Mémoire AFONSO JOAO Filipe

Allocation stratégique d’actifs sous
Solvabilité 2 dans le cadre de l’assurance vie
1
Abstract
Keywords
Life insurance, assets, liabilities, strategic allocation, Solvency 2, Solvency Capital Requirement, best estimate, coverage ratio, real world / risk neutral model Vasice , BlackScholes model of Heston, Merton model, model Health, Jarrow and Morton model Savings,
risk indicators, performance indicators.
Life insurance is today one of the favorite French investments. Around 41% of French
have subscribe a life insurance to an estimated amount of 1.4 trillion euros of total outstanding at end-June 2011 (FFSA and INSEE).
The management of these assets requires strict standards to ensure policyholders the
best financial security. It is in this context that, since 2006, Solvency 2 aims to create an
innovative and harmonized prudential regime at European level. The aim of this reform is
to place the risk in the heart of corporate strategy in order to ensure optimum protection
to policyholders.
In the current standards of solvency, the capital requirements required for an insurer,
is simply measured as a factor of the mathematical provision. Then the Solvency 2 reform
implements calculations of the technical provisions and capital requirements taking into
account the specific risk profile to which is submitted each insurer.
This new reform encourages many insurers to question the impact of their strategic
allocation and especially the consequences of their equity exposure concerning their level
of solvency ; making some of them starting to change their investment structure.
Thus the objective of this thesis is to study the development of an optimal strategic
asset allocation which in the one hand maximizes the performance of the portfolio and in
the other hand minimizes the risks and insurer ?s capital requirements.
Unlike the modern portfolio theory of Markowitz, we are not going to try to optimize
the yield and the average risk of the asset portfolio, but we are going to try to optimize
the indicators of profitability and risks specifically to the life insurance business.
2
Résumé
Mots clés
Assurance vie, actifs, passifs, allocation stratégique, Solvabilité 2, Solvency Capital
Requirement, Best estimate, ratio de couverture, univers réel/risque neutre, modèle de
Vasicek, modèle de Black et Scholes, modèle de Heston, modèle de Merton, modèle de
Health, Jarrow et Morton, modèle Épargne, indicateurs de risque, indicateurs de rendement.
L’assurance vie représente aujourd’hui l’un des placements préféré des français. En effet environ 41 % des français ont souscrit une assurance vie pour un encours global estimé
à un peu moins de 1400 milliards d’euros à fin juin 2011 (source FFSA et INSEE).
La gestion de ces encours nécessite des normes strictes afin de garantir aux assurés
la meilleure sécurité financière possible. C’est dans ce contexte que, depuis 2006, se met
en place la réforme Solvabilité 2 qui vise à instaurer un régime prudentiel et harmonisé
novateur, au niveau européen. Le but de cette réforme est de placer le risque au centre de
la stratégie d’entreprise pour garantir aux assurés une protection optimale.
Dans les normes actuelles de solvabilité, les besoins en capitaux propres, nécessaires
à la bonne santé financière de l’assureur, se mesurent de façon déterministe par simple
application forfaitaire sur les éléments du bilan et des comptes de résultat. La réforme
Solvabilité 2 met en place des calculs de provisions techniques et des exigences de fonds
propres en tenant en compte du profil de risque spécifique auquel est soumis chaque assureur.
Cette nouvelle réforme pousse bon nombre d’assureurs à se questionner sur l’impact
de leur allocation stratégique et plus particulièrement sur les conséquences de leur exposition action sur leur niveau de solvabilité ; au point que certains d’entre eux commencent
à modifier leur structure de placement.
Ainsi l’objectif de ce mémoire est d’étudier la mise en place d’une allocation stratégique d’actifs optimale, afin de maximiser la performance du portefeuille et également de
minimiser les risques et les besoins en fonds propres de l’assureur.
A la différence de la théorie moderne du portefeuille (Markovitz), nous ne recherchons
pas l’optimisation du rendement et du risque moyen du portefeuille d’actifs, mais des
indicateurs de rentabilité et de risques propres à l’activité d’assurance vie.
3
Remerciements
Je tiens à remercier tout d’abord Thibault JACOB et Arnaud LEMÉNAGER, respectivement directeur du département Risque et chef du service ALM au sein de Natixis
Assurances pour m’avoir guidé au cours de la réalisation de ce mémoire, pour tous leurs
conseils et leur disponibilité.
Je remercie également l’ensemble des collaborateurs de Natixis Assurances qui m’ont
aidé à travailler sur ce mémoire et en particulier le service gestion Actif Passif :
– Christophe LE PAPE
– Célia CALLEN
– Morgan VERDOUX
– Lionel ALDEBERT
– Anthony DARNÉ
– Sebastien LE DARZ MARANGONI
– Maxime DRUAIS
– Nicolas DENOJEAN
– Adrien LE MENN
– Odile BRETHENOUX
– Assia OUDNI
– Stéphanie RALAIARINOSY
Je remercie l’ISFA pour ces trois années de riches enseignements.
4
Table des matières
Abstract
2
Résumé
3
Remerciements
4
Introduction
7
I Solvabilité 2 et risques de marché dans le cadre de l’assurance
vie
8
1 Définition de l’assurance vie
1.1 Définition . . . . . . . . .
1.2 Fonctionnement . . . . . .
1.3 Caractéristiques . . . . . .
1.4 Fin de vie du contrat . . .
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2 La réforme Solvabilité 2
2.1 Description de la réforme . . .
2.2 Best estimate et Risk margin
2.3 Solvency Capital Requirement
2.4 Ratio de couverture . . . . . .
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3 Calibrage des risques de marché sous Solvabilité 2
3.1 Risque Taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Risque Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Risque Immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Risque de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Risque de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Risque de concentration . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Prime d’illiquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
en formule
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II Présentation du modèle Épargne utilisé et de la création des
scénarios économiques
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1 Structure des Actifs dans le modèle
1.1 Modélisation générique des actifs .
1.2 Obligation à taux fixe . . . . . . .
1.3 Obligation à taux variable . . . . .
1.4 Obligation indexée inflation . . . .
1.5 Actifs indiciels, R.332-20 : Actions .
5
Épargne
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2 Structure du passif dans le modèle Épargne
56
2.1 Description de l’écoulement du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Algorithme de taux servis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Mise en place des scénarios économiques
3.1 Univers risque neutre et monde réel . . .
3.2 Modèle utilisé pour la poche Action . . .
3.3 Modèle utilisé pour la poche Taux . . . .
3.4 Modèle utilisé pour la poche Immobilier
III
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Mise en place d’une allocation stratégique d’actifs
76
1 Contexte de l’étude et hypothèses
76
1.1 Description du périmètre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.2 Description de la démarche de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 Recherche d’une allocation optimale par
classiques
2.1 Résultats indicateurs vision assurés . . . .
2.2 Résultats indicateurs vision actionnaires .
2.3 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . .
l’utilisation des indicateurs
82
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Analyse de l’impact de Solvabilité 2 sur la gestion du portefeuille
gataire
3.1 Description des hypothèses retenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Étude de la sensibilité du SCR aux caractéristiques obligataires . . .
3.3 Étude du couple rendement/SCR taux . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
obli.
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4 Recherche d’une allocation optimale par l’utilisation d’indicateurs propres
à Solvabilité 2
98
4.1 Projection à partir de la situation initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Projection à partir d’une situation initiale modifiée . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Taux de couverture Solvabilité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Conclusion
111
Bibliographie
112
Annexe
113
6
Introduction
Face à l’importance du rôle économique et social joué par des assurances et dans le
cadre d’un marché unique commun, une nouvelle réforme de solvabilité européenne a été
mise en place : Solvabilité 2.
Faisant suite à la réforme Solvabilité 1, jugée insuffisante à cause de sa vision purement
factorielle (besoin de solvabilité calculé en pourcentage des provisions mathématiques) peu
sensible aux risques et dont l’harmonisation de la méthodologie de calcul est remise en
cause, la réforme Solvabilité 2 a pour objectif d’améliorer le système de solvabilité européen en intégrant tous les risques qui pèsent sur les sociétés d’assurances. Cette nouvelle
réforme permet aux autorités de contrôle d’évaluer "de façon plus juste" la solvabilité de
chaque assureur, grâce à des normes harmonisées qui mettent en place des principes de
gestion de risques et adaptent l’exigence de fonds propres au profil de risque de chaque
assureur.
La littérature actuarielle est très prolixe en matière d’optimisation d’allocation d’actifs
des fonds généraux d’assurance. Il est vrai que le sujet est particulièrement complexe. La
gestion d’actifs des assureurs vie doit en effet concilier trois objectifs distincts dans un
environnement économique fluctuant :
- Servir aux clients un taux de rendement compétitif
- Dégager un résultat (social et consolidé) en rapport avec les fonds propres immobilisés
- Garantir la solvabilité de la compagnie d’assurance
Si les engagements des assurés et la solvabilité des entreprises sont aujourd’hui évalués selon les normes Solvabilité 1 permettant un pilotage relativement "aisé" du bilan
des compagnies, la nouvelle réforme Solvabilité 2 va introduire une forte volatilité de la
solvabilité de l’assureur.
Afin de réduire cette volatilité, les assureurs vie vont principalement devoir agir sur
leurs allocations d’actifs tout en essayant de garder une certaine souplesse sur leur gestion
financière. L’objectif de notre étude est de réfléchir à l’impact de la réforme Solvabilité 2
sur la stratégie d’allocation d’actifs pour les fonds généraux en assurance vie, en conciliant
les objectifs poursuivie par l’assureur : servir un taux compétitif aux assures et limiter la
volatilité du ratio de couverture en optimisant le couple rendement/risque.
Après avoir présenté la réforme Solvabilité 2, le modèle utilisé et l’ensemble des hypothèses de l’étude, nous analyserons les variations du taux de couverture tel que défini
par la réforme Solvabilité 2 en fonction de différentes allocations d’actifs afin d’essayer
d’identifier une allocation d’actif efficiente, reposant sur les outils et hypothèses retenues.
7
Première partie
Solvabilité 2 et risques de marché dans
le cadre de l’assurance vie
1
1.1
Définition de l’assurance vie
Définition
L’étude réalisée tout au long de ce mémoire a été effectuée dans le cadre de contrats
épargne en assurance vie, nous allons donc commencer par définir ce qu’est un contrat
d’épargne en assurance vie.
L’épargne correspond à la partie du revenu disponible des ménages qui n’est pas consacrée à une consommation immédiate. Épargner revient donc tout simplement à placer ce
surplus d’argent non consommé. Cet argent devient indisponible pour les paiements immédiats et la consommation courante.
Le placement peut être réalisé sur de nombreux produits différents proposés par un
établissement financier ou un assureur. Le rendement de ce type de contrat varie en fonction du type de placement choisi, de la durée d’immobilisation ou du taux de rémunération
fixé par le contrat. L’épargne est donc, en sciences économiques, considérée comme une
consommation différée dans le temps. Épargner permet de répondre à un grand nombre de
besoins différents comme la constitution d’un capital retraite, la valorisation d’un capital
disponible, protection contre un risque futur, transmission un capital...
Il existe différents types de produits d’épargne. On distingue les livrets d’épargne, les
épargnes retraite, les épargnes liées au logement ou les épargnes long terme type assurance
vie. Nous nous intéressons par la suite particulièrement aux contrats d’épargne long terme
type assurance vie.
Un contrat d’assurance vie est une assurance par laquelle un assureur s’engage auprès
de l’adhérent (assuré), moyennant le paiement de prime(s), à verser un capital ou une
rente en cas de vie ou en cas de décès d’une personne désignée (l’assuré) au profit de
l’adhérent ou d’un tiers (le bénéficiaire).
1.2
Fonctionnement
Dans le cadre d’une assurance vie, le contrat d’épargne est considéré par certains
comme un placement financier, proche d’un système de capitalisation. Cependant il possède malgré tout un facteur d’aléa nécessaire à la définition de tout contrat d’assurance.
L’aléa, dans les contrats d’assurance vie réside dans la survie ou le décès de l’assuré.
L’assurance vie s’appuie sur une capitalisation viagère. Depuis le moment de la signature et durant toute la vie du contrat, le souscripteur ne perçoit pas de revenus. Il
peut dans certains cas percevoir le versement d’une partie des intérêts ou d’une éventuelle
participation aux bénéfices. Les primes versées par le souscripteur sont investies et le fruit
8
de ces investissements est majoritairement réinvesti.
La capitalisation financière en assurance vie s’appuie sur l’utilisation d’un taux d’intérêt technique défini dans l’article A.132-1 du Code des Assurances (Article disponible
en Annexe dans la partie Article du code des Assurances). Cet article impose que « les
tarifs pratiqués par les entreprises pratiquant des opérations mentionnées au 1 de l’article
L. 310-1 (c’est-à-dire les entreprises qui contractent des engagements dont l’exécution
dépend de la durée de la vie humaine, à l’exception des sociétés de secours mutuels et
des institutions de prévoyance publiques ou privées régies par des lois spéciales) doivent
être établis d’après un taux au plus égal à 75% du taux moyen des emprunts de l’État
français calculé sur une base semestrielle sans pouvoir dépasser, au-delà de huit ans, le
plus bas des deux taux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus. Pour
les contrats à primes périodiques ou à capital variable, quelle que soit leur durée, ce taux
ne peut excéder le plus bas des deux taux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué
ci-dessus ». Le TME désigne le taux moyen des emprunts d’État (calculé sur une base
semestrielle) qui est « le plus élevé des deux taux suivants : taux à l’émission et taux de
rendement sur le marché secondaire ».
Les montants épargnés peuvent être investis par l’assurance dans plusieurs types de
supports en fonction des préférences de l’assuré ou de la conjoncture économique.
Les contrats monosupport Euros
Un contrat d’assurance vie monosupport euros est un contrat dans lequel l’épargne
est investie sur un seul type de placement. Il s’agit d’un contrat en euros, au sein duquel
l’épargne est investie majoritairement, par l’assureur, sur des actifs tels que des obligations, des emprunts d’État ou des bons du Trésor, qui sont des produits sûrs et peu
sensibles aux aléas des marchés. Au sein d’un contrat monosupport euros, l’épargne investie est intégrée à l’actif général de l’assureur, qui s’en porte garant. Le capital peut
également être intégré à l’actif cantonné de l’assureur : l’épargne est ainsi gérée à part des
autres contrats proposés par la compagnie.
En plus de cette garantie en capital, un taux minimal de rémunération (le TAG) est
garanti en cours d’année par l’assureur. En fin d’année, l’assureur verse une participation
aux bénéfices liée au rendement de l’actif général ou de l’actif cantonné selon le cas.
Les contrats monosupports euros sont surtout utilisés pour sécuriser de l’épargne (car
ils mettent en place une garantie en capital). Cependant ils n’offrent pas le choix d’arbitrer entre divers placements pour dynamiser l’épargne en l’investissant sur des unités de
compte, comme il est possible de le faire au sein des contrats multisupports. Le souscripteur ne peut modifier l’orientation de son épargne en fonction de l’évolution des marchés
financiers ou de ses objectifs personnels.
Depuis 2005 et à cause d’une baisse des rendements des contrats monosupports euros,
les pouvoirs publics ont donné la possibilité de transférer l’épargne investie en contrats
mono supports vers des contrats multisupports, au travers de l’amendement Fourgous.
9
Les contrats en unité de compte
Les contrats en unité de compte contrairement aux contrats monosupport euros sont
des contrats qui n’ont pas comme référence une monnaie mais une unité de compte. Les
principales unités de compte sont adossées aux actions, aux obligations et à l’immobilier.
Elles évoluent en fonction des performances de leurs marchés de référence. Les contrats
en unité de compte sont souvent choisis par des investisseurs à long terme qui cherche des
placements diversifiés et qui acceptent les risques inhérents à la volatilité des marchés.
Ces contrats offrent souvent des garanties d’assurance complémentaires, dites « garanties plancher ». Les bénéficiaires reçoivent ainsi, en cas de réalisation de l’événement
couvert (décès, invalidité, survie au terme,...), un capital minimal garanti. Ces garanties
ont la particularité de faire porter aux assureurs, directement au passif de leur bilan, deux
types de risque. D’une part, un risque traditionnel d’assurance. D’autre part, un risque
financier lié à la volatilité des unités de compte : le capital sous risque dépend en effet de
leur valeur de marché.
Les contrats multisupports
Les sommes versées sur un contrat assurance vie multisupports peuvent être investies
dans des actifs financiers de tous types (le plus souvent ce sont des opcvm, sicav ou fonds
commun de placement). C’est l’assureur du contrat qui décide les supports éligibles au
contrat d’assurance vie qu’il propose. Le capital n’est pas garanti, l’évolution de l’épargne
dépendant du choix des supports. A noter que le fonds en euros peut également être choisi
comme support dans un contrat d’assurance vie multisupports.
Il s’agit du contrat le plus courant : la quasi-totalité des contrats d’assurance vie
commercialisés aujourd’hui sont des contrats multissupports. Ces contrats comportent
plusieurs supports ou compartiments, en euros et/ou en unité de compte, entre lesquels
sont réparties les cotisations versées. Le souscripteur peut à tout moment modifier la
répartition de son épargne entre les supports en procédant à un arbitrage.
1.3
Caractéristiques
Alimentation du contrat d’épargne
Le contrat d’assurance vie prend effet dès le versement de la première prime (ou
cotisation). La date du paiement de la cotisation est fixée librement par l’assureur et
le souscripteur du contrat. La cotisation contractuellement prévue peut être unique ou
périodique (versement annuel, trimestriel, mensuel...).
Contrairement aux autres contrats d’assurance classiques, dans le cas de l’assurance
vie, le souscripteur du contrat n’est pas obligé de payer la prime de son contrat. Le
paiement des cotisations étant facultatif, l’assureur ne peut contraindre le souscripteur à
s’en acquitter. Il faut distinguer selon que le contrat est à versements libres ou périodiques.
Contrat à versements libres
10
S’il est prévu au contrat que les versements seront libres, c’est-à-dire que le contrat
laisse à l’assuré le choix du montant des cotisations et de leurs dates de versement, l’assureur ne pourra évidemment pas mettre en demeure le souscripteur d’effectuer un versement. Cependant dans certains contrats d’assurance vie le souscripteur du contrat est
obligé d’effectuer au moins un versement par an.
Contrat à versements périodiques
Pour les contrats engageant le souscripteur à verser des cotisations périodiques à des
dates fixes (anniversaire de la signature du contrat ou début d’année calendaire), une procédure est prévue au terme de laquelle, en cas de non-paiement, le contrat peut être réduit
ou résilié comme décrit dans l’article L. 132-20 du code des assurances ((Article disponible
en Annexe dans la partie Article du code des Assurances). Le choix de la réduction ou de
la résiliation du contrat dépend de l’existence ou non d’une provision mathématique. Les
provisions mathématiques représentent les primes nettes de frais reçues par l’assureur et
majorées des intérêts. Les assurances temporaires décès n’ont pas, par exemple, de provision mathématique car la prime versée se consume tout au long de l’année pour couvrir
le risque décès de l’assuré.
- La résiliation du contrat : lorsqu’une prime ou une fraction de prime n’est pas payée
dans les dix jours de son échéance et qu’aucune provision mathématique ne s’est constituée, l’assureur adresse au souscripteur une lettre recommandée par laquelle il l’informe
qu’à l’expiration d’un délai de quarante jours à dater de l’envoi de cette lettre, le contrat
d’assurance s’éteindra si aucun versement n’est effectué. Ce sera le cas pour les assurances
temporaires décès ou encore les assurances en cas de vie sans contre-assurance.
- La réduction ou le rachat du contrat : s’il existe une provision mathématique, le
contrat ne s’éteint pas au bout de quarante jours mais reste en sommeil jusqu’au terme
initialement prévu. L’assureur, qui ne peut résilier le contrat, va procéder à sa réduction :
le souscripteur reste assuré en proportion des sommes versées par rapport à celles qui
auraient dû être versées au jour de l’échéance du contrat ou du décès.
Les modalités de réduction sont déterminées par un règlement général mentionné dans
le contrat d’assurance. L’assureur doit communiquer, chaque année le cas échéant, le montant de la valeur de réduction. L’assureur peut d’office substituer le rachat à la réduction
si la valeur de rachat du contrat est inférieure à un certain montant.
Charges et frais liés au contrat
Les frais liés aux contrats d’épargne
Ils peuvent être très différents d’une compagnie à l’autre. Nous allons énumérer les
principaux frais liés aux contrats d’épargne :
11
- les frais d’entrée ou d’acquisition : il s’agit d’un pourcentage prélevé à l’occasion des
versements effectués ou d’une somme forfaitaire par police ;
- les frais de gestion liés à la gestion du contrat : ils sont prélevés sur l’épargne (c’està-dire sur les provisions mathématiques ou l’encours), lors de la capitalisation annuelle,
sur les intérêts générés par le fonds ;
- les commissions liées aux réseaux de distribution ;
- les frais d’arbitrage (cas des contrats multisupports) : ils sont calculés sur les sommes
transférées en cas de changement de supports,
- les frais OPCVM inhérents à certains supports (SICAV, par exemple) ;
- les pénalités de rachat dans certain contrats.
Cotisations sociales
Elles sont différentes suivant le type de contrat souscrit. En effet, pour les contrats
monosupports en euros, à chaque capitalisation annuelle, les prélèvements sociaux sont
appliqués au taux en vigueur sur les rendements de l’investissement crédité aux assurés.
Lors d’un rachat total en cours d’année, des intérêts pour cette dernière année sont calculés
et donne aussi lieu à des cotisations sociales.
Notons que le taux en vigueur en 2011 (depuis le 1er janvier 2011) est de 12,3 % soit :
- 8,2 % pour la CSG (Contribution Sociale Généralisée) ;
- 0,5 % pour la CRDS (Contribution pour le Remboursement de la Dette Sociale) ;
- 2,5 % pour le prélèvement social et contribution additionnelle ;
- 1,1 % pour le RSA (Revenu de Solidarité Active).
Impôt sur les sociétés
L’impôt sur les sociétés, qui concerne les sociétés de capitaux ainsi que certaines associations et des organismes publics, se calcule à partir du résultat technique avant impôt.
