Points à coordonnées entières sur une droite ! La valeur ajoutée du

Points à coordonnées entières sur une droite !
La valeur ajoutée du numérique
Sommaire
1.
Tableau récapitulatif ................................................................................................................... 2
2.
Enoncé et consigne données aux élèves ..................................................................................... 3
3.
Objectifs et analyse a priori ......................................................................................................... 3
4.
Scénario de mise en œuvre ......................................................................................................... 6
5.
Evaluation .................................................................................................................................. 11
6.
Apport des outils numériques ................................................................................................... 12
1. Tableau récapitulatif
Enoncé
Recherche de points à coordonnées entières sur une droite !
Niveau Concerné
2nd générale ou 1ère générale
Période de l’année
En fonction des chapitres abordés (voir prérequis)
Durée et organisation
Travail en groupe : 3 élèves
Durée : 2h + 1h
Prérequis
Mathématiques :
 Fonctions affines
 Repérage dans le plan
 Coordonnées d’un point du plan
 Équation réduite d’une droite (ou équation cartésienne en 1ère S)
 Partie entière (connaissance de la partie entière d’un nombre réel
positif)
TICE :
 Géogébra (fonctions)
 Algorithme : Boucle et itérateur, instruction conditionnelle
commande (« floor »)
 Tableur
Objectifs généraux
Objectifs :
 Utilisation des TICE dans le but :
- Aider à l’appropriation du problème.
- Conjecturer, donner des pistes de résolution.
Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’utilisation des TICE par
les élèves leur donne une plus grande autonomie et encourage leur prise
d’initiative.
 Utiliser les connaissances et les capacités attendues au
programme de seconde :
- Mettre en applications les notions du prérequis.
- Mettre en œuvre des algorithmes simples avec boucle, itérateur et
instructions conditionnelles.
2. Enoncé et consigne données aux élèves
Enoncé du problème donné aux élèves :
Dans un repère orthogonal, on considère la droite (d) d’équation :
Le « premier point » à coordonnées entières positives de la droite (d) est le point de
coordonnées D(11 ;2)
Quel est le 20ième point à coordonnées entières positive ?
Consignes données aux élèves
 Vous travaillerez par groupe de trois.
 Vous disposerez de deux heures, puis on consacrera une heure en classe entière à exposer vos
recherches et remplir la fiche d’autoévaluation.
3. Objectifs et analyse a priori
Textes de références
Les notions abordées et utilisées sont diverses et concernent plusieurs points du programme que vous
pouvez retrouver sur le Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009.
Documents ressources sur ENT
Mise en ligne d’une vidéo concernant la notion de partie entière abordée par la pédagogie inversée.
Mise en ligne d’un mini formulaire pour Algobox.
Compétences en mathématiques au lycée développées dans cette activité
Compétences évaluées
Les critères d’évaluation et indicateurs de réussite
/ mises en jeu
J’analyse le problème seul.
- J’extrais, j’organise et je traite les informations utiles.
J’analyse le problème en groupe.
- Je partage et je discute de mon analyse avec le groupe.
Chercher
Je m’engage dans une démarche,
J’expérimente en utilisant éventuellement des outils logiciels.
Emettre une conjecture.
Valider, corriger une démarche, ou en adopter une nouvelle.
Je fais une analyse critique d’un résultat.
Modéliser
Représenter
Calculer
Raisonner
Communiquer
Modéliser le problème en utilisant les outils TICE.
Modéliser le problème « à la main ».
Choisir à bon escient un cadre de résolution (numérique, graphique,
algorithmique …).
Appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes.
Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument
(calculatrice, logiciel).
Mettre en œuvre des algorithmes simples.
Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux
résultats, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une
conjecture, prendre une décision.
Expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou
par écrit.
Notions du programme de mathématiques travaillées dans cette activité
Notions
Dans le problème ?
