercles ou de points en architecture. La distribution de points le long des petits cercles de la sphere prevaut et elle a ete
mise en application depuis des siecles. On retrouve ce motif, par exemple, dans les
lucarnes des domes spheriques des bains turcs de Budapest, construits au seizieme siecle
(Figures 26, 27 et 28). Dans ces dispositions, toutefois, le diametre des cercles dessines
autour des points et ne se chevauchant pas, decroit lorsqu’on se deplace selon un meridien
vers le faite de la sphere. 11est possible de construire un tel systeme de telle sorte que
chaque cercle interne touche a six autres cercles. Comme l’a fait remarquer Spunt, Frank
Lloyd Wright a utilise ce type de motif pour le dame du Johnsons Wax Building
[Spunt 19761.
These types of arrangements of circles or points can also be found in architecture.
Distribution of points along the small circles of the sphere prevails and it has been applied
for hundreds of years. Such a pattern is formed, e.g., by the skyligths openings on the
spherical domes of the Turkish baths in Budapest built in the 16th century (Figures 26,27
and 28). In these arrangements, however, the diameter of the circles drawn around the
points without overlapping decreases in meridian direction towards the zenith of the
sphere. Such a system can be constructed so that each internal circle touches six others. As
it was noted by Spunt, Frank Lloyd Wright applied this type of pattern in a dome for the
Johnsons Wax Building [Spunt 19761.
Recemment, a tote des arrangements bipolaires dont nous avons trait6 ci-haut, on a
egalement utilise des arrangements multipolaires ou multi-symetriques.
Par exemple, le
systeme des cercles egaux des domes en oeil-de-mouche des Figures 29 et 30, elabores par
R.B. Fuller, possede un caractere multipolaire (icosaedrique). On devrait remarquer
qu’en abandonnant les plans de symetrie des arrangements aux Figures 29 et 30, on peut
augmenter la distance minimum entre les centres des cercles.
Recently, beside the bipolar arrangements treated above, multipolar or multi-symmetric
ones are also employed. For example, the system of equal circles on the Fly Eye domes in
Figures 29 and 30, developed by R.B. Fuller, have a multipolar (icosahedral) character. It
should be noted that by giving up the planes of symmetry of the arrangements in Figures
29 and 30, the minimum distance between the centres of the circles can be increased.
Par ses structures a dome modulaire (Figures 31 et 32), Spunt a realise une juxtaposition de
cercles egaux sur une partie de la sphere, dans laquelle chaque cercle interne touche a
quatre autres cercles [Spunt 19761. 11a ainsi obtenu un motif similaire a celui forme par les
fossettes sur la balle de golf dans les environs du sommet de l’octaedre spherique. Spunt a
developpe ses structures et il a entasse les panneaux a calottes spheriques sur deux
couches. Ces deux couches de cercles egaux avec des elements de jonction egaux produisirent un systeme recouvrant une partie de la sphere (Figure 33).
By his modular dome structures (Figures 31 and 32), Spunt has realized a packing of equal
circles on a part of the sphere, in which each internal circle touches four other [Spunt 19761.
So he has obtained a pattern similar to that formed by the dimples on the golf ball in the
neighbourhood of the vertex of the spherical octahedron. Spuntdeveloped his structures
and packed the spherical cap panels in two layers. These two layers of equal circles with
the equal connecting elements resulted in a covering system on a part of the sphere
(Figure 33).
11existe Cgalement dans les beaux-arts des exemples de juxtaposition de cercles sur la
sphere. Hieronymus Bosch, peintre hollandais enigmatique du debut du seizieme siecle,
nous en fournit un exemple. Dans la partie gauche de son triptyque du Jardin des delices,
on retrouve la Fontaine de vie (Figure 34) dont la partie inferieure est une sphere. Sur la
sphere, mise a part la grande ouverture circulaire, des cercles egaux ne se recouvrant pas
sont juxtaposes de man&e dense (Figure 35). On retrouve une excellente reproduction en
couleur de cette partie du tableau dans [Marijnissen 19721.
There are examples for the spherical circle-packing in the fine arts, too. An old example
from the very beginning of the 16th century is due to the enigmatic Dutch painter
Hieronymus Bosch. On the left wing of his Garden of Delights triptych there is the
Fountain of Life (Figure 34) whose bottom part is a sphere. On the sphere - apart from
the big circular opening - nonoverlapping equal circles are closely packed (Figure 35).