Il est imputé en même temps que le résultat, c’est-à-dire généralement en fin d’année. Le
taux d’imposition en vigueur est de 33,34 % (depuis le 1er janvier 1993). Mais en général,
pour tenir compte du fait que certaines opérations ne sont pas taxées au même taux et
que des changements de taxation peuvent intervenir dans le temps, nous appliquons un
taux d’imposition « biaisé » égal à 34,43 %. Enfin, l’impôt sur les sociétés ne fait pas
partie du compte de résultat utilisé pour calculer la participation aux bénéfices versée
aux assurés.
Revalorisation du contrat
Taux minimum garanti
Lors de la souscription d’un contrat d’épargne, l’assureur s’engage à garantir un taux de
rémunération de l’épargne. Ce taux minimum garanti est défini par le Code des assurances
dans l’article A.132-3 du Code des assurances (Article disponible en Annexe dans la partie
12
Article du code des Assurances). Il est fixé à la souscription pour toute la durée du contrat
et est stipulé dans les conditions générales du contrat.
Le taux minimum garanti peut être fixé annuellement ou semestriellement pour l’année suivante. Dans ce cas, « il ne peut excéder alors 85 % de la moyenne des taux de
rendement des actifs de l’entreprise calculés pour les deux derniers exercices ».
D’autre part, le taux peut être variable « en fonction d’une référence fournie par un
marché réglementé et en fonctionnement régulier de valeurs mobilières ou de titres admis
en représentation des engagements réglementés des entreprises d’assurance ». Mais la garantie de ce taux n’est possible que pendant une durée maximale de 8 ans.
Participation aux bénéfices
D’après l’article L.331-3 du Code des assurances, « les entreprises d’assurance sur la
vie ou de capitalisation doivent faire participer les assurés aux bénéfices techniques et
financiers qu’elles réalisent, dans les conditions fixées par arrêté du ministre de l’économie
et des finances.» Ces profits sont distribués à l’assuré par l’intermédiaire de la participation aux bénéfices. La réglementation fixe le montant minimal de distribution de la
participation aux bénéfices. Il est déterminé globalement à partir d’un compte de participation aux résultats. Ce dernier fait intervenir deux autres comptes :
-un compte technique,
-un compte financier.
Le compte technique comprend principalement :
Primes versées par les assurés
+ Intérêts techniques (en fonction du taux minimum garanti)
- Prestations garanties (rachats, termes, décès)
- Charges de provision
+ Reprises de provision
- Frais de gestion et commissions
+ Participation incorporée aux provisions
= Solde du compte technique
Le compte financier est précisé dans l’article A.331-6 du Code des assurances (Article
disponible en Annexe dans la partie Article du code des Assurances). Il se présente de la
façon suivante :
Produits financiers
- Part des résultats que l’entreprise a dû affecter aux fonds propres pour satisfaire au
montant minimal réglementaire de la marge de solvabilité
+ Intérêts techniques
13
= Solde du compte financier
Les produits financiers dont il est question ici se calculent en multipliant l’encours
moyen des provisions techniques de l’exercice par le taux de rendement réel des actifs.
Le taux de rendement réel des actifs est égal à (article A.331-7 du Code des assurances,
Article disponible en Annexe dans la partie Article du code des Assurances ) :
T aux de rendement reel des actif s =
P roduits de placements nets
M ontant de placements
Avec :
Produits de placement
- Charges de placement
+ Plus-values sur cessions d’éléments d’actifs
- Moins-values sur cession d’éléments d’actifs
= Produits de placements nets
Et :
Montant moyen des placements au cours de l’exercice
+ Autres éléments d’actifs pouvant être admis en représentation des provisions techniques
- Valeurs remises par le réassureur
= Montant de placements
L’ensemble de ces données nous permet alors d’établir le compte de participation aux
résultats qui met en évidence le montant minimal de la participation bénéficiaire à attribuer aux assurés :
85 % du solde du compte financier
+ 90 % du solde du compte technique
- Intérêts techniques
- Participation incorporée aux provisions
- Solde de réassurance
= Participation bénéficiaire
Ainsi, les assureurs sont dans l’obligation de distribuer, au minimum :
- 85 % des bénéfices financiers ;
- 90 % des gains techniques.
Dans la pratique, la participation aux bénéfices peut être effectuée :
- par un versement en espèces (peu pratiqué) ;
- par une incorporation directe aux provisions mathématiques ;
- par une affectation partielle ou totale à la provision pour participation aux excédents.
14
Il est à noter que les sommes portées à la provision pour participation doivent être
affectées à la provision mathématique ou versées aux assurés dans un délai de huit ans.
1.4
Fin de vie du contrat
La clôture d’un contrat d’assurance vie s’effectue de différentes façon. En effet il peut
s’agir d’un contrat qui arrive à terme, d’un rachat ou d’un décès de l’assuré.
Rachats Totaux
En assurance-vie, le rachat total d’un contrat est une technique qui revient à retirer le
montant total des sommes capitalisées (provisions placées grâce au versement de primes
et les intérêts issus du placement de ces provisions). Un rachat total équivaut à la clôture
du contrat. Tous les contrats ne sont pas forcément rachetables (caractère définis à la
signature du contrat). De plus des pénalités de rachat peuvent exister. Il existe différents
type de rachats totaux, les rachats structurels et les rachats conjoncturels.
Rachats Totaux conjoncturel
Les rachats totaux dynamiques interviennent lorsqu’un client n’est pas satisfait du
rendement de ces placements, c’est-à-dire lorsque son niveau de satisfaction dépasse le
seuil de déclenchement.
Rachats Totaux structurels
C’est l’ensemble des rachats totaux usuels qui ne tiennent pas compte des évènements
extérieurs au contrat (ex : Conjoncture économique)
Rachats Partiels
Le rachat partiel est une opération qui consiste à effectuer un retrait définitif d’une
partie de l’épargne disponible. La part des intérêts qui compose le rachat peut être soumis
à taxation. Le rachat partiel en assurance vie permet à l’assuré de demander à l’assureur
une partie de la valeur acquise du contrat. De la même façon que pour les rachats totaux
il existe les rachats partiels structurels mais également les rachats partiels programmés.
Il s’agit de retraits définitifs périodiques programmés à l’avance par le souscripteur du
contrat d’assurance-vie.
Arbitrage
Le principe de l’arbitrage est de transférer une partie de son épargne euro vers des
supports en UC (notamment lorsqu’on anticipe une hausse des marchés financiers) ou
dans l’autre sens, à savoir de l’UC vers l’euro. Cette seconde stratégie s’effectue dans un
15
cadre un peu plus prudentiel que la première.
Rééquilibrage automatique
Le rééquilibrage automatique des investissements est conçu pour aider les investisseurs à maintenir leurs actifs à l’image de leurs directives de placement d’origine. Les
investisseurs peuvent par exemple déterminer leur tolérance au risque et leurs objectifs de
retraite et d’épargne afin de programmer au mieux le rééquilibrage automatique de leurs
placements. Avec le temps, un portefeuille de titres peut finir par ne plus correspondre
aux directives de placement initiales de l’investisseur. Par exemple, si le rendement des
actions surclasse celui des titres à revenu fixe, la composition de placements peut ne plus
rendre entièrement compte des objectifs de placement et du niveau de tolérance déterminés initialement. C’est alors que prend effet le rééquilibrage automatique. Le service de
rééquilibrage automatique des investissements évalue régulièrement l’écart entre la composition courante du compte du participant et la répartition d’origine, puis ajuste cette
composition pour la ramener à sa pondération initiale.
2
La réforme Solvabilité 2
2.1
Description de la réforme
La réforme Solvabilité 2 est une nouvelle réforme règlementaire du monde de l’assurance qui introduit des modifications importantes par rapport aux règles actuelles en
mettant la gestion des risques au coeur du système. Cette réforme doit entrer en application le 1er janvier 2016.
La réforme Solvabilité 2 a pour objectif d’adapter au mieux les exigences de fonds
propres des compagnies d’assurances et réassurance, aux risques auxquels ces compagnies sont soumises. Cette réforme va également permettre d’harmoniser l’évolution et le
contrôle des risques en Europe.
La figure 1 ci-dessous synthétise les principales évolutions apportées par solvabilité 2 :
La grande évolution mise en place par la réforme Solvabilité 2 par rapport aux anciennes normes en vigueur réside dans le fait que les calculs des provisions techniques et
des exigences de fonds propres sont effectués en prenant en compte le profil de risque spécifique complet auquel est soumis chaque assureur. En particulier, la reforme Solvabilité
2 prend en compte le risque d’investissement.
Présentation des piliers de Solvabilité 2
Solvabilité 2 s’appuie sur trois piliers :
Pilier 1 : Le pilier 1 vise à définir les normes quantitatives qui permettront de mesurer
l’exigence de marge imposée aux compagnies d’assurance. Ces règles devront permettre
16
Figure 1 – Principales évolutions apportées par solvabilité 2
Figure 2 – Piliers de Solvabilité 2
17
d’obtenir une harmonisation des provisions techniques à travers l’utilisation de deux niveaux de capital règlementaire le SCR (Solvency Capital Requirement) et MCR (Minimum
Capital Requirement) :
- Le MCR représente le niveau minimum de fonds propres en dessous duquel l’intervention de l’autorité de contrôle sera automatique.
- Le SCR représente le capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par un
risque majeur (par exemple : un sinistre exceptionnel, un choc sur les actifs...). La notion
de SCR sera développée plus précisément dans la suite de l’étude.
Les règles d’éligibilité des éléments de ces capitaux seront définies dans ce pilier. Ce
pilier définit donc les outils de mesure de la « suffisance » des provisions techniques et
formule une harmonisation des principes de calcul entre les différentes compagnies européennes.
Pilier 2 : Le pilier 2 a pour objectif de définir et d’harmoniser les activités de surveillance aussi bien au niveau des entreprises d’assurance qu’au niveau des superviseurs
c’est-à-dire par les autorités de contrôle telles que l’ACP (l’Autorité de Contrôle Prudentiel) ou le CEIOPS (Committee of European Insurance and Occupational Pensions
Supervisors). Ce pilier fixe des normes qualitatives de suivi des risques en interne aux
sociétés et régit les interventions des autorités de contrôle.
Pilier 3 : Le pilier 3 concerne les éléments d’information qui doivent être publiés par les
sociétés d’assurance, que ce soient les informations publiques dans le cadre de la discipline
de marché ou les informations à l’usage des superviseurs sous forme de dossier annuel,
ainsi que les règles d’information des assurés.
Ce mémoire s’intéressera plus particulièrement aux éléments décris dans le pilier 1.
Évolution du bilan prudentiel en assurance vie lors du passage sous Solvabilité 2
Nous allons décrire les différents éléments qui composent le bilan prudentiel sous Solvabilité 2.
Actifs incorporels : Dans le cadre d’une valorisation selon Solvabilité 2, il convient
d’éliminer les actifs incorporels qui ont pour origine un rapprochement d’entreprise (écart
d’acquisition, valeurs de portefeuille) ou qui ne peuvent être vendus (logiciels etc...)
Participations : Les participations sont valorisées après prise en compte de l’activité
de la participation et du type de contrôle.
Actifs de placement financier en coût amorti : Pour la valorisation sous Solvabilité 2,
ces actifs de placements sont désormais valorisés à la Juste Valeur (la juste valeur est
définie par les normes lAS / IFRS comme étant le montant pour lequel un actif pourrait
être échangé, ou un passif éteint, entre des parties bien informées et consentantes dans le
cadre d’une transaction effectuée dans des conditions de concurrences normales).
Actifs de placement financier en juste valeur : Pour ces actifs il y a conservation de la
18
Figure 3 – Bilan prudentiel sous Solvabilité 2
valorisation en Juste Valeur.
Part des réassureurs dans les provisions techniques (PT) : Il s’agit d’une quote-part
des provisions Best estimate et de la Risk Margin cédées au réassureur.
Autres Actifs IFRS dont IDA IFRS : Élimination / Réévaluation des impôts différés
actifs compte tenu de la nouvelle répartition des richesses entre actionnaires et assurés
liés à la réévaluation des actifs et des passifs.
Les impôts différés actifs (IDA) proviennent de différences temporaires entre les charges
comptables et les charges fiscales. Ces IDA sont principalement constitués des charges
comptables qui ne seront déductibles fiscalement que ultérieurement comme la provision
pour indemnité de retraite (ou d’autres provisions qui ne seront déductibles que lors de
la survenance de la charge ou du risque provisionné), ou certains déficits fiscaux qui viendront, éventuellement, diminuer ultérieurement les impôts à payer (reports déficitaires,
amortissements réputés fiscalement différés, moins-values à long terme...).
On constate que dans la vision Solvabilité 2 du bilan prudentiel, les actifs sont évalués
en valeurs de marché différentes de la valeur comptable qui existe dans Solvabilité 1.
Fonds Propres SII : les fonds propres d’une société d’assurance sont constitués des
capitaux de départ, de réserves et du résultat de l’exercice. Ce poste est construit par
différence entre l’actif et les autres passifs (A-P).
Dettes subordonnées SII : Ré-incorporation en capital des titres subordonnés classés
en dettes en IFRS.
Valeur de Portefeuille : La valeur du portefeuille est évaluée à partir des modèles de
projection.
Risk Margin : Cette notion sera développée dans la suite de ce mémoire. La Risk
Margin est évaluée à partir des modèles de projection.
Best Estimate : Cette notion sera développée dans la suite de ce mémoire. Le Best
Estimate est évalué à partir des modèles de projection.
19
Autres Provisions Techniques : Ce poste rassemble les provisions techniques.
Autres Passifs : Ce poste correspond principalement aux impôts différés passifs (IDP).
Les IDP sont une source d’imposition future, provenant d’actifs qui, lors de leur cession
ou de leur utilisation, donneront lieu à des déductions fiscales inférieures à leur valeur
comptable. Il en est ainsi pour les actifs réévalués lors de la première consolidation d’une
filiale. Ils entrent alors au bilan consolidé pour une valeur supérieure à la valeur fiscale. De
même, certains produits, comme les produits financiers courus, ont une imposition différée.
Par rapport aux contraintes concernant le niveau minimum de capital que doit détenir
l’assureur pour couvrir ses risques (en plus de toutes les provisions règlementaire), Solvabilité 2 s’éloigne également des méthodes de calcul mise en place dans Solvabilité 1. En
effet l’exigence de marge de solvabilité, dans le cas d’une assurance vie investie dans des
contrats à support euro, était calculée jusqu’à présent de façon proportionnelle en prenant
une part (4 %) des provisions mathématiques gérées par l’assureur, sans tenir compte ni
de garanties particulière accordées à certains assurés tel des taux minimum garanti ni du
type de placements effectués. Dorénavant cette exigence de solvabilité s’exprime à travers
le SCR qui s’adapte au profil de risque de chaque assureur et calcule l’impact sur ces
fonds propres qu’aurait la survenance d’un risque particulier.
Nous allons maintenant présenter plus précisément les principaux éléments qui composent ce bilan S2.
2.2
Best estimate et Risk margin
Best estimate
Dans cette partie nous allons définir le Best Estimate dans le cadre de la réforme
Solvabilité 2. Le Best Estimate est décrit dans les textes comme « la moyenne pondérée
par leurs probabilités des flux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur de l’argent,
estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinents ». De façon mathématique
le Best Estimate s’écrit de la façon suivante :
P
BE = E Q∗P δu ∗ L u u>1
Avec Q la probabilité risque neutre. Les probabilités risque neutres caractérisent une
mesure de probabilité différente de la mesure historique telle que la valeur d’un actif financier soit égale à la valeur actualisée aux taux sans risque de ses flux futurs : cela revient
à dire que les investisseurs sont neutres vis-à-vis du risque.
P représente la probabilité réelle qui s’applique à la durée de vie des assurés, les notions
de probabilité risque neutre et probabilité réelle seront décrites avec plus de précision dans
la suite du mémoire.
δu représente le facteur d’actualisation qui s’exprime en fonction du taux sans risque
instantané r :
20
−
δu = e
Ru
rh dh
0
Lu représente l’ensemble des flux de passif.
Le calcul du Best Estimate requiert la mise en place d’un modèle de gestion actif/passif,
qui sera décrit précisément par la suite. Afin d’obtenir la meilleur estimation du Best Estimate, le modèle mis en place doit tenir compte de l’ensemble des aléas qui touche l’actif
et le passif étudiés tels que :
-
Fréquence et coût des rachats ;
Fréquence et coût des décès ;
Fréquence et coût des termes ;
Incertitude sur le montant des frais.
Best Estimate Garanti et Future Discretionary Benefits
Dans cette partie nous allons définir deux notions étroitement liées au Best Estimate :
le Best Estimate Garanti (BEG) et le Future Discretionary Benefits (FDB), dans le cadre
d’une application pour une société d’assurance vie soumis à Solvabilité 2.
Comme décrit en début d’étude les engagements d’un assureur vie dans le cadre d’un
contrat d’assurance épargne possèdent des caractéristiques qui lui sont propres et qui
peuvent être réparties en différentes catégories en fonction des engagements liés à chaque
contrat. On distingue donc :
- les provisions destinées à couvrir un engagement de taux minimum garanti (TMG) ;
- les provisions utilisées pour respecter les contraintes obligatoires de participations
aux bénéfices ;
- les provisions destinées à répondre à des engagements contractuels de participation
aux bénéfices particulier ;
- les provisions destinées à la participation aux bénéfices discrétionnaires ;
- la provision pour participation aux bénéfices déjà constituée à la date d’inventaire.
L’ensemble de ces engagements sont donc divisés en une partie garantie Best Estimate
Garanti destiné à couvrir les engagements contractuels en matière de TMG et une partie
Future Discretionary Benefits correspondant aux participations aux bénéfices futurs.
Dans le cadre de la cinquième étude quantitative d’impact, l’ACP a proposé une méthode de calcul permettant d’estimer le BEG. Cette méthode s’appuie sur quatre étapes
et nécessite le calcul préliminaire du Best Estimate ainsi que la réalisation d’un jeu complet de simulation. (Le descriptif des quatre étapes est issu des Orientations Nationales
Complémentaires aux Spécifications Techniques).
21
1. Phase 1 : extraction de la chronique des prestations : pour chaque scénario simulé,
il convient d’enregistrer pour chaque pas de projection le pourcentage de l’épargne
qui est versé aux bénéficiaires (décès, rachats structurels, rachats etc...) ; il doit en
résulter une matrice pour laquelle une ligne correspond à un scénario et une colonne
à un pas de projection.
2. Phase 2 : calcul de la partie garantie de ces prestations : pour chaque scénario, la
chronique de prestations doit être appliquée à la valeur garantie. Cette valeur garantie est calculée à chaque instant selon les hypothèses suivantes :
(a) L’épargne acquise à la date d’évaluation est revalorisée au taux technique.
(b) Au sein de la PPB (Provision pour Participation aux Bénéfices) en stock à
la date de calcul, la part ne pouvant pas être utilisée pour servir un éventuel
TMG est incorporée à l’épargne acquise 8 ans après sa constitution.
(c) L’épargne est diminuée annuellement des chargements contractuels éventuels.
3. Phase 3 : actualisation des flux garantis : les flux de trésorerie ainsi obtenus dans
chaque scénario doivent être actualisés à l’aide des taux d’actualisation propres à
chaque scénario.
4. Phase 4 : calcul du BEG : le BEG est égal à la moyenne des valeurs obtenues sur
chacun de ces scénarios.
Pour obtenir le montant des Future Discrtionary Benefits, on effectue ensuite la différence entre le Best Estimate total et le Best Estimate Guaranted calculé précédemment.
Figure 4 – Structure du Best Estimate
22
Risk margin
Dans cette partie nous allons définir ce que représente la Risk Margin dans le cadre
de la réforme Solvabilité 2. Dans le cadre de cette réforme l’ensemble des provisions techniques est évalué comme le montant qu’un assureur s’attend à recevoir en contrepartie de
la reprise du portefeuille d’assurance.
Lorsque les risques sont couvrables, les provisions techniques sont égales au prix de
la couverture c’est à dire aux prix d’instruments financiers qui répliquent parfaitement
les flux d’assurances alors pour les risques non couvrables les provisions techniques sont
égales à la somme du Best Estimate défini précédemment et de la Risk Margin. La Risk
Margin est donc une composante des provisions techniques destinée à garantir que leur
valeur est équivalente au montant nécessaire à une compagnie d’assurance pour accepter de reprendre et honorer les engagements du passif. La Risk Margin est calculée en
déterminant le coût de l’immobilisation d’un montant de fonds propres éligibles égal au
SCR nécessaire pour honorer les engagements d’assurance sur toute la durée des contrats.
Le calcul de la marge de risque est basé sur le fait que lors du transfert, l’entreprise de
référence se capitalisera au niveau de fonds propres requis c’est-à-dire
EOFRU (0) = SCRRU (0)
Avec EOFRU (0) le montant de fonds propres éligibles utilisé par l’entreprise de référence au moment du transfert
Et SCRRU (0) le SCR calculé par l’entreprise de référence au moment du transfert.
Le coût de la mobilisation de ce montant de fonds propres éligibles est égal au taux
de coût du capital multiplié par ce montant.
La méthode de calcul de la marge de risque globale (CoCM) peut donc être exprimée
comme suit :
P
P
SCRRU (t)
EOFRU (t)
CoCM = CoC ∗ t>0 (1+r
(t+1) = CoC ∗
t>0 (1+rt+1 )(t+1)
t+1 )
Avec CoCM qui correspond à la marge de risque
SCRRU (t) qui correspond au SCR pour l’année t tel que calculé pour l’entreprise de
référence
rt qui correspond au taux sans risque pour l’échéance t
et CoC qui correspond au taux de coût du capital.
Le taux de capital CoC correspond au taux à appliquer à l’exigence de capital à chaque
période. Ce taux ne doit pas tenir compte du rendement total des actifs (ceux-ci étant
détenus en titres négociables) mais seulement du spread par rapport au taux sans risque.
Ce taux est utilisé pour garantir les provisions techniques disponibles et cela quel que soit
le scénario d’étude. Le taux de capital est donc un taux long terme moyen reflétant de la
même façon un scénario central ou un scénario de stress.
Le taux de coût en capital est fixé à 6 %.