Coordonnées de point dans un
Que signifie qu’un point appartient à une droite ?
repère
Equations de droites
Utilisation de la capacité attendue :
On démontre que toute droite a une équation soit
de la forme y = mx + p, soit de la forme x = c.
Droite comme courbe représentative d’une
Faire le lien entre l’équation donnée et l’équation
fonction affine.
réduite d’une droite.
Division euclidienne
être multiple de 27 ?
Compétences algorithmiques
Notions d’algorithmique
Boucle
Instruction conditionnelle
Dans le problème
Boucle For ou « Pour … allant »
« SI … ALORS … » ; « SI … ALORS …
SINON … »
Les élèves, dans le cadre d’une résolution du
problème, doivent être capables
- de programmer un calcul itératif, le
nombre d’itérations étant donné ;
- de programmer une instruction
conditionnelle, un calcul itératif, avec
une fin de boucle conditionnelle.
Compétences TICE
Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique
Utilisation d’un logiciel algorithmique ou la
calculatrice
Utilisation d’un tableur
Représenter une fonction affine
Faire des conjectures graphiques
« Si …ALORS… » « Si… ALORS… Sinon …»
« Pour … allant …. »
Déclaration de variables
Gestion des entrées-sorties
affectation d’une valeur
mise en forme d’un calcul.
Partie entière d’un nombre réel
Afficher un message
Formules à valeurs absolues ou relatives
Détails des objectifs de cette activité
Ce problème a été conçu de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité des aptitudes
des élèves. Comment ?
 le problème peut se résoudre de différentes manières.
- La manière experte : résolution partielle d’une équation diophantienne sans le savoir, à la portée
des (bons) élèves, utilisation du PGCD vu au collège.
- La manière TICE : à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on « regarde » le 20ème point.
- La manière TICE : algorithme : création d’une boucle avec des conditions.
- La manière TICE : tableur : affichant les images dans une colonne de valeurs entières.
- La manière « tâtonnement ».
 Différentes « aides » seront données selon les difficultés rencontrées par le groupe.
 La pédagogie inversée, sera proposée pour certaines notions.
Quelques points forts de cette activité
 Permettre aux élèves d’étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs et diverses
notions du programme :
- Se représenter la droite comme courbe représentative d’une fonction affine.
- Savoir si un point appartient à une courbe.
- Etc
 La situation proposée dans ce cadre permet aux élèves de disposer de méthodes variées pour
aboutir à une résolution.
 La situation proposée met en avant l’utilité des TICE (les résolutions les plus « abordables » sont
obtenues à l’aide de TICE).
 Rendre les élèves capables d’autonomie.
 Cette activité permet familiariser les élèves avec les grands principes d’organisation d’un
algorithme : on touche ainsi aux objectifs du lycée en algorithmique.
Utilisation des Tice dans le but
 Aider à l’appropriation du problème.
 Conjecturer, donner des pistes de résolution.
 Donner une plus grande autonomie et encourage leur prise d’initiative.
Quelques explications sur la mise en œuvre
 Travail en groupe : j’ai demandé à cinq élèves (les meilleurs) de former leur groupe
En effet, je dirai que ce problème ouvert est d’un bon niveau pour une classe de seconde, c’est
pourquoi il m’a semblé indispensable -un de travailler en groupe (favorisant ainsi l’émulation des
idées) – deux d’équilibrer les groupes.
 Le temps consacré : j’ai constaté que deux heures était un temps raisonnable à un groupe pour
élaborer leurs recherches (narration de recherche, explorations de diverses pistes de recherche), entre
coupé de quelques « pauses » de débats.
 Le temps de la restitution : j’ai consacré une heure pour permettre à certains groupes d’exposer
leurs recherches. Je considère que travailler l’oral et la communication est aussi important que la
recherche de solutions.
De plus cette séance me permet d’enregistrer (audio) certains exposés. Pour demander ensuite aux
élèves de rédiger (à la maison) une restitution d’une solution au problème (baladodiffusion à leur
rythme, au moment qu’ils choisiront chez eux, les élèves pourront écouter, réécouter et rédiger une
solution …).