An excellent coloured reproduction of this part of the painting may be found in [Marijnissen 19721.
En 1974, on erigea une statue de metal symbolisant la biologie, oeuvre du sculpteur Balint
Jozsa (l’architecte fut Istvan Tarnai) devant 1’Institut de biologie de I’Academie hongroise
des sciences a Szeged. La statue est essentiellement une sphere de 3 metres de diametre
composee de 536 coquilles coniques tronquees (Figure 36). L’auteur prit part a ce travail
comme ingenieur-conseil en structures et c’est a cette occasion qu’il rencontra pour la
premiere fois le probleme de Tammes. Pour cette statue, en particulier, il fallait juxtaposer les elements en coquilles de maniere aussi dense que possible afin d’obtenir une
rigidite de structure plus grande et de cette facon, nous avons pu diminuer l’tpaisseur des
parois des coquilles. La forme de la statue est, en fait, le resultat d’une juxtaposition
aleatoire de coquilles, puisqu’a ce moment-la nous ne pouvions pas encore suggerer une
bonne technique de juxtaposition.
Le systeme de cercles obtenu sur la sphere produisit
une densite de 08235. Avant de construire la statue, on produisit un modele de 485
elements d’un diametre de 74 cm (Figure 37). Dans ce cas, la densite fut de 08141.
In 1974, in front of the Biological Institute of the Hungarian Academy of Sciences in
Szeged, a metal statue due to the sculptor Balint Jozsa was set up to symbolize biology (the
architect was Istvan Tarnai). The statue essentially is a sphere having a diameter of 3 m,
composed of 536 equal truncated conical shells (Figure 36). The author took part in this
work as a structural consulting engineer and this was the first time he had met the Tammes
problem. For this statue, namely, it was necessary to pack the shell elements as densely as
possible in order to obtain increased structural stiffness and in this way it was possible to
decrease the wall thickness of the shell elements. The shape of the statue, in fact, is a result
of a random packing of the shell elements since at that time we could not suggest a good
packing technique yet. The obtained circle-system on the sphere resulted in density
0.8235. Before constructing the statue a model of a diameter of 74 cm was produced of 485
elements (Figure 37). The density was 0.8141 in this case.
Seulement un certain nombre d’applications sont citees ici. La juxtaposition de cercles sur
la sphere possede bien d’autres applications, par exemple en theorie de l’information, en
stereochimie et ailleurs.
Only some applications were mentioned here. The spherical circle-packing
applications, e.g., in information theory, stereochemistry and elsewhere.
Rigidit
Rigidity of the graph of the packing
du graphe de la juxtaposition
has further
Les methodes suivantes ont ete developpees pour la construction de juxtapositions denses
de cercles Cgaux ne se recouvrant pas sur la sphere:
a) la juxtaposition a symetrie axiale [Goldberg 19801,
b) la juxtaposition helico’idale (en spirale) a plusieurs branches [Szekely 19741,
c) la juxtaposition multi-symetrique [Robinson 1969, Tarnai 1983c, 1983e],
d) la construction d’une nouvelle juxtaposition en deplacant le graphe d’une juxtaposition
existante [Danzer 1963, Tarnai 1983a].
The following methods have been developed to make constructions for dense packing of
nonoverlapping equal circles on the sphere:
a) axially symmetric packing [Goldberg 19801,
b) multi-branched helical (spiral) packing [Szekely 19741,
c) multi-symmetric packing [Robinson 1969, Tarnai 1983c, 1983e],
d) construction of new packing by moving the graph of an existing packing [Danzer 1963,
Tarnai 1983a].
Mais les premieres applications de toutes les methodes enumerees ici se retrouvent
essentiellement dans un article de [Schiitte 195 11:par exemple, la methode a) pour n = 16,
la methode b) pour n = 15, la methode c) pour n = 24 et la methode d) pour n = 14 ou la
juxtaposition fut obtenue en deplacant le graphe compose des a&es et des sommets du
dodecaedre rhombique spherique.
But, the first applications of all the methods enumerated here can essentially be found
already in an early paper de [Schiitte 195 11:for instance, method a) for n = 16, method b) for
n = 15, method c) for n = 24 and method d) for n = 14 where the packing was obtained by
moving the graph consisting of the edges and vertices of the spherical rhombic
,dodecahedron.
