Le chemin le plus court

Le chemin le plus court
The Shortest Way
Cette séquence a été conçue pour un tout premier
cours de mathématiques en anglais en classe de
seconde, mais peut être également utilisée en
première ou terminale, à condition de supprimer ou
d'adapter la première séance. En prenant comme fil
conducteur la notion de distance, elle permet
d'introduire en contexte le vocabulaire essentiel du
calcul et de la géométrie, tout en travaillant sur le
repérage dans le plan.
Langue :
Anglais
Classe(s) :
Seconde
Durée indicative :
4 séances
Rédacteurs
Arnaud Moragues, Lycée Européen Montebello,
Lille
Thèmes abordés
Distance, théorème de Pythagore, repérage dans le plan.
Contexte
- Taille du groupe : idéalement travail en demi-classe (18 élèves) ;
- Modalités hebdomadaires : une heure d'enseignement des mathématiques en langue anglaise
par semaine ;
- Matériel : un vidéoprojecteur et des enceintes seront indispensables pour la première séance,
un tableau blanc interactif ou un simple vidéoprojecteur seraient souhaitables pour les séances 2
et 3.
Objectifs disciplinaires
Du point de vue mathématique, cette séquence permet :
• de tester, en particulier en début d'année, les élèves sur leurs acquis de collège (géométrie
plane, proportionnalité, théorème de Pythagore) ;
• d'introduire la notion de distance euclidienne à partir du théorème de Pythagore ;
• de rechercher et faire preuve d'autonomie sur une notion typiquement anglo-saxone (au niveau
lycée), the Taxicab Distance.
Références au programme
"L’objectif de l’enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d’étudier
un problème dont la résolution repose sur des calculs de distance, la démonstration d’un
alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche des coordonnées du point
d’intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée."
(Mathématiques classe de seconde, Bulletin officiel n°30 du 23 juillet 2009)
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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Niveaux de compétence en langue
Expression orale en
Expression orale en
Compréhension de l'écrit
Expression écrite : Compréhension de l'oral :
continu : B2
interaction : B2
: B2
B2
B2
Compétences disciplinaires
• conduire un raisonnement, une démonstration ;
• utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles pour résoudre des problèmes
;
• pratiquer une activité expérimentale ;
• prendre des initiatives pour résoudre un problème ;
• repérer un point donné du plan ;
• placer un point connaissant ses coordonnées ;
• calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées.
Principaux supports documentaires utilisés lors de la séance
- Algebra Distance Formula between two points
Vidéo diffusée sur le site YouTube :
[video:http://www.youtube.com/watch?v=9GGf2be54AI]
- The Shortest Way - Déroulement pédagogique
Fiche au format pdf reprenant le déroulement pédagogique de la séquence.
- Distance Formula - Student's sheet
Fiche élève à utiliser lors de la séance 1
- Geometry in Court - Student's Sheet
Fiche élève à utiliser lors de la séance 2
- Treasure Hunt - Student's Sheet
Fiche élève à utiliser lors de la séance 3
- Taxicab Distance - Student's Sheet
Fiche élève à utiliser lors de la séance 4
Fiche analytique
Approches EMILE (Enseignement d'une matière par l'intégration d'une langue étrangère)
Du point de vue linguistique, il s'agit d'introduire en contexte le vocabulaire mathématique
essentiel en début de classe de seconde et qui servira aux élèves tout au long du lycée : les
champs lexicaux du calcul et de la géométrie plane.
Il s'agit également de mettre en place une routine dans la prise de parole :
• en début d'heure, un ou plusieurs élèves se chargent de restituer ce qui a été fait au cours
précédent. Cela peut prendre la forme d'un bref résumé, ou dans le contexte d'un court exercice
;
• pendant l'heure, on alterne le dialogue avec l'ensemble de la classe et le dialogue au cas par
cas une fois qu'une tâche a été donnée ;
• en fin d'heure, un ou plusieurs élèves résument ou corrigent le travail qui a été fait.
Dimensions culturelle/interculturelle/interdisciplinaire
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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Cette séquence pédagogique donne l'occasion d'aborder la question de l'organisation du paysage
urbain aux États-Unis.
Prérequis
Prérequis disciplinaires :
• théorème de Pythagore ;
• lecture sur un repère orthonormé.
Prérequis linguistiques :
• exprimer une opinion ;
• exprimer une hypothèse.
Activité(s) langagière(s) dominante(s) travaillée(s) au cours de la séquence
• argumenter ;
• comparer ;
• exprimer une hypothèse ;
• expliquer une démarche, un raisonnement ;
• présenter un exposé.