4. Scénario de mise en œuvre
 Ce qui a été fait avant
Les notions du prérequis ont été abordées en cours : fonctions affines, équation de droite, géométrie
repérée, repérage dans le plan.
Par exemple les capacités suivantes:
 Savoir déterminer si un point appartient ou non à la courbe représentative d’une fonction ;
 Se représenter une droite comme courbe représentative d’une fonction affine.
Concernant les notions d’algorithmiques, ont été abordées :
 Les grands principes de l’élaboration d’un algorithme : entrée, affectation et sortie ;
 Les conditions « Si ALORS » « SI ALORS SINON » ;
 Affichage de message ;
 L’élaboration simple d’algorithme ;
 La lecture d’algorithme plus complexe ;
 L’utilisation de la boucle FOR (boucle finie).
Une vidéo, concernant la notion de la partie entière a été donnée (pédagogie inversée) :
 Vidéo 1
 Vidéo 2
Et l’assimilation de cette notion vérifiée en classe.
Les élèves ont déjà eu l’occasion d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique (pour les fonctions et
les vecteurs) et un tableur (en statistiques).
Pour moi, ce problème ne peut être donné que vers la fin de l’année car
 beaucoup de notions et compétences doivent avoir été abordées en amont.
 Par exemple, avant, les élèves ont eu déjà l’occasion de travailler sur d’autres problèmes
ouverts avec recours à la pédagogie inversée, à la baladodiffusion et à l’algorithmique.

Déroulement de la séance
Matériel – logiciel :
Salle informatique ou utilisation des ordinateurs Pop
Logiciels : tableur, géométrie dynamique, algorithme, lecture de vidéo
Durée :
Deux heures : pour les recherches (y compris les « pauses » de débats)
Une heure : pour exposer les solutions
Organisation :
En groupe de 3 élèves (j’ai fait en sorte que le niveau soit équilibré)
Phases et timing :
La séance commence par le rappel des objectifs, à savoir : (10 min)
-Une grille de notation (auto-évaluation) sera réalisée à la fin (présentation rapide des items de
la grille).
-2h pour le problème + 1h pour la présentation par groupe.
-Une présentation de vos recherches par écrit et oralement de certains groupes.
-Une restitution à l’aide de la baladodiffusion à faire à la maison.
Distribution de l’énoncé et recherche individuelle : 05 min
Aucune indication n’est donnée, les élèves sont en autonomie pour s’approprier le problème.
Ils réfléchissent individuellement.
Travail de groupe : 1h45 durant cette phase :
-Les élèves se mettent à partager leurs idées.
Le but est de laisser les élèves prendre les initiatives, des pistes différentes … conjecturer ….
Après 10 minutes
-Avec une classe : j’ai senti la nécessité de faire une « pause débat » afin que les élèves
débattent sur « que nous demande-t-on ? ».
-Le professeur passe dans les rangs, sans rien dire, mais note les difficultés afin de « distribuer »
certaines « aides » sous formes numériques selon le blocage rencontré par les groupes.
Après 20 minutes, je commence à « distribuer certaines aides » selon le degré de blocage.
Voici quelques exemples de productions, de pistes d’élèves … et l’aide distribuée :
Production
élèves
Commentaire Piste suivie : « à la main »
Ce groupe pense que la droite est la représentation graphique d’une fonction
linéaire
Point positif : notions réutilisées : proportionnalité et linéarité
Ce groupe sait utiliser une des conséquences de l’utilisation d’une fonction
linéaire, à savoir, la situation de proportionnalité.
Erreurs :
Ce groupe ne s’est pas posé la question de l’appartenance ou non de
l’origine à la droite, et a fait confiance à la lecture graphique.
Ce groupe n’a pas vérifié son résultat et pense alors avoir la bonne réponse.