Du point de vue de la topologie structurale, la methode d) apparait la plus interessante de
toutes. Le principe de la methode est attribuable a Danzer [Danzer 19631, qui a envisage
que le graphe devait avoir des arstes pouvant pivoter librement autour des sommets et des
longueurs d’aretes variant librement, mais simultanement, et dans la meme proportion. 11
a defini le graphe comme etant rigide si le systeme d’arete possedant les proprietes
mentionnees ne permettait que des isometrics. La conception de Danzer est la suivante: Si
le graphe n’est pas rigide alors la longueur des a&es peut, en general, etre augmentee;
c’est-a-dire, la juxtaposition peut, en general, etre amelioree.
From the point of view of structural topology, method d) seems to be the most interesting
one. The principle of the method is due to Danzer [Danzer 19631, who has considered the
graph so that the edges can rotate freely around the vertices and the edge-lengths can vary
freely but simultaneously and in the same proportion. He as defined the graph to be rigid
if the edge-system with the mentioned properties cannot admit motions other than
isometries. Danzer’s idea is: if the graph is not rigid then the edge-length can, in general,
be increased; that is, the packing can, in general, be improved.
Dans notre recherche, le graphe de la juxtaposition de cercles est represente comme une
structure composee de barres rigides egales et de joints constitues par des articulations
ideales, reposant sur la surface de la sphere. Un changement dans la longueur des barres
n’est pas considere comme un mouvement libre, mais est plutot attribue a une influence
distincte, par exemple un changement dans la temperature. La structure est caracterisee
par sa matrice de compatibilite ou geometrique G qui contient b lignes et 2j-3 colonnes ou
b represente le nombre de barres et j represente le nombre de joints.
La matrice
geometrique de cette structure permet d’etablir s’il est possible d’augmenter les longueurs
In our investigation the graph of the circle-packing is modelled as a structure consisting of
equal straight bars and frictionless pin joints lying on the surface of the sphere. Change in
length of the bars is not considered as a free motion, but is attributed instead to a separate
influence, e.g., a change in temperature. The structure is characterized by its geometric or
compatibility matrix G containing b rows and 2j-3 columns where b is the number of bars
and j is the number of joints. With the help of the geometric matrix of this structure, it is
ascertained whether the bar-lengths can simultaneously be increased in the same proportion without inner forces. If it is so then it can be done until additional bars appear and the
._..--..-- --.----/ - -
42
43
de barres simultanement dans la meme proportion sans aucune force interne. Si cela est
possible, on peut proceder a cette operation jusqu’a ce que des barres additionnelles
apparaissent et que tout autre mouvement de la structure devienne impossible, c’est-a-dire
que le graphe sera alors rigide selon le sens donne par Danzer. En general, on peut
ameliorer la juxtaposition de cercles si b = p(G) 5 2j-3 ou si simultanement b > p(G) et
p(G) < 2j-3, ou p(G) indique le rang de G. Par exemple, on peut esperer une amelioration
de la juxtaposition si le graphe ne contient aucun triangle. On peut retrouver des details a
ce sujet dans un article de [Tarnai 1983a] dans lequel, a l’aide de cette methode, la
juxtaposition de l&27,34,35 et 40 cercles sur une sphere a ete amelioree. Cette methode a
Cgalement ete utilisee pour ameliorer la juxtaposition de 19 cercles [Tarnai 1983fj. Dans le
cas de n = 18, on peut voir le graphe de la juxtaposition qui etait supposee la meilleure et
celui ou cette juxtaposition a ete amelioree par son mouvement dans une projection
stereographique simplifiee aux Figures 38a et b respectivement. On peut demontrer que
par un modele physique construit a partir de barres et de joints <(Gee-D-Stix,) qu’une
petite augmentation dans la longueur des aretes du graphe de la Figure 38a le transforme
en un mecanisme a mouvements finis (Figure 39). Dans ce modele, la longueur des aretes
du graphe est constante mais le rayon de la sphere peut varier.