23
2.3
Solvency Capital Requirement
Dans cette partie nous allons nous intéresser au Solvency Capital Requirement. Le
SCR est le montant de fonds propres économiques cible nécessaire à une compagnie d’assurance pour être sûr de ne pas être en ruine dans un an avec une probabilité de 99,5
%. En d’autres termes il s’agit des fonds nécessaires pour absorber les pertes sur un horizon d’un an, issues d’un choc provoqué par un risque majeur et ce dans un niveau de
confiance de 99,5 %. Le calcul du SCR repose sur des scénarios économiques précis, en effet
le SCR dépend de l’impact d’un scénario donné sur la valeur de la Net Asset Value (NAV).
La NAV (comme représenté sur la figure 5) correspond à la différence entre l’actif et
le passif.
Figure 5 – Description de la NAV
On a donc N AV (t) = A(t) − BE(t)
Le passif pris en compte pour le calcul de la NAV ne prend pas en compte la Risk
Margin des provisions techniques ni les passifs subordonnés, en effet la NAV correspond
aux fonds propres de base.
Chaque poste décrit dans le bilan économique ci-dessus peut être calculé comme une
espérance sous probabilité risque neutre des flux futurs correspondants actualisés. Ainsi
les fonds propres peuvent être définis comme la valeur actuelle probable des résultats
futurs :
P
N AV0 = E Q∗P [ u>1 δu ∗ Ru ]
Avec Q la probabilité risque neutre
P représente la probabilité réelle qui s’applique à la durée de vie des assurées
δu représente le facteur d’actualisation qui s’exprime en fonction du taux sans risque
instantané r :
24
−
δu = e
Ru
rh dh
0
Ru représente le résultat de l’entreprise en u.
Le SCR peut donc être défini comme le montant de fonds propres minimal dont doit
disposer la société d’assurance pour satisfaire la contrainte
P (N AV1 < 0) 6 0, 5
avec P la probabilité en monde réel
Et donc on peut écrire :
SCR = N AV0 − P (0, 1) ∗ q0,5% (N AV1 )
Avec N AV0 le montant des fonds propres économiques à l’instant t = 0
N AV1 le montant des fonds propres économiques à l’instant t = 1
P(0,1) correspond au prix d’un zéro coupon 1 an utilisé comme facteur d’actualisation
Et q0.5% qui correspond au quantile 0,5% des fonds propres économiques N AV1 . Le SCR
correspond donc à la Value-at-Risk des fonds propres de base d’une entreprise d’assurance
ou de réassurance avec un niveau de confiance de 99,5 % à l’horizon d’un an.
Structure du SCR
Le formule du SCR se décompose en plusieurs sous modules comme l’illustre la figure
6:
Un SCR se décompose donc en grands modules de risque, subdivisés en plusieurs sousmodules. Ainsi par exemple le module marché sera composé du capital requis au titre du
risque de taux d’intérêt, du risque action, du risque immobilier, du risque de spread, du
risque de change, du risque de concentration et du risque d’illiquidité.
On débute donc par calculer le SCR de chaque sous module que l’on agrège via une
matrice de corrélation adéquate. Enfin le SCR global, appelé BSCR, est obtenu en additionnant les résultats des différents modules en utilisant des techniques de corrélation
linéaires. Chaque coefficient de corrélation utilisé est représentatif des liens de dépendance
possibles dans la queue de distribution et de la stabilité des hypothèses de corrélation dans
des conditions de stress. On part donc d’une granularité fine pour arriver au SCR globale
d’où le nom de Bottom-up donné à cette méthodologie de calcul.
Méthode de Calcul du SCR
Comme présenté dans le schéma ci-dessus le SCR est défini par la somme :
25
Figure 6 – Structure du SCR
26
SCR = BSCR + Adj + SCRop
avec BSCR, le Basic Solvency Capital Requierement, qui correspond au SCR avant
ajustement. Il regroupe les SCR associés aux grands modules de risques ;
SCRop , le SCR associé au risqué opérationnel ;
et Adj, l’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques et des impôts différés. Cet ajustement ne doit jamais être négatif.
Le BSCR se calcule en utilisant la formule suivante :
qP
BSCR =
ij Corrij ∗ SCRi ∗ SCRj + SCRintangible
Avec Corrij les données de la matrice de corrélation définissant les liens entre les
grands modules de risques
SCRi et SCRj sont les montants de capital requis au titre des différents types de
risques du SCR selon les lignes et colonnes de la matrice de corrélation Corr ij
La matrice suivante récapitule les corrélations entre grandes familles de risques.
i || j
Marché
Défaut
Vie
Santé
Non-Vie
Marché Défaut Vie Santé Non-Vie
1
0,25
1
0,25
0,25
1
0,25
0,25
0,25
1
0,25
0,25
0
0
1
Tableau 1 - Corrélations entre grandes familles de risques
Le SCRintangible correspond au capital requis au titre du risque sur les actifs incorporels
calculé en multipliant la valeur des actifs incorporels (comme décrit dans les spécifications
techniques du Qis5) par 0,8.
Le SCR opérationnel est défini comme le risque de perte dû à une gestion inadéquate
ou des processus internes défectueux causés par des erreurs du personnel ou du système.
Le risque opérationnel n’intègre pas les risques causés par des erreurs dans les décisions
stratégiques de gestion de l’entreprise.
Le SCR opérationnel est calculé à partir de la formule suivante :
SCRop = min(0, 3 ∗ BSCR; Op) + 0, 25 ∗ Expul
où Op correspond à la charge de risque de tous les business autre que ceux touchant
à l’assurance vie, où le risque d’investissement est porté par les assurés ;
et Expul correspond au montant des sinistres annuels survenus lors des 12 mois précédents la date d’étude.
27
Calcul du SCR brut et SCR net
Le SCR associé à chaque module de risques doit être calculé brut et net.
Le SCR brut est utilisé pour calculer le capital de solvabilité requis de base ainsi que
l’ajustement dû à la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques. L’utilisation de ce SCR permet de ne pas double compter les effets d’atténuation des risques dans
le cadre de l’approche modulaire (qui sera défini par la suite) et donne des informations
sur le profil de risques auquel est soumis l’assureur. Cependant le SCR brut ne tient pas
compte des effets d’atténuation des risques des futures prestations discrétionnaires.
Le SCR net de chaque module de risques est obtenu en calculant la valeur du bilan
économique soumis à un scénario de stress (suivant les stress, définis par les autorités de
contrôle et propres à chaque module de risques) et en la comparant à la valeur du bilan
économique non stressé initiale. Grâce à ces deux valeurs de bilan, pour chaque module
de risques, l’assureur peut calculer le Best Estimate des provisions techniques associées
aux prestations discrétionnaires futures. La variation de ces provisions mesure l’impact
de l’atténuation des risques. Dans chaque module, son montant doit être ajouté au SCR
net utilisé pour calculer le SCR brut.
Comme nous l’avons défini précédemment, le calcul du SCR fait intervenir une variable
d’ajustement. Nous allons maintenant la définir.
Cet ajustement est réalisé au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions
techniques et des impôts différés de l’assureur. Dans le cadre du QIS 5, les entreprises
doivent calculer cet ajustement par le biais de deux méthodes :
- L’approche fondée sur le scénario équivalent ;
- L’approche modulaire.
Ce double calcul n’est demandé que dans le cadre du calcul de l’ajustement. Pour les
calculs liés au SCR (Risk margin) l’approche par scénario équivalent suffit.
Quelle que soit la méthode utilisée, l’ajustement au titre de l’absorption des pertes des
provisions techniques et des impôts différés se calcule en sommant l’AdjT p qui correspond
à la part de l’ajustement lié à la capacité d’absorption des pertes sur provisions techniques, et l’AdjDT qui correspond à la part de l’ajustement lié à la capacité d’absorption
des pertes des impôts différés.
Approche Scénario équivalent
Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques
L’ajustement appliqué au SCR dans le cadre de la capacité d’absorption des pertes des
28
provisions techniques est calculé en comparant le BSCR et le nBSCR. De plus, le montant
de l’ajustement ne doit pas excéder la valeur totale des participations discrétionnaires
futures/futurs taux de participation aux bénéfices. Ainsi mathématiquement l’ajustement
lié aux provisions techniques s’écrit :
AdjT P = -min ( BSCR - nBSCR ; FDB)
Comme indiqué précédemment le BSCR est calculé en agrégeant les exigences de
capital brut calculées sur chaque sous module de risques.
Dans l’approche par scénario équivalent, le nBSCR qui correspond à l’exigence de capital de solvabilité requis de base net, est calculé à partir d’un seul scénario économique
dans lequel tous les risques, inclus dans le scope du calcul du SCR en formule standard
interviennent simultanément. Selon cette méthode, le calcul peut être divisé en plusieurs
étapes :
On commence par calculer le montant du capital requis pour couvrir chaque risque
auquel est soumise l’entreprise, brut de l’ajustement au titre de la capacité d’absorption
des pertes des provisions techniques.
A partir de ces montants bruts calculés, on détermine ensuite un scénario équivalent
en fonction de l’importance relative de chaque risque par rapport à l’ensemble des risques
auxquels est soumise l’entreprise.
L’entreprise tient compte des décisions de gestion qui seraient prises en cas de survenance du scénario équivalent obtenu précédemment et détermine si cela modifie les
hypothèses retenues pour les prestations discrétionnaires futures/futurs taux de participation aux bénéfices.
On calcule ensuite la variation de la valeur de l’actif nette à partir du scénario équivalent, en supposant que tous les chocs à appliquer aux risques surviennent simultanément.
On obtient ainsi le nBSCR qui correspond à la baisse de la valeur d’actif net produite par
le scénario équivalent.
Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des impôts différés
L’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des impôts différés est
égal à la variation d’impôts différés qui résulterait d’une perte instantanée égale à
SCRshock = BSCR + AdjT P + SCRop
Avec BSCR le SCR de base défini précédemment
AdjT P l’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques ;
et SCRop le SCR rattaché au risque opérationnel
29
Il est important que l’assureur tienne compte de l’impact qu’aurait une perte SCRshock
susceptible de créer un impôt différé, sur sa situation financière.
Une diminution du passif d’impôts différés ou une augmentation de l’actif d’impôts
différés entraîne un ajustement négatif au titre de la capacité d’absorption des pertes des
impôts différés.
Approche Modulaire
Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques
Comme avec l’approche utilisant le scénario équivalent, cet ajustement est calculé de
la façon suivante :
AdjT P = −min(BSCR - nBSCR; F DB).
La différence avec l’approche dite scénario équivalent réside dans la méthode de calcul
du BSCR et nBSCR. Dans l’approche modulaire, le BSCR est calculé en agrégeant les
exigences de capital brut en utilisant une matrice de corrélation adéquate et le nBSCR
est calculé en agrégeant les exigences de capital net en utilisant également une matrice de
corrélation adéquate.
L’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques
calculé à travers l’approche modulaire tient compte des effets d’atténuation pour le risque
de marché, le risque de souscription vie, le risque de souscription santé SLT, le risque de
santé CAT et le risque de contrepartie. Pour les autres risques, les montants de capital
brut et de capital net requis sont égaux.
Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des impôts différés
Cet ajustement est calculé de la même façon que dans l’approche dite scénario équivalent, mais en utilisant les montants BSCR et nBSCR calculés par l’approche modulaire.
2.4
Ratio de couverture
Après avoir défini le SCR, qui correspond au besoin de capital nécessaire pour absorber le choc provoqué par un risque majeur, nous allons définir le ratio de couverture qui
représente le ratio entre les éléments des fonds propres éligibles à la couverture du SCR
et le SCR.
La classification des fonds propres (FP) est réalisée par Tier selon leur capacité d’absorption des pertes : Tier 1, Tier 2, Tier 3.
Les fonds propres sont répartis en deux grandes catégories :
- fonds propres de base (Basic Own Funds) ;
30
- fonds propres auxiliaires (Ancillary Own Funds).
Les fonds propres auxiliaires sont composés d’éléments, autres que les fonds propres de
base, qui peuvent être appelés pour absorber des pertes, dont le capital social ou initial
non appelé et non versé, les lettres de crédit ou garanties ou tout autre engagement,
juridiquement contraignant, reçu par les entreprises d’assurance et de réassurance.
Les fonds propres auxiliaires sont soumis à l’approbation de l’autorité de contrôle (analyse du caractère réaliste et prudentiel de la somme retenue) et sont classés uniquement
en Tier 2 ou Tier 3.
Nous allons maintenant décrire plus particulièrement la composition des différents tier.
Éléments constitutifs du Tier 1
Sont classés en Tier 1 :
- le capital social initial ;
- les actions ordinaires ;
- les primes d’émission ;
- les revenus non distribués qui incluent les bénéfices de l’année nets des dividendes à
verser et incluent les réserves ne correspondant pas aux engagements ;
- les emprunts subordonnés (selon critères de subordination, de disponibilité, échéance)
et actions privilégiées ;
- la réserve de réconciliation qui correspond à l’ajustement afin d’adosser le passif à
l’actif constitué en partie de la valeur actuelle des bénéfices nets futurs (« Inforce value »).
Cette réserve est calculée en appliquant la formule suivante :
Reserve reconciliation =
Excedent actif sur passif − (F P de base T 2 et T 3 + autres elements du T 1)
Éléments constitutifs du Tier 2
Sont classés en Tier 2 :
- les actions ordinaires appelées ;
- les autres capitaux appelés qui ont la capacité d’absorber des pertes ;
- les autres capitaux versés comme les actions privilégiées ou des emprunts subordonnés qui ne répondent pas aux critères du Tier 1.
Ces trois groupes de fonds propres correspondent aux fonds propres de base associés
au Tier 2.
- le capital social non appelé et capitaux non versés ;
- les lettres de crédit ou garanties ;
31
- les autres types d’engagements légaux.
Ces trois groupes de fonds propres correspondent aux fonds propres auxiliaires associés
au Tier 2.
Éléments constitutifs du Tier 3
Sont classés en Tier 3 :
- les impôts différés d’actif à ne pas utiliser dans les 12 mois ;
- les autres instruments de capitaux incluant les actions privilégiées et emprunts subordonnés ne figurant pas au titre du Tier 1 et 2.
Ces deux groupes de fonds propres correspondent aux Fonds Propres de base associés
au Tier 3.
- les éléments non éligibles au Tier 2 et qui peuvent être compris dans la marge de
solvabilité.
Cela correspond aux fonds propres auxiliaires associé au Tier 3.
La figure 7 suivante décrit précisément la classification des fonds propres.
Figure 7 – Classification des fonds propres
Éligibilité et limites applicables aux éléments de Tiers 1,2 et 3
32
Afin de couvrir le capital de solvabilité requis (SCR) certaines conditions doivent être
respectées :
- Les éléments de Tier 1 doivent représenter au moins 50 % des éléments éligibles ;
- Le montant des éléments de Tier 3 doit représenter moins de 15 % des éléments
éligibles.
Seuls les éléments de Tier 1 et les éléments de fonds propres de base de Tier 2 sont
pris en compte pour couvrir le minimum de capital requis (MCR). Les éléments de Tier
1 doivent représenter au moins 80 % du MCR. Les éléments de fonds propres de base de
Tier 3 et les fonds propres auxiliaires ne sont pas admis.
Clause de Grandfathering
Le Grandfathering permet d’assurer le passage d’un régime à un autre en introduisant
des exceptions à certaines règles.
Dans les pré-spécifications techniques du QIS 5, des critères de maintien de l’éligibilité différents des critères de Solvabilité 2 sont présentés. Il est important de noter que
ces critères visent uniquement à répondre aux besoins de QIS 5 et ne sont nullement
représentatifs du contenu des dispositions finales.
Les pré-spécifications du QIS 5 définissent des critères de Grandfathering pour la
classification des éléments éligibles sur la base des fonds propres actuels des assureurs.
Dans l’application de l’étude réalisée, le montant de fonds propres indiqué pour la
couverture du SCR comprendra clause de Grandfathering
3
Calibrage des risques de marché sous Solvabilité 2 en
formule standard
Après avoir décrit dans sa globalité la méthode de calcul du SCR ainsi que les principaux éléments qui le composent nous allons nous intéresser plus particulièrement au
SCR marché. Dans cette partie de l’exposé nous allons présenter les modules constitutifs
du SCR marché ainsi que la méthodologie de calcul mise en place dans les spécifications
techniques QIS 5 et dans le draft des mesures de niveau 2.
Pour chaque type de risque qui compose le SCR marché, un besoin en capital est
calculé à partir de scénarios qui viennent choquer une classe d’actifs particulière.
3.1
Risque Taux
Description du risque Taux
Le risque de taux s’applique à tous les actifs et passifs dont la net asset value est
sensible à des changements sur la structure des taux, que ce soit les taux réels ou les
33
taux nominaux, c’est à dire les actifs tels les obligations à taux fixe, les obligations à taux
variables, les dérivés de taux...
Pour quantifier la composante risque Taux dans le SCR de marché, la valeur NAV, Net
Asset Value, définie en début de présentation est utilisée. Pour obtenir cette composante
du SCR de marché, nous allons devoir calculer :
- le (M ktint )U p qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après un choc
à la hausse ;
- le (M ktint )Down qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après un choc
à la baisse ;
- le n(M ktint )U p qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après un choc
à la hausse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques ;
- le n(M ktint )Down qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après un
choc à la baisse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.
Méthode de calcul
Le besoin en capital pour le module Taux se divise en deux parties
M ktUintp = ∆N AV |up
et
M ktDown
= ∆N AV |Down
int
Avec ∆N AV |up et ∆N AV |Down les variations de net asset value causées par un stress
instantané à la hausse ou à la baisse des courbes de taux.
Les courbes de taux stressées sont obtenues en multipliant la courbe de taux initiale
par (1 + sup ) ou (1 + sdown ) avec sup (t) et sdown (t) le montant des chocs à appliquer en
fonction de la maturité t décrit dans le tableau suivant :
Le besoin en capital pour le module de Taux est issu du type de choc qui aboutit au
besoin en capital le plus élevé pour le risque Taux en incluant la capacité d’absorption
des pertes des provisions techniques, c’est à dire :
Si nM ktUintp > nM ktDown
alors nM ktint = max(nM ktUintp ; 0) et M ktint = M ktUintp si
int
nM ktint > 0 et 0 sinon
Si nM ktUintp ≤ nM ktDown
alors nM ktint = max(nM ktDown
; 0) et M ktint = M ktDown
si
int
int
int
nM ktint > 0 et 0 sinon
34
Figure 8 – Choc pour le module Taux
3.2
Risque Action
Description du risque Action
Dans cette partie nous allons décrire la méthode de calibrage du risque Action. Le
risque Action est causé par la volatilité inhérente au marché boursier qui peut entrainer une fluctuation de la valeur des actifs Actions. Tous les actifs susceptibles de subir les
conséquences causées par une variation des prix des actions sont visés par ce risque Action.
Pour quantifier la composante risque Action dans le SCR de marché, la NAV est
utilisée. Pour obtenir cette composante du SCR de marché, nous allons devoir calculer :
- le M kteq qui représente le besoin en capital pour le risque action ;
- le nM KTeq qui représente le besoin en capital pour le risque action en incluant la
capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.
Méthode de calcul
Pour le calcul de la composante Action, une différenciation de méthode de calcul est
réalisée selon le type d’actions présentes dans le portefeuille de la société d’assurance. En
effet si les actions sont cotées sur des marchés des pays membres du EEA ou du OECD
(l’EEA correspond à l’espace économique européen, European Economic Area. Il s’agit
d’un espace de libre échange pour les pays membres de l’UE plus la Norvège, l’Islande et le
Liechtenstein. L’OECD correspond à l’Organisation for Economic Co-operation and De35
velopment) elles sont alors qualifiées de "Global equity". Si les actions ne sont pas cotées
sur ces marchés elles sont alors qualifiées de "Other equity". Cette catégorie correspond
aux actions cotées sur les marchés émergents, aux private equity, à la gestion alternative
ainsi que les autres actifs non traités par une autre "briquette" du SCR marché.
Pour calculer la composante Action du SCR marché, on calcule pour chaque catégorie
d’action un besoin en capital associé au scénario stressé particulier décrit ci-dessous :
M kteq,i = max(∆N AV |equity shocki ; 0 )
Avec equity shocki qui correspond au choc action appliqué en fonction de la catégorie i
de l’action et M kteq,i le besoin en capital associé au risque Action de la catégorie d’action i.
Le tableau suivant présente les valeurs des chocs à appliquer en fonction de la catégorie
des actions :
Equity Shock i
Global Equity
39 %
Other Equity
49 %
Tableau 2 - Chocs action par catégorie
Il convient de noter qu’à ces choc est appliqué un ajustement symétrique de la charge
en capital action pour prendre en considération l’effet Dampener. La charge en capital
tient compte de la position dans le cycle et permet de limiter les effets pro-cycliques. Le
choc est modulé en fonction de la position du marché par rapport à une moyenne mobile
du MSCI Europe sur 3 ans.
La formule qui décrit cette ajustement est la suivante :
− 8%)
SA = 12 ( (CI−AI
AI
avec CI le niveau actuel du MSCI Europe et AI la moyenne journalière sur 3 ans de
l’indice
La valeur de l’ajustement symétrique ne peut être inférieur à -10 % et ne peut être
supérieur à 10 %.
Le montant de besoin en capital calculé M kteq,i est donc vu comme l’impact d’un choc
à la baisse sur la Net Asset Value des actifs soumis au risque Action. Des cas particuliers
de choc pour certaines actions sont décrits dans les spécifications QIS 5.
Après avoir calculé le montant M kteq,i pour chaque catégorie d’action, le besoin en
capital global pour le risque Action est calculé de la façon suivante :
pP
rxc ∗ M kt ∗ M kt
M KTeq =
r
c
rxc CorrIndex
avec M ktr et M ktc les besoins en capitaux de chaque catégorie et avec CorrIndexrxc ,
la matrice de corrélation des catégories d’actions décrites ci dessous :
36
CorrIndex
Global Equity
Other Equity
Global Equity
1
0,75
Other Equity
0,75
1
Tableau 3 - Matrice de corrélation des catégories d’actions
3.3
Risque Immobilier
Description du risque Immobilier
Dans cette partie nous allons décrire la méthode de calibrage du risque Immobilier.
