Les montages à Amplificateurs Opérationnels

Transcription

Chapitre 1 : Rappel sur les outils d’analyse
Chapitre 2 : L' Amplificateur Opérationnel
Chapitre 3 : Les montages de base de l’ AO en regime linéaire
Chapitre 4 : Les montages de base à AO en régime non-linéaire
Chapitre 5 : Montages pratiques
Cours d’Electronique, ENI2, Bruno François
1
Rappel sur les outils d’analyse
2
Rappel sur les outils d’analyse
3
4
1) Les lois de Kirchoff
1.1) La loi des nœuds
La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme
des courants qui en partent.
i5
i1
i4
i3
i2
5
 in  0
i1 + i2 = i5 + i4 +i3
n1
Avec une convention de signe sur le sens des courants entrants et
sortants
5
1) Les lois de Kirchoff
1. 2) La loi des mailles
La somme algébrique des tensions le long d’une maille est égale à zéro
i
R2.i
R1
R1.i
Maille
R2
E1
E1 – R1.i – R2.i = 0
6
1.2 Le diviseur de tension
Cette formule s’obtient facilement à partir des lois précédentes mais
elle est très utile car elle permet d’obtenir rapidement le bon résultat.
i
V
R1
i’=0
i
V '
V’
R2
R2
V
R1  R2
Attention pour que la formule soit valable il faut que le courant de
sortie (i’) soit nul ou négligeable.
7
1.3 Théorème de Thévenin / Norton
Le procédé consiste à modifier le schéma du circuit en substituant un
certain nombre d’éléments par un schéma équivalent.
Schéma équivalent de Thévenin
Schéma équivalent de Norton
A
Rth
A
In
Rn = Rth
Eth
B
B
Tension de Thévenin : Eth
Courant de Norton : In
Résistance de Thévenin : Rth
Résistance de Norton : Rn
C’est la résistance vue des deux bornes (A,B) avec les générateurs remplacés par leur
résistance interne
Résistance de Thévenin = Résistance de Norton
8
Exemple : Application du théorème de Thévenin
Calculez le générateur de Thévenin équivalent entre les bornes A et B
R3
R1
A
A
R2
Rth
R4
R4
Eth
E
B
B
Tension de Thévenin (Eth)
R3
Résistance de Thévenin (Rth)
R3
i=0 A
A
Eth
R1
R2
R1
R2
E
B
B
9
1.4 Théorème de superposition
Dans un circuit linéaire soumis à l’action de plusieurs sources
indépendantes, la tension aux bornes d’un élément s’obtient en effectuant
la somme algébrique des tensions, dues à chaque source prise
individuellement et agissant seule.
L’annulation d’une source de tension revient à la remplacer par un courtcircuit et l’annulation d’une source de courant revient à la remplacer par
un circuit ouvert.
Ce théorème est très pratique car il permet de séparer des actions créées
par différents phénomènes, mais il nécessite que le dispositif étudié soit
linéaire.
10
1.4 Théorème de superposition
Exemple
A
UAB
R1
R2
E1
E2
B
A
A
UAB’
UAB’’
R1
R2
R2
R1
E2
E1
B
B
11
1.5 Théorème de Millman
Ce théorème est très utile pour les circuits comptants de nombreuses
branches en parallèle.
Il se démontre en faisant la somme des courants de chaque branche, cette
somme étant nulle.
A
UAB
R1
R2
R3
E1
E2
E3
R4
R5
E5
B
n
E
 Rii  U AB
i 1
 n 1
   
 i 1 Ri 
12
Chapitre 3 : Les montages de base de l’ AO en regime linéaire
Chapitre 4 : Les montages de base à AO en régime non-linéaire
Chapitre 5 : Montages pratiques
13
Généralité
L' amplificateur opérationnel comprend trois étages :
-un étage d'entrée différentiel chargé d'amplifier une différence de
potentiel entre deux signaux (V+ et V-) :
A. (V+ - V-),
- un étage présentant un très fort gain, idéalement proche de l'infini,
- un étage de sortie permettant de délivrer le signal de sortie avec une
faible résistance
14
Généralité
Schéma interne d’un AO : LM 741
Etage
différentiel
IC op-amp diagram
15
2 Boîtier
Boîtier DIL (Dual In Line)
16
3 Symbole
Le symbole normalisé AFNOR, IEEE
+

Le symbole généralement utilisé
17
4 Caractéristiques essentielles de l' a.o.
V -, la tension entre l'entrée inverseuse et le potentiel de référence
V+, la tension entre l'entrée positive et le potentiel de référence
, la tension d'entrée différentielle (V+-V-)

V+
+
is
A.
Zout
Vs
Zin
V-
-
18
1) Son amplification aux fréquences basses est considérable (par exemple de 103 à
109), cela est dû aux nombreux étages amplificateurs qu'il comporte :
A=
Vs
+
V -V2) Bien sur, quelque soit le gain, la tension de sortie ne peut jamais dépasser la
tension d'alimentation,
3) Le module de l'amplification décroît lorsque la fréquence augmente (par suite
des «capacités parasites» des transistors) mais sa bande passante est souvent
considérable (par exemple plusieurs dizaines de mégahertz)

V+
+
is
A.
Vs
Zout
Zin
-
V-
19
4) Son impédance d'entrée est très élevée (de 1 M à M) :
Zin = (V+ - V-)
I+
5) Son impédance de sortie (Zout) est très faible (au maximum quelques kiloohms).