further motions of the structure are prevented, i.e., the graph will be made rigid in
Danzerian sense. The circle-packing is, in general, improvable if b = p(G) 5 2j-3 or both
b > p(G) and p(G) < 2j-3 hold, where p(G) denotes the rank ofG. An improvement of the
packing may be expected, for instance, if the graph contains no triangles. The details may
be found in [Tarnai 1983a] in which, by this method, packing of 18, 27, 34, 35 and 40
circles on a sphere has been improved. This method has also been used for improvement
of packing of 19 circles [Tarnai 1983f$ In the case of n = 18, the graph of the packing
conjectured to be the best one and that of the packing improved by its motion may be seen
in simplified stereographic projection in Figures 38a and b, respectively. It could be
demonstrated by a physical model built from ((Gee-D-Stix,, bars and joint, that a small
increase in the edge-length of the graph in Figure 38a turns it into a finite mechanism
(Figure 39). In this model the edge-length of the graph is constant but the radius of the
sphere is changeable.
Nous mentionnons ici que par la methode c), utilisant principalement les tessellations
gauches faites de triangles reguliers sur la surface polytdrique du tetraedre, de l’octaedre
et de l’icosaedre reguliers [Coxeter 19721, on peut construire une juxtaposition de cercles
egaux sur la sphere, ayant des symetries de revolution similaires a celles de ces polyedres
reguliers. A partir de cette base, nous avons obtenu de nouvelles juxtapositions pour
n = 54,72,132 [Tarnai 1983~1,n = 36,72,180 [Tarnai 1983d], n = 78,96,108,114,144,150,
192,198,270,282,360,372,480,492
[Tarnai 1983e]. En combinant les methodes c) et d),
nous avons ameliore les resultats pour n = 80 [Tarnai 1983b] et n = 122 [Tarnai 1983a],
mais les juxtapositions obtenues peuvent encore etre ameliorees en deplacant les graphes.
En dernier lieu, on doit noter qu’une juxtaposition comprenant des symetries de revolution octaedriques ou icosaedriques est egalement une juxtaposition dans le plan elliptique
[Fejes T&h 19651.
We mention here that by method c), using mainly the regular triangular skew tessellations
on the polyhedral surface of the regular tetrahedron, octahedron and icosahedron [Coxeter 19721, spherical packing of equal circles with rotational symmetries of these regular
polyhedra can be constructed. On this basis, we have given new packings for n = 54,72,
132 [Tarnai 1983~1,n = 36,72,180 [Tarnai 198341, n = 78,96,108,114,144,150,192,198,
270, 282, 360, 372, 480,492 [Tarnai 1983e]. By combining methods c) and d), we have
improved results for n = 80 [Tarnai 1983b] and n = 122 [Tarnai 1983a], but the obtained
packings can further be improved by moving the graphs. It should be noted, finally, that a
packing with octahedral or icosahedral rotational symmetries is also a packing in the
elliptic plane [Fejes T&h 19651.
Conclusions
Conclusions
Le problltme de Tammes semble etre en partie un probleme interdisciplinaire, puisque le
probleme lui-meme fut souleve en botanique, formule, et dans certains cas resolu, par les
mathematiques, mais dans plusieurs cas, la mecanique des structures et la morphologie
des virus aiderent a construire de bonnes approximations.
The Tammes problem seems partly to be an interdisciplinary one, since the problem itself
was raised by botany, formulated and in some cases solved by mathematics, but in many
cases structural mechanics and virus morphology helped to construct good approximations.
Resumant les resultats jusqu’a n = 60, la Figure 40 presente les limites inferieures des
juxtapositions de densite extreme obtenues par les meilleures constructions connues a
date et les limites superieures provenant d’une formule de [Robinson 19611.
Summarizing the results up to n = 60, Figure 40 shows lower bounds of the extremal
density of packings given by the best constructions until now and upper bounds given by a
formula of [Robinson 19611.
Renierciements
Acknowledgements
L’auteur desire remercier les personnes suivantes pour l’utilisation de leurs illustrations
dans cet article: le docteur G. Riollet et le docteur R. Bonnefille, Laboratoire de geologic
du Quaternaire, C.N.R.S., Bellevue, France pour les Figures 2,3,4,5 et 6; le docteur S.A.