Le risque Immobilier résulte de la sensibilité des actifs, des passifs et des investissements
financiers aux fluctuations des prix sur le marché immobilier. Sont pris en compte dans
ce module immobilier les actifs suivants :
- les terres, les immeubles, les droits de propriété immobilière ;
- les participations directes ou indirectes dans des sociétés immobilières qui génèrent
des entrées de flux de monnaie périodiques grâce à des actifs immobiliers destinés à l’investissement ;
- des biens immobiliers utilisés pour la propre utilisation de l’assureur.
Comme décrit dans les spécifications QIS 5 certains actifs immobiliers particuliers sont
intégrés dans le calcul du besoin en capital du module Action.
Pour quantifier la composante risque Immobilier dans le SCR de marché, la valeur
NAV est utilisée pour calculer les éléments suivants :
- le M ktprop qui représente le besoin en capital pour le risque Immobilier ;
- le nM KTprop qui représente le besoin en capital pour le risque Immobilier en incluant
la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.
Méthode de calcul
Pour calculer la composante Immobilier du SCR marché, on calcul un besoin en capital
associé au scénario stressé particulier décrit ci dessous :
M ktprop = max(∆N AV |property shock ; 0)
Le choc appliqué est le choc à la baisse de 25 % de la valeur des actifs entrant dans le
scope du calcul du besoin en capital Immobilier.
3.4
Risque de change
Description du risque de change
37
Dans cette partie nous allons décrire la méthode de calibrage du risque de change.
Le risque de change est issu de la volatilité des taux de change. Les engagements d’une
compagnie d’assurance vie sont soumis au risque de change à travers leur portefeuille
d’investissement.
Est appelée « monnaie locale », l’unité monétaire utilisée par la compagnie d’assurance étudiée, pour réaliser ses états financiers. Toute autre devise est appelée « monnaie
étrangère » (noté C). Il n’est pertinent d’étudier le risque de change des seules monnaies
dont le taux d’échange impact les besoins en capitaux propres.
Pour quantifier la composante risque de change dans le SCR de marché, la NAV est
utilisée pour calculer les éléments suivants :
- le M ktf x qui représente le besoin en capital pour le risque de change ;
- le M ktUf xp qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un choc
à la hausse ;
qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un
- le M ktDown
fx
choc à la baisse ;
- le nM KTf x qui représente le besoin en capital pour le risque de change en incluant
la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques ;
- le nM KTfUxp qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un
choc à la hausse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques ;
- le nM KTfDown
qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un
x
choc à la baisse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.
Méthode de calcul
Le besoin en capital pour le risque de change est calculé à partir des résultats de deux
scénarios prédéfinis :
p
M ktUf x,C
= max(∆N AV |fxupward shock ; 0)
Down
M ktf x,C = max(∆N AV |fxdownward shock ; 0)
Le scénario de choc haussier est construit à partir du taux d’échange entre une monnaie
étrangère C et la monnaie locale, auquel on applique un choc instantané à la hausse de
+ 25 %. Le scénario de choc à la baisse est réalisé en suivant le même principe mais avec
un choc à la baisse de -25 %.
Pour chaque monnaie entrant dans le scope du calcul du risque de change, la contribup
tion au besoin en capital, M ktf x,C , correspond au maximum entre les résultats M ktUf x,C
et M ktDown
f x,C . Le besoin en capital total M ktf x est alors la somme des besoins en capital
M ktf x,C de chaque monnaie.
Des chocs particuliers peuvent être appliqués pour certaines devises spécifiques (ces
chocs sont décrits précisément dans les spécifications QIS 5).
38
Le besoin en capital global associé au risque de change est déduit du type de choc (à la
hausse ou à la baisse) qui fournit la valeur la plus élevée de besoin en capital en incluant
la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.
alors M ktf x = M ktUf xp et nM ktf x = nM ktUf xp
Si nM ktUf xp > nM ktDown
fx
et nM ktf x = nM ktDown
alors M ktf x = M ktDown
Si nM ktUf xp ≤ nM ktDown
fx
fx
fx
3.5
Risque de crédit
Description du risque de crédit
Le risque de crédit résulte de la sensibilité de la valeur de certains actifs, certains
passifs ou certains instruments financiers face à des variations des spreads de crédit par
rapport à la courbe des taux sans risque.
Sont particulièrement soumis au risque de crédit les actifs suivants :
-
les obligations corporates ;
les obligations high yields ;
la dette subordonnée ;
la dette hybride.
Le calcul du besoin en capital pour couvrir le risque de crédit s’applique aussi pour
toutes les tranches de produits de crédit structuré ainsi qu’aux dérivés de crédit. Pour les
dérivés de crédit, seule la part du risque qui est transférée entre dans le scope du risque
de crédit.
D’autres actifs décrits précisément dans les spécifications techniques du QIS 5 sont
également pris en compte dans le calcul du besoin en capital associé au risque de crédit.
Pour quantifier la composante risque de crédit dans le SCR de marché, la valeur NAV,
Net Asset Value, est utilisée. Nous allons également avoir besoin des inputs suivants :
- M Vi correspond à la valeur de l’élément i exposé au risque de crédit conformément
aux normes de valorisation présentées en annexe.
- ratingi correspond au rating de l’obligation corporate i exposée au risque de crédit
- durationi correspond à la duration de l’obligation corporate i exposée au risque de
crédit
Dans le cas où une exposition possèderait plusieurs rating différents en fonction des
agences de notation, c’est de le second meilleur rating qui sera utilisé pour les calculs.
Dans le cadre du calcul du risque de crédit dans le SCR de marché, nous allons devoir
calculer :
- le M ktsp qui représente le besoin en capital pour le risque de crédit ;
39
- le nM ktsp qui représente le besoin en capital pour le risque de crédit en incluant la
capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.
Méthode de calcul
Le besoin en capital associé au risque de crédit est calculé de la façon suivante :
M ktsp = M ktbonds
+ M ktstruct
+ M ktcd
sp
sp
sp
Avec
M ktbonds
le besoin en capital associé aux obligations
sp
struct
M ktsp
le besoin en capital associé aux produits structurés de crédit
bonds
M ktsp le besoin en capital associé aux dérivés de crédit
Risque de crédit associé aux obligations
Est concerné dans cette partie : les Obligations Corporates (senior, subordonnées et
covered)
- Obligations Taux fixe
- Obligations Taux variable
- Obligations Convertibles
- OATi
- Obligations « structurées » (émises sous forme d’EMTN)et les Obligations gouvernementales (EEA / Non EEA (y compris OCDE)) Assimilées
Pour chaque composante du SCR de crédit, le calcul va être effectué selon une approche facteur et scénario.
selon une approche factorielle
Étape 1 : Calcul calcul du M ktbonds
sp
- Impact d’un choc immédiat (écartement des spreads) sur la valeur de marché des
titres via une fonction calibrée sur une Var à 99,5
- Le fonction du choc est différente selon la sous-segmentation du titre Bond (Obligation Non Covered, Obligations Covered,Obligations Etats EEA Assimilés ou Obligations
Etats non EEA Assimilés)
Étape 2 : Calcul calcul du nM ktbonds
selon une approche par scénarios
sp
- Impact de l’écartement des spreads sur la NAV incluant la capacité d’absorption de
la participation aux bénéfices
- nM ktbonds
= ∆N AVspreadchoc = NAV avec bonds choqués - NAV initiale
sp
Obligations Corporate Non covered
Calcul de l’impact d’un choc Fiup sur la valeur de marché des titres
40
M ktbonds
=
sp
P
i
M Vi Fiup
avec Fiup choc par titre « i » dépendant :
- Du "credit quality step" de i : rating de l’obligation (émission)
- De la sensibilité du titre i capé et flooré selon le rating de i (modified duration)
La figure 9 présente les valeurs de la fonction Fiup .
Figure 9 – Description des valeur de la fonction F
Spécificité des expositions à des compagnies d’assurance ou institutions bancaire non ratées
Pour les compagnies d’assurance ou institutions bancaire non ratées, le "credit quality
step" est déterminé en fonction du ratio de couverture S2 comme décrit dans la figure 10.
Figure 10 – Description des valeur de la fonction F
Si le ratio de couverture > 196%, alors credit quality step = 1
Si le ratio de couverture < 75%, alors credit quality step = 5
Si ratio de couverture se situe entre 2 bornes, alors interpolation de la fonction Fiup à
partir du point le plus proche. Par défaut une exposition dans une banque ou une compagnie d’assurance non ratée se verra traitée la qualité de crédit 7 « unrated » initialement
prévue pour les « bonds ».
Obligations "Covered"
41
Pour les Obligations "Covered", une application d’un choc Fiup différent est mis en
place si i a une note AAA ou AA et si i répond aux exigences définies dans l’article 22
(4) de la directive 85/611/EEC qui concerne les UCITS.(figure 11)
Si l’obligation "Covered" ne répond pas aux critères ci-dessus, application du calibrage
standard des obligations "Non Covered", décrits dans la figure 9.
Figure 11 – Description des valeur de la fonction F pour les "Non Covered"
Obligations dites "Etats EEA et Assimilés"
Sont inclus dans les obligations dites "Etats EEA et Assimilés" les obligations garanties par un état de l’EEA, les obligations émises par les banques de développement, les
obligations émises par les organismes internationaux, les obligations émises par la banque
centrale européenne.
Pour cette catégorie d’obligations, aucune charge en capital n’est mise en place, donc
M ktbonds
= nM ktbonds
=0
sp
sp
Obligations dites " Non EEA et Assimilés"
Sont inclus dans les obligations garanties par un état hors EEA (y compris l’OCDE) et
émises dans la devise locale et les obligations émises par des banques centrales hors EEA.
Pour ces obligations un calibrage spécifique à l’étape 1 du Fiup est mis en place (figure 12).
Risque de crédit associé aux produits structuré de crédit
Pour la composante associé aux produits structuré de crédit M ktstruct
, la même apsp
proche factorielle et par scénarios que pour les Bonds (Etape 1 et 2) est utilisée. Le choc
effectué appliqué est égale à Fiup
multiplié par la duration de i.
0
up
La valeur de Fi0 dépend du rating de l’obligation et duration i dépend de la sensibilité
et du minimum et maximum autorisé par rating.
42
Figure 12 – Description des valeur de la fonction F pour les obligations dites " Non EEA
Assimilés"
La fonction Fiup
prend des valeurs différentes si i est qualifié de "resecurisation expo0
sition" (figure 13) ou non (figure 14).
Figure 13 – Valeur de la fonction F si i est qualifié de "resecurisation exposition"
Figure 14 – Valeur de la fonction F si i est non qualifié de "resecurisation exposition"
Risque de crédit associé aux dérivés de crédit
Les dérivées de crédits inclus les swaps de crédit (CDS), les Total Return Swaps
(opération par laquelle deux acteurs économiques échangent les revenus et le risque d’évolution de la valeur de deux actifs différents pendant une période de temps donnée), ou les
Crédits Linked Note (dérivé de crédit financé qui a recours dans son montage à un CDS
pour transférer un risque de crédit, mais ce en passant par un fonds commun de créances).
43
Le besoin en capital pour le risque de crédit associé aux dérivés de crédit est calculé
à partir des résultats d’un scénario prédéfini :
M ktcd
sp,upward = max(∆N AV |upward spread shock on credit derivatives ; 0)
M ktcd
sp,downward = max(∆N AV |downward spread shock on credit derivatives ; 0)
Pour ces calcul nous utilisons une approche unique par scénario (différent des bonds
et structurés).
- Un scénario de choc à la hausse des spreads (en valeur absolue)
- Un scénario de choc à la baisse des spreads (en valeur relative)
Les chocs à la hausse sont définis selon le rating du produit dérivé et le choc à la baisse
est de -75% quel que soit le rating.
Le choc des spreads à la hausse (respectivement à la baisse) appliqué aux dérivés de
crédit correspond à l’impact immédiat sur la valeur nette des actifs et passifs qu’aurait
une hausse (respectivement à la baisse) du spread de crédit des dérivés de crédit suivant
les magnitudes suivantes :
AAA
AA
A
BBB
BB
B et moins
Non noté
Hausse des spreads(en points de base) Baisse des spreads (en %)
+130 bp
-75 %
+150 bp
-75 %
+260 bp
-75 %
+450 bp
-75 %
+840 bp
-75 %
+1620 bp
-75 %
+1620 bp
-75 %
Tableau 7 - Descriptif des chocs des spreads
Le capital requis pour couvrir le risque de crédit associé aux dérivés de crédit dépend
du choc qui entraine la valeur la plus élevée de besoin en capital en incluant la capacité
d’absorption des pertes des provisions techniques.
cd
cd
cd
cd
cd
Si nM ktcd
sp,upward > nM ktsp,downward alors M ktsp = M ktsp,upward et nM ktsp = nM ktsp,upward
cd
cd
cd
cd
cd
Si nM ktcd
sp,upward ≤ nM ktsp,downward alors M ktsp = M ktsp,downward et nM ktsp = nM ktsp,downward
3.6
Risque de concentration
Description du risque de concentration
44
Le périmètre d’étude du risque de concentration prend en compte les actifs concernés
par le risque Action, le risque de Spread et le risque Immobilier mais ne prend pas en
compte les actifs concernés par le risque de contrepartie afin d’éviter tout double comptage.
Le risque de concentration touchant les investissements financiers se limite aux risques
dûs à l’accumulation des expositions sur la même contrepartie. Il ne prend pas en compte
les autres types de concentrations tels que la zone géographique ou le secteur industriel.
Les expositions appartenant au même groupe (comme défini dans l’article 212 de
Solvency II Framework Directive) ne sont pas traitées comme des expositions dépendantes.
L’exposition aux risques des actifs est regroupée en fonction de la contrepartie.
On définit les variables suivantes :
- Ei l’exposition au défaut de la contrepartie i ;
- Assetxl le montant total des actifs considérés dans ce sous-module ;
- ratingi le rating externe de la contrepartie i.
Lorsqu’un même engagement est associé à plusieurs contreparties alors Ei et ratingi
sont calculés en moyennant les Ei et ratingi de chaque contrepartie.
Pour quantifier la composante risque de concentration dans le SCR de marché, la valeur NAV, Net Asset Value, est utilisée pour calculer :
- M ktconc qui représente le besoin en capital pour le sous module risque de concentration.
Méthode de calcul
Le calcul du besoin en capital pour le sous module risque de concentration se divise
en trois étapes. D’abord le calcul de l’excès d’exposition puis du besoin en capital associé
au risque de concentration par nom enfin l’agrégation.
L’excès d’exposition est calculé de la façon suivante :
XSi = M ax(0; AssetsExli −CT )
avec le seuil de concentration CT qui dépend du rating de la contrepartie i comme
décrit dans le tableau suivant :
Rating i
Seuil de concentration CT
AA et AAA
3%
A
3%
BBB
1,5 %
BB et mois
1,5 %
45
Tableau 8 - Seuil de concentration CT
et Assetsxl le montant des actifs pris en compte dans ce sous module sans prendre en
compte :
- les actifs associés aux contrats d’assurance vie où le risque est supporté par l’assuré ;
- les expositions liées à des engagements d’assurance ou de réassurance définis dans
Article 212 de la Directive 2009/138/EC (décrit en détail dans les spécifications QIS 5) ;
- les actifs concernés par le sous module de risque de contrepartie.
Le besoin en capital associé au risque de concentration par nom i est calculé grâce à
un scénario pré défini :
conci = ∆N AV |concentration shock
Le choc de concentration sur le nom i est l’effet immédiat sur la valeur des actifs et
des passifs causé par une baisse instantanée de la valeur XSi ∗ gi sur l’exposition, avec g
qui dépend du rating de la contrepartie comme décrit ci-dessous :
Rating i
Seuil de qualité de crédit
AAA
1A
AA
1B
A
2
BBB
3
BB et moins
4-6
gi
0,12
0,12
0,21
0,27
0,73
Tableau 9 - Seuil de qualité de crédit
Pour les contreparties non notées mais qui sous soumises à la réforme Solvabilité 2 (les
compagnies d’assurance...) le paramètre g dépendra alors du ratio de couverture de ces
compagnies comme présenté ci-dessous.
Ratio de couverture
>175 %
>150 %
>120 %
<125 %
gi
0,12
0,21
0,27
0,73
Tableau 10 - Valeur de la fonction g
Pour les autres contreparties non notées la valeur du paramètre g est fixée à 0,73.
Le besoin en capital pour le risque de concentration est finalement calculé en supposant
qu’il n’y a pas de corrélation entre le besoin en capital pour le risque de concentration de
chaque contrepartie i.
46
M ktconc =
pP
i
conc2i
Le calcul du besoin en capital pour le risque de concentration pour l’immobilier, l’exposition aux dettes de gouvernements, de banques centrales... diffère légèrement du calcul
présenté précédemment. (Le détail de ces cas particuliers est disponible dans les spécifications du Qis 5)
3.7
Prime d’illiquidité
Les autorités de contrôle ont constaté une forte fluctuation dans les modèles de la valorisation des actifs adossés aux engagements d’assurance due au risque d’illiquidité sur des
obligations à duration élevée, ce qui induit une volatilité des fonds propres non justifiée
(actifs non destinés à la spéculation). Pour corriger cette erreur les autorités de contrôle,
ont décidé de répercuter ces fluctuations sur la valeur des passifs via une prime d’illiquidité ajoutée à la courbe des taux sans risque modifiant ainsi le niveau d’actualisation.
Les normes QIS 5 décrivait une prime d’illiquidité qui a était remplacé, dans les normes
de niveau 2, par deux autres primes la Matching preminum et la Counter cyclical premium.
Matching preminum
La matching premium est une prime qui vient remplacer la prime d’illiquidité utilisée
pour le QIS5. Néanmoins cette prime est restrictive puisqu’elle ne s’applique que sous
certaines conditions :
- Cantonnement des actifs nécessaire
- Cash flow matching
- Pas de primes futures
- Les coupons doivent être fixes (les titres subordonnées sont exclus)
- Les risques de souscription associés au contrat sont les risques de longévité, de frais
et de révisions.
Au vue des critères d’application de la Matching preminum, peu de produit sur le
marché français sont soumis à cette prime.
L’EIOPA propose donc dans le cadre de la matching premium d’actualiser le passif au
taux sans risque augmenté d’une prime d’illiquidité entity specific.
La matching premium est calculée comme la différence entre le spread spot et le spread
moyen long terme calculé sur les actifs correspondants (pondéré par le produit de la duration et de la valeur des actifs correspondants).
Counter cyclical premium
La counter-cyclical premium concerne tous les types de produit d’assurances à l’exception de ceux auxquels on appliquerait déjà la matching premium décrite plus haut.
Cette prime est appliquée à des produits d’assurances couverts par des obligations d’états
47
uniquement en cas de crise de liquidité et en accord avec l’EIOPA. Cette prime est déterminée par l’EIOPA et s’applique à chaque point de la courbe des taux sans risque. Elle
correspond alors à une proportion de l’écart (corrigé du risque de crédit) observé entre les
rendements attendus sur un portefeuille d’actifs de référence et la courbe des taux sans
risque.
48
Deuxième partie
Présentation du modèle Épargne utilisé
et de la création des scénarios
économiques
Dans cette partie nous allons décrire le modèle épargne utilisé pour la projection des
contrats. Suivant les scénarios économiques obtenus grâce au générateur de scénarios, le
modèle épargne projette les actifs et passifs de l’assureur afin d’obtenir sa situation économique à une date donnée. Le modèle ALM que nous allons décrire permet d’étudier
l’ensemble des flux économiques qui interviennent dans le calcul du SCR utilisé dans le
suite de l’étude pour la détermination de l’allocation stratégique d’actifs. Dans cette partie nous allons présenter comment est modélisée chaque classe d’actifs présents dans notre
portefeuille d’étude.
1
Structure des Actifs dans le modèle Épargne
1.1
Modélisation générique des actifs
Chronologie des événements
Nous allons distinguer les événements suivants, mis en indice dans les formules :
1. Initialisation (init) : Date d’inventaire, ou la fin de période précédente.
2. Performance (perf) : Prise en compte du scénario économique de la période en cours
(changement de courbe des taux, évolution de l’indice action, etc.)
3. Réalignement (real) : Réallocation
4. Pilotage du taux (pil) : Réalisation de plus values latentes supplémentaires pour
servir le taux (dernière période de l’année uniquement).
Valorisations comptables et de marché en fonction des événements
Ces formules sont communes à toutes les classes d’actifs. On note VM la valeur de
marché, VNC la valeur comptable et PMVR les plus ou moins values latentes réalisées.
49
Figure 15 – Valorisation des actifs
Pour l’ensemble de cette partie Structure des Actifs dans le modèle épargne, nous allons
utiliser les notations suivantes :
- d la date de tombée du flux(d)
- τ la durée résiduelle entre la date d et le début de la période suivante t + 1
- flux_capitalisé(t) le flux capitalisé sur la période t du flux(d)
1.2
Obligation à taux fixe
Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les obligations à taux
fixes. La modélisation est applicable aux obligations d’État et assimilées ainsi qu’aux obligations corporate. Elle n’intègre pas le risque de crédit.
Nominal
Le nominal évolue dans le temps en fonction des ventes. En reprenant la suite d’événements arrivant sur une période, on obtient les formules suivantes :
nominal_init (t) = nominal_pil(t-1)
nominal_perf (t) = nominal_init(t)
nominal_real (t) = β * nominal_perf(t), impact en cas de vente
nominal_pil (t) = nominal_real(t) pas d’impact car pas de réalisation de PVL supplémentaires sur R332 19
Flux
Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements.
F lux(t) = coupon(t) + remboursement(t)
avec coupon(t) = tx_coupon
∗ nominal_perf (t) si t date de tombée de coupon et r
r
nombre de coupons annuels, 0 sinon.
50
remboursement(t) = nominal_perf (t) ∗ taux_remboursement si t date de terme
Capitalisation du flux
Cas 1 : nous avons une courbe des taux spot en date d
En notant CT (d, τ ) le taux zéro coupon en d de maturité τ
F lux_capitalise(t) = f lux(d) ∗ (1 + CT (d, τ ))τ
Cas 2 : nous n’avons pas une courbe des taux spot en date d
Nous disposons simplement d’une courbe des taux en début de période.
