Les fractions et les décimaux Les programmes du

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Les fractions et les décimaux Les programmes du
Les fractions et les décimaux
Les programmes du primaire
Généralités P 23
Les nombres décimaux et les fractions :
fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers
consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de
deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ;
nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en
fonction de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et
inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur
approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près.
Les compétences P 27
Compétence 3 :
L’élève est capable de :
- écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième)
et quelques fractions simples ;
Les progressions P 38
Fractions
- Nommer les fractions simples et décimales en
utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart,
dixième, centième.
- Utiliser ces fractions dans des cas simples de
partage ou de codage de mesures de grandeurs.
Fractions
- Encadrer une fraction simple par deux entiers
consécutifs.
- Écrire une fraction sous forme de somme d’un
entier et d’une fraction inférieure à 1.
- Ajouter deux fractions décimales ou deux
fractions simples de même dénominateur.
Nombres décimaux
- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/100ème).
- Savoir :
• les repérer, les placer sur une droite
graduée,
• les comparer, les ranger,
• les encadrer par deux nombres entiers
consécutifs,
• passer d’une écriture fractionnaire à une
écriture à virgule et réciproquement.
Nombres décimaux
- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la
partie décimale en fonction de sa position
(jusqu’au 1/10 000ème).
- Savoir :
• les repérer, les placer sur une droite
graduée en conséquence,
• les comparer, les ranger,
• produire des décompositions liées à une
écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ;
1000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001...
• Donner une valeur approchée à l’unité
près, au dixième ou au centième près.
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Les fractions et les décimaux
Les programmes de 6
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ème
Les fractions et les décimaux
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Les fractions et les décimaux
Fractions décimaux
Commentaires
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Les fractions et les décimaux
I- INTRODUCTION
Les décimaux sont introduits au CM1 la plupart du temps après les fractions. Pourquoi les fractions
d’abord et comment sont introduites les fractions ?
1. Quelles conceptions ont les élèves sur les fractions et les écritures à virgule avant
d’entrer au cours moyen ?
Ils ont des connaissances issues de pratiques sociales ou de classes antérieures sur :
des fractions simples : le demi, le quart sont manipulés (prendre la moitié fait partie des
compétences de cycle 2)
des expressions composées qui font intervenir plusieurs unités comme 3h 15 min pour
« trois heures et quart » ou 3€ et 25c pour 3,25
enfin la calculatrice, à l’occasion de divisions peut apporter un résultat sous forme d’un
nombre à virgule.
2. Comment doivent apparaître les fractions et les décimaux ?(voir IO P22 anciens
programmes)
Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles
pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon
satisfaisante: problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une
droite.
La plupart des connaissances relatives à ces nouveaux nombres peuvent être travaillées et interprétées
dans les contextes énoncés précédemment et utilisées dans des activités relevant d’autres champs
disciplinaires (sciences et technologie, géographie…). Dans toutes les utilisations des nombres
décimaux en situation, l’attention des élèves est attirée sur le choix des décimales pertinentes :
précisions permises par les instruments et la taille des objets, compatibilité avec les usages sociaux.
Les décimaux doivent donc être introduits comme de nouveaux nombres et non de nouvelles
écritures permettant de résoudre des problèmes que les entiers ne peuvent résoudre de façon
satisfaisante.
3. Sur quelles significations doit-on appuyer la construction des fractions et des décimaux ?
Les écritures décimales et fractionnaires vont prendre du sens notamment :
- comme moyen d’exprimer le résultat d’un mesurage (de longueur, d’aire …) avec une seule
unité ; cela pourra être l’occasion de manipuler des quarts d’unités et de vérifier certaines égalités
entre des écritures simples comme ¼ + ¼ = 2/4 = ½.
- comme moyen de graduer plus complètement la droite numérique ; c’est le moment
d’introduire les fractions décimales.