Kling pour les Figures 8 et 9; les administrateurs du British Museum (Histoire naturelle)
pour les Figures 10, 11,12,13,14 et 15; le professeur T. Fujita et le professeur J. Tokunaga
pour la Figure 16; le docteur D. Szabo pour la Figure 17; le docteur L. Fridvalszky pour la
Figure 18; le docteur C.R. Calladine pour les Figures 19 et 20; monsieur F. Gerbacsich,
Institut hongrois des sciences de la construction pour les Figures 21, 23 et 39; At-
The author would like to thank the following for the use of photo illustrations in this
paper: Dr. G. Riollet and Dr. R. Bonnefille, Laboratoire de geologic du Quaternaire,
C.N.R.S., Bellevue, France for Figures 2,3,4,5 and 6; Dr. S.A. Kling for Figures 8 and 9;
the trustees of the British Museum (Natural History) for Figures 10, 11,12,13,14 and 15;
Prof. T. Fujita and Prof. J. Tokunaga for Figure 16; Dr. D. Szabo for Figure 17; Dr. L.
Fridvalszky for Figure 18; Dr. C.R. Calladine for Figures 19 and 20; Mr. F. Gerbacsich,
Hungarian Institute for Building Science for Figures 21,23 and 39; At-Fachverlag GmbH,
Stuttgart for Figure 22; Mr. T. Mihalik for Figures 26, 27 and 28; Prof. R.B. Fuller for
&ye&g GmbH, Stuttgart pour la Figure 22; monsieur T. Mihalik pour les Figures 26,
2!#d 28; le professeur R.B. Fuller pour les Figures 29 et 30; le professeur L. Spunt pour les
Figures 31,32 et 33; le Service de nouvelles hongrois pour la Figure 36; monsieur B. J&a
pour la Figure 37. La Figure 7 est tirt?e de l’article de E. Haeckel, d<Reporton the
Radiolarian. Report on the Scientific Results of the Voyage of H.M.S. Challenger during
the years 1873-76.Zoology, Vol. 18,Edinburgh 1887. La Figure 24 est tirie de l’article de
F. Greguss, (<Eleventalilminyokm, 3. Kiadks, M&a Ferenc Kiinyvkiadb, Budapest, 1982.
La Figure 25 est tirbe de l’article de W. Bauersfeld, (<DasProjektions-Planetarium des
Deutschen Museums in Miinchenbb. Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure 68
(I924), 793-797.
Figures 29 and 30; Prof. L. Spunt for Figures 31,32 and 33; Hungarian News Service for
Figure 36; Mr. B. J&sa for Figure 37. Figure 7 is from E. Haeckel, ((Report on the
Radiolaria,,. Report on the scientific Results of the Voyage of H.M.S. Challenger during
the years 1873-76. Zooiogy, Vol. 18, Edinburgh 1887. Figure 24 is from F. Greguss,
<<Eleven
tal&lmhnyokbB,3. Kiadhs, M&a Ferenc Kijnyvkiadb, Budapest, 1982.Figure 25 is
from W. Bauersfeld, (<DasProjektions-Planetarium des Deutschen Museums in Miinchenpb.Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure 68 (1924), 793-797.
Adresse de l’auteur:
T. Tarnai
Institut hongrois des sciencesde la construction
Budapest, David F. u. 6., H-l 113, Hongrie
Address of the author:
T. Tarnai
Hungarian Institute for Building Science
Budapest, Divid F. u. 6., H-l 113, Hungary
45
Figure 1. The densest packing of 24 equal circles on a sphere l La juxtaposition la plus dense possible de 24 cercles egaux sur une sphere.
Figure 2. Pollen grain of Psilotrichum gnaphalobryum x 3500 (n = 16) l
Grain de pollen du Psilotricum gnaphalobryum x 3500 (n = 16).
Figure 3. Pollen grain of Psilotrichum elliotti x 3000 (n = 16)
pollen du Psilotricum elliotti x 3000 (n = 16).
Figure 4. Pollen grain of Celosia argentea x 3000 (n = 24)
pollen du Celosia argentea x 3000 (n = 24).
Figure 5. Pollen grain of Volkensinia prostrata x 3000 (n = - 36)
de pollen du Volkensinia prostrata x 3000 (n = - 36).
Figure 6. Pollen grain of Cyathula orthacantha x 2500 (n = - 70)
de pollen du Cyathula orthacantha x 2500 (n = - 70).
l
Grain de
l
Grain
l
Grain de
l
Grain
Figure 7. Radiolarian. Ethmosphaera
Ethmosphaera conosiphonia H kl.
conosiphonia
H kl
l
Radiolaire.