En notant T xZC f (t − 1, d, τ ) est la courbe des taux zéro coupon forward en d, vue en
début de période, de maturité τ
F lux_capitalise(t) = f lux(d) ∗ (1 + T xZC f (t − 1, d, τ ))τ
1
ZC(t−1,d)
]τ − 1
avec T xZC f (t − 1, d, τ ) = [ PPZC(t−1,d+τ
)
VNC
La valeur nette comptable est obtenue en actualisant les flux de l’obligation au taux de
rendement actuariel (le taux permettant d’intégrer l’amortissement du titre, noté TRA) :
V N Cperf (t) =
PN
coupon(t)
i=1 (1+T RA) ni
+
remboursement(t)
N
(1+T RA) n
avec N le nombre de périodes avant maturité et n le nombre de périodes sur 1 an.
VM
La valeur de marché est obtenue en actualisant les flux de l’obligation aux taux de
marché (courbe des taux zéro coupon) :
V M _perf (t) =
PN
coupon(t)
i=1 (1+CT (t,i) ni
+
remboursement(t)
avec CT (t, i) la courbe des taux zéro coupon en t de maturité i.
51
N
(1+CT (t,N ) n
1.3
Obligation à taux variable
Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les obligations à taux
variable. Une obligation à taux variable reverse un coupon dont le taux de coupon est
réévalué périodiquement. On considère ici les obligations à taux variables indexées sur le
CMS.
Nominal
Le raisonnement est le même que pour les obligations à taux fixe.
Flux
Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements.
F lux(t) = coupon(t) + remboursement(t)
tx
(d
+marge_additive
avec coupon(t) = CM S i−1) r
∗ nominal_perf (t) si t date de tombée de
coupon et r nombre de coupons annuels et di−1 date du précédent coupon
remboursement(t) = nominal_perf (t) ∗ taux_remboursement si t date de terme
Cas 1 : nous avons une courbe des taux spot en date de dernière tombée de coupon
di−1
txCM S (di−1 ) =
avec δ =
Pm1−P ZC(di−1 ,m)
)
j=t+1 δ∗P ZC(di−1 ,j)
1
r
Cas 2 : nous disposons simplement d’une courbe des taux en début de période.
En notant :
- t la période dans laquelle s’inscrivent les flux(d) et flux(di−1 )
- P ZC f (d, s, m) le prix du zéro coupon forward en s de maturité m, vu en d
txCM S (di−1 ) =
avec δ =
1
r
f
i−1 ,m)
Pm1−P ZC (t−1,d
f (t−1,d
δ∗P
ZC
i−1 +j)
j=t+1
fréquence des coupons
et P ZC f (t − 1, di−1 , j) =
P ZC(t−1,di−1 ,j)
P ZC(t−1,di−1 )
Capitalisation du flux
La capitalisation du flux pour les obligations à taux variables est modélisée de la même
façon que pour les obligations à taux fixe.
52
Coupons futurs
Il faut reconstituer la courbe des taux couponnés forwards de maturité m fixée :
Obtention des prix zéro coupon forwards pour chaque période future, à partir des prix
ZC :
P ZC f (t, s, m) =
P ZC(t,s+m)
P ZS(t,s)
avec PZC forward en s de maturité m, vu en t
1
P ZS(t,s)
On a également T xZC f (t, s, m) = ( P ZS(t,s+m)
)m − 1
Obtention des courbes des taux forwards pour chaque période future, à partir de la
courbe des taux ZC :
txfCM S (t, h) =
ZC f (t,h,m)
P1−P
m
f
j=t+1 P ZS (t,h,j)
h>t
On en déduit les coupons forwards :
coupon_f wd(t, i) =
txCM S (t,t+i)+marge_additive
r
∗ nominal_init(t) avec i>2 et r coupons
annuels
Remarques :
1. Les taux CMS utilisés sont ici calculés en partant de la courbe ZC du générateur
de scénarios. Le taux CMS sera calculé sur une courbe de taux de notation AA
lorsqu’elle sera disponible en entrée du modèle.
2. Le raisonnement est similaire pour obtenir la valorisation d’une obligation sur taux
TEC10, qui est cette fois calculé sur une courbe de taux d’état (notation AAA).
3. Pour les obligations taux variables indexées sur l’Euribor, les formules changent de
taux de référence, qui deviennent les taux zéro coupon et leurs forward.
VNC
Les obligations à taux variables sont amorties linéairement.
V N C_perf (t) = V N C_init(t) +
remboursement(t+N )−V N C_init(t)
N
avec N le nombre de période avant maturité.
VM
Les obligations à taux variables sont amorties linéairement.
P coupon_f wd(t,i)
V N C_perf (t) = coupon(t) 1 + N
+
i
i=2
(1+CT (t,1)) n
remboursement(t)
(1+CT (t,i)) n
avec CT (t, i) la courbe des taux zéro coupon en t de maturité i.
53
N
(1+CT (t,N )) n
1.4
Obligation indexée inflation
Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les obligations indexée sur l’inflation. Les coupons et le nominal d’une OATi sont réévalués à dates fixées
pour prendre en compte l’inflation cumulée depuis le lancement de l’emprunt.
Nominal
Le nominal évolue dans le temps en fonction des ventes. En reprenant la suite d’événements arrivant sur une période, on obtient les formules suivantes :
nominal_init (t) = nominal_pil(t-1)
nominal_perf (t) = nominal_init(t) ( 1+ inflation (t))
nominal_real (t) = βt * nominal_perf(t), impact en cas de vente
nominal_pil (t) = nominal_real(t) pas d’impact car pas de réalisation de PVL supplémentaires sur R332 19
Flux
Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements.
F lux(t) = coupon(t) + remboursement(t)
avec coupon(t) = tx_coupon
∗ nominal_perf (t) si t date de tombé de coupon et r
r
nombre de coupon annuels
remboursement(t) = M ax(nominal_init_M P (t), nominal_perf (t)) si t date de
terme
En d = t − 1, le nominal_perf(t-1) est impacté de l’inflation depuis la date d’émission
du titre indexé.
En notant :
- BEI(s,u) représente l’inflation sur la période [s,s+u]
- CT R(s, τ ) le taux réel en s d’échéance τ
Inf lation(t) = ((1 + BEI(t − 1, d))d−(t−1)
1+CT (t−1,d)
−1
BEI(t − 1, d) = 1+CT
R(t−1,d)
Capitalisation du flux
La capitalisation du flux pour les OATi est modélisée de la même façon que pour les
obligations à taux fixe.
VNC
54
La valeur nette comptable est obtenue en actualisant les flux de l’obligation au taux de
rendement actuariel (le taux permettant d’intégrer l’amortissement du titre, noté TRA) :
V N Cper(f ) =
PN
coupon(t)
i=1 (1+T RA) ni
+
remboursement(t)
N
(1+T RA) n
avec N le nombre de période avant maturité et n le nombre de période sur un an.
VM
La valeur de marché est obtenue en actualisant les flux de l’obligation aux taux de
marché (courbe des taux zéro coupon) :
V N C_perf (t) =
1.5
PN
coupon(t)
i=1 (1+CT R(t,i)) ni
+ M ax( nominal_init_RN
, nominal_perf (t)
N
N )
(1+CT (t,N )) n
(1+CT R(t,N )) n
Actifs indiciels, R.332-20 : Actions
Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les actions.
Performance « total return »
Elle est issue des scénarios économiques. Elle se décompose en une partie capital, et
une partie revenu (dividende).
tx_perf _tot_return_action(t) = tx_capital_action(t) + tx_div_action(t)
VM
V M _perf (t) = V M _init(t) ∗ (1 + tx_capital_action(t))
VNC
V N C_perf (t) = V N C_init(t) − dotation_P DD(t)
avec dotation_P DD(t) le montant de PDD à doter calculé par le modèle.
Flux
Ils sont constitués des dividendes.
f lux(t) = dividendes(t) avec dividendes(t) = tx_div_action(t) ∗ V M _init
55
2
Structure du passif dans le modèle Épargne
Dans cette partie nous allons décrire les différents processus qui interviennent dans
l’écoulement du passif. Nous nous intéresserons plus particulièrement à la détermination
du taux servi, fonction des hypothèses économiques, utilisé dans l’application de l’étude
d’allocation d’actifs.
2.1
Description de l’écoulement du passif
La situation des contrats dont dispose l’assureur, à l’instant de l’étude du portefeuille,
est décrite par un l’ensemble des caractéristiques de ces contrats (année de souscription,
âge de l’assuré, provisions mathématiques, taux de frais de gestion...) qui vont être utilisé
pour faire "vivre" ces contrats.
Chaque contrat va subir une série d’évènements selon un ordre précis :
1. Versements de primes viennent s’ajouter au montant de la provision mathématique
présente en début d’étude
2. Sorties par rachats totaux, rachats partiels et décès
3. Sorties par rachats partiels programmés
4. Arbitrages hypothétiques, opérés par l’assuré qui choisit de transférer une partie,
ou la totalité, de ces provisions mathématiques d’un fond à un autre (du fond euro
vers le fond UC ou inversement)
5. Termes (pour les contrats possédant une date de terme).
A la suite de ces évènements le montant des provisions mathématiques et revalorisé au
taux servis (algorithme de détermination du taux servis sera présenté par la suite) pour
obtenir le montant de provision mathématique de l’année suivante.
Le graphique présent en figure 16 décrit l’écoulement du passif.
Figure 16 – Processus d’écoulement du passif
56
Nous allons maintenant brièvement décrire chacune des étapes évoquées précédemment.
1. Versement des primes
Il peut s’agir d’une ouverture de contrat (affaire nouvelle) ou d’un versement de primes
sur un contrat déjà existant (dans ce cas les primes versées viennent s’ajouter à la provision mathématique n-1). Comme décrit dans la première partie, il peut s’agir de primes
uniques, de primes périodiques ou de primes programmées. Les primes sont ventilées entre
le support euro et le support UC selon l’allocation fixé dans les caractéristiques du contrat.
2. Sortie par rachat totaux ou partiels
Le rachat peut être total (disparition du contrat du portefeuille de l’assureur) ou partiel
( seule une partie de l’encours du contrat est rachetée). Dans les deux cas l’encours euro est
revalorisé, au prorata temporis, au maximum entre le taux annuel garanti par l’assureur
à chaque contrat et le taux minimum garanti du contrat racheté (si celui ci dispose d’une
TMG dans ces conditions générales). Pour l’encours UC, l’assuré récupère le montant des
provisions mathématiques tel quel (sauf si ce montant est inférieur à la somme des primes
versées et que le contrat dispose dans ces conditions générales d’une garantie plancher,
dans ce cas l’assuré récupèrera au moins la somme des primes versées, après compensation
avec l’encours euro).
Les rachats totaux peuvent être structurels, dynamiques (causés par un différentiel
important entre le taux servis et le taux des concurrents) ou exceptionnels (causés par
une mauvaise conjoncture économique). Le taux de rachat structurel est déterminé à partir d’un historique de trois ans glissant et est défini selon des critères d’âge, d’ancienneté
et de produit.
3. Sortie par décès
Les sorties par décès surviennent simultanément aux rachats totaux et partiels. De la
même façon que pour les rachats totaux et partiels, les encours euro qui sortent après
décès sont revalorisés au minimum entre le TAG et le TMG. Le montant des encours
sortant par décès est obtenu grâce à une table de qx certifiée appliquée à tous les contrats
présents en portefeuille, en fonction de l’âge des assurés.
4. Sortie par rachats partiels programmés
Les rachats partiels programmés interviennent après les flux de décès, rachats partiels
et totaux si la période correspond à une date de rachat. Ces rachats partiels programmés
ne concernent qu’une partie des contrats du portefeuille clairement identifiés.
Ils sont revalorisés de la même façon que les rachats totaux.
5. Arbitrages structurels
57
Les arbitrages structurels interviennent après les rachats partiels programmés. Il s’agit
de la prise en compte de la volonté de l’assuré de transférer une partie de son épargne d’un
support à l’autre. Les arbitrage de l’euro vers l’UC sont revalorisé au maximum entre le
TAG, le TMG et le taux servis défini en fin d’année par l’assureur.
6.Termes
Prise en compte des échéances des contrats définies dans les conditions générales. Les
termes ont lieu après les arbitrages structurels.
7. Revalorisation des contrats
Les encours restant après la prise en compte de tous ces évènements (primes, rachats,
décès, arbitrages, termes) sont revalorisés en fin de périodes. Les encours euros sont revalorisés au masimum entre le TAG, le TMG et le taux servi. les encours UC sont revalorisés
selon un taux de performance UC calculé à partir des scénarios économiques.
Euro
P MfEuro
in (t) = P Mapres_f lux_passif (t − 1) ∗ [1 + M ax(T M Gi , T AGi , taux_servi)]
UC
P MfUinC (t) = P Mapres_f
lux_passif (t − 1) ∗ [1 + tx_perf _U C_nette]
2.2
Algorithme de taux servis
Dans le cadre de l’assurance vie, l’élément qui impacte le plus l’assuré est le taux que
l’assureur sera en mesure de lui servir en fin d’année, c’est à dire le taux de revalorisation
de l’ensemble des primes que l’assuré à confié à l’assureur.
L’optimisation de ce taux servi est donc un élément essentiel du choix d’une allocation
d’actif. Nous allons donc, dans cette partie, présenter l’algorithme de taux servis mis en
place dans le modèle ALM utilisé pour cette étude.
L’algorithme va être traité séquentiellement.
Étape 1 : Dégagement automatique de plus values R.332-20 en cours d’année
Lors de la projection du passif, dans le cas où les scénarios économiques entrainent
l’apparition de plus values latentes (PVL) R332 20, le programme de projection met en
place une réalisation automatique de ces PVL. Il s’agit de notre règle d’extériorisation
de x % (Dansq notre application présentée en dernière partie, x % = 20 %) des PVL
R.332-20. Elles sont réalisées en milieu d’année, après le ré alignement partiel.
Toutes les classes d’actifs R.332-20 sont concernées, on fait un aller-retour sur x % de
tous les titres R.332-20.
Étape 2 : Test de suffisance de produits financiers
Nous regardons si les produits financiers de l’année affectés aux assurés nous permettent de servir le taux commercial. A ce niveau nous raisonnons en montant brut de
58
marge. Il faut donc tout d’abord déterminer le montant de produits financiers nécessaire
pour servir le taux commercial, appelé PB commerciale brute (notée PB com. brute dans
la suite). Dans la suite, lorsque nous évaluerons un montant de PB (revalorisation des
passif, y compris intérêts crédités sur les sorties) pour un taux de référence précisé (taux
commercial, taux servi, etc.), nous utiliserons les assiettes des clients restants en fin d’année précédemment.
P B(tx_ref, n) =
P
∗ assiette_restante(i, n) +
montant_interetcrdit_sorties(i, n)] ∀n
iM P [M ax(tx_ref, T M Gi , T AGi )
Ainsi
P
P B_com_brute(n) = iM P [M ax(tx_commercial, T M Gi , T AGi ) ∗
assiette_restante(i, n) + montant_interetcrdit_sorties(i, n)] ∀n
Si les produits financiers sont supérieurs à la PB com. brute, alors on sert le taux
commercial, et l’excédent est doté à la PPE.
Étape 3 : Si insuffisance de produits financiers
Dans ce cas, nous allons chercher de la richesse par ordre de priorité décrit infra. Nous
définissons le montant de richesse supplémentaire à dégager (noté MRSD)
M RSD = P B_com_brute − P roduit_f inanciers
Étape 3.1 : Réalisation de PVL R.332-20 supplémentaires
A ce niveau nous raisonnons toujours en montant brut de marge.On s’autorise à réaliser
jusqu’à x % de PVL supplémentaires, c’est-à-dire à vendre toutes les lignes (les ventes
s’effectuant en proportionnelles). Toutes les classes d’actifs R.332-20 sont concernées, on
les vend toutes proportionnellement. On vend selon le coefficient de maintien β défini par :
β = βi = [1 −
M in(M SRD,P M V LR332−20 )
]∀ actif
P M V LR332−20
i ∈ R332 − 20 et avec P M V LR332−20 > 0
Si cette étape est suffisante, alors on sert le taux commercial. Sinon, on définit M RSD1
comme étant le montant de richesse supplémentaire à dégager à l’issu de l’étape 3.1 :
M RSD1 = P B_com_brute − P roduit_f inanciers − (1 − β) ∗ P M V LR332−20
Le taux servi brut (ou taux d’équilibre) à prendre en compte pour la suite de l’algorithme est un taux de produits financiers « cascade », c’est-à-dire un taux obtenu après
le paiement des intérêts crédités aux TMG les plus importants.
Étape 3.2 : Consommation de PPE
Nous raisonnons maintenant en montant net de marge.
59
M RSD1 net = P B_com_nette− PB servie à l’issue de l’étape 3.1
Avec P B_com_nette la revalorisation du passif au taux commercial et la PB servie
à l’issue de l’étape 3.1 qui correspond à la revalorisation du passif au "taux cascade".
Si la réalisation de x % des PMVL nest pas suffisante ( M RSD1 > 0 ), alors on s’autorise à consommer jusqu’à y % de PPE. Soit δ le taux de PPE que l’on doit consommer :
1 net
, y %)
δ = M in( M RSD
PPE
P P Eapres_conso3.2 = (1 − δ) ∗ P P Eavant_conso3.2
Si cette étape est suffisante, alors on sert le taux commercial. Sinon, on définit M RSD2
comme étant le montant de richesse supplémentaire à dégager à l’issu de l’étape 3.1.
M RSD2 = M RSD1 net − δ ∗ P P E
Étape 3.3 : Réduction de la PB commerciale
Nous raisonnons toujours en montant net de marge. Si la consommation de PPE n’est
pas suffisante (M RSD2 > 0 ), alors on s’autorise à réduire la PB com. de telle sorte que
les rachats dynamiques ne se déclenchent pas. On parle alors de PB commerciale réduite
(notée PB com. red.), qui correspond à la distribution du taux commercial diminué du
seuil de déclenchement σ des rachats dynamiques :
T aux_commercial_reduit = T aux_commercial − σ
avec PB com red nette la revalorisation du passif au taux commercial réduit. Si PB
com red nette < PB servie à l’issue de l’étape 3.1 +δ ∗ P P E alors on sert le taux correspondant à ce niveau de PB, compris entre le taux commercial et le taux commercial réduit.
Étape 3.4 : Réduction des marges variables
Si PB com red nette > PB servie à l’issue de l’étape 3.1 +δ ∗ P P E alors on s’autorise
à consommer z % (z = 100 par défaut) des marges variables (marges sur fonds propres et
marges variables assuré).
Soit τvar le taux de marge variable que l’on doit consommer pour servir le taux commercial réduit :
0
0
l issue de, l etape 3.1−δ∗P P E
, z %)
τvar = M in( P Bcom red nette−P B servie
M argevar
Si τvar < z % alors on peut servir le taux commercial réduit, et la marge variable après
réduction devient :
60
M argeapresreduction
= (1 − τvar ) ∗ M argeavantreduction
var
var
Les montants de marges correspondant aux marges prélevées sur une année n. Elles
sont composées des marges fixes et variables assurés et des marges sur fonds propres :
T F GSE=0
M arge_f ixei (n) = P Mi,revalo_tx_eq3.1
(n) − P Mi,revalo_tx_eq3.1 (n)
T AF =100 %
M arge_variable_assurei (n) = P Mi,revalo_tx_eq3.1 (n) − P Mi,revalo_tx_eq3.1 (n)
M arge_variable_F P (n) = P roduit_f inanciers_actionnaires_apres_T SD
Étape 3.5 : Réduction des marges fixes
Nous avons également avoir la possibilité réduire également la marge fixe (correspondant aux chargements sur encours / FGSE), en appliquant un coefficient de réduction
τf ixe , qui réduira également proportionnellement les commissions sur encours.
Étape 3.6 : Insuffisance pour servir la PB commerciale réduite
Dans ce dernier cas, on va servir le taux brut correspondant à la PB disponible (<
taux commercial réduit) :
P B_disponible = PB servie à l’issue de l’étape 3.1
reduction
reduction
+δ ∗ P P E + τvar ∗ M argeavant
+ τvar ∗ M argeavant
variable
f ixe
Ce taux est obtenu par interpolation.
On obtient le taux servi net par application de la clause de participation aux bénéfices.
Participation aux bénéfices finales incorporée aux PM
Il s’agit du montant de revalorisation au taux servi du Model Point i, l’année m, noté
revalorisation(i, m) .
Elle est obtenue par la différence de la PM revalorisée au taux servi toute l’année
m avec la PM sans revalorisation (taux servi = 0 %). Elle peut également être estimée
autrement (en appliquant le taux servi à de l’assiette notamment).
PB minimale réglementaire
Si la PB servie est inférieure à la PB minimale réglementaire, alors l’excédent est doté
à la PPE.
PB minimale (m) = 90 % Max(Solde souscription (m)- charges d’acquisition de gestion nettes (m),0) + Min (Solde souscription (m)- charges d’acquisition de gestion nettes
(m),0) + 85 % [Produits financiers assurés (m) + (PRE(m) - PRE(m-1))] * Clé de répartition
61
P P Eaprespbmini (m)= Max(0, PB minimale (m) -(revalorisation(m) +PPEapresALM (m)−
P P Eaprespbmini (m − 1))) + P P EapresALM (m)
Avec Solde de souscription(m) = Primes_uniques_brutes_euro(m) + primes_périodiques_euro(m)
- prestation_euro(m) - frais_prestation_euro(m) - (PRE(m)- PRE(m-1)) -(P Mfeuro
inper (m)−
euro
P Mf inper (m − 1) - revalorisation (m))
et charges d’acquisition et de gestion nettes (m) = frais_acq_euro (m) + frais_admin_euro
(m) + com_enc_euro(m) + comm_sur_primes_euros (m)
La variation de PRE étant prise en compte dans le solde de souscription, les produits
financiers assurés sont pris nets de cette variation retraitée de la quote part revenant aux
fonds propres (application de la clé de répartition).
