Examen I- De l`eau dans le diesel
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Examen I- De l`eau dans le diesel
Licence de Physique et Applications L3-PAPP Mécanique des fluides 2013-14 Examen Lundi 28 avril 2014 Durée: 3h. Sans documents. Calculettes autorisées. Barème indicatif: I= 5, II= 9 et III= 6 points/20. Tous les résultats doivent être justifiés par un raisonnement. Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat numérique devra être donné avec une unité. N.B.: Lorsqu’il est demandé d’exprimer par exemple f en fonction de a et b il faut comprendre en fonction notamment de a et b. Autrement dit, selon les cas, d’autres grandeurs pourront intervenir dans l’expression de f . Notations et valeurs numériques: p0 = 105 Pa (pression atmosphérique), ρ = 103 kg/m3 (masse volumique de l’eau), ρa ' ρ/800 (masse volumique de l’air) et g = 9, 8 m/s2 (accélération de la pesanteur). Z I − → → − U dS = ∇U dτ où S est une surface fermée entourant le volume ∆ On rappelle que S ∆ → − → − et que en coordonnées cylindriques: ∇. A = 1 ∂(rAr ) 1 ∂Aϕ ∂Az + + . r ∂r r ∂ϕ ∂z I- De l’eau dans le diesel Le principal danger pour les moteurs diesel est la présence d’eau dans le carburant résultant du raffinage. L’indication de remplissage d’un réservoir est proportionnelle à la pression mesurée par une jauge placée au fond du réservoir. L’eau de masse volumique ρ plus élevée que celle du diesel (ρd ) vient se loger au fond du réservoir faussant ainsi la mesure prise par la jauge (voir figure). Le réservoir a une hauteur totale H et est ouvert sur l’air à la pression atmosphérique p0 . Le volume du réservoir disponible pour recevoir du carburant est V . On suppose que l’eau et le diesel sont des fluides incompressibles. Dans tout l’exercice les fluides sont à l’équilibre. Données numériques: H = 250 mm, he = 18 mm (hauteur d’eau) et ρd = 846 kg/m3 . 1) Lorsque le réservoir est complètement rempli de diesel, déterminer la pression pm indiquée par la jauge en fonction de la pression atmosphérique p0 , de ρd et de H. 2) Le réservoir contient maintenant de l’eau sur une hauteur he et du diesel sur une hauteur hd . Dans ces conditions la jauge de pression indique que le réservoir est plein. Le volume de diesel correspondant est noté Vi . a) Déterminer en fonction de ρ, ρd , he et H la hauteur hd de diesel. b) Calculer alors le taux de remplissage du réservoir T = 100hd /H. 3) a) Sachant que lors du remplissage du réservoir on mesure le volume de diesel injecté Vi , comment pourra-t-on savoir si de l’eau est présente dans le réservoir ? b) En supposant que la section horizontale du réservoir est constante égale à Sm (section moyenne), exprimer he en fonction de Vi /V , ρ/ρd et H. II- Hélicoptère On s’intéresse ici à quelques aspects du vol en hélicoptère. Un hélicoptère en vol est maintenu en l’air grâce à la rotation de pales entraînées par un rotor: ceci permet de générer un écoulement vertical descendant qu’on appelle jet et qui génère une force de pression équilibrant le poids. Ce jet est représenté sur la figure IIa: il possède une symétrie cylindrique et son axe est la droite Oz. On ne s’intéressera qu’à la partie du jet à l’intérieur de la surface S représentée en tirets sur la figure IIa. Le centre du rotor est le point OR et l’aire balayée par les hélices est un disque de surface A et de rayon R. Sur cette figure IIa sont également représentées quelques lignes de courant orientées. Dans tout le problème on supposera que l’air est un fluide incompressible et parfait de masse volumique ρa . On négligera l’action de la pesanteur sur l’air et tous les écoulements étudiés ici seront supposés stationnaires. Sauf cas contraire explicité, on utilisera les vitesses et pressions moyennes dans les sections droites du jet 1 à 4. On utilisera les coordonnées cylindriques qui seront notées (r, ϕ, z). Données numériques: Qv = 1000 m3 /s, A = 50 m2 , h = 1 m, M = 1, 5 tonnes (masse de l’hélicoptère à vide). → − A) On cherche à déterminer la force de pression F s’opposant au poids de l’hélicoptère. On suppose dans un premier temps que l’air dans le jet s’écoule uniquement vers le bas et que son débit volumique est Qv . On supposera que v1 la vitesse au point 1 est négligeable devant toutes les autres vitesses. On prendra la pression sur la surface S autour du jet égale à la pression atmosphérique p0 : les pressions aux points 1 et 4 (voir figure IIa) sont donc p1 = p4 = p0 . 1) a) Enoncer le théorème de Bernoulli ainsi que les conditions requises pour son application. b) Dans l’écoulement du jet, comment se traduit la conservation de la masse ? 