- en lien avec notre système métrique ;
- enfin les écritures décimales permettent ensuite de simplifier l’écriture des fractions décimales
tout en donnant une signification à chacun des chiffres d’un nombre décimal : 4,37 est une autre
signification pour 4 + 3/10 + 7/100
En classe de sixième, un travail approfondi conduit à concevoir 7 comme quotient de 7 par 3. Il est
3
donc important que la signification «7 fois le tiers de l’unité ou 7 fois 1 » soit travaillée à l’école
3
primaire.
Le « dénominateur » nomme le type de partage de l’unité (en parts égales) alors que le numérateur»
précise le nombre de parts qui sont reportées.
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Les fractions et les décimaux
Les écritures du type 2 + 1 ou 1 + 3 peuvent être utilisées dans des contextes de mesure de
4
2
4
longueurs de segments ou d’aires de surfaces, obtenus par juxtaposition d’autres segments ou
surfaces.
Les élèves ont l’occasion de rencontrer des entiers sous écriture fractionnaire, à partir d’égalités
comme: 9 = 3 ou 40 = 4
3
10
Ces égalités peuvent être justifiées : c’est « 9 tiers de l’unité, ou 3 fois 3 tiers de l’unité, donc 3
unités», ce qui peut être illustré à l’aide de segments.
Les écritures à virgule prennent sens en étant mises en relation avec les fractions décimales, ce qui
correspond à l’introduction historique des décimaux. Cela permet de comprendre que la valeur d’un
chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus
grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite (ce qui est vrai aussi bien pour la
partie entière que pour la partie décimale).
Remarque : la fraction a/b représente a fois la b-ième partie de l’unité.
Les décimaux (Extrait de Ermel CM1)
Organisation mathématique :
Situation mathématique de départ indispensable pour introduire les écritures décimales :
-
Construire un premier ensemble de fractions élémentaires et des écritures additives pour
exprimer des mesures de longueurs.
Utiliser les notations et le vocabulaire associé.
Concevoir qu'une mesure peut s'exprimer de différentes façons et établir ainsi des équivalences
entre fractions et des décompositions faisant apparaître la partie entière.
Rechercher les résultats d'additions simples portant sur des écritures fractionnaires.
Utiliser des fractions et des écritures additives fractionnaires pour situer des points sur une
demi-droite graduée et pour exprimer des distances.
Organisation mathématique d’arrivée.
1
1
;
; 0,1 ; 0,01.
10 100
-
Donner du sens aux mots dixième, centième, millième et aux écritures
-
Donner du sens aux fractions décimales et aux écritures à virgule.
Connaître, pour un nombre décimal, différentes désignations orales, différentes écritures
fractionnaires, son écriture à virgule et savoir passer d'une désignation à l'autre.
Description rapide
Les enfants vont être amenés à construire une graduation décimale, à étendre le tableau de
numération, à placer des fractions décimales sur la graduation et dans le tableau, à utiliser ces
outils pour donner du sens aux écritures à virgule.
Matériel
Pour chaque équipe de deux enfants:
- 8 bandes identiques de 26 cm sur 2,5 cm comportant une languette d'assemblage de 1 cm
sur 2,5 cm et un segment de 25 cm gradué de 5 mm en 5 mm (ces dimensions ne sont pas
connues des enfants); la photocopie est en annexe P 11. Attention à la construction de cette
bande.
- de la colle pour assembler ces huit bandes et des ciseaux;
-6-
-
Les fractions et les décimaux
une bande d'environ 70 cm sur 2,5 cm découpée dans du papier uni.
DÉROULEMENT
PREMIÈRE PHASE: Construction de l'unité à partir du centième de l'unité
Objectifs
-
Donner du sens au mot centième et établir les relations mutuelles entre unité, dixième et
centième.
Faire construire par les enfants le matériel utilisé dans les phases suivantes.
Tâches
Par deux, les enfants fabriquent une grande bande en collant bout à bout les huit bandes identiques
grâce aux languettes. Puis, le maître fournit à chaque équipe de deux enfants une bande de 70 cm sur
2,5 cm découpée dans du papier uni.