V+
+
is
A.
Zout
Vs
Zin
V-
-
20
5 Branchement des alimentations des a.o
La sortie Vs doit pouvoir prendre des valeurs positives et négatives et donc
l'AO doit être alimenté par des tensions positives et négatives

V+
Vcc
+
Vs
V-
-Vcc
-
Vs
Vcc
Pente : A
(très grande)

-Vcc
Zone linéaire
21
6 Le slew-rate
Le Slew rate (SL) est la vitesse de croissance maximale de la tension de
sortie.
Il s’exprime en volts par micro seconde
22
6 Le slew-rate
Pour un signal sinusoïdal de sortie le dVs/dt ne peut pas dépasser le SL.
Il en résulte une limitation en fréquence en fonction de l’amplitude
(triangularisation).
Par exemple :
Si Vs = Vm .cos .t est le signal de sortie, la condition est
dVs  SL
dt
soit encore
23
7 L'A.O. idéalisé
AO réel
Amplification en boucle ouverte : A = 20. 104 à 20 106
AO idéal
infini
: Zin= 1M à 20 M 
Impédance d’entrée
Impédance de sortie :
infini
0
Zout= 10
Courant de polarisation : Ip=(Ip+-Ip-)/2 = 20pA à 500pA
0 pA
Id = | Ip+-Ip-|= 20pA à 100pA
0 pA
0,5V/µS à 100V/µS
infini
Courant de décalage
Slew rate :

V+
+
is
A.
Zout
Vs

V+
+
A.
is
Vs
Zin
V-
-
V-
-
24
7 L'A.O. idéalisé
Idéalement, on considère que :
* Gain en tension (A) infini Vs = A. (V+ - V-).
* Impédance d'entrée infinie, ce qui entraîne que les courants d'entrée sont nuls
* Impédance de sortie nulle, ce qui conduit à considérer la sortie comme une
source de tension indépendante du courant is.
* Bande passante infinie

V+
+
V-
A.
is
Vs
-
25
Montage à Amplificateur opérationnel en
fonctionnement linéaire
Chapitre 3 : Les montages de base de l’ AO en fonctionnement linéaire
Chapitre 4 : Les montages de base à AO en fonctionnement non-linéaire
Cours d’Electronique, IG2I, ENI2, Bruno FRANÇOIS
26
Régime linéaire
Montage à Amplificateur opérationnel en
fonctionnement linéaire
3.1 La contre réaction
3.2 Principe et règles d'or
3.3 Amplificateur Inverseur
3.4 Amplificateur Non Inverseur
3.5 Opérations non-linéaires
3.6 Intégrateur/dérivateur
27
1 La réaction (Automatique)
Le principe de la réaction consiste à réinjecter une partie du signal de sortie à l’entrée
du circuit pour le combiner avec le signal de sortie.
Dans la réaction positive, on réinjecte une partie du signal de sortie en phase avec le
signal d’entrée.
Ceux ci vont s’additionner pour produire un signal de sortie plus grand.
Ces montages ont un fonctionnement non linéaire Vs {-Vcc,+Vcc} et seront étudiés
plus tard
Dans la réaction négative, on réinjecte une partie du signal de sortie en opposition de
phase avec le signal d’entrée.
Ceux ci vont se soustraire pour produire un signal de sortie inférieur.
Ces montages ont un fonctionnement linéaire Vs [-Vcc,+Vcc] et sont maintenant
étudiés.
28
1 La contre réaction (Automatique)
Source
Ve
A.O.
 A
+_
Récepteur
Vs
B
Vr
Vs =A. 
Vs =A. Ve- Vr=A. Ve- B.Vs
B est le gain de contre réaction
Vs (1+A.B) =A.Ve
Vs =
Vs =
A est le gain en boucle ouverte
A .Ve
1+A.B
Si A est infini
1
.Ve
Vs = 1 .Ve
1 +B
B
A
Le gain du montage ne dépend plus de celui de l’AO !
29
1 La contre réaction
Source
Ve
 A
+_
Récepteur
Vs
B
Vr
Vs = 1 .Ve
B
Le gain en tension du montage en boucle fermée devient indépendant
de A
On a une diminution du gain et une meilleure stabilité par
rapport aux perturbations.
La preuve …
30
1 La contre réaction: Impact sur une perturbation
Perturbation
Vp
Source
Récepteur
+
 A
+
+_
Vs
Ve
B
Vr
Vs =A.  Vp
Vs =A. Ve- Vr Vp =A. Ve- B.Vs Vp
Vs (1+A.B) =A.Ve  Vp
Vs =
A .Ve   Vp
1+A.B
1+A.B
Si A est infini
La tension parasite
est atténuée
On a une meilleure stabilité par rapport aux perturbations
31
Exemple : Contre réaction (B) réalisée avec des résistances
 A
+_
Source
Ve
Récepteur
Vs
B
Vr
Vp
Vs =A. 
Vs =A. Ve- Vr
+15 V
Ve
+
-
Vs
-15 V
R2
avec Vr =
R1 .Vs
R1 + R2
VR
R1
32
Vs =A. 
avec Vr =
R1 .Vs
Vs =A. Ve- Vr
R1 + R2
Vs .(1+ A. R1 ) = A.Ve
R1 + R2
Vs .( 1 +
R1 ) = Ve
A R1 + R2
Si A est infini
Vs  R1  R2
Vs =
1
.Ve
Ve
R1
1+
R
1
A
+15 V
R1 + R2
Ve
+
Vs
-
-15 V
R2
Vs 1 R2
Ve
R
1
VR
R1
33
+15 V
Ve
+
-
Vs
-15 V
R2
VR
R1
Si, à cause d’une perturbation quelconque, la tension de sortie Vs
augmentait un peu
La tension Vr augmenterait également
La tension différentielle (=Ve-Vr) diminuerait
ce qui forcerait la sortie à diminuer car Vs= A .
Le retour de la tension de sortie sur l’entrée négative a un effet
stabilisateur
34
Caractéristique fréquentielle
Av 0
A.O. idéal
Av s 

d
Le gain réel (Av) n’est pas constant en fonction de la fréquence:
La caractéristique du gain est assimilable à un filtre passe bas
1
: Gain statique
A
A v  j   A v0 
v0