Sous forme de question : « L’énoncé affirme t-il que la droite passe par
Aide
l’origine ? ».
distribuée et
Un membre du groupe s’est alors exclamé « Hey mais oui, ce n’est pas
conséquence
écrit !! on n’en est pas sûr ! » .
Puis leurs recherches ont repris …
Production
élèves
Commentair
e
Piste suivie : « à la main »
Point positif :
Ce groupe a fait une vérification pour le 1er point donné D.
Production
élèves
Commentaire
Piste suivie : « géogébra »
Ce groupe souhaite modéliser le problème sous géogébra.
Aide
distribuée et
conséquence
Point positif :
Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel.
Erreurs :
Ce groupe ne s’est pas posé la question de l’appartenance ou non de
l’origine à la droite, et a fait confiance à la lecture graphique.
Sous forme de question : « L’origine appartient-il à la droite ?».
Un membre du groupe s’est alors exclamé « Ah mais non ça passe à côté
! ».
Production
élèves
Commentaire
Piste suivie : « géogébra »
Ce groupe souhaite modéliser le problème sous géogébra.
Point positif :
Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel
Expression y=ax+b
Production
élèves
Commentaire
Piste suivie : « tableur »
Ce groupe souhaite modéliser le problème à l’aide d’un tableur
Point positif :
Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel
Production
élèves
Commentaire
Aide
distribuée et
conséquence
Piste suivie : « algobox »
Ce groupe souhaite modéliser le problème sous algobox.
Point positif :
Prise initiative - Utilisation des TICE – autonomie sur le logiciel
Erreurs :
Des erreurs de syntaxes (oubli du * entre le 5 et le x).
Il manque des parenthèses.
La valeur en entrée est incorrecte.
Sous forme de vidéo : « sur un exo travaillé il y a quelques semaines».
Le groupe réussi a modifié seul son
algorithme.
Mais la recherche n’est pas finie, le
groupe se rend compte qu’il faut
améliorer le programme car la
recherche du dixième point semble
« compliqué » avec ce programme.
Production
élèves
Commentaire
Aide
distribuée et
conséquence
Ce groupe avait bien écrit en pseudo français, un algorithme permettant de
répondre à la question, mais demandait un rappel pour la partie entière sur
algobox.
Piste suivie : « algobox »
Ce groupe souhaite modéliser le problème sous algobox
Point positif :
Prise initiative - Utilisation des Tice – autonomie sur le logiciel
Sous forme d’un programme : « floor.alg»
Le groupe réussi a modifié seul
son algorithme et me propose :
Exemples d’autres aides utilisées accessibles sur l’ENT des élèves:
Toutes les aides sont protégées par un mot de passe, données uniquement lorsque le professeur
les juge nécessaires.
-la vidéo sur la partie entière1
-la vidéo sur la boucle FOR
-Qu’est-ce qu’une fonction linéaire ?
-Dans quelle situation rencontre-t-on une fonction linéaire ?
Ces différentes aides peuvent être de nature à :
- Aider aux connaissances et aux savoir-faire ;
- Aider à la démarche de résolution.
Exposé : 10 minutes par groupe volontaire (3 groupes sont passés) suivi de 5 minutes de débat.
Grille d’évaluation : 15 minutes pour remplir la grille par autoévaluation.
Une semaine plus tard : un fichier mp3 est distribué par ENT pour un travail à la maison de
restitution.
 Autres aides prévues non utilisées
- Les aides aux connaissances et aux savoir-faire
La vidéo sur : le reste de la division euclidienne dans algobox.
 Prolongements possibles
Quel est le 2014ième point à coordonnées entières positive ?
La diversité des notions mathématiques mises en jeu dans ce problème, permet de :
• chercher, expérimenter – en particulier à l’aide d’outils logiciels;
• appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes;
• raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective;
• expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit.