Figure 10. Shell of the foraminifer (Protozoa) Globigerinoides sacculifera
250 l Coquille du foraminifere (Protozoa) Globigerinoi’des sacculifera x
250.
x
Figure 8. Skeleton of a spherical radiolarian
radiolaire spherique x 600.
x
600
l
Squelette d’un
Figure 11. Shell of the fossil foraminifer (Protozoa) Globigerinoides sacculifera X 200 l Coquille du foraminifere fossilise (Protozoa) Globigerino’ides sacculifera x 200.
Figure 9. Skeleton of a spherical radiolarian
radiolaire spherique x 400.
x
400
l
Squelette d’un
Figure 12. Development stage of the sterrospheraster spicule of the
sponge, Aurora rowi x 2000 l Stade de developpement d’un spicule
sterrospheraster de l’tponge, Aurora rowi x 2000.
46
Figure 13. Development stage of the sterrospheraster spicule of the
sponge, Aurora rowi x 1800 l Stade de developpement d’un spicule
sterrospheraster de l’eponge, Aurora rowi x 1800.
Figure 14. Development stage of the sterrospheraster spicule of the
sponge, Aurora rowi x 3000 l Stade de developpement d’un spicule
sterrospheraster de l’eponge, Aurora rowi x 3000.
Figure 16. Development stage of the conidia (asexual spores) on the radially
arranged sterigmata in the conidiophore of the mould fungus Aspergillus x 3000 l
Stade de developpement de la conidie (spores asexues) sur le sterigmate de forme
radiale dans le conidiophore de la moisissure Aspergillus x 3000.
47
Figure 15. Development stage of the sterrospheraster spicule of the
sponge, Aurora rowi x 2200 l Stade de developpement d’un spicule
sterrospheraster de l’eponge, Aurora rowi x 2200.
Figure 17. Blood corpuscules of a rat x 5800. (There is a blood platelet in the top
left corner of the picture.) Scanning electron micrograph with the critical point
drying method by Dr. D. Szabo l Globules sanguins d’un rat x 5800. (On peut voir
une plaquette sanguine dans le coin superieur gauche de l’image.) Micrographe
electronique obtenu par la methode de sechage dite du (<point critique,, du
Dr D. Szabo.
Figure 18. Cell aggregation of the green algae (Clorophyceae) Volvox globator x 35. Thousands of cells are
embedded in a jelly tegument on the surface of the sphere l AgrCgation de cellules de l’algue verte (Clorophyceae)
Volvox globator x 35. Des milliers de cellules sont noykes dans un tkgument gblatineux sur la surface de la sphere.
Figure 19. Negatively stained field of human wart virus x 140 000. Electron micrograph by Dr. J.T. Finch l Vue
Claire sur champ sombre d’un virus de verrue chez l’homme x 140 000. Micrographe klectronique par le docteur
J.T. Finch.
Figure 20. Three-dimensional image reconstruction of human wart virus.
420 structure subunits clustered in 12 pentamers and 60 hexamers to form
72 morphological units. Reconstruction by Drs. R.A. Crowther and
L.A. Amos l Reconstruction d’une image tri-dimensionnelle d’un virus de
verrue chez l’humain. 420 sous-unit& de structure rassemblees en 12
pentamkes et 60 hexamkres pour former 72 unit& morphologiques.
Reconstruction par les docteurs R.A. Crowther et L.A. Amos.
Figure 21. A conventional golf ball (n = 336)
tionnelle (n = 336).
l
Une balle de golf conven-
Figure 22. Laser Geodynamic Sattelite (n = 426)
mique de Laser (n = 426).
49
l
Un satellite geodyna-
Figure 23. Printing ball of the IBM typewriter
Figure 24. Compound camera for Polyvision moving pictures (n = 79)
cinema Polyvision (n = 79).
l
Cam&-a cornpoke pour le
l
Boule imprimante du dactyl0 IBM.
Figure 25. The Bauersfeld planetarium in Munich in 1924 (n = 32)
rium Bauersfeld de Munich en 1924 (n = 32).
Figure 27. Dome of Turkish bath (<Kir$lypBin Budapest
l
D&m
l
Le planeta-
du bain
turc
Figure 26. Dome of Turkish bath ~~Rudas~~
in Budapest
(<Kir%yw
A Budapest.