1  j.
 : Pulsation dominante

d
d
La bande passante (à -3dB) est définie par la fréquence fb telle que :
d  2    f d
Remarque:
Pour rendre la fonction de transfert Av(s) équivalente à un premier ordre, une capacité est
ajoutée dans le composant
35
Av 0
Av s 
A.O. compensé
par le pôle pd
Av s 
A.O. non compensé

d
Av  j

A v0 
1
1  j.

d
La bande passante (à -3dB) est définie par la fréquence fb telle que :
d 2  fb
Le produit gain-bande passante est alors donné par :
Av0  d  CONSTANTE
36
On considère l’A.O. contre réactionné par un gain B.
 Av
Source
Ve
+_
Récepteur
Vs
B
Vr
Vs =Av. 
Vs =Av. Ve- Vr=Av. Ve- B.Vs
Av est le gain en boucle ouverte
Vs (1+B. Av) =Av.Ve
1
B est le gain de contre réaction
Av0 .
1  j.
V s (j  )
A v (j  )


V e (j  )
1  B . A v (j  )
1  B . Av0 .

d
1
1  j.

Av0

1  j.

d
Av0 
1 B Av0 1  j.

 B . Av
d
1
0

(1  B Av0)  d
37
Av0
V s (j  )


1  B  Av0 1  j.
Ve (j  )
Av ( B )
1
 Av 

(1  B  Av0 )   d
La pulsation de coupure varie en fonction de la valeur du gain K :
1
1  j.

c
 c ( B )  (1  B  Av 0 )   d
Le produit gain-bande passante du système en boucle fermée est constant :
GBW BF  Av0d  AvB  .cB 
Constante
Exemple :
A


  v 0
B  10 , Av  10
11
Av0
 Av 0 
Av 0 .  d


GBW BF
 c  10  

 11 .  d
A
Av 0
 10 
 v0 

Av 
11
 Av 0 
Impossible d’afficher l’image.
B  100 ,
Av0

 c  100
 Av 0
Av 0 .  d

GBW BF
 

 101 .  d
Av 0
 100 


Av 
101
 Av 0 
Av BF
Av 0
Av
11
A v
101
Diagramme de Bode pour différents gains
B 0
0
B  10
Av 0
0
B  100
Av 0
d

d
d
38
Plus le gain de réaction B est grand :
_ plus la bande passante est importante
_ plus le gain du montage est petit
Av BF
Diagramme de Bode pour différents gains
B 0
Av 0
Av
11
0
B  10
Av 0
A v
101
0
B  100
Av 0

d
d
d
39
2 Principe et règles d'or
Si l’A.O. est idéal
Les courants d'entrée de l'amplificateur opérationnel
négligeables. En effet les impédances d'entrée sont infinies.
I+ = I- = 0

V+
V-
+
I+
A.
sont
is
Vs
- I-
Si il y a une réaction de la tension de sortie sur l'entrée inverseuse
(principe de réaction négative), alors
Le montage fonctionne en linéaire
V+ = VPreuve :
= (V+ - V-) = Vs
A
-> 0, si A tend vers l’infini,
40
3 Amplificateur Inverseur
2.1 Montage de base
R2
i
R1
M
+15 V
-
ve

vs
+
-15 V
Fonction de transfert -> déterminer Vs(t) en fonction de Ve(t) et des éléments du
montage
Plusieurs méthodes sont envisageables
A titre d’exemple en voici trois
41
3.1 Montage de base
R2
is
ie
R1
M i
-
ve
  i+
-
+15 V
vs
+
-15 V
Montage en contre réaction négative, donc  = 0, donc V+ =VL’A.O. est idéal: I+ = I- = 0
La loi des mailles / loi des nœuds :
Ve R1.Ie
Vs R2.Is
Vs  R2
Ve R1
Ve Vs

0
R1 R 2
Vs  R2
Ve R1
et Ie=Is car I- =0
Théorème de Millman : Ie – Is = I-
42
3.1 Montage de base
R2
is
ie
R1
M i
R2
is
+15 V
-
ve
 i+
vs
+
R1
ie
M i
-
ve
 i+
-15 V
Le théorème de superposition :
On annule Vs la tension  vaut : Ve R1R2R2
  Ve R 1R2R 2 Vs  R 1R1R 2
0Ve R2 Vs R1
R1R2
R1R2
Vs  R2
Ve R1
43
2.1 Montage de base
R2
is
ie
R1
A i
-
ve
 i+
-
+15 V
+
-15 V
vs
Vs  R2
Ve R1
Un signal positif en entrée devient négatif en sortie.
Inverseur
Le gain du montage est fixé par les valeurs des résistances.
Comme l’entrée non inverseuse est reliée à la masse, indirectement l’entrée
inverseuse l’est aussi !
On dit encore que l’entrée inverseuse est une masse virtuelle.
44
3.1 Montage de base
R2
is
ie
R1
A i
-
ve
 i+
-
+15 V
+
-15 V
vs
Vs  R2
Ve R1
1,5
Ve (V)
1
Vs (V)
Exemple : R1 = 10k et R2=100k
0,5
Vs 10
Ve
0
0
2
4
6
-0,5
-1
-1,5
45
C:\utilisateur\bruno\cours\ig2i\L2 ao\aop.htm
46
3.1 Montage de base
R2
is
R1
ie
A i
-
ve
 i+
-
+15 V
+
-15 V
vs
Vs  R2
Ve R1
Résistance d’entrée : Re 
Ve
Ie
ReR1
VeR1.Ie
47
3.3 Généralisation à des impédances quelconques
is
ie
R1
A i
Z2
R2
-
ve
 i+
-
+15 V
I
-15 V
A
-