Exploitation pédagogique
Démarche pédagogique
Séance 1 - Distance Formula
Objectif notionnel principal : acquérir le vocabulaire de base
Compétences disciplinaires :
• conduire un raisonnement, une démonstration ;
• savoir calculer une distance.
Compétences linguistiques :
• acquérir du vocabulaire spécifique de base.
Séance 2 - Geometry in Court
Objectif notionnel principal : se poser des questions sur la notion de distance
Compétences disciplinaires :
• utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles pour résoudre des problèmes.
Compétences linguistiques :
• argumenter ;
• comparer.
Séance 3 - Treasure Hunt
Objectif notionnel principal : repérage et raisonnement sur une grille, appropriation de la notion
de Taxicab distance
Compétences disciplinaires :
• pratiquer une activité expérimentale ;
• prendre des initiatives pour résoudre un problème.
Compétences linguistiques :
• exprimer une hypothèse ;
• expliquer une démarche, un raisonnement.
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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Séance 4 - Taxicab Distance
Objectif notionnel principal : quelques calculs et une propriété
Compétences disciplinaires :
• repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées ;
• calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées.
Compétences linguistiques :
• expliquer une démarche, un raisonnement.
Évaluation
Proposition d'évaluation
Compétences disciplinaires évaluées :
• chercher, expérimenter ;
• expliquer un raisonnement.
Compétences linguistiques évaluées :
• expression et compréhension orale ;
• expression et compréhension écrite.
Modalités de l'évaluation :
• évaluation individuelle ou par binôme lors de la deuxième séance (Geometry in Court) ;
• exposés.
Ouverture et approfondissement
Approfondissement
Sitographie :
●
Taxi Cab Treasure Hunt, applet interactive sur la Taxicab Distance
www.learner.org/teacherslab/math/geometry/shape/taxicab/index.html
●
Taxicab Voronoi Diagrams, Applet interactive présentant un algorithme de tracés de
diagrammes de Voronoi pour la Taxicab Distance
http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/projects.pr.98/tesson/taxi/taxivoro.html
●
Enough of Euclid: the Taxicab Distance, site récapitulant les principaux résultats et enjeux de
la Taxicab Distance, ainsi que quelques applications et ressources
http://library.thinkquest.org/06aug/02430/
Ouverture internationale et interdisciplinarité
Interdisciplinarité
Possibilité pour le professeur d'anglais ou l'assistant étranger de langue anglaise d'intervenir sur
le thème du panorama urbain aux États-Unis.
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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Séances
Séance n° 1/4
Séance 1 - Distance Formula
Matériel nécessaire
Un vidéoprojecteur et des enceintes seront nécessaires.
Documents et supports
Support documentaire
Algebra Distance Formula between two points
Vidéo diffusée sur le site YouTube : www.youtube.com/watch?v=9GGf2be54AI
Distance Between Two Points - Algebra
Vidéo diffusée sur la chaîne Youtube Algebrafun : www.youtube.com/watch?v=oggfbh2YI0s
Objectifs
Objectifs disciplinaires
• Conduire un raisonnement, une démonstration ;
• savoir calculer une distance.
Exploitation pédagogique
Notions centrales
Acquérir le vocabulaire mathématique de base.
Démarche pédagogique
1. Étude d'une vidéo (30 min)
La première partie de la séance se base sur la vidéo Algebra Distance Formula between two
points. Il s'agit d'une vidéo diffusée sur le site Youtube
www.youtube.com/watch?v=9GGf2be54AI. On pourra se limiter à l'étude des trois premières
minutes trente. Le but, pour les élèves, est de reconnaître et de s'approprier le vocabulaire
mathématique entendu dans la vidéo. Deux écoutes au moins semblent nécessaires, et une
correction avec écriture des mots au tableau s'impose. L'enseignant pourra en profiter pour
élargir le champ lexical, en donnant par exemple "a sum", "an addition", "1 and 2 is 3", "add",
là où seul "plus" était attendu.
2. Réinvestissement (30 min)
Il s'agit ensuite de réinvestir ce vocabulaire en démontrant la formule de la distance dans le cas
particulier du premier quadrant. On pourra mettre en évidence le fait que la vidéo est un peu
hâtive en déclarant "any two points form the hypothenuse of a right triangle" et mettre en
évidence la nécessité de travailler dans un repère orthonormé. Il sera opportun d'introduire un
certain nombre de nouveaux mots selon les besoins de la classe (coordinate system, x-axis, leg
of a triangle...). Alternativement, l'enseignant pourra préférer travailler avec une vidéo
similaire, Distance Between Two Points - Algebra. Il s'agit d'un vidéo diffusée sur la chaîne
Youtube Algebrafun : www.youtube.com/watch?v=oggfbh2YI0s
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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Séance n° 2/4
Séance 2 - Geometry in Court
Matériel nécessaire
Un tableau numérique interactif ou un vidéoprojecteur seraient souhaitables.