Étape 4 : Excédent de PPE
Si la PPE dépasse un certain niveau (cap) x % par rapport à la PM fin, on distribue
lexcédent aux assurés.
P Bcomplmenttaire(m) = P P Eaprespbmini (m) − P P Eaprescap (m)
P P Eapres cap (m) = x % ∗ [P MapresALM (m)+ PB complémentaire (m)]
x%
∗ [P MapresALM (m) − P Mapres pb mini (m))
P P Eapres cap (m) = 1−x
%
On procède identiquement à l’étape 3.6 pour obtenir le taux brut, puis net correspondant.
Étape 5 : Réalisation supplémentaire en cas de fortes PVL
En cas de forte PVL R.332-20, et si on n’a pas distribué d’excédent de PPE aux
assurés, alors on réalise jusqu’à x % des PVL R332-20 en stock si le niveau de PVL
R332-20 dépasse y %, de telle sorte que la PPE soit reconstituée mais ne dépasse pas son
seuil.
3
Mise en place des scénarios économiques
Dans cette partie nous allons présenter les différents modèles mathématiques utilisés
par le générateur de scénarios pour simuler l’évolution des cours des différentes classes
d’actifs.
Nous allons commencer cette partie en définissant les univers risque neutre (RN) et
monde réel (RW).
62
3.1
Univers risque neutre et monde réel
Univers risque neutre
La technique de la probabilité risque neutre est une méthode utilisée pour calculer la
valeur actualisée des cash flow futurs à partir du taux sans risque basé sur divers scénarios.
La méthode de l’univers risque neutre suppose une absence d’opportunité d’arbitrage, c’est
à dire qu’il n’existe pas de stratégie d’investissement qui permet, à partir d’une mise de
fond initiale nulle, d’obtenir une richesse terminale positive, non nulle.
L’univers risque neutre suppose également la complétude des marchés : on dit que
le marché est complet si et seulement si on peut générer par au moins un portefeuille
n’importe quel profil de revenu.
Dans ces conditions un modèle mathématique explique que la valeur attendu des cash
flow futurs actualisés à partir du taux sans risque et d’une probabilité de distribution
transformé (la mesure Q) est équivalente à la valeur attendu des cash flow futurs actualisés
à partir du taux adéquat et d’une probabilité de distribution historique (la mesure P).
Pour un scénario particulier le cash flow ajusté au risque est égale au cash flow multiplié
par la ratio entre la probabilité d’occurrence de ce scénario sur la mesure Q et la probabilité
d’occurrence de ce scénario sur la mesure P.
La méthode de l’univers risque neutre est utilisé car il est souvent difficile de déterminer le taux adéquat à utiliser pour l’actualisation des cash flow sous la mesure P alors que
sous la mesure Q le taux sans risque est facilement récupérable sur la courbes des taux
sans risque.
Univers monde réel
La méthode de l’univers monde réel est une méthode utilisée pour calculer la valeur
actualisée des cash flow en actualisant les cash flow projetés par des taux basés sur plusieurs scénarios économiques. Sous cette méthode les cash flows projetés peuvent ne pas
être ajustés pour des risques incertains entrainant le fait que certains cash flow futurs
soient différents des cash flow projetés.
Pour refléter le coût de ces risques incertains, il est commun d’utiliser un taux d’actualisation supérieur au taux sans risque.
Cependant comme précisé précédemment, il est souvent difficile de déterminer comment bien ajuster le taux d’actualisation. Si cette ajustement est fait de façon adéquate,
la valeur actualisée des cash flow futurs doit être la même dans l’univers risque neutre
que dans l’univers monde réel.
Comparaison entre les deux univers
La question de savoir comment choisir entre utiliser la probabilité historique ou utiliser
la probabilité risque neutre se pose inévitablement.
Lorsque que l’on cherche à déterminer la valeur actualisée des cash flow futurs, un
calcul dans un univers risque neutre sera privilégié. Cela est la conséquence d’un choix de
gestion de ces risques dans une logique de couverture.
63
On cherche alors le prix aujourd’hui du portefeuille qui permet de se couvrir dans le
futur. Cependant il existe deux limites à ce raisonnement :
- il faut que le marché soit suffisamment liquide pour pouvoir gérer les couvertures
sous-jacentes à l’évaluation
- dans de nombreux cas il n’y a pas unicité de la mesure risque neutre, et donc la
couverture est imparfaite. Il faut donc choisir les sources de risques que l’on couvre.
L’utilisation de déflateurs en probabilité historique permet d’obtenir les mêmes résultats et est justifiée par la même logique. Le déflateur n’est rien d’autre que la densité de
.
Radon-Nicodym du changement de probabilité qui permet de passer de P à Q : Z = dQ
dP
Par contre lorsque l’objectif poursuivi est la mise en place d’une stratégie de gestion,
la probabilité historique sera privilégiée car le sujet d’étude est en réalité la distribution
réelle des paiements futurs.
3.2
Modèle utilisé pour la poche Action
Dans cette partie nous allons présenter le modèle mathématique utilisé par le générateur de scénario B+H pour générer le court des actions, à savoir le Stochastic Volatility
Jump Diffusion (SVJD).
Présentation du modèle
Le modèle SVJD est un modèle créé à partir de deux modèles mathématiques : le
modèle de Heston à volatilité stochastique et le modèle de diffusion par saut de Merton.
Ce modèle à volatilités et sauts stochastiques est utilisé en RN et en RW.
Le modèle de Heston à volatilité stochastique s’appuie sur deux équations différentielles, la première qui présente l’évolution du prix des actifs et la seconde qui présente
l’évolution de la variance stochastique.
Le modèle de diffusion par saut de Merton décrit également l’évolution du prix des
actifs à travers une équation différentielle que l’on peut séparer en une partie continue et
une partie discontinue.
La partie continue est modélisée par un mouvement brownien calibré avec un paramètre de volatilité constant. La partie discontinue est modélisée par un processus de
Poisson avec un paramètre tirée d’une distribution Log-Normale.
Le modèle de Heston à volatilité stochastique
Le modèle de Heston représente la généralisation du modèle du Black et Scholes. En
effet le modèle de Black et Scholes ne mettait en place qu’une volatilité constante alors
que le modèle de Heston incorpore une volatilité qui varie avec le temps lors du calcul
du prix de l’option. Comme précisé dans la présentation du modèle, Heston s’appuie sur
les deux équations suivantes pour décrire l’évolution du prix ainsi que l’évolution de la
variance au cours du temps :
p
dS(t) = µSdt + υ(t)SdW1 (t)
64
p
p
d υ(t) = −β υ(t)dt + δdW2 (t)
avec dW1 (t)dW2 (t) = %dt et W1 et W2 deux processus de Wiener ;
S le prix de l’action sous-jacente ;
µ leptaux de rendement espéré instantané de l’action ;
et υ(t) la volatilité du rendement de l’action.
La volatilité
p
υ(t) suit le processus de diffusion de Omstein-Uhlenbeck.
Rappel du lemme de Itô
Soit un processus d’Itô Xt , processus stochastique de la forme :
Xt = X0 +
Rt
µs ds +
Rt
σs dBs
0
0
ou autrement formulé, on a
dXt = µt dt + σt dBt
avec µt et σt deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques
d’adaptation au processus Bt .
Si f (Xt , t) est une fonction de classe C 2 (R ∗ R+ , R), alors la formule d’Itô s’écrit :
d(f (Xt , t)) =
∂f
(Xt , t)dt
∂t
+
∂f
(Xt , t)dXt
∂x
+
1 ∂2f
(Xt , t)σt2 dt
2 ∂x2
En utilisant le lemme d’Itô, nous pouvons obtenir la formule suivante :
p
dυ(t) = [δ 2 − 2βυ(t)]dt + 2δ υ(t)dW2 (t)
L’équation ci-dessus peut se réécrire sous la forme du processus de Cox, Ingersoll, et
Ross (1985) :
p
dυ(t) = κ[θ − υ(t)]dt + σ υ(t)dW2 (t)
Dans ce modèle mathématique, est noté C(t, S(t), υ(t)) le prix d’un dérivé de S(t) et
donc en appliquant le lemme d’Itô et en simplifiant nous obtenons l’équation différentielle
suivante :
∂C
∂t
+
S2υ ∂2C
2 ∂S 2
+ rS ∂C
− rC + [κ(θ − υ(t)) − λυ] ∂C
+
∂S
∂υ
σ2 υ ∂ 2 C
2 ∂υ 2
2
∂ C
+ %σSυ ∂S∂υ
Avec λ le paramètre qui représente le prix du risque de la volatilité défini en fonction
du prix de l’action, du temps et de la volatilité.
Pour identifier une solution à cette équation différentielle, Heston a mis en place une
fonction du prix analogue à celle de la Formule de Black et Scholes :
65
C(t, S(t), υ(t)) = St P1 − Ke−(r(T −t)) P2
Avec P1 et P2 des transformés de Fourier inverses.
Le modèle diffusif de saut de Merton
Nous allons maintenant présenter l’autre composante du modèle SVJD, le modèle
diffusif de saut de Merton.
Les modèles diffusifs de saut sont apparus pour tenir compte des premières limites des
modèles diffusifs classiques constatées sur les marchés financiers.
Dynamique du sous-jacent
Le modèle de Merton s’appuie sur le modèle initial de Black et Scholes auquel est
ajoutée une composante de sauts représentée par un processus de Poisson composé. De
même que dans le modèle de Black et Scholes, la dynamique du cours est définie classiquement au travers d’une équation différentielle stochastique que l’on peut résoudre grâce
au lemme d’Itô pour obtenir :
St = S0 eXt
Avec S0 le prix à l’instant 0 et
Xt = γ 0 t + σWt +
PNt
i=1
Ji
P t
Avec γ 0 t + σWt la partie diffusive et N
i=1 Ji la partie correspondant au saut.
W est un mouvement brownien standard avec W0 = 0. Les constantes γ et σ, strictement positive, sont la dérive et la volatilité de la partie diffusive de la dynamique de
cours. N est un processus de Poisson simple de paramètre λ .
La suite Ji de variables aléatoires, indépendantes et identiquement distribuées représente la taille des sauts pouvant survenir. Le processus de Poisson composé ainsi constitué
correspond à la composante de saut du modèle. Les processus W, N et la suite de variables
aléatoires Ji sont supposés indépendants.
Nous pouvons donc déduire de l’équation précédente la fonction caractéristique suivante :
0
ΦXt (u) = et(iγ u−
σ2 2
u +λ(ΦJ (u)−1))
2
Le modèle à sauts gaussiens de Merton
D’après le modèle de Merton, la dynamique de l’actif peut s’exprimer à partir des
équations différentielles suivantes :
(
(α − λκ)dt + σdWt ,
s’il n’y a pas d’évenement de Poisson
dSt
=
St
(α − λκ)dt + σdWt + (Y − 1), s’il y a saut de Poisson
66
Un saut de prix est caractérisé par la variable aléatoire Y qui fait passer le prix de
l’actif de St à Y St .
Y − 1 représente alors le pourcentage d’évolution de prix lorsqu’un saut de poisson se
produit. L’espérance mathématique de ce pourcentage est notée par κ = E(Y − 1). Dans
ce modèle, α représente le rendement instantané espéré sur l’actif St . Le nombre moyen
d’évènements de Poisson est noté λ.
Nous pouvons donc déduire de l’équation différentielle précédente, l’équation suivante :
St = S0 e(α−
P Nt
σ2
−λκ)t+σWt + i=1
2
Ji
Modèle SJVD
En regroupant les deux modèles décrits précédemment, nous obtenons le modèle de
Heston-Merton, défini par la formule suivante :
dSt
St
√
= (r − d)dt + υt dWt1 + (eJ − 1)dNt
p
dVt = κ(θ − υt )dt + συ υ(t)dWt2
avec l’intensité du saut J qui suit une loi normale. Les mouvements browniens ont une
corrélation %.
Nous avons noté :
d et r les taux de dividendes et le taux de rendement de l’action ;
θ comme la volatilité long-terme ;
συ comme la volatilité de la volatilité.
Avantages et Limites
Ce modèle permet de mieux répliquer la dynamique du smile de volatilité contrairement aux modèles à volatilité locale qui ont tendance à l’aplanir.
L’hypothèse de log-normalité des rendements n’est pas vérifiée sur le marché : la volatilité de la volatilité n’est pas nulle et la corrélation de la valeur du titre à sa volatilité
n’est pas nulle. D’où la nécessité d’introduire des modèles à volatilité stochastique.
De plus en RN, ce modèle permet d’être Market Consitency (définition) avec des
options de maturités supérieures à 1 an .
Cependant ce modèle met en place une non iso-méthode dans le traitement des corrélations : en RW les chocs dus aux sauts impactent les corrélations des actions utilisées
pour répliquer des corrélations extrêmes mais ne les impactent pas en RN (corrélations
constantes) car sinon cela engendre des difficultés pour répliquer les prix des options observés sur le marché (problème de stabilité volatilité-corrélation).
3.3
Modèle utilisé pour la poche Taux
Le générateur de scénario utilisé pour cette étude utilise des modèles mathématiques
différents pour générer des courbes de taux nominaux ou des courbes de taux réels. Nous
67
allons commencer par décrire le modèle utilisé pour les taux nominaux.
Présentation du modèle générant la courbe des taux nominaux
Pour générer une courbe des taux nominaux, le générateur de scénario utilise le modèle
de Health, Jarrow et Morton (HJM). Ce modèle fait partie des modèles de la structure
à termes des taux d’intérêts les plus utilisés. Le modèle HJM contrairement à d’autres
modèles de taux possède l’avantage de s’ajuster automatiquement à la structure des taux
grâce à un choix judicieux des paramètres qui interviennent. Néanmoins des écarts dans
l’ajustement peuvent tout de même apparaitre.
Avant d’étudier précisément le modèle HJM, il convient de rappeler et redémontrer
quelques notations
Modélisation des taux à termes
On note P (t, T ) le prix d’une obligation zéro coupon en t qui sera payée en T . Par
définition on peut écrire le relation suivante :
P (t, T ) = e−r(T −t)
et donc le taux implicite de l’obligation est donné par la relation suivante :
(t,T ))
r = − ln(P
(T −t)
Les taux d’intérêts étant variables, nous en déduisons donc que le taux de rendement
continu s’écrit :
(t,T ))
R(t, T ) = − ln(P
(T −t)
Ainsi, quelque soit le prix de l’obligation zéro coupon, nous pouvons, à l’aide de R(t, T )
reproduire la structure à terme des taux d’intérêt.
Modélisation des taux sans risque instantané
Le taux d’intérêt sans risque instantané peut être vu comme la valeur du taux défini
précédemment sur un intervalle de temps δt que l’on fait tendre vers zéro. Nous pouvons
donc écrire les relations suivantes :
R(t, t + δt) = − lnP (t,t+δt)
(δt)
et donc par passage à la limite
(t,t))
limδt→0 R(t, t + δt) = limδt→0 − lnP (t,t+δt)
= rt = R(t, t) = − ∂ln(P
δt
∂T
68
Nous avons donc obtenu la valeur rt du taux sans risque instantané.
Modélisation des taux forward
Nous ne possédons pas encore de relation de passage entre P (t, T ) et R(t, T ). La seule
relation dont nous disposons pour l’instant entre ces deux valeurs implique un passage
à la limite et donc une perte d’information. Nous allons essayer de définir une relation
générale entre P (t, T ) et R(t, T ).
Pour cela nous allons considérer un contrat forward qui garantit à l’instant t de payer
un montant dans le futur à l’instant T1 et de recevoir une certaine somme en contrepartie
à l’instant T2 . Ce forward revient en réalité à exercer une obligation zéro coupon qui
payerait un flux à l’instant T2 .
Pour trouver le prix de ce forward, nous allons le dupliquer en considérant l’achat
d’une obligation zéro coupon de maturité T2 associé à une vente de x valeur d’obligation
zéro coupon de maturité T1 . Cette stratégie d’investissement a donc un coût initial que
l’on estime à
P (t, T2 ) − xP (t, T1 )
Par le principe d’absence d’opportunité d’arbitrage, le coût initial doit être nul et donc
la proportion x d’obligation à vendre est égale à
x=
P (t,T2 )
P (t,T1 )
x est donc le prix forward qui correspond à l’achat d’une obligation de maturité T2
vue en T1 . Or nous savons que le prix forward d’une obligation de maturité T2 vue en T1
peut s’écrire de la façon suivante :
P (t,T2 )
P (t,T1 )
= ef1 (T2 −T1 )
Par passage au logarithme nous obtenons la relation suivante :
2)
ln( PP (t,T
) = f1 (T2 − T1 )
(t,T1 )
et donc
P (t,T )
f1 =
−ln( P (t,T2 ) )
1
T2 −T1
(t,T1 )
= − lnP (t,TT22)−lnP
−T1
en choisissant T1 = T et T2 = T + δt en faisant tendre δt vers zéro on obtient :
f (t, T ) = − ∂lnP∂T(t,T )
(On constate que lorsque T = t, c’est-à-dire lorsqu’un emprunt forward s’effectue instantanément, on retombe exactement sur l’expression du taux d’intérêt instantané).
A partir de ces relations, nous allons établir un lien entre P (t, T ) et f (t, T ) et donc
entre P (t, T ) et R(t, T ).
En dérivant le formule de R(t, T ) décrite précédemment, nous obtenons :
69
∂R(t,T )
∂T
∂lnP (t,T )
∂(T −t)
(T −t)− ∂T lnP (t,T )
∂T
(T −t)2
=−
∂P (t,T )
∂T
=
=
T −t
+
lnP (t,T )
(T −t)2
f (t,T )
T −t
−
R(t,T )
T −t
)
f (t, T ) = R(t, T ) + (T − t) ∂R(t,T
∂T
Pour obtenir le prix de l’obligation en fonction du taux forward, il ne reste plus qu’a
intégrer et ainsi obtenir l’équation suivante :
RT
RT
(t,T )
− f (t, u) du = − − ∂lnP∂T(t,u) du = −(T − t) ln PT −t
t
t
et donc
−
P (t, T ) = e
RT
f (t,u) du
t
= e−(T −t)R(t,T )
On peut donc conclure que les trois descriptions des courbes de rendement à l’échéance
sont équivalentes et donc donc il suffit de préciser le comportement d’une de ces trois quantités.
Méthodologie de Health, Jarrow et Morton
Au vu de l’équivalence des trois descriptions démontrée ci-dessus nous allons nous
focaliser sur la dynamique des taux forward instantanés. Cette dynamique est décrite par
l’équation différentielle stochastique suivante :
df (t, T ) = µ(t, T )dt + σ(t, T )dWt
avec dWt un processus de Wiener standard sous la probabilité historique P . En intégrant on obtient :
f (t, T ) = f (0, T ) +
Rt
µ(s, T ) ds +
0
Rt
σ(s, T ) dWs
0
avec comme hypothèse initial f (0, T ) = f ∗ (0, T ) où f ∗ (0, T ) représente le taux forward
observable sur le marché.
De plus l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage impose une condition sur µ
et sur σ. Si le processus λ(t, T ) vérifie la relation
RT
µ(t, T ) = σ(t, T )[ σ(t, s) ds − λ(t, T )]
t
70
alors la condition d’absence d’opportunité d’arbitrage s’exprime par l’indépendance
de λ(t, T ) vis à vis de T, c’est pourquoi la méthode de Health, Jarrow et Morton propose
d’utiliser la probabilité risque neutre Q et ainsi l’évaluation du prix de l’obligation ne fait
pas intervenir de prime de risque λ(t).
Sous la probabilité risque neutre, nous obtenons donc une nouvelle équation différentielle stochastique :
df (t, T ) = µ(t, T )dt + σ(t, T )dW̃t
L’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage existe encore mais, sous la probabilité
risque neutre, ne fait plus intervenir de prime de risque, nous avons donc :
RT
µ(t, T ) = σ(t, T )[ σ(t, s) ds]
t
Pour déterminer la valeur d’une obligation il suffit donc de réaliser les étapes suivantes :
1. Identifier sur les marchés la courbe des taux forward instantanés f ∗ (0, T )
2. Choisir le processus de volatilité σ(t, T )
3. Déduire la valeur de µ(t, T ) via la relation définie précédemment
4. Déterminer le taux forward instantané dans l’univers risque neutre en utilisant la
relation
Rt
Rt
f (t, T ) = f (0, T ) + µ(s, T ) ds + σ(s, T ) dW̃s
0
0
avec
f (0, T ) = f ∗ (0, T )
5. Retrouver le taux court terme en utilisant la relation démontrée précédemment
r(t) = f (t, t) c’est à dire :
r(t) = f (0, t) +
Rt
µ(s, t) ds +
0
Rt
σ(s, t) dW̃s
0
6. Combiner l’ensemble des égalités prouvées jusqu’ici pour obtenir l’expression du prix
d’une obligation suivante :
Rt RT
RT
Rt RT
P (t, T ) = exp{−( f (0, u) du +
µ(s, u) du ds +
σ(s, u) du dW̃s )}
t
0 t
0 t
Présentation du modèle générant la courbe des taux réels
Dans cette partie nous allons présenter le modèle mathématique utilisé pour générer
les courbes de taux réels (le même modèle est utilisé en RN et RW).
Le générateur de scénario de B+H utilise le modèle de Vasicek à deux facteurs. Nous
présenterons d’abord le modèle général de Vasicek puis le modèle à deux facteurs.
71
Modèle de Vasicek
Le modèle de Vasicek modélise les taux courts sous la forme d’un processus d’OrnsteinUhlenbeck selon la formule suivante :
dr(t) = k[θ − r(t)]dt + σdz(t)
avec r(t) : taux court en t ;
θ la moyenne sur long terme du taux court ;
k la vitesse de retour à la moyenne ;
Et z(t) un mouvement brownien.
Cette modélisation permet de prendre en compte l’effet de retour à la moyenne constaté
sur les taux d’intérêt. En effet lorsque les valeurs des taux sont élevées, elles ont tendance
à être suivies plus fréquemment par des baisses que par des hausses. L’effet inverse est
également constaté pour des niveaux de taux inhabituellement bas.
Lorsque r(t) est éloigné de θ, l’espérance de variation instantanée de r(t), égale à
k(θ − r(t)) est positive si r(t) < θ.