2) a) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer p2 la pression au point 2 à l’aide de p0 et v2 . b) De même exprimer p3 la pression au point 3 en fonction de p0 , v3 et v4 . c) Que peut-on dire de v2 et v3 ? Exprimer alors p3 − p2 en fonction de v4 . → − d) Représenter le vecteur F sur un schéma et exprimer sa composante F (on supposera que les forces de pression s’appliquent sur toute la surface A). 3) Pour continuer à décrire le jet, on applique le principe fondamental de la dynamique (PFD) au jet enclos dans le volume ∆ represésenté en tirets sur la figure IIa. a) Exprimer la variation de quantité de mouvement du jet d~q/dt entre les points 1 et 4 en fonction de ρ, A, C et v4 . Représenter d~q/dt sur un schéma. b) Montrer que la résultante des forces de pression sur le jet au travers de S est nulle. Quelle autre force agit sur le jet ? c) En appliquant le PFD au jet, montrer que le facteur de réduction de la section du jet en sortie de ∆, C = S4 /A est égal à 1/2. 4) a) Donner la relation entre v4 et v3 puis l’expression de v4 en fonction de Qv . Calculer v4 et en déduire la valeur numérique de F . b) Sachant que l’hélicoptère est immobile dans l’air, quelle est la masse mt qu’il transporte ? 5) On peut montrer que v2 s’exprime en fonction de la vitesse angulaire du rotor ω comme v2 = 2Rω/3. a) Exprimer et calculer le nombre de tours par seconde N du rotor. b) Exprimer alors F en fonction du produit Aω. Commentez ce résultat. B) On revient maintenant sur l’hypothèse que l’écoulement du jet est uniquement vertical. En réalité, la rotation des pales provoque un tourbillon qui génère en régime permanent un écoulement radial perpendiculaire à Oz. Dans une zone cylindrique d’axe Oz et de hauteur h (voir figure IIb) on suppose que le champ de vitesse est de la forme: → − − → − v = vf (r) → er + vϕ (r) − e→ ϕ + vz (z) ez avec vf ainsi que vϕ des fonctions de r et vz une fonction de z. On supposera que S4 est la même qu’au A) soit S4 = A/2. On notera v30 et v40 les nouvelles vitesses aux points 3 et 4 (v2 est inchangée). On choisira le centre du rotor OR comme origine du repère cylindrique (z(OR ) = 0). − 1) Justifier succinctement la forme de → v . Quel est le signe de v ? z 2) a) En exploitant l’hypothèse d’incompressibilité de l’air, montrer que vf = 21 Br avec B une constante. On suppose que B > 0. b) Sachant que vz = −v2 en z = h/2, exprimer vz puis v30 (noter que l’expression de vz n’est valable que pour |z| < h/2). 3) On fait à présent le bilan du débit. a) Définissez Qf le débit radial d’air. Exprimer Qf en fonction de R (rayon des pales), h et B. Que peut-on dire des débits entrant et sortant de la zone centrale du jet (voir figure IIb) ? b) Etablir alors la relation entre Qf /Qv et B. c) Exprimer v40 en fonction de Qf /Qv , v2 et C. En déduire v40 /v4 III- Tube de Pitot visqueux Dans l’écoulement d’un liquide cylindrique et horizontal de rayon R, on considère un dispositif de Pitot permettant de mesurer la vitesse de l’écoulement. On suppose que les tubes de Pitot sont de petit diamètre et qu’ils perturbent peu l’écoulement. On suppose que le liquide est incompressible − − et qu’il s’écoule en régime permanent avec la vitesse → v =v→ ez . La masse volumique du liquide est ρp et son coefficient de viscosité η. On note L la distance entre les points A et B représentés sur la figure. Données numériques: R = 10 cm, h = 5 cm, L = 50 cm, ρp = 0, 8 kg/l et η = 0, 1 Pa.s (cas du pétrole). 1) Dans cette partie on néglige les effets de la viscosité. a) Que valent vA et vB , normes de la vitesse en A et B ? b) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer v en fonction de pA − pB 2) a) En régime permanent que peut-on dire du liquide qui remplit les tubes de Pitot ? b) En déduire l’expression de pA − pB puis de v. Calculer alors numériquement v. c) Exprimer puis calculer le nombre de Reynolds Re de cet écoulement. Commenter. 3) On prend maintenant en compte les effets de la viscosité dans l’écoulement de rayon R entre A et B. On note vz la vitesse de l’écoulement sur l’axe Oz et on rappelle la loi de Poiseuille: ∆p = 8ηu Qv πt4 avec Qv = πR2 vz /2. La différence de hauteur de fluide dans les tubes au-dessus de A et B est alors hm . a) Que peut-on dire de la vitesse dans l’écoulement d’axe Oz ? Exprimer la vitesse moyenne de l’écoulement vm en fonction de vz . Dans la suite on prendra vm = 2 m/s. b) Que représentent t et u dans la loi de Poiseuille ? c) Exprimer hm −h en fonction de ∆p et calculer l’erreur relative sur la mesure de h lorsqu’on néglige la viscosité. d) A votre avis faut-il également prendre en compte l’effet de la viscosité dans les tubes de Pitot ? Pourquoi ?