Thèmes(s) abordés
Se poser des questions sur la notion de distance.
Documents et supports
Support documentaire
Geometry in Court
Texte adapté d'un article de presse
Objectifs
Compétences visées
Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles pour résoudre des problèmes.
Activité(s) langagière(s) dominante(s) travaillée(s) dans la séance
Argumenter et comparer.
Exploitation pédagogique
Démarche pédagogique
1 - Lecture commentée (15 min)
Pour le début de la séance, on pourra choisir l'une des alternatives suivantes :
• faire lire le texte par les élèves, paragraphe par paragraphe ;
• lire le texte, et faire compléter le texte à trous par les élèves (le corrigé se fera par la
distribution du texte complet).
Dans les deux cas, il conviendra de s'arrêter entre chaque paragraphe pour demander aux élèves
les mots difficiles et les leur expliquer, ceci pour s'assurer que l'idée principale (l'enjeu du
procès) est bien comprise.
2 - Traiter les questions (travail en semi-autonomie, 20 min)
Les élèves repèrent sur le plan les lieux du texte. Ils mesurent les distances à la règle,
convertissent leurs mesures et calculent la distance euclidienne AB à l'aide d'un triangle
rectangle bien choisi. On pourra saisir cette occasion pour introduire la formule de la distance
euclidienne entre deux points. L'enseignant passe dans les rangs, engage un dialogue individuel
avec les élèves et répond aux questions.
3 - Correction/restitution (15 min)
Les tracés auront été corrigés de manière individuelle, en passant dans les rangs. On pourra
faire corriger les questions 2 et 3 par des élèves au tableau, à l'aide du plan vidéoprojeté.
4 - Travail pour la séance suivante: Jeu de rôle à préparer (5min)
La restitution au début de la séance suivante pourra prendre la forme d'un jeu de rôle. La classe
sera divisée en deux groupes. Le premier groupe devra préparer le rôle de l'avocat de la défense,
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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l'autre groupe préparera l'accusation. Deux élèves seront successivement envoyés au tableau
pour jouer le procès.
Séance n° 3/4
Séance 3 - Treasure Hunt
Matériel nécessaire
Un tableau numérique interactif ou un vidéoprojecteur seraient souhaitables.
Thèmes(s) abordés
Repérage et raisonnement sur une grille, appropriation de la notion deTaxicab distance.
Documents et supports
Support documentaire
Treasure Hunt
Fiche de travail
Exploitation pédagogique
Démarche pédagogique
1 - Restitution du travail de la séance précédente (15 min)
La restitution en début de séance pourra prendre la forme d'un jeu de rôle. Deux élèves seront
successivement envoyés au tableau pour rejouer le procès. On pourra en profiter pour demander
à la classe de donner son opinion quant au jugement. On insistera sur le fait qu'il n'y a pas
unicité de la notion de distance, il existe plusieurs distances envisageables.
2 - Treasure Hunt in Salt Lake City (45 min)
Le but de cette activité est de préciser les différences entre la distance euclidienne et la Taxicab
distance, l'idéal étant d'arriver à faire dire aux élèves que la boule unité, pour la Taxicab
distance, prend la forme d'un carré. Peu importe si aucun élève ne s'approche de cette
constatation spontanément, il aura l'occasion d'y revenir à la séance suivante. Après lecture du
texte et après les questions d'usage pour vérifier que l'énoncé et le problème sont bien compris,
on laissera les élèves chercher en autonomie. Le rôle de l'enseignant est alors de répondre aux
questions, de vérifier les réponses, de donner des indices, de questionner les élèves qui bloquent
et les relancer. Il est à prévoir - et cela est souhaitable - que les élèves les plus avancés
proposent la construction de trois cercles, et se plaignent de ne pas arriver à la réponse.
Effectivement, l'intersection des trois disques ne comprend pas moins de huit lieux possibles
pour le trésor. Ce sera l'occasion de relancer la classe sur la différence entre les deux distances
étudiées, et de faire dire aux élèves pourquoi le cercle (et la distance euclidienne) n'est pas la
piste à envisager ici.