La plupart des notions de ce problème ont été largement reprises plus tard car elles font partie des
capacités attendues d’un élève de seconde (équation de droite, point appartenant à la droite …)
Certains élèves ont eu l’occasion de réutiliser la notion de « Partie entière » en MPS
Les élèves ont eu l’occasion de réutiliser la notion de boucle FOR en simulation échantillonnage
1
Voir vidéos 1 et 2 dans la paragraphe 4.Scénario de mise en œuvre.
5. Evaluation

Il n’y a pas eu d’évaluation chiffrée, mais une simple évaluation suivant une grille de
compétences
 Les commentaires dans la grille ci-dessous sont des exemples pouvant guider les élèves à
s’autoévaluer
Distinguer ce
Rechercher,
Bon
Moyen
Insuffisant
qui est établi de On a bien vu que
On a bien vu que le
On a eu du mal à
extraire et
ce qui est à
l’énoncé ne disait
point D appartenait à comprendre
organiser
prouver ou à
rien au sujet de
la droite mais on a
l’énoncé, à faire le
l’information
réfuter.
l’origine
considéré que
lien entre la droite
utile
On a bien vu que
l’origine aussi sans le et l’équation …
l’équation donnée vérifier …
était une équation
de la droite …
Suivre un
Réaliser,
Bon
Moyen
Insuffisant
protocole,
On a utilisé un
On a utilisé un outil
On a utilisé un
manipuler,
utiliser un outil, outil en sachant
en sachant expliquer
outil mais sans
mesurer,
modéliser une
expliquer dans
dans quel but.
arriver à expliquer
expérimenter
situation
quel but.
Mais on a eu du mal
notre objectif.
On est autonome
à maîtriser l’outil, on
sur l’outil choisi.
a eu besoin d’aide.
pratiquer une
démarche
expérimentale
émettre une
hypothèse, une
conjecture :
proposer une
méthode, un
calcul, un
algorithme, une
procédure, une
expérience
Bon
Le groupe a :
Formulé des
conjectures
conduit un
raisonnement
contrôle la
vraisemblance
d’un résultat.
Adopte une
démarche
d’investigation par
une narration de
recherche …
Moyen
Le groupe a :
Formulé des
conjectures
conduit un
raisonnement
mais ne contrôle pas
la vraisemblance
d’un résultat.
Adopte une
démarche
d’investigation par
une narration de
recherche …
Insuffisant
Le groupe a :
Formulé des
conjectures
conduit un
raisonnement
mais ne contrôle
pas la
vraisemblance d’un
résultat.
La démarche
d’investigation par
une narration de
recherche est
insuffisante …
communiquer
à
l’aide d’un
langage
adapté
Présentation
orale
Explications
orales
Bon
Le groupe
explique
clairement ses
idées avec un
langage adapté.
Moyen
La formulation des
idées et le langage
manquent de clarté et
de précision
Insuffisant
Le groupe a du mal
à expliquer
clairement ses
recherches
6. Apport des outils numériques
 Quel est le rôle des outils logiciels ? Des supports matériels ? (classe mobile, tablettes
numériques…) ? Quelles compétences transversales et disciplinaires développées ? Comment les
a-t-on mises en valeur ? A l’aide de quels outils numériques ?
D’une manière générale, les outils logiciels permettent de :
 Favoriser et stimuler la prise d’initiative
 Visualiser
 développe la possibilité d’expérimenter
 ouvre largement la dialectique entre l’observation et la démonstration
Mais dans ce problème, en particulier :
Géogébra
L’utilisation de ce logiciel oblige les élèves à se poser la question « comment trace-ton une droite ? »
Certains élèves veulent représenter la droite de l’énoncé.
Ils se rendent compte qu’un seul point D n’est pas suffisant !
Algobox
Développe les compétences transversales et disciplinaires:
Déployer un raisonnement mathématique grâce à l’élaboration d’algorithme.
Se familiariser avec les algorithmes.
Montrer qu’un problème difficile à résoudre à la main a priori, peut être facile avec un
algorithme.
ENT
Développe les compétences transversales et disciplinaires:
Travailler en équipe grâce aux échanges de l’application « messagerie pédagogique ».