Consigne
« Sur la grande bande que vous avez fabriquée les traits de la graduation sont espacés d'un centième
1
)
de l'unité (le maître écrit au tableau
100
Dans la bande de papier uni vous allez découper une bande de longueur égale à l'unité et une bande
de longueur égale à un dixième de l'unité. »
Le centième de l'unité étant égal à 5 mm, on doit obtenir des bandes de 50 cm et 5 cm. Les différentes
procédures utilisées par les enfants sont recensées.
Les relations entre le centième et l'unité, entre le centième et le dixième sont formulées et les égalités
100
1
10
10
et
=
sont notées, ainsi que 1 =
1=
100
10 100
10
En affichant les bandes les unes en dessous des autres, on s'assure que toutes les bandes unité et que
1
1
toutes les bandes
ont même longueur. On vérifie aussi que dix bandes
bout à bout ont une
10
10
longueur égale à celle de la bande unité. Ceux dont les bandes n'ont pas la longueur voulue en refont
d'autres.
On écrit 1 sur la bande unité et
1
1
sur la bande
10
10
DEUXIÈME PHASE. Placer des fractions décimales sur une graduation
Les fractions décimales sont décomposées afin de rendre compte des procédures utilisées pour les
placer sur la graduation construite lors de la première phase et, au seul vu de leur écriture, de favoriser
les représentations mentales.
Les enfants utilisent les trois bandes fabriquées durant la première phase, ils écrivent au crayon afin de
pouvoir corriger les erreurs éventuelles.
-7-
Les fractions et les décimaux
En vue des mises en commun, le maître affiche au tableau des bandes identiques à celles des enfants.
ÉTAPE 1
Le maître fait écrire la lettre 0 et le nombre 0 à l'origine de la graduation, puis il demande de placer au
crayon les nombres 1, 2, 3 sur la grande bande graduée.
Des élèves viennent au tableau montrer comment ils ont procédé, les nombres sont placés en reportant
la bande unité à partir de l'origine.
Puis le maître demande à combien de dixièmes et de centièmes de l'origine se trouvent les nombres
déjà placés et où se trouveraient 4, 10, 23, si on pouvait les placer.
ÉTAPE 2
Le maître demande aux enfants de placer (toujours au crayon) sur leur graduation les fractions
32/100 ; 15/10 ; 27/10 ; 147/100 ;215/100
Chaque placement est suivi d'une mise en commun des réponses et des procédures avec explicitation
de celles-ci et discussion sur leur validité.
Des enfants viennent au tableau expliciter comment ils ont procédé. On note au tableau les égalités
correspondantes, chaque écriture étant référée à une manière de placer les nombres donnés.
32
3
2
=
+
;
100 10 100
147
4
7
47
=1+
+
=1+
;
100
10 100
100
…
Pour rendre possible l'emploi des dixièmes sur la graduation, en évitant reports de bande ou
comptages d'intervalles, on demande aux enfants d'allonger légèrement ou de marquer d'une autre
couleur les traits correspondant aux dixièmes.
ÉTAPE 3
Pour ce travail centré sur les écritures, les demi-droites graduées ne sont donc pas disponibles durant
la phase de recherche.
On demande aux enfants de trouver d'autres écritures, dont au moins deux
32 223 447
;
;
100 100 100
Lors de la mise en commun, on explicite les écritures faisant apparaître la partie entière et la
signification des autres chiffres du numérateur:
2
23
47
3+
;
2+
;4+
10
100
100
La validation se fait toujours par placement sur la demi-droite graduée.
447
est situé entre deux traits de la graduation, il est intéressant de faire rechercher le trait qui en est
100
le plus proche.
avec le signe +, pour
-8-
Les fractions et les décimaux
TROISIÈME PHASE: Introduction des nombres décimaux
Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s'écrire avec une fraction décimale. Leur écriture
à virgule s'obtient en décomposant cette fraction. Inversement pour donner du sens à une écriture à
virgule, pour la lire, on peut la retranscrire à l'aide de fractions décimales.