Dans ce cas, le taux court a tendance à augmenter, se rapprochant de la moyenne sur
le long terme d’autant plus intensément qu’il s’en est écarté et que le paramètre θ est
grand.
A l’inverse, si r(t) > θ , l’espérance de variation instantanée de r(t) est négative et
r(t) diminue dans le temps pour se rapprocher de θ.
L’inconvénient de cette modélisation est que le taux court suit un processus gaussien,
donc est négatif avec une probabilité non nulle.
La solution explicite de l’équation différentielle stochastique décrite précédemment
est :
r(t) = θ + (r0 − θ)e−tk + σ
Rt
e−(t−u)k dz(u)
0
Considérons maintenant que le prix en t d’un zéro-coupon délivrant 1 euro en T, noté
P(t,T), est une fonction du temps et du taux court r(t), soit P (t, T ) = P (t, T, r(t)).
En appliquant le lemme d’Itô à P (t, T, r(t)) nous obtenons l’équation différentielle
suivante :
+
dP = [ ∂P
∂t
∂P
k(θ
∂r
2
− r(t)) + 12 σ 2 ∂∂ 2Pr ]dt +
∂P
σdW (t)
∂t
Modèle de Vasicek à deux facteurs
Le modèle de Vasicek à deux facteurs s’appuie sur le modèle de Vasicek simple en
considérant que le taux réel est la somme de deux taux.
dr(t) = α1 [m(t) − r(t)]dt + σ1 (dz1 + γ)dt
72
pour le processus du taux court et
dr(t) = α2 [µ − m(t)]dt + σ2 (dz2 + γ)dt
pour le processus du taux moyen terme.
avec
r(0) valeur du taux court initial ;
m(0) valeur du taux moyen terme initial ;
mu taux infini ;
α1 et α2 les vitesses de retour à la moyenne ;
σ1 et σ2 les volatilités des processus respectifs ;
z1 et z2 deux mouvements browniens géométriques.
γ contrôle la prime de risque (γ = 0 en risque neutre) puisqu’il permet d’augmenter/diminuer le taux infini : s’il est négatif, le taux infini Monde Réel < taux infini RN et
dès lors la prime de risque arithmétique est positive : r tend vers µ + γ( αα12 + σσ12 )
Le premier processus est un processus de retour à la moyenne qui diffuse le taux
instantané tandis que le second processus rend stochastique le retour à la moyenne du
premier processus par un processus de retour à la moyenne. (Les processus de Wiener
sont indépendants).
Le premier mouvement brownien donne les chocs qui affectent en tout point de toute
échéance la courbe des rendements à l’échéance et le deuxième mouvement brownien
donne des chocs à court terme qui n’affectent que très peu les segments à long terme de
la courbe.
L’avantage de ce modèle à deux facteurs réside dans le fait qu’il permet de coller
davantage à la courbe des taux spot.
3.4
Modèle utilisé pour la poche Immobilier
Le générateur de scénario utilise le modèle de Black et Scholes pour simuler l’évolution
du cours de l’immobilier dans un univers monde réel ou risque neutre.
Le modèle de Black et Scholes est un modèle initialement utilisé pour évaluer le coût
d’options. Il s’agit d’un modèle utilisé en finance afin d’estimer la valeur théorique d’une
option financière tel un put ou un call. Ce modèle est également utilisé pour dans la mise
en place de couverture financière.
Le modèle de Black et Scholes repose sur une série d’hypothèses :
1. le temps est modélisé comme une fonction continue
2. les options que l’on cherche à estimer sont de type européennes et donc elles ne
peuvent s’exercer qu’a leur maturité (dans notre étude le générateur de scénario
considère la poche immobilier comme un poche d’options européennes)
3. le sous-jacent considéré ne paye pas de dividende ou ne paye que des dividendes
constantes
73
4. le prix du sous-jacent suit un processus dit brownien géométrique qui a la forme
suivante :
dS = µSdt + σdz ⇔
dS
S
= µdt + σdz
où S est le prix du sous-jacent, µ est le taux de rendement attendu, σ est
√ la volatilité
de l’action et dz est un processus de Wiener qui peut s’écrire dz = ε t avec ε qui
suit une loi N (0, 1).
Un tel processus appartient à la famille des processus de Markov et donc la distribution du prix dépend uniquement du prix du sous-jacent à l’instant t
5. il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage
6. la vente à découvert est possible
7. les coûts de transaction sont nuls
8. il existe un taux d’intérêt sans risque constant pendant toute la période
9. les sous-jacents sont parfaitement divisibles
Ces hypothèses ne sont pas toutes vérifiées dans des conditions réelles de marché financier, il peut donc apparaître des écarts plus ou moins importants entre la réalité et le
modèle.
Équation différentielle de Black et Scholes
Si f est le prix du sous-jacent, en appliquant le lemme d’Itô, on montre facilement que
f suit le processus suivant :
∂f
µS +
df = ( ∂S
∂f
∂t
+
1 ∂2f 2 2
σ S )dt
2 ∂S 2
+
∂f
σSdz
∂S
On rappel que le processus de Wiener dz est le même dans l’expression de df ci-dessus
que dans l’expression de dS rappelé en début de présentation du modèle. En créant un
portefeuille composé de S et de f on peut donc éliminer cette composante dz de l’équation
ci-dessus.
∂f
Imaginons un portefeuille composé de −1 sous jacent(vente de dérivé) et + ∂S
sous∂f
jacent (achat de ∂S sous-jacent).
La valeur de se portefeuille créé peut donc s’écrire :
P = −f +
∂f
S
∂S
Soit en étudiant la valeur de ce portefeuille sur un intervalle de temps δt
dP = −df +
∂f
dS
∂S
En remplaçant df et dS par leurs valeurs respectives on obtient :
dP = (− ∂f
−
∂t
1 ∂2f 2 2
σ S )dt
2 ∂S 2
74
faisant ainsi disparaitre la composante dz la seule source d’aléa. Cela signifie que la
variation de la valeur du portefeuille constitué dP est certaine et donc ne peut que être
égale au taux sans risque. Ainsi nous pouvons écrire l’égalité suivante :
dP = rP dt
et donc on obtient :
−
− ∂f
∂t
1 ∂2f 2 2
σ S
2 ∂S 2
= r(f −
∂f
)dt
∂S
c’est à dire l’équation différentielle de Black et scholes
∂f
∂S
∂f
+ rS ∂S
+
1 ∂2f 2 2
σ S
2 ∂S 2
= rf
Pour déterminer la valeur d’un actif financier dérivé particulier, il convient de définir
des conditions aux limites.
On soulignera que le portefeuille P est sans risque au sens "infinitésimal" : il n’est
sans risque que pendant une période de temps extrêmement courte puisque lorsque S et
∂f
change aussi.
t changent, ∂S
75
Troisième partie
Mise en place d’une allocation
stratégique d’actifs
Le but de cette présentation est d’obtenir une allocation stratégique d’actifs pour une
société test dans le cadre de la mise en place de la réforme Solvabilité 2.
A la différence de la théorie moderne du portefeuille (Markovitz), nous ne recherchons
pas l’optimisation du rendement et du risque moyen du portefeuille d’actifs, mais des
indicateurs de rentabilité et de risques propres à l’activité d’assurance vie (indicateurs
présentés par la suite).
Après avoir décrit le modèle Épargne, la méthodologie de calcul du SCR ainsi que
les modèles mathématiques utilisés par le générateur de scénarios, dans les parties précédentes, nous allons présenter une application de ces modèles à travers l’étude de l’allocation stratégique d’actifs. Nous allons commencer par décrire les caractéristiques de la
société étudiée puis nous présenterons la démarche mise en place pour étudier l’allocation
d’actifs. Enfin, après avoir commenté les différents résultats nous conclurons en présentant
l’allocation optimale obtenue.
1
Contexte de l’étude et hypothèses
Dans cette première partie nous allons présenter les caractéristiques de la société étudiée ainsi que l’algorithme de la stratégie d’investissement utilisé pour étudier son allocation stratégique.
1.1
Description du périmètre de l’étude
L’étude qui a été réalisée se base sur la situation économique de la société au 31
décembre 2010.
Nous allons commencer par présenter quelle est l’allocation de la société étudié au 31
décembre 2010 ainsi que son évolution depuis fin 2007.
La figure 17 nous montre que le poids de la poche taux ne cesse d’augmenter depuis
février 2009 pour atteindre environ 82 % fin 2010. La poche action quant à elle représente
un peu plus de 10 % du portefeuille. Le poids de la poche action est relativement stable
depuis début 2010.
Nous allons maintenant nous intéresser plus précisément à la situation du portefeuille
d’actifs au 31 décembre 2010.
76
Figure 17 – Évolution de l’allocation d’actifs depuis fin 2007
Figure 18 – Détail de l’allocation d’actifs au 31 décembre 2010
Le PRCA correspond au prix de revient capital amorti.
Le tableau présenté en figure 18 montre que le portefeuille d’étude est en plus value
globale (+69 Me essentiellement composé de plus value sur les produits de taux) néanmoins il est caractérisé par une forte moins value action (-163 Me ).
Zoom sur la poche taux
Nous allons maintenant nous intéresser plus particulièrement à la poche taux du portefeuille d’actifs. Le tableau suivant récapitule les principales caractéristiques de la poche
77
taux au 31 décembre 2010 de la société étudiée.
Figure 19 – Détail de la poche taux au 31 décembre 2010
On constate que la duration moyenne du portefeuille est relativement courte (moins
de 5,5 ans).
Zoom sur la poche action
Nous allons maintenant nous intéresser plus particulièrement à la poche action du
portefeuille d’actifs. Le graphique suivant présente la répartition de la poche action par
rating au 31 décembre 2010 de la société étudiée.
Figure 20 – Détail de la poche taux au 31 décembre 2010
Ce graphe montre que le portefeuille action est diversifié et globalement composé d’action avec un bon rating. Le rating moyen du portefeuille est A.
Nous allons maintenant présenter brièvement le passif au 31 décembre de la société
étudiée.
Zoom sur le passif de la société étudiée
Le tableau en figure 21 récapitule les caractéristiques du passif.
78
Figure 21 – Caractéristiques du passif 31 décembre 2010
1.2
Description de la démarche de l’étude
Dans cette partie nous allons présenter la démarche utilisée pour identifier l’allocation
stratégique d’actifs dans le cadre de la réforme Solvabilité 2. Comme indiqué dans l’introduction de cette partie, l’allocation stratégique ne va pas s’appuyer sur théorie moderne
du portefeuille mais sur des indicateurs de rentabilité et de risques (tels le SCR) propres
à l’activité d’assurance.
Le modèle mis en place pour le calcul du SCR nécessite des calculs très lourds et très
gourmands en temps. L’étude va donc être effectuée en trois parties afin d’optimiser les
temps de calculs. Dans une première partie nous allons estimer des allocations d’actifs
optimales grâce à des indicateurs de rentabilité et de risques ne faisant pas intervenir
le SCR. Dans une seconde partie, nous effectuerons une étude plus précise sur le SCR
brut obligataire, puis nous testerons la cohérence des allocations prédéterminées dans
les deux premières parties, en calculant les SCR nets et taux de couverture associés à ces
allocations pour confirmer ou infirmer leur caractère optimal dans une vision Solvabilité 2.
Cette étude va être réalisée grâce à la projection du bilan et du compte de résultat sur
un horizon de 30 ans, de deux jeux de 1000 scénarios économiques (un jeu en configuration
normale et l’autre en configuration choquée) réalisés d’après les modèles mathématiques
décrits dans la partie "Mise en place des scénarios économiques".
Cette étude mettra en place une projection du passif (fonds propres, Provisions mathématiques euros et UC et autres provisions techniques réglementaires), une projection
de l’actif sur la base de scénarios risque neutre (projection des produits de taux, actions,
immobilier, etc en valeur de marché et comptable) et également l’interaction actifs/passif
via la gestion du comportement de l’assureur (taux servi, allocation d’actif, gestion des
réserves...) et de l’assuré (rachats conjoncturels...)
79
Les provisions mathématiques sont projetées en prenant en compte tous les événements
de la vie d’un contrat (versement de primes, rachats structurels, rachats dynamiques,
arbitrages, décès, arrivée à terme, revalorisation...)
Les parties Euro et UC d’un contrat sont projetées simultanément.
Toutes les grandes classes d’actifs sont représentées : Produits de taux (obligations
à taux fixes, taux variables, indexées inflation), actions, immobilier, gestion alternative,
private equity (actifs indiciels).
Les valeurs comptables et de marché sont calculées durant la projection conformément
aux méthodes décrites dans la partie "Structure des actifs dans le modèle Épargne".
Les coupons et dividendes sont pris en compte dans les produits financiers.
La provision pour dépréciation durable est modélisée, et dotée semestriellement si
besoin.
Pour les projections, nous avons pris comme hypothèse que la société étudié était en
run off, c’est-à-dire sans chiffre d’affaires.
En cours de projection le modèle peut être amené à vendre certains actifs ou à contrario
acheter des actifs d’une autre classe afin de respecter l’allocation cible. Les caractéristiques
des actifs à acheter sont fixés en inputs au modèle. Pour cette étude lorsque la poche taux
fixe est inférieur à l’allocation cible, des obligations zéro-coupons dont la maturité est
autour de la duration cible, fixé à 5,5 ans, sont achetées. De même pour les obligations
à taux variables, en cas d’insuffisance le modèle achète des obligations indexées sur le
TEC10. Enfin pour les OATi, le modèle investit sur des OATi 10 ans.
Description des indicateurs de rentabilité et de risques
Afin de prédéterminer des allocations optimales à tester sous la vision Solvabilité 2,
nous allons nous appuyer sur deux types d’indicateurs, des indicateurs vision assurés et
des indicateurs vision actionnaires.
Indicateurs vision assurés
Pour les indicateurs vision assurés, nous avons retenu un indicateur de richesse, et un
indicateur de satisfaction assurés sur un horizon de 3 et 10 ans :
T aux P P E =
P P Ef in annee
P Mf in annee
T aux d0 insuf f isance du rendement = taux servi − taux commercial
Le taux commercial est le taux attendu par le client en fin d’année, prenant en compte
les conditions de marchés (actions, obligations) et la rémunération des produits d’épargne
concurrents (autres assureurs, Livrets, dépôts à terme, etc...)
Le taux commercial correspond au taux brut que l’on va chercher à servir tous les ans.
Dans notre modèle il est fonction des taux courts, des taux longs, de la moyenne sur 5
ans du taux long ainsi que de la moyenne sur 3 ans de la performance du CAC.
80
Nous allons donc étudier l’allocation stratégique d’actif à travers les couples (rendement, risque) suivant :
- (Moyenne taux de PPE, Volatilité taux de PPE)
- (Moyenne taux de PPE, Nombre d’occurrences de l’insuffisance de rendement)
- (Moyenne taux de PPE, Moyenne taux d’insuffisance du rendement)
Indicateurs vision actionnaires
Pour les indicateurs vision actionnaires, nous avons retenu un indicateur de richesse,
et un indicateur de risque actionnaires sur un horizon de 3 et 10 ans :
V A Resultats =
PN
i=1
Resultat
net IS annee i
Qi
j=1 (1+txcourts(j))
N = 3 ou 10 ans
V A P ertes =
PN
i=1
P ertesi
Qi
j=1 (1+txcourts(j))
P ertes = −M in(Resultat net IS, 0)
N = 3 ou 10 ans
Nous allons donc étudier l’allocation stratégique d’actif à travers les couples (rendement, risque) suivant :
- (Moyenne VA résultats, Moyenne VA pertes)
- (Moyenne VA résultats, Max pertes)
- (Moyenne VA résultats, Nombre d’occurrences des pertes)
Représentation graphique des résultats
L’ensemble des résultats obtenus est présenté sous la forme d’un nuage de point repartie selon les indicateurs étudiés.
Le nuage de points présenté dans la figure 22 représente l’ensemble des allocations
testées pour une classe d’actif et un indicateur choisit.
Un point correspond à une allocation testée (w % action, x %TF, y % TV, z
L’indicateur est calculé avec cette allocation, sur 1000 scénarios, en projetant sur 30
ans.
A titre d’exemple, le point entouré correspond à une allocation action de 7 %. Sur les
1000 scénarios et sur les 30 années, la moyenne du taux de PPE est de 0,32 % (rendement), et sa volatilité de 0,50 % (risque).
81
Figure 22 – Exemple de nuage de points
2
Recherche d’une allocation optimale par l’utilisation
des indicateurs classiques
Dans cette partie nous allons rechercher l’allocation d’actifs sans faire intervenir les
indicateurs propres à Solvabilité 2 (SCR, Taux de couverture).
2.1
Résultats indicateurs vision assurés
Nous allons commencer par présenter les résultats issus de l’exploitation des indicateurs vision assurés.
Allocation Action
Les deux nuages de points figure 23 présentent les résultats des allocations d’actions
testées pour le couple (Moyenne Taux PPE, Nb occurrences insuffisance de rendement) à
horizon 3 ans et 10 ans.
Nous pouvons constater grâce à ces deux nuages de points que l’allocation action
est très discriminante. Nous constatons une grande dispersion des grappes.
Nous remarquons que l’horizon d’investissement est déterminant, en effet les
nuages de points sur 3 ans n’ont pas la même structure que les nuages de points sur 10
ans.
Nous notons une croissance du taux de PPE moyen avec l’accumulation de 10 ans de
prime de risque actions (437 bps).
82
Figure 23 – Nuage de points Allocation Action - Moy Taux PPE
83
A première vue, nous pouvons dire que sur l’horizon 3 ans, une allocation faible
en actions (6 % point bleu) est avantageuse. En effet, cette allocation permet
d’obtenir un taux de rendement moyen d’environ 1,40 % pour environ 1920 insuffisances
de rendement.
A l’inverse on peut constater à partir de ces deux graphes que sur l’horizon 10 ans
c’est l’allocation 16 % la plus optimale avec un taux de rendement moyen d’environ
1,95 % pour environ 5100 insuffisances de rendement.
Les quatre nuages de points figure 24 présentent les résultats des couples (Moyenne
Taux PPE, Volatilité Taux PPE) et (Moyenne Taux PPE, Moyenne Taux insuffisance de
rendement) à horizon 3 ans et 10 ans pour l’allocation action.
Figure 24 – Nuage de points Allocations Action
Ces quatre graphes mettent en avant les même résultats que les deux graphes précédent. En effet nous constatons une réduction de 50 % de l’insuffisance de rendement
moyenne sur le long terme en passant de 6 % à 16 % d’allocation actions.
L’ensemble de ces nuages de points permettent de conclure que à moyen terme, les
allocations actions les plus faibles sont optimales alors l’allocation actions est
plus avantageuse sur le long terme.
Nous avons donc choisit un compromis sur les deux horizons dans la fourchette [9
%,11 %] pour l’allocation d’actions.
84
Allocation taux
Les deux nuages de points figure 25 présentent les résultats des allocations taux fixe
testées pour le couple (Moyenne Taux PPE, Volatilité Taux PPE ) à horizon 3 ans et 10
ans.
Figure 25 – Nuage de points Allocations Action
Nous constatons que l’allocation Duration TF est discriminante sur le long terme.
L’horizon d’investissement est déterminant.
A niveau de risque équivalent, l’augmentation de la duration permet la croissance
du taux de PPE. Ceci est particulièrement visible sur le graphe présentant les résultats
sur l’horizon 10 ans. En effet, on constate que les points en jaune qui représentent une
duration de 10 ans sont les plus nombreux à se situer dans la région optimale.
Nous pouvons donc dire qu’il y a un réel intérêt à aller chercher du rendement
sur la poche TF pour optimiser la PPE.
2.2
Résultats indicateurs vision actionnaires
Nous allons maintenant présenter les résultats issus de l’exploitation des indicateurs
vision actionnaires.
85
Allocation Action
Les deux nuages de points figure 26 présentent les résultats des allocations d’actions
testées pour le couple (Moyenne VA Résultats, Pertes max) à horizon 3 ans et 10 ans.
Figure 26 – Nuage de points Allocation Action - Moy VA Résultats
Ces nuages de points confirment que l’allocation action est discriminante. Nous constatons qu’une forte allocation actions (>10 %) pénalise les rendements à moyen
et long terme. En effet on constate que allocation action de 16 % (carré bleu) possède
le rendement moyen le plus faible des allocations testées et le risque le plus élevé.
Les allocations actions les plus faibles sont optimales et le critère de risque « perte
maximale » est sévère (niveau de choc annuel > 50 %).
Cela est confirmé par les graphes figure 27 où l’allocation optimale est toujours celle
possédant une poche action faible.
Tout cela nous pousse à ne pas aller au-delà de 9 % pour minimiser le risque de perte
maximale.
Allocation Taux
Les quatre nuages de points présentés en figure 28 illustrent les résultats des allocations
taux fixe testées pour le couple (Moyenne Taux PPE, Pertes max) à horizon 3 ans et 10
ans.
86
Figure 27 – Nuage de points Allocation Action
Figure 28 – Nuage de points Allocation taux fixe
87
Nous constatons que l’allocation TF semble discriminante, elle est liée à l’allocation
actions sous jacente. Les deux graphes du haut de la figure 28 prônent une allocation
du portefeuille favorisant la poche Taux. En effet nous pouvons constater que les
point verts, qui symbolise une allocation composé à 85 % de taux fixe permet, quelque
soit l’horizon, d’optimiser la moyenne taux PEE et de minimiser les pertes.
Les deux graphes du dessous de la figure 28 confirment les résultats obtenus avec les
indicateurs vision assurés, à savoir qu’il est préférable d’avoir des produits de taux avec
une duration élevée.
Allocation Gestion Alternative, Private Equity et Immobilier
Les allocations gestion alternative, private equity et immobilier ne sont pas
déterminantes (nuages de points associés disponibles en annexes), l’allocation actuelle
est jugée satisfaisante et est donc conservée.
2.3
Synthèse des résultats
L’ensemble de ces nuages de points obtenus permettent de préconiser une baisse
de la part actions avec une cible à 9 % (contre 11,2 % actuellement). D’un point de
vue tactique, il convient d’attendre des conditions de marché plus favorables pour vendre
une partie de la poche actions et ainsi se rapprocher de l’allocation cible.