vs
+
Z1
+
Ve
Vs
B
Vs  R2
Ve R1
Vs  Z2
Ve Z1
R1 -> Z1
R2 -> Z2
48
3.3 Généralisation à des impédances quelconques
Si Ve(t) est une sinusoïde de pulsation on utilise les impédances harmoniques
Vs ( j )
Z 2 ( j )

Ve( j )
Z1( j )
Si Ve(t) est un signal quelconqueon utilise la variable de Laplace (p)
Vs ( p )
Z 2( p )

Ve( p )
Z1( p )
49
3.4 Sommateur inverseur
R1
v1
R
Rn-1
vn-1
Rn
vn
-
+15 V
+
-15 V
vs
Théorème de superposition :
On annule tous les générateurs sauf V1
R1
v1
R
Rn-1
Rn
Toutes les résistances d’entrée sont
en parallèle sauf R1
-
+15 V
+
-15 V
vs’
R’= (Rn//Rn-1// ... //R2)
50
R1
v1
R
Rn-1
vn-1
Rn
vn
-
+15 V
+
-15 V
vs
Théorème de superposition sur chaque entrée
On détermine le générateur équivalent de
Thévenin et son impédance
Eth1 V1 . R'
R1  R'
Rth1 
R
R1
v1
R’
R'.R1
R1  R'
-
+15 V
+
-15 V
vs’
51
R1
v1
R
Rn-1
vn-1
Rn
vn
-
+15 V
+
-15 V
vs
Théorème de superposition sur chaque entrée
On éteint tous les générateurs sauf V1
On détermine le générateur équivalent de
Thévenin et son impédance
Eth
R'.R1
Eth1 V1 . R'
Rth1 
R1  R'
R1  R'
R'R1
R'R1 R'
Vs'  R .Eth1 R.
.Eth1 R.
.
.V1
Rth1
R'.R1
R'.R1 R'R1
Vs'  R .V1 pour l’entrée V1
R1
R
Rth 1
1
-
+15 V
+
-15 V
v s’
52
R1
v1
R
Rn-1
vn-1
Rn
vn
-
+15 V
+
-15 V
vs
Vs'  R .V1
R1
En recommencant pour chaque entrée et en faisant la somme :
Pour l’entrée V1 :


Vs  -R. 1 .V1 ... 1 .V,n1 1 .V,n 
Rn1
Rn 
 R1
1/Rn est un coefficient pondérateur affecté à chaque entrée
qui permet de faire varier ou d'adapter le gain de chaque entrée
53
C:\utilisateur\bruno\cours\ig2i\L2 ao\aop.htm
54
3.5 Convertisseur numérique - analogique
Objectif: Convertir un nombre binaire en une tension analogique.
Application: Générer un signal audio à partir d’un fichier binaire (mp3)
Un chiffre binaire, 0 ou 1, est représenté sous forme analogique par une tension prenant
les valeurs respectives entre 0V et 5V.
b3 : 0
b2 : 1
b1 : 0
b0 : 0
R4
R3
R
R2
R1
Eréf
ia
-
+15 V
+
-15 V
vs
Montrer que ce montage est une application du montage sommateur inverseur
55
56
4 Amplificateur Non Inverseur
4.1 Montage de base
R2
R1
-
+15 V
+
-15 V
Vs
Ve
V - = V+
Le gain en tension est toujours positif et supérieur à 1.
R1
Vs Ve
R1  R2
La résistance d'entrée de ce montage est très grande.
Théoriquement si le courant d'entrée est nul, cette
résistance d'entrée serait infinie.
Ve
Re théorique 