Ces remarques sont le fil conducteur des étapes suivantes.
ÉTAPE 1 : Introduction de l'écriture à virgule
Les enfants reçoivent un tableau de numération incomplet.
Ils doivent y inscrire les nombres 2 560 ; 108 ; 324 ; 10 345 en plaçant un seul chiffre par colonne. La
donnée de 10345 suggère que le tableau doit être complété par une case supplémentaire à gauche.
120
35
, puis
Puis on leur demande s'ils peuvent y placer
10
10
La mise en commun doit conduire à la nécessité de placer le 2 de 120 et le 3 de 35 dans la colonne des
unités et à l'impossibilité de placer le 5 de 35 dans les autres colonnes puisque le 5 représente des
dixièmes.
On introduit ainsi une colonne pour les dixièmes, on place les deux fractions dans le tableau complété
273
et on leur demande s'ils peuvent y placer
100
La mise en commun doit conduire à l'impossibilité de placer le 3.
On leur demande comment compléter le tableau de façon à pouvoir y placer des fractions comme
273
100
en mettant un chiffre par colonne et ce qu'il faut écrire en haut de chaque colonne.
On aboutit par confrontation et discussion des différentes propositions au tableau classique (outil
273
provisoire que l'on n'utilisera pas systématiquement
systématiquement par la suite) dans lequel on place
100
1000
milliers
120
10
35
10
273
100
100
centaines
10
dizaines
1
1
unités
2
1
10
dixièmes
0
3
5
2
7
-9-
1
100
centièmes
3
Les fractions et les décimaux
147
, puis il indique aux élèves l'écriture à virgule des nombres placés
10
en l'associant à leur décomposition en fractions décimales:
Le maître y fait ensuite placer
Il fait chercher comment ces écritures à virgule peuvent se lire, d'abord en utilisant le mot virgule,
ensuite en utilisant les mots unité, dixième, centième, millième: deux unités et soixante-treize
soixante
centièmes; deux unités, sept dixièmes et trois centièmes; deux cent soixante-treize
soixante treize centièmes.
On termine en faisant chercher l'écriture à virgule et différentes lectures de
3+
21
6
2315
4
; 27 +
;
;
; 1/1000 ; 407/100
100
100 1000 100
La validation se fait en décomposant les fractions comme ci-dessus
ci dessus et en les plaçant dans le tableau.
vec les mots unité, dixième, centième, millième seront exigées car elles donnent du sens
Les lectures avec
aux nouvelles écritures.
ÉTAPE 2: Donner du sens aux écritures à virgule, lire les décimaux
On demande de placer 2,05 ; 1,83 ; 0,27; 3,40; 0,1 ; 0,01 dans le tableau et sur la graduation, de les
écrire en lettres en utilisant les mots unité, dixième, centième, millième.
Lors de la mise en commun le problème du zéro terminal sera abordé: 3,40 = 3,4 mais, 2,05 ≠ 2,5 ;
0,1 ≠ 0,01
ÉTAPE 3: Écriture à virgule et fractions usuelles
On demande d'écrire avec une virgule 1/2 ; 1/4 ;3/4 et de justifier.
L'objectif n'est pas ici d'assurer une maîtrise de ces écritures, mais de donner l'occasion aux élèves de
1
repérer des erreurs comme
= 1,2.
2
La validation se fait en plaçant les fractions sur la graduation et en explicitant ainsi les égalités :
Activités d'accompagnement
a) Combien de dixièmes dans 5 unités, d'unités dans 300 centièmes, de centièmes dans 25
dixièmes?
b) Lire de différentes façons 12,05 ; 0,103 ; 6,25 ; 2,3 ; 1,03.
c) Écrire avec une virgule 5 millièmes; 25 unités et 3 centièmes; 50 centièmes.
d) Écrire avec une fraction
ction 0,2 ; 0,5 ; 0,25 ; 0,75 ; 1,5 ; 0,60 ; 3,750.
e) Quel est le nombre entier le plus proche de 3,06 ; de 1,7 ; de 2,09 ?
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