Introduction de la fonction réciproque de la fonction exponentielle

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Introduction de la fonction réciproque de la fonction exponentielle
1E
Cours de Mathématiques
2008
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Introduction de la fonction réciproque de la fonction exponentielle
Dans les classes antérieures, nous avons rencontré déjà maintes fois la notion de fonction réciproque d'une
fonction donnée. Dans certains cas, il a fallu limiter le domaine de la fonction initiale pour que la fonction
devienne une bijection. En voici quelques exemples illustrant la notion de fonction réciproque:
1) Pour résoudre une équation de la sorte: x 2 = 4 ( avec x ≥ 0) , nous avons eu recours à la racine
x 2 = 4 ( x ≥ 0) ⇔
carrée:
x2 = 4 ( x ≥ 0)
⇔
x=2
( x ≥ 0)
La fonction racine carrée est donc la fonction réciproque de la fonction quadratique définie sur \ + .
f : \+ → \+ : x → f ( x ) = y = x2
f −1 : \ + → \ + : y → f ( y ) = x =
y
2) Pour résoudre une équation de la sorte: x3 = 8 ( x ≥ 0) , nous avons eu recours à la racine cubique:
x3 = 8 ( x ≥ 0) ⇔
3 3 3
x = 8
( x ≥ 0)
⇔
x=2
( x ≥ 0)
La fonction racine cubique est donc la fonction réciproque de la fonction puissance 3 définie sur \ + .
f : \ + → \ + : x → f ( x ) = y = x3
f −1 : \ + → \ + : y → f ( y ) = x = 3 y
En représentant les graphes de ces fonctions
réciproques sur le même repère que celui des fonctions
initiales (il faut échanger x et y dans la donnée des
fonctions réciproques), on arrive facilement à constater
que le graphe d'une fonction réciproque est le
symétrique du graphe de la fonction initiale par rapport
à la première bissectrice (droite d'équation y = x ).
S'il est aisé de résoudre des équations exponentielles du
type: 2 x = 8
2x = 8 ⇔
2 x = 23
fonction
⇔
bijective
x=3
FonctionsReciproquesGraphiquement.ggb
il s'avère plus compliqué de résoudre des
équations du type:
ex = 5 .
Pour y arriver, il faut impérativement passer par
la fonction réciproque de la fonction
exponentielle à base e, fonction que nous allons
apprendre à connaître à partir de son graphe,
construit point par point en prenant le symétrique
de la fonction exponentielle à base e par rapport à
la première bissectrice.
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Beran - EFGFctExponentielleReciproque
Fonctions exponentielles
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De cette manière, nous en découvrons les premières propriétés:
Fonction exponentielle à base e
•
•
•
•
•
f : \ → \ +0
AH ≡ y = 0 pour x → −∞
Fonction bijective monotone croissante
Point caractéristique: F ( 0;1)
f '( x) = ex > 0
Fonction réciproque: Fonction logarithme à base e
•
•
•
•
•
f : \ +0 → \
AV ≡ x = 0
Fonction bijective monotone croissante
Point caractéristique: F (1;0 )
f '( x ) > 0
Découvrons et "démontrons" ensuite graphiquement l'expression de la fonction dérivée de la fonction
logarithme naturel.
Pour y arriver, nous procédons de la manière suivante:
• Sur la courbe de la fonction ln, nous construisons un point A ( x A ;ln ( x A ) ) .
•
•
•
•
•
Nous traçons la tangente à la courbe en A et nous calculons la pente m A de la courbe en ce point.
Nous construisons ensuite un point B ( x A ; m A ) dont l'abscisse est celle de A et l'ordonnée est donnée
par la pente m A de la fonction ln au point A.
En activant la trace de B par rapport au point A, nous arrivons à reporter sur le graphe la suite des
nombres dérivées en A, A bougeant sur la courbe de la fonction ln.
L'allure de cette trace rappelle le graphe de la fonction inverse pour des x positifs.
Nous pouvons contrôler notre hypothèse en faisant tracer le graphe de la fonction inverse
1
f : \ +0 → \ : x → . Nous constatons alors que tous les points de la trace de B se situent sur cette
x
1
courbe, ce qui "démontre" graphiquement notre hypothèse. Conclusion: ∀x ∈ \ +0 : ( ln x )′ =
x
IntroductionDeriveeLNfin.ggb
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