ie
Vs  R1  R2
Ve
R
1
Vs 1 R2
Ve
R
1
57
4.2 Montage suiveur
C’est un montage non inverseur pour lequel : R1= et R2=0
R2
R1
-
+15 V
+
-15 V
+15 V
+
-15 V
Vs
Vs
Ve
Ve
Vs 1
Ve
Ce montage est utilisé comme adaptateur d'impédance car sa résistance d'entrée est
très importante. Résistance d'entrée 
58
4.2 Montage suiveur
Application en adaptateur d’impédance
Lorsque l’on charge un montage par un autre, l’interaction des impédances des
montage amont et aval altère la tension E prélevée. Et, alors Vc devient différent de E
Montage amont
Zs
Montage aval
Vc
Vc
E
Zc
Zc
.E
Z s  Zc
Pour éviter cet inconvénient, il faut transmettre la tension avec un courant extrait nul.
C’est ce que réalise le montage suiveur.
VcVe
+15 V
Montage amont
Ve E car I  0
Montage aval
Zs
E
Ve
Vc
+
-15 V
Vc E
Zc
59
4.3 Montage sommateur non inverseur
RB
R2
R1
-
+15 V
+
-15 V
RA
+15 V
+
-15 V
R1
Vs
Ve
-
v1
Vs
Rn-1
vn-1
Rn
vn
60
61
5 Amplificateur Différentiel
R2
R1
v1
-
+15 V
+
-15 V
vs
v2
R3
R4
R2
On obtient un montage inverseur
R1
v1
-
+15 V
+
-15 V
V’s
R
Vs'   2 .V1
R1
R3
R4
62
Vs'  
R2
.V1
R1
On obtient un montage non inverseur
R1
-
+15 V
+
-15 V
vs’’
 R  R
Vs''  1 2  . 4 .V2
 R1  R3  R4
Vs  Vs'  Vs'' 
R2
v2
R3
R4
 R2
R R
R
.V1  1 2 . 4 .V2
R1
R1
R3  R4
Si (R1 + R2) = (R3 + R4)
Vs  Vs'  Vs'' 
Vs 
Avec R2 = R4 et R1 = R3
Gain en mode différentiel : AVMD 
 R2
R
.V1  4 .V2
R1
R1

R2
.V2  V1
R1

Amplificateur soustracteur
R2
R1
63
Gain en mode différentiel : AVMD  R2
R1
Vs = AVMD.( V2 - V1 )
En réalité, à cause des imperfections de l’amplificateur opérationnel,
il existe un gain en mode commun : AVMC
Vs = AVMD (V2 - V1 ) + AVMC .(V2 + V1 )
Le gain en mode commun : AVMC doit etre le plus petit possible
Taux de réjection du mode commun  MC = AvMD
Av MC
En dB MC _dB = 20logAvMD  20log AvMC
64
65
6 Opérations non-linéaires
6.1 Convertisseur logarithmique
vd
id
ve
I
R
-
+15 V
vs
+
I  1 .Ve
R
I  I d  I sat .e
Vd  - Vs

q .Vd
k .T
-15 V
avec Isat, le courant de saturation de la diode.
V
Vs  k.T .Ln e
q
R.Isat
Ve doit se trouver dans la caractéristique exponentielle de la diode :
0Ve Vseuil
-> transistor polarisé et fonctionnement en diode.
66
6.2 Convertisseur exponentiel
R
ve
-
+15 V
+
-15 V
vs
I d  I sat .e

I   1 .Vs
R
q.Ve
k .T
avec Isat, le courant de saturation de la diode.
Vs  - R .I sat .e

q .Ve
k .T
67
6.3 Multiplicateur
Ve 1
ln
Sommateur
inverseur
Ve 2
exponentiel
Vs
ln
68
6.3 Multiplicateur
T
R
+15 V
ve1
+
R’
vsa
R
-15 V
R’
+15 V
+
R’
R
ve2
+15 V
-
v1
-15 V
+
vs1
-15 V
+15 V
+
vsb
-15 V
 k .T
V
k .T
V
.Ln e1 
.Ln e 2

 q
q
R .I sat
R .I sat


k .T
V .V
.Ln e1 e 22
q
R .I sat







Vs   . Ve1 .Ve 2

69
7 Intégrateur/dérivateur
7.1 Dérivateur
R
C
ve
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
I c t   C.
dVes t 
dt
I t    1 .Vs t 
R
Ic t   I t 
dV t 
Vs t    R.C . e .
dt
70
7.1 Dérivateur
R
C
+Vcc
-
ve
vs
+
-Vcc
dV t 
Vs t    R.C . e .
dt
Inconvénient :
Ce montage est sensible aux tensions parasites (bruits).
Les fortes variations introduites par les perturbations sont amplifiées et la sortie
sera couverte d'oscillations.
Solution :
Diminuer le gain de ce montage aux hautes fréquences (fréquences auxquelles
apparaissent les perturbations
-> on ajoute une résistance R’
71
7.1 Dérivateur
R
R’
ve
C
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
Ce montage fonctionne en dérivateur aux basses fréquences.
72
7.2 Intégrateur ou Intégrateur inverseur de Miller
C
R
ve
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
I t   1 .Ve t 
R
dV t 
Ic t   C. s
dt
Ic t   I t 
Transformée
de Laplace
1 .V  p  C .p .V  p
s
R e
Vs  p 
Ic  p   C .p .Vs  p 
Ic  p   I  p 
Transformée inverse
1 .V  p
R.C.p e
de Laplace
7.2 Intégrateur
I  p   1 .Ve  p 
R

Vs t  1 . Ve t dt  C.I.
R.C
73
Application: On applique un signal d’entrée en créneau, déterminez le signal de
sortie
Ve
V
M ax
t
Vs
V s (t0 )
t
-V c c
Il faut décharger le condensateur !
74
R’
7.2 Intégrateur
C
Ic
R
ve
I
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
Ce montage fonctionne
en intégrateur aux fréquences élevées (quand le condensateur est actif) et
en amplificateur aux basses fréquences.  R'
R
75
76
ANNEXE
Amélioration du montage inverseur
par utilisation d’une résistance de compensation
Généralement, pour les études théoriques, on considère les amplificateurs
opérationnels comme idéaux.
En réalité, il existe des courants de polarisation (I+ et I -) entrant dans les entrées
inverseuses et non inverseuses.
On considère donc deux sources de courant qui représentent les courants
absorbés par les entrées.
R2
Ie
R1
- I-
+15 V
v1