On pourra aussi en profiter pour fournir le vocabulaire anglais sur les inégalités: il est important
pour ce problème de comprendre que "less" traduit en anglais une inégalité stricte. Il se peut
que les élèves les plus faibles omettent ce mot pour comprendre "The treasure is 8 minutes
from...". Si l'un des élèves bloque, on pourra opter pour l'une des aides suivantes:
• lui proposer de situer et placer les 3 intersections sur le plan ;
• traduire la durée (8 minutes) en terme de distance, et demander à l'élève s'il ne pourrait pas
utiliser son compas pour circonscrire une zone (évidemment, cette démarche a priori
raisonnable est vouée à l'échec, mais il sera très intéressant de le faire constater et dire par
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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l'élève) ;
• marquer d'un point de couleur chaque intersection située à moins de huit minutes des trois
lieux proposés par l'énoncé (utiliser une couleur différente pour chaque lieu).
L'enseignant pourra prévoir un plan vidéoprojeté au tableau et envoyer les élèves présenter
leurs multiples stratégies. On veillera à faire présenter les meilleures stratégies en dernier et à
mettre en évidence les différences entre les démarches, tout en valorisant les exposés des
élèves. En fin d'heure, on pourra demander aux élèves qui ont fait l'inventaire de toutes les
intersections envisageables à moins de huit minutes de l'un des lieux proposés quelle forme ils
reconnaissent. On tracera les carrés sur le plan au tableau, et on pourra également, en prévision
du dénouement de la séance suivante, en distribuer aux élèves une version papier.
Séance n° 4/4
Séance 4 - Taxicab Distance
Thèmes(s) abordés
Quelques calculs et une propriété
Documents et supports
Support documentaire
Taxicab Geometry
Fiche élève
Objectifs
Objectifs disciplinaires
• Repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées ;
• calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées.
Exploitation pédagogique
Démarche pédagogique
1 - Restitution du travail de la séance précédente (15mn)
La restitution au début de la séance suivante pourra prendre la forme d'un jeu de rôle.
Deux élèves seront successivement envoyés au tableau pour rejouer le procès. On pourra en
profiter pour demander à la classe de donner son opinion quant au jugement. On insistera sur le
fait qu'il n'y a pas unicité de la notion de distance, il existe plusieurs distances envisageables.
2 - The Taxicab distance (10 mn)
La lecture du texte de gauche peut être suivi d'un deuxième exemple, qui sera corrigé au tableau
par un élève.
3 - Traiter les questions (travail en semi-autonomie, 20 mn)
L'enseignant passe dans les rangs, engage un dialogue individuel avec les élèves et répond aux
questions. Les trois premières questions servent à s'assurer que la notion de Taxicab distance a
été comprise et à constater qu'elle ne coincïde pas toujours avec la distance euclidienne.
Les élèves peuvent réfléchir aux questions 4 et 5, plus difficiles, mais le but n'est pas qu'ils
traitent ces questions seuls.
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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4 - Restitution (10 mn)
Des élèves sont interrogés sur les questions 4 et 5. Le fait que la forme dessinée soit en fait un
cercle pour la Taxicab Geometry doit normalement surprendre les élèves et susciter la prise de
parole. Si les exemples donnés à la question 5 ne suffisent pas à mettre les élèves sur la voie, on
pourra prendre quelques autres points, par exemple. On pourra aussi rappeler la démarche de la
séance précédente, Treasure Hunt in Salt Lake City, et faire réaliser aux élèves que les carrés
tracés y jouaient effectivement le même rôle que des cercles. Il ne semble par contre pas
souhaitable, dans le contexte de la DNL en classe de 2nde, de présenter une démonstration
formelle de ce résultat.
Documents et ressources
The Shortest Way - Déroulement pédagogique
●
The20shortest20way_support20enseignant.pdf
Distance Formula - Student's sheet
●
Distance20Formula.pdf
Distance Formula - Teacher's Sheet
●
Distance20Formula20teacher.pdf
Geometry in Court - Student's Sheet
●
Geometry20in20Court_.pdf
Geometry in Court - Teacher's Sheet
●
Geometry20in20Court20teacher_.pdf
Treasure Hunt - Student's Sheet
●
Treasure20hunt.pdf
Treasure Hunt - Exemples de productions élèves
●
Treasure20hunt20-20quelques20productions20dE9lE8ves.pdf
Taxicab Distance - Student's Sheet
●
Taxicab20geometry.pdf
Source : www.emilangues.education.fr/ressources-pedagogiques/sequences/disciplines-non-linguistiques/le-chemin-le-plus-court
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