Travailler en autonomie grâce à l’accès des fichiers personnels utiles à ce problème et
aux aides différenciées.
Mon GSM
Enregistrement audio de certains élèves durant leur phase de recherche.
Certains enregistrements sont utiles immédiatement : ils deviennent parfois une AIDE
pour un autre groupe. L’aide a été formulée par un élève pour aider un autre groupe et
non par le professeur.
Enregistrement photographique et vidéo de certains élèves durant leur phase de
recherche.
Il m’est arrivé de projeter une image que je venais de capturer.
Les enregistrements vidéo/audio ont parmi de développé chez l’élève les compétences
transversales et disciplinaires concernant :
 l’aptitude à communiquer, utiliser le bon vocabulaire
J’ai remarqué que lors de l’utilisation audio/video du travail d’un élève :
-l’élève enregistré était fier et mettait bien plus de bonne volonté à exprimer
oralement ses idées sans le prendre comme un « travail » mais plutôt comme un
« jeu ».
 L’aptitude à écouter, extraire l’information
-l’élève qui reçoit l’aide, est plus à l’écoute, lorsque c’est un camarade de classe qui
« parle ».

Quelle place accordée à la différenciation ? Sous quelle forme ?
Ce problème a été conçu de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité des aptitudes
des élèves. Comment ? Grâce :
 aux « aides ciblées»
 aux différentes pistes possibles
 à l’utilisation des TICE
o
o
o
 Quels sont les innovations numériques développées ? Leurs apports ?
Changement de posture de l’enseignant (ressource) et autonomie développée
Le problème est conçu de manière à laisser un maximum d’autonomie à l’élève.
Cette autonomie est renforcée grâce à l’apport numérique.
En effet :
 Les élèves peuvent à tout moment se connecter à leur ENT et visionner le travail fait en amont
pour ce problème (par exemple, la manipulation du tableur en statistique, la manipulation de
géogébra dans les fonctions, les algorithmes faits depuis le début de l’année ….).
 Les fichiers numériques donnent la possibilité à l’élève de visionner à son rythme (faire pause,
avancer, reculer …), on imagine aisément la difficulté de l’enseignant à le faire si chaque
groupe était demandeur …
Mise en activité de l’élève
Comme je l’expliquais, l’enregistrement audio/vidéo est une source de motivation pour certains
élèves qui veulent alors faire et bien faire.
Attractivité des maths et Meilleur apprentissage car….
La baladodiffusion mélange les maths et les outils numériques GSM, baladeurs, ordinateur qui sont
pour les élèves des accessoires ludiques. Ce qui donne une autre dimension à « je fais des maths ».
J’ai remarqué, que chez certains élèves (pas les meilleurs), le fait d’utiliser cette méthode, rendait le
travail en mathématique moins contraignant.
La pédagogie inversée sur des notions sélectionnées, semble efficace à l’apprentissage.
L’acquisition des connaissances se fait ainsi au rythme de l’élève et non au rythme du professeur
ou du programme scolaire.
En delà de ce problème, j’ai eu l’occasion d’utiliser d’autre outils liés à l’environnement numérique de
l’élève, par exemple :
 L’ENT par MOODLE : Par le partage de fichiers et l’élaboration de QCM
Travailler l’autonomie.
Un moyen de mobiliser régulièrement les capacités acquises en classe.
Des liens vers des situations d’application interactives ou ludiques permettent de
solliciter l’élève à la maison, pour brasser à nouveau les capacités et connaissances
déjà acquises.
 L’ENT et LA MESSAGERIE : par l’échange d’exercices.
Elaboration de parcours progressif et différencié par élève.
Un véritable outil de gestion de l’hétérogénéité.
 QCM :
Pour l’enseignant, les résultats des QCM sont précieux, car l’analyse de ces résultats
par élèves pourra guider l’enseignant à pratiquer un meilleur travail différencié et
personnalisé.