+
I+
vs
-15 V
R0
La résistance R0 connectée sur l'entrée non inverseuse permet de réaliser une
compensation de ces courants et donc de les négliger
77
ANNEXE
R2
R1
Ie
- I-
+15 V
ve

+ I
+
vs
-15 V
R0
Pour déterminer l'influence des trois entrées (Ve, I+, I -), on applique le théorème de
R2
superposition.
Ve seul (I-=0 ;I+=0)
R1

-
Idéal
+
Ve
Vs’
R0
Vs   
R2
 Ve
R1
78
ANNEXE
R2
R1
Ie
- I-
+15 V
ve

+ I
+
vs
-15 V
R0
Vs   
Ve seul (I-=0 ; I+=0)
R2
 Ve
R1
I- seul (Ve=0 ; I+=0)
On veut maintenir la condition : =0 et donc V+-V -=0
R2
0V
R1

-
Idéal
+
Vs’’
I-
R0
Vs" R2I 
Le courant I- ne peut circuler que dans R2
79
ANNEXE
R2
Ie
R1
- I-
+15 V
ve

+ I
+
vs
-15 V
R0
R2
 Ve
R1
Vs   
Ip- seul (Ve=0 ;Ip+=0)
Vs" R2I 
Ip+ seul (Ve=0 ;Ip-=0)
On veut toujours maintenir la condition : =0
V  V 
R1
 Vs    R 0  Ip 
R1  R 2
Vs /// R0 R1 R2 I 
R1
R2
R1

I+
+
Idéal
Vs’’’
R0
I+
80
ANNEXE
R2
Ie
R1
- I-
+15 V
ve

+ I
+
vs
-15 V
R0
R2
 Ve
R1
Vs   
I- seul (Ve=0 ;I+=0)
Vs" R2I 
Vs /// R0 R1 R2 I 
R1
I+ seul (Ve=0 ;I-=0)
Vs  Vs / Vs // Vs ///   R2Ve  R2I   R1 R2R0I 
R1
R1
Tension de décalage
Généralement I+=IPour l’annuler, il faut choisir : R0 
Vd  R2I   R1 R2 R0I 
R1
R1  R 2
R1  R 2
81
Application des amplificateurs
opérationnels au filtrage analogique
Cours d’Electronique, ENI2, Bruno François
82
Les filtres
83
84
Décomposition d'un signal en série de Fourier
Un signal périodique se décompose en une série infinie de fonctions


sinusoïdales



xt   X o   Cn . cos n.o .t   S n . sin n.o .t
n 1


n 1

xt   X o   X n . sin n.o .t   n

n 1
Exemple : La courbe périodique rouge est la somme de 4 premières
sinusoïdes de pulsations différentes et d’amplitudes différentes00
x
1
1
To
To/2
T
t
0
0
-1
-1
T/2
x
o 
2.
To

o o


t
Décomposition d'un signal en série de Fourier
On peut extraire de la courbe rouge la courbe verte (de période T) en
éliminant les trois autres sinusoïdes
x
Action du filtrage
1
T/2
T
t

0
o o


-1
1
T
0
t
T/2
-1
85
Définition et types de filtres
Définition :
La fonction filtrage permet de supprimer des signaux de fréquence non désirée.
Il existe deux types de filtres :
Les filtres passifs :
Ils ne sont composés que d’éléments passifs ( résistances, condensateurs, bobines ).
Ve
Vs
Ve
Vs
Les filtres actifs :
Il y a en plus une amplification du signal d’entrée par un élément actif ( AOP,
Transistor ).
Ve
Vs
Ve
Vs
86
Comportement des impédances en fonction de la fréquence
L’impédance d’une résistance est constante en fonction de la fréquence
Pour les autres …
Basses Fréquences
Hautes Fréquences
j.L .
0

1
j.C .

0
Qu’ils soient actifs ou passifs, les filtres laissent ou ne laissent pas passer certaines
fréquences.
Ainsi on distingue 4 sortes de filtres :
• Les filtres Passe-Bas ( ne laissent passer que les fréquences basses )
• Les filtres Passe-Haut ( ne laissent passer que les fréquences hautes )
• Les filtres Passe-Bande ( ne laissent passer qu’une plage de fréquences )
• Les filtres Coupe-Bande ( ne laissent pas passer une plage de fréquences )
87
Caractérisation d’un filtre
Un système linéaire est mathématiquement décrit par sa FONCTION DE
TRANSFERT ou TRANSMITTANCE :
T( j ) =
Vs ( j )
Ve ( j )
Vs ( j ) est le signal en sortie du filtre
Ve ( j ) est le signal à l’entrée du filtre
FILTRE
Ve
Vs
88
Représentation par un lieu de Bode
Pour un signal d’entrée quelconque :
x(s)
y(s)
système
Y( s )
( s  z1 ).( s  z 2 ) . . .( s  z m )
T( s ) K .
X( s )
( s  p1 ).( s  p2 ) . . . ( s  pn )
Pour un signal d’entrée sinusoidal :
x(j)
y(j)
système
y(t)
x(t)
x0
x0
y0
t
t

( j  z1 )( j  z 2 ) . . .( j  z m )
Y ( j )
 T ( j )  K .
X ( j )
( j  p1 )( j  p2 ) . .. ( j  pn )
89
1) Il faut normaliser l’expression de la fonction de transfert en faisant
apparaître que des parties réelles unitaires.
2) L’expression logarithmique de la fonction de transfert permet de
transformer les multiplications et divisions en additions et
soustractions.
Exemple :
(
j
1) .
j
Y ( j )
c 2
 T ( j )  K . c1
j
j