Figure 28. Dome of Turkish bath &&stir,,
l
D6me du bain turc (tRudasB>A Budapest.
in Budapest
l
D6me du bain turc &GszBr~~ A Budapest.
50
Figure 29. <<FlyEye,) dome of a diameter of about 7,5 m due to R.B. Fuller (n = 32)
diamktre d’B peu prks 7,5 m, ceuvre de R.B. Fuller (n = 32).
Figure 30. <(Fly Eye,, dome of R.B. Fuller (n = 92)
51
l
D6me t&l-de-mouchep,
de R.B. Fuller (n = 92).
l
D6me (<oeil-de-mouchepk d’un
Figure 31. Model of solid rib modular framework due to L. Spunt
constituee de nervures solides, de L. Spunt.
l
Modele d’une charpente modulaire
Figure 32. Model of a modular dome structure due to L. Spunt
structure modulaire en forme de dome de L. Spunt.
Figure 33. Spunt’s modular structure for a half dome stage enclosure, in the construction phase l Structure
modulaire de Spunt pour le recouvrement d’une scene par un demi-dome, dans sa phase de construction.
-
l
Modele d’une
52
Figure35. The bottom
part of the Fountain of Life. Detail of the Creation
of Eve wing l La partie inferieure de la Fontaine de vie. Detail du panneau
de la creation d’kve.
Figure 34. Creation of Eve. The left wing of the Garden of Delights
triptych of Hieronymus Bosch l La creation d’kve. La partie gauche du
triptyque du Jardin des delices de Hieronymus Bosch.
53
Figure 36. B. Jozsa’s statue of a diameter of 3,0 m in front of the Biological Institute of the Hungarian Academy of
Sciences in Szeged (n = 536) l La statue de 3,0 m de diametre de B. Jozsa devant I’Institut biologique de 1’Academie
hongroise des sciences a Szeged (n = 536).
Figure 37. A model to the statue of B. Jozsa (n = 485)
l
Un modele pour la statue de B. Jozsa (n = 485).
(b)
(0)
Figure 38. n = 18. (a) The graph of packing due to Kolya and Goldberg. (b) The graph of the new packing
(a) Le graphe de juxtaposition de Kolya et Goldberg. (b) Le graphe de la nouvelle juxtaposition.
l
n = 18.
Figure 39. n = 18. Bar and joint structure coresponding to packing by
Kolya and Goldberg. A physical model l n = 18. La maquette d’une
structure a barres et a joints correspondant a la juxtaposition de Kolya et
Goldberg.
0
1.0
0.8
55
Figure 40. The best upper and lower bounds until now for the maximal density of packing of equal circles on a
sphere l Les limites superieures et les meilleures limites inferieures connues a date pour la densite maximale de
juxtaposition de cercles Cgaux sur une sphere.
Bibliographie
Bibliography
Le code qui apparait dans la premiere colonne de chaque entree bibliographique est constitue de trois parties
separees par des tirets. La premiere partie indique s’il s’agit d’un livre (Book), d’un Article, d’une PrC-impression ou
de notes de tours (Course notes). La deuxieme partie indique si le texte a etC redige pour des Mathematiciens, des
Architectes ou des ingenieurs (Engineers). La partie finale indique si le texte touche un ou plusieurs des themes
principaux de la topologie structurale: Geometric (en general), Polyedres, Juxtaposition ou Rigidite.
The Code in the first block of each bibliographic item consist of three parts, separated by dashes. The first letter
indicates whether the item is a Book, Article, Preprint or Course notes. The middle letter(s) indicates whether the
piece was intended primarily for an audience of Mathematicians, Architects or Engineers. The final letter(s) indicates
if the piece touches on one or more of the principal themes of structural topology: Geometry (in general), Polyhedra,
Juxtaposition or Rigidity.
Les mots-cles ou les annotations de la colonne finale signalent la pertinence de l’ouvrage g la recherche en topologie
structurale, mais ne temoignent pas necessairement de l’ensemble du contenu ou de l’intention de l’auteur.
The key-words or other annotations in the third column are intended to show the relevance of the work to research
in structural topology, and do not necessarily reflect its overall contents or the intent of the author.
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with icosahedral symmetry; topology of icosahedral virus coats l Les
polyedres convexes inscrits dans une sphere, limit& par des faces
triangulaires, comportant une symetrie icosaedrique; la topologie des
enveloppes de virus icosaedriques.
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