X ( j )
(
1) .
20 log T ( j ) 
 20.log | K |  20.log |
c 3
j
c1
 1 |  20.log |
j
c 2
c 4
|  20.log |
j
c 3
 1 |  20.log |
j
c 4
|
En général, quatre termes génériques sont à distinguer :
20.log|K| 20.log| j | - 20.log | j | 20.log| j 1|
c
c
c
90
Feuille de papier semilogarithmique pour le tracé de lieu de Bode
 (rad/sec)
91
Représentation d’un lieu de Bode
Le terme 20.log|K|, ne dépend pas de la fréquence,
il est constant quel que soit la pulsation
20.log|K|
20

0
-20
c
10
c
10.c
92
20.log|
j
| = 0dB
c
si
-> infini si
-> -infini si
= +20dB si
= -20dB si
= c
-> infini
-> 0
= c
= c
+20db/dec
20

0
-20
c
c
10.c
10
93
si = c
20.log| 1 | = 0dB
j
-> infini si -> 0
c
-> -infini si -> infini
= -20db si = c
-20db/dec
= +20dB si = c
20

0
-20
c
10
c
10.c
94
20.log|
j
1| = 0dB
c
si -> 0
-> infini si -> infini
= 3dB
si = c
 +20dB si = 10.c
20

0
-20
c
c
10.c
10
95
= 0dB si -> 0
-> -infini si -> +infini
= -3dB
si = c
 - 20dB si = 10.c
20.log| 1 |
j
1
c
20
0
-20
c
10
c
10.c
96
T ( j )  25000 .
j  10
( j  5) . ( j  500)
97
98
Exemple : filtre passif du 1er ordre
Le calcul de la TRANSMITTANCE sera faite sur un filtre RC de type Passe-Bas.
Vs( j ) =
99
Exemple : filtre passif du 1er ordre
Traçé du lieu de Bode
Le gain s’exprime en décibel :
G ( dB ) = 20 * log Vs(j)
Ve (j)
( Log du module de T( j ) )
Quelques valeurs :
G ( dB ) = 20 * log
1
 ( 1 + R12 C12 2 ) )
F = 10Hz  G = 0 dB
F = 160Hz  G = - 3dB
F = 1000Hz  G = - 38dB
100
Courbe de gain d’un filtre passif du 1er ordre
La courbe de gain du filtre RC
0
Le gain est nul ( Vs = Ve )
Le gain commence à chuter
( Vs < Ve )
-20 dB
Le gain devient faible
( Vs << Ve )
-40 dB
100 Hz
10 Hz
1 kHz
C’est un filtre passe bas
101
Quelques remarques et définitions
 La fréquence pour laquelle la tension de sortie est atténuée de 2 par rapport à sa
valeur maximale s’appelle :
la FREQUENCE de COUPURE
 C’est aussi la fréquence pour laquelle le gain est atténué de -3 dB par rapport au
gain maximum ( ici 0 dB )
Vs(jc) = Vs_max
Ve(jc)
Ve(j)
1
2
20 * log Vs(jc) = 20 * log Vs_max -20 * log 2
Ve (jc)
Ve
G(jc) = Gmax - 3 dB
102
Fréquence de coupure d’un filtre passif du 1er ordre
Gmax
0
-3 dB
-20 dB
-40 dB
100 Hz fc
10 Hz
1 kHz
Avant la fréquence de coupure, on retrouve en sortie la quasi totalité du signal
 Après cette fréquence, le signal de sortie est fortement atténué
103
Quelques remarques et définitions
 Le filtre étant d’ORDRE 1, le gain diminue de 20 dB / décade après la fréquence
de coupure
c’est-à-dire chaque fois que l’on multipliera par 10 la fréquence,
le gain baissera de 20 dB.
Notre exemple :
A f = 1 kHz le gain est de – 40 dB environ.
A f = 10 kHz le gain sera de –60 dB environ
A f = 100 kHz le gain sera de –80 dB environ …
104
Déphasage d’un filtre passif du 1er ordre
Il apparaît aussi un déphasage entre la tension d’entrée et la tension de sortie.
déphasage en radians
0
-0,5
-1
-1,5
100 Hz
10 Hz
1 kHz
Celui-ci est nul une décade avant la fréquence de coupure,
Il est de 45° à la fréquence de coupure et
de 90° une décade de fréquence après la fréquence de coupure.
105
Déphasage d’un filtre passif du 1er ordre
Chronogrammes ( déphasage )
La fréquence du signal d’entrée est de 10Hz
et on observe un déphasage pratiquement nul.
L’amplitude du signal de sortie est quasiment
la même qu’en entrée.
La fréquence du signal d’entrée est de
160Hz et on observe un déphasage de 45°.
Nous sommes à la fréquence de coupure !
Vs max = Ve max /  2
G ( dB) = -3 dB
106
Intérêt des filtres actifs
Ils sont constitués de résistances, de condensateurs et d’amplificateurs
opérationnels
Les avantages :
_ une impédance d’entrée élevée
_ une faible impédance de sortie
_ un gain en tension > 1
Remarque :
Idéalement, il faudrait Ze= infini et Zs=0
Voir cours sur l’adaptation d’impédance (montage suiveur)
107
Les filtres actifs du 1er ordre
20.Log(A)
-3 dB
Les filtres passe bas
T  j.   A 
1
1  j. 
c
Les filtres passe haut
T
 j. 
 A 
= c
-> 0
-> infini
= c
= c
fc
f
c
1  j. 

Limites :
f
20.Log(A)
-3 dB
j. 

fc
c
108
Les filtres actifs du 1er ordre
Les filtres passe bande
20.Log(A)
-3 dB
f
fc1
fc2
Les filtres coupe bande
20.Log(A)
-3 dB
f
fc1
fc2
109
Filtre actif passe bas du 1er ordre
R’
C
Ic
R
ve
I
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
Vs
Z
  2
Ve
Z1
Vs
R'
1

.
Ve
R 1  j . .R '.C
A
Détermination de la fréquence de coupure
1
T(j.)  R' .
R 1  2.R' 2.C 2
Le module de la transmittance est maximum pour =0
T(j.c )  1 .T(j.) max
2
Passe bas
T(j.) max  R'
R
1
R' .
 R' . 1
R 1  2.R' 2.C 2 R 2
c
Et donc c 
1
R'.C
110
Filtre actif passe haut du 1er ordre
R
R’
C
ve
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
j. .R .C
1

T ( j .  )  Vs   R .
j .  . R '. C 1
Ve
R ' 1
j. .C
Détermination de la fréquence de coupure
.R.C
T(j.) 
 R.
R'
2
2
2
1  .R' .C
1
1
1
 2.R' 2.C 2
Le module de la transmittance est maximum pour =
R .
R'
T(j.c )  1 .T(j.) max
2
T(j.) max  R
R'
1
 R .1
R' 2
1

1
c2.R' 2.C 2
Et donc c 
1
R'.C
111
Synthèse des filtres en utilisant des quadripôles
i2_cc
Q1
ve
Q2
i1_cc
-
+Vcc
+
-Vcc

vs
Le théorème de Thévenin permet de considérer chaque quadripôle par une
mise en série d’un générateur de tension et d’une impédance
Z th1
i1_cc i2_cc
E th1
Z th2
E th2

Eth1 dépend de Ve, donc Eth1 (ve )
Eth 2 dépend de Vs, donc Eth 2 (vs )
112
La tension aux bornes de chaque quadripôle vaut  = 0
i1 _ cc ( j ) 
Eth1 (ve )
est le courant de court circuit de Q1, d’où
Z th1
i1 _ cc ( j )   ( j ).ve ( j )
 est une admittance
De même
i2 _ cc ( j ) 
Eth 2 (vse ) est le courant de court circuit de Q2, d’où
Z th 2
i ( j )   ( j ).v
2 _ cc
Z th1
i1_cc i2_cc
s
( j )
Z th2
E th1
E th2

v s ( j )
 ( j )

ve ( j )
 ( j )
i1_cc  i2_cc
113
i 2_cc
Q2
 ( j )
ve
Q1
 (j )
i 1_cc
-
+V cc
+
-Vcc

vs
i1_ cc   .Ve
i2 _ cc   .Vs
i1_cc  i2_cc

Vs ( j )


Ve( j )
114
i 2_cc
Q2
 ( j )
Q1
ve
i 1_cc
 (j )
-
+V cc
+
-Vcc

vs
Application :
ie
R1
M
ve


Vs


Ve
R2
is
+15 V
-

vs
+
-15 V
i1 _ cc
Ve

1
R1
i2 _ cc

Vs
1
Vs
R2
  R1  
1
R1
Ve
R2

1
R2
115
Exemple d’application
C2
Q2
R
R
i
C1
R
Q1
R
ve
+15 V
2
C1
3
+
7
6
vs
4
-15 V
116
117
118
119
Filtre normalisé du second ordre
Filtre passe bas :
Filtre passe haut :
To  j .  
A
2
 
1  j .2.

 n  n2
2
T ( j . )   2 .To ( j . )
n
Filtre passe bande : T ( j )  j .2.  .To ( j )
n
2
Filtre coupe bande : T ( j . )  (1  2 ) .To ( j . )
n
 est le coefficient d’amortissement
 1
Butterworth
2
  1 Chebyschev
2
  1 Bessel
2
120
Filtre normalisé du second ordre
Déphasage (rad)
Gain (dB)
Chebyschev
1,4
10
Chebyschev
1,2
0
1
1
0,8
10
-10
Bessel
0,6
-20
0,4
0,2

n

n
Bessel
-30
0
0
2
4
6
8
10
-40
Butterworth
Bessel
Chebyschev
121
filtrage
Cellules prédéfinies: filtre de Sallen-Key (1965)
C
1
ve
R
R
1
2
A
C
vs
2
Passe-bas du 2ème ordre
A
vs 
ve R C R C ( j)2  C R  R   R C 1 A( j) 1
1 1 2 2
2 1
2
1 1
stabilité
A
R1  R 2 C2  1
R1C1
Les cellules de Sallen-Key permettent de réaliser tous les filtres polynomiaux
122
filtrage
Cellules prédéfinies: cellule de Rauch (2ème ordre)
R
2
C
ve
R
R
1
3
2
+
C
vs
1
vs

ve

R2
R1
 1
1
1 
( j )  1
R2 R3C1C 2 ( j ) 2  C 2 R2 R3  

R
R
R
3
2
 1

Y4
Généralisation:
Toujours stable
Y5
Y1
ve
Y2
Y3
+
vs
vs
ve

 Y1Y3
Y3Y4  Y5 Y1  Y2  Y3  Y4 
123

Les montages à Amplificateurs Opérationnels

Transcription

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