Cette baisse de la part actions s’effectue au profit de la poche taux fixe et notamment
du crédit.
Il convient de rechercher du rendement sans dégrader le rating moyen du portefeuille
en cherchant également à optimiser la duration cible, tout en optimisant les contraintes
mise en place par Solvabilité 2. C’est dans cette optique que nous allons analyser, dans la
partie suivante, la composante taux du SCR (SCR taux d’intérêt et SCR spread).
Pour ce qui concerne les autres poches, nous conservons la diversification actuelle.
3
Analyse de l’impact de Solvabilité 2 sur la gestion du
portefeuille obligataire
Dans la première partie de l’étude, en analysant les indicateurs assurés et actionnaires
mis en place, nous avons conclu à la nécessité de réduire la part de la poche action au
profit de la poche taux fixe. Nous proposons donc dans cette partie d’étudier l’impact de
Solvabilité 2 sur notre gestion obligataire. En nous basant sur la méthodologie de calcul
du SCR obligataire décrite dans la première partie du mémoire, nous allons commencer
par identifier quelles sont les variables obligataires qui influent le plus le montant du SCR
taux afin de déterminer, les variables discriminantes dans l’achat d’une obligation pour un
assureur. Nous essayerons ensuite de déterminer, à travers l’étude du couple rendementrisque (en utilisant le SCR brut comme indicateur du risque), si Solvabilité 2 met en place
88
des opportunités d’arbitrage entre différents types d’obligations taux fixe. Tous les SCR
calculés dans cette partie sont des SCR bruts. Dans cette partie, est appelé SCR taux, le
SCR taux d’intérêt et le SCR spread agrégé.
3.1
Description des hypothèses retenues
Pour effectuer nos calculs de SCR taux, nous avons retenu la courbe des taux swaps
au 31/12/2011. La figure 29 décrit la courbe utilisée.
Figure 29 – Courbes des taux au 31/12/2011
Dans la deuxième partie de l’étude, faisant intervenir le couple rendement-risque, nous
avons utilisé les taux de rendement réels des obligations de notre échantillon étude. Cependant dans un second temps pour l’étude du ratio Return On Equity (ROE) qui mesure
la rentabilité des capitaux immobilisés, nous avons utilisé les taux de rendement moyens
présentés en figure 30.
Ces taux sont issus du générateur de scénario Barry and Hilbert en univers Real World.
3.2
Étude de la sensibilité du SCR aux caractéristiques obligataires
Afin de pouvoir déterminer les produits de taux efficients sous Solvabilité 2, nous allons
analyser la sensibilité du SCR taux aux différentes caractéristiques obligataires.
Pour ce faire, nous avons utilisé l’ensemble des obligations de notre société. Notre échantillon d’étude se compose d’environ 800 obligations pour un prix de revient d’environ 10
milliards d’euros. Cet échantillon est composé à 78 % d’obligations corporate (taux fixe
ou zéro coupon), avec un rating moyen de A+ et une duration moyenne de 5 ans. Pour
89
Figure 30 – Hypothèses de taux de rendement
étudier la sensibilité du SCR taux aux différentes caractéristiques obligataires nous allons
nous intéresser aux corrélations entre ces caractéristiques et le SCR taux. Pour cela nous
allons utiliser la mesure de corrélation de Pearson et la mesure de corrélation de rang de
Spearman.
Corrélation de Pearson
Le coefficient de corrélation linéaire simple, dit de Bravais-Pearson (ou de Pearson),
est une normalisation de la covariance par le produit des écarts-type des variables.
rxy =
COV (X, Y )
COV (X, Y )
=
V (X)V (Y )
σx σy
Corrélation de rang de Spearman
La corrélation de rang de Spearman est calculée lorsque deux variables statistiques
semblent corrélées sans que la relation entre les deux variables soit de type affine. Elle
consiste à trouver un coefficient de corrélation, non pas entre les valeurs prises par les
deux variables mais entre les rangs de ces valeurs. Elle permet de repérer des corrélations
monotones. L’analyse des résultats obtenus est la même que pour la corrélation de Pearson.
P
(xi − x̄)(yi − ȳ)
ρ = pPi
2
2
i (xi − x̄) (yi − ȳ)
Nous avons calculé ces corrélations entre le SCR taux et la duration, le rating, la
maturité, le taux nominal, le prix de revient, la valeur boursière et le taux de coupon
des obligations de notre échantillon d’étude. Nous avons calculé ces corrélations sur notre
échantillon complet puis sur l’échantillon hors les obligations d’états non soumis au risque
90
de spread (le calcul de la corrélation de Spearman étant plus complexe, nous n’avons
calculé les corrélations de Spearman des éléments obligataires uniquement avec le SCR
obligataire). Nous obtenons les résultats présentés en figures 31 et 32.
Figure 31 – Tableau de corrélation sur l’échantillon complet
Figure 32 – Tableau de corrélation sur l’échantillon hors les obligations d’états
Nous pouvons constater, à première vue, que les différentes caractéristiques obligataires sont globalement corrélées entre elle. En analysant les corrélations des éléments
obligataires avec le SCR taux, nous pouvons constater que la plus forte corrélation
est avec la duration, environ 71 % sur l’échantillon global. Ceci est encore plus visible
sur l’échantillon hors obligations d’états, corrélation de 81,4 % (ceci s’explique facilement
par le fait que les obligations d’état ne sont pas soumises au risque de spread, dans lequel
la composante duration est prépondérante dans la détermination de l’ampleur du choc à
appliquer). Nous constatons également une très forte corrélation du SCR taux avec
la maturité (environ 75 % sur l’échantillon complet et 81 % sur l’échantillon hors états)
ainsi qu’avec le rating (environ 31 % sur l’échantillon complet et 38 % sur l’échantillon
hors états). Les autres éléments obligataires sont très faiblement corrélés avec le SCR
taux (inférieurs à 5 %), ce qui nous incite à ne conserver que ces trois critères comme
éléments de sélection d’obligations optimales sous le scope Solvabilité 2. En analysant la
corrélation entre la maturité et la duration, nous constatons que ces deux éléments sont
91
fortement corrélés (environ 91 % sur l’échantillon complet et 89 % sur l’échantillon hors
états), contrairement aux couples maturité/rating et duration/rating (- 10,6 % entre la
maturité et le rating et -16,7 % entre la duration et le rating). Nous décidons donc de ne
conserver que la maturité et le rating comme élément de sélection (la maturité est préférée
à la duration car elle est plus facilement calculable).
A partir de l’échantillon disponible (hors états), nous allons représenter le SCR taux
en fonction de la maturité, figure 33, et du rating, figure 34 (pour l’ensemble de l’étude
le rang 0 représente le AAA, le rang 1 les AA, AA- et AA+, le rang 2 les A, A- et A+,
le rang 3 les ratings BBB, BBB- et BBB+, le rang 4 les BB, BB- et BB+, le rang 5 les
ratings B, B- et B+ enfin le rang 6 représente le rating CCC)
Figure 33 – SCR taux en fonction de la maturité
Nous constatons que le SCR taux est une fonction croissante de la maturité
ainsi que du rating. Dans le premier graphe, les points ayant un SCR taux très élevé
sont caractérisés par une maturité longue (supérieur à 10 ans) et un rating défavorable.
L’analyse de ces deux graphes nous pousse à représenter graphiquement le comportement du SCR obligataire moyen pour une tranche de maturité et pour une notation donnée
(figure 35). Ce graphe ainsi que le reste de l’étude sera réalisé sur l’échantillon d’obligation hors états, en effet les obligations d’états (EEA plus OCDE bien notée) n’étant pas
soumis au SCR de spread, leur SCR de taux sera bien inférieur à celui d’une obligation
possédant les mêmes caractéristiques et donc cela fausserait nos conclusions.
Tout d’abord nous observons, sur la figure 35, que globalement pour une maturité
données les obligations notées AAA, AA et A consomment sensiblement moins
de capital que les obligations ayant un rating moins favorables.
92
Figure 34 – SCR taux en fonction du rating
Figure 35 – SCR obligataire moyen pour une tranche de maturité
Nous pouvons constater que, la partie gauche du graphe , l’écart entre les courbes était
relativement faible (hormis les obligations ayant un rating BBB ou BB qui possèdent un
SCR taux supérieur aux autres ratings), donc pour les maturités courtes, l’impact
du rating sur le SCR obligataire est moindre, il convient donc de favoriser,
en terme de SCR, sur des maturités courtes, des obligations ayant un rating
légèrement plus faible (A voir BBB) car en moyenne ces obligations possèdent un
rendement supérieur.
Globalement, nous pouvons constater que la hausse du SCR obligataire en fonction
de la maturité est bien plus rapide pour les obligations ayant un rating BBB ou BB. Ces
résultats incitent les assureurs soumis à la réforme Solvabilté 2 à délaisser
93
les obligations ayant une maturité longue et un rating BBB ou moindre. A
travers ce graphique qui représente le SCR taux en fonction du couple maturité/notation,
il est également possible d’obtenir des équivalences entre deux obligations en termes de
charge en capital. Par exemple, les trois obligations ayant comme caractéristiques rating
AAA maturité 6 ans, rating A maturité 5 ans et rating BB maturité 2 ans sont quasiment
équivalentes en terme de coût en capital (environ 8 %).
Dans cette partie nous avons donc étudié la sensibilité du SCR taux aux caractéristiques obligataires (travaux basés sur la poche taux de notre société d’étude) afin de
déterminer les caractéristiques discriminantes en termes de SCR taux dans l’optique d’une
étude d’allocation d’actifs. Grâce à l’utilisation des corrélations de Pearson et Spearman,
nous avons noté que le SCR taux été fortement corrélé à la maturité et au rating, ce qui
nous a permis d’étudier l’impact de ces caractéristiques sur le SCR taux. Nous avons pu
ainsi constater que les obligations ayant une maturité supérieure à 5 ans étaient fortement
pénalisées en termes de charge de capital, ainsi que les obligations possédant un rating
inférieur à A.
3.3
Étude du couple rendement/SCR taux
Dans la partie précédente nous avons réussi à identifier les caractéristiques obligataires
les plus couteuses en charge de capital, nous allons dans cette partie essayer d’identifier
l’efficacité d’une prise de risque sous les contraintes de Solvabilité 2, à savoir est ce que
certaines catégories obligataires fourniraient un rendement supérieur qui viendrait compenser une charge en capital supérieure. Pour cela nous allons focaliser
notre étude sur l’analyse du couple rendement/risque avec pour indicateur de risque le
SCR obligataire (taux d’intérêt plus spread). Notre échantillon d’étude sera le même que
pour la partie précédente, à savoir la poche taux de notre société d’étude.
Dans cette partie, nous allons essayer de voir si la mesure de risque SCR obligataire
favorise certaines catégories obligataires. Pour cela nous allons utiliser le nuage de points
figure 36 qui représente le couple rendement-SCR obligataire selon la notation des obligations. La forte volatilité des taux ces dernières années, provoquant une forte volatilité des
taux de rendement obligataire, nous ont contraints à ne conserver, pour la figure 36, que
les obligations émises entre le 01/01/2011 et le 31/12/2011, afin d’obtenir une cohérence
dans les rendements d’une obligation à l’autre.
Tout d’abord, nous notons que les obligations les moins couteuses en SCR sont les
obligations d’état. Cependant, leur taux nominal moyen est inférieur aux taux moyens
des autres obligations.
Concernant les obligations hors états, nous pouvons constater que le nuage de points
semble pourvoir se décomposer en deux parties, une première sur des faibles niveaux de
risque (inférieur à 10 %) et une seconde pour les obligations plus couteuses en charge de
capital (supérieur à 10 %).
Dans la première partie du nuage de points, les rendements augmentent en même
temps que le SCR obligataire et donc la prise de risque (l’achat d’une obligation
94
Figure 36 – Evolution du taux de rendement par rapport au coût en capital
plus couteuse en SCR taux) est rémunérée. Dans la seconde partie, les rémunérations
semblent stagner, il semble donc qu’au-delà d’un certain niveau de risque (aux
alentours de 8% dans l’échantillon d’étude), cette prise de risque ne semble
plus rémunérée. Ce comportement s’explique par l’inversion de la structure
par terme de taux. En effet il existe une valeur d’inversion à partir de laquelle le
rendement n’augmente plus voir diminue alors que le SCR est toujours croissant.
En analysant la première partie du nuage de points, et plus précisément les obligations
de notations différentes mais ayant le même rendement (obligations AAA et AA rendement
4,13 %, obligations AAA, AA et A rendement 3,63 % ou obligations AAA et AA rendement
2,75 %), nous constatons que plus la notation est faible, plus le risque pris doit être
important pour obtenir le même rendement. En effet pour le triplet d’obligations AAA,
AA et A rendement 3,63 %, les charges en SCR taux sont respectivement, 4,34 %, 5,14
% et 6,08 %.
L’analyse du couple rendement/SCR taux, nous a donc permis d’identifier plusieurs
tendances :
- les obligations d’état sont moins couteuses en SCR mais moins rémunératrices. Dans
la suite de l’étude nous ne focaliserons que sur les obligations non gouvernementales (pour
les projections de la dernière partie, nous utiliserons la répartition initiale du portefeuille
Corporates/Govies de 70 % / 30 % comme répartition cible afin de ne pénaliser ni le SCR
global ni le rendement du portefeuille).
- la prise de risque (augmentation du SCR taux) ne rémunère que jusqu’à un certain
seuil.
- de plus nous avons constaté que pour obtenir un même rendement, les obligations
ayant une notation plus faible nécessitent une charge en capital supérieure.
Dans la suite de notre analyse nous allons étudier le ratio Taux nominal obligataire/
95
SCR taux afin d’identifier si certaines obligations génèrent des rendements additionnels
sous la norme Solvabilité 2. Pour cela nous avons classé l’ensemble des obligations de notre
échantillon d’étude initial (toujours hors gouvernementales) par rating et par tranche de
5 % de charge de capital (le rang 0 pour le coût en capital compris entre 0 et 5 %, rang 1
pour le coût en capital compris entre 5 et 10 %...). Pour chaque tranche nous avons calculé la duration moyenne, le rendement obligataire moyen, le SCR taux moyen ainsi que
le ratio moyen rendement/SCR taux qui correspond au ROE. Nous obtenons le tableau
décrit en figure 37.
Figure 37 – Ratio RoE par tranche de coût en capital et par notation
Tout d’abord nous constatons que, pour un même rating, le ratio diminue avec la
l’augmentation de la duration. Nous constatons également que quelque soit le rating le
ratio est maximal pour les premiers rangs de coût en capital. De même nous constatons
que ce ratio est également maximal pour les plus faibles durations (pour les obligations
AAA le ratio est maximal pour une duration égale à 2,06).
L’assureur cherche à maximiser son ratio Rendement/SCR taux, tout en ayant un
portefeuille le mieux raté possible. Or nous constatons en analysant les ratios du rang
1 pour les notations AAA, AA et A, qu’à maturité proche (comprise entre 4,7 et
4,4 ans), l’impact d’une baisse de la notation est légère, en effet pour les trois
notations, les ratios oscillent à environ 60 %.
L’impact d’une hausse de la duration, dans ces niveaux de notation est lui
par contre significatif. En effet pour les obligations ayant un rating AAA, le passage
d’une duration de 2,06 à 4,51 entraine une diminution du ratio de 193 % à environ 61
%. Un assureur qui souhaiterait donc optimiser le rendement de son portefeuille, sous les
96
contraintes de Solvabilité 2, cherchera donc à diminuer le rating des obligations qu’il
achète avant d’investir sur des obligations à plus forte duration. Néanmoins
ce raisonnement n’est valable que pour les obligations AAA, AA et A. En effet
l’impact du passage A à BBB est bien plus important que l’impact d’un passage AA à
A. Nous constatons dans le tableau figure 37, que pour les obligations du rang 1, afin
de conserver un ratio d’environ 60 %, la duration moyenne tombe à 2.8 contre 4.4 en
moyenne pour les obligations ayant un rating AAA, AA et A. A duration équivalente en
rating BBB, le ratio n’est plus que d’environ 40 %. Afin de conserver un ratio élevé pour
les obligations ayant un rating BBB ou même BB, il convient de réduire fortement la
duration (un ratio de 247 % est obtenu pour un rating BBB et une duration de 0.99 et
de 152 % pour un rating BB et une duration de 0.85)
Afin d’approfondir notre étude du couple rendement/risque, nous avons représenté
graphiquement le ROE (figure 38), en fonction de la maturité et du rating en utilisant les
rendements décrits dans les hypothèses. Dans cette représentation nous avons intégré les
obligations gouvernementales.
Figure 38 – Ratio RoE par caractéristique des titres
Le graphe figure 38 nous montre un accroissement significatif de la pentification
des RoE lorsque la maturité diminue (comme indiqué par les flèches noires). De
même nous pouvons constater que la maturité/duration est le critère discriminant pour
le RoE par rapport aux notations en investment grade. De plus ce graphique confirme
ce que nous avons constaté jusqu’à présent à savoir que la zone d’efficience se situe dans
les obligations corporate A pour les maturités faibles (inférieure à cinq ans). Pour les
maturités supérieures, les obligations souveraines semblent être favorisées.
97
L’analyse du ratio Rendement nominal/ SCR, à donc permis de confirmer les éléments
de la première partie de l’étude. A savoir que pour optimiser le ratio rendement/risque
il est préférable d’investir sur des obligations ayant une maturité courte. De même afin
d’essayer d’améliorer le rendement du portefeuille, une faible dégradation du rating de
celui-ci est généralement préférables à un investissement sur une maturité plus longue. Il
convient cependant de noter que le passage de A à BBB est extrêmement pénalisant en
terme de SCR.
3.4
Synthèse des résultats
Dans cette partie nous avons commencé par étudier les sensibilités du SCR aux différentes caractéristiques obligataires, nous avons mis en avant le fait qu’il était possible
d’obtenir une perception assez fine du SCR obligataire à partir de deux variables, la notation et la maturité. Cela nous a permis d’étudier l’impact de ces
caractéristiques sur le SCR taux et nous avons ainsi constaté que les obligations ayant
une maturité longue étaient fortement pénalisées en termes de charge de capital, ainsi que les obligations possédant un rating inférieur à A.
Nous avons ensuite analysé le couple rendement/SCR taux, ce qui nous a permis de
constater que la prise de risque (augmentation du SCR taux) ne rémunère que
jusqu’à un certain seuil et que pour obtenir un même rendement, les obligations ayant
une notation plus faible nécessitent une charge en capital supérieure.
Enfin nous avons calculé le ratio Taux nominal obligataire/SCR taux pour confirmer
les premiers éléments et constater qu’il était préférable, pour améliorer le rendement du
portefeuille, sous le scope de Solvabilité 2, d’envisager une diminution du rating du
portefeuille, plutôt qu’une augmentation de la maturité, à condition d’éviter
les investissements sur les obligations ayant un rating inférieur à A car sinon
il faudrait envisager une forte diminution de la maturité afin de conserver un ratio taux
nominal obligataire / SCR taux élevé.
4
Recherche d’une allocation optimale par l’utilisation
d’indicateurs propres à Solvabilité 2
La première partie de l’étude nous a permis d’identifier une tendance dans l’optimisation de l’allocation d’actifs, à savoir une diminution de la poche action en faveur
de la poche taux fixe.
Dans la deuxième partie de l’application, nous nous sommes focalisés sur l’étude du
SCR obligataire afin d’identifier sur quel type d’obligations nous devions investir en contrepartie d’une diminution de la poche action.
Dans cette partie nous allons donc essayer de confirmer ou d’infirmer les résultats
98
obtenus suite à l’étude des indicateurs vision assurés et actionnaire en faisant intervenir
des indicateurs de risques propres à la réforme Solvabilité 2. Les investissements réalisés
dans cette partie en produits de taux sont effectués conformément aux conclusions issues
de l’étude du SCR taux réalisée précédemment, à savoir l’achat d’obligations ayant un
rating moyen A et une duration moyenne 5.
Le calcul d’un SCR étant très lourd en temps, il n’est pas possible d’établir des nuages
de points, comme il a été fait dans la première partie, pour déterminer l’allocation optimale. Nous allons donc tester certaines allocations prédéterminées.
Pour effectuer nos simulations nous sommes partis de la situation réelle du portefeuille
au 31 décembre 2010 et donc sur une allocation d’actif initiale et une richesse initiale
commune à toutes les simulations. Nous avons indiqué en données modèle, l’allocation
d’actifs cible et la durée de ré-alignement sur l’allocation cible (pour l’ensemble de nos
simulations cette durée est fixée à 2 ans).
Afin d’obtenir des résultats significatifs, nous avons réalisé nos calculs de SCR en
utilisant deux courbes des taux initiales différentes. Le figure 39 présente les deux courbes
de taux de référence, une centrale et une choquée, utilisées pour générer les deux jeux de
1000 scénarios nécessaires au calcul complet du SCR net.
Figure 39 – Courbes de référence
4.1
Projection à partir de la situation initiale
A partir des hypothèses précédemment décrites et en utilisant le jeu de scénarios créé
à partir de la courbe de taux de référence centrale, nous avons testé les allocations décrites
en figure 40.
Les résultats que nous avons obtenus sont décrits en figure 41.
99
Figure 40 – Allocations d’actifs testées à partir de la situation initiale
Figure 41 – Décomposition des SCR bruts et nets
Nous constatons que ces résultats sont contre intuitifs. En effet, nous notons que la
première et seconde allocation, bien que possédant une poche action plus faible que
la troisième (5 % et 7 % contre 11 %), possède une composante SCR action
net plus élevé (673,6 Me et 729,6 Me contre 631,2 Me pour la troisième allocation).
Ceci s’explique en réalité par le fonctionnement de l’algorithme de stratégie d’investissement du modèle. En effet, en début de projection le modèle utilise un portefeuille
d’actifs prédéfini (décrit dans la partie "Description du périmètre de l’étude") qui possède une poche actions d’environ 11,2 %. Conformément à l’algorithme, le modèle va donc
100
être amené à vendre une partie de ces actions afin d’arriver aux allocations cibles à tester
au bout de deux ans (5 % d’action dans l’allocation 1, 7 % d’action dans l’allocation 2 et
11 % dans l’allocation 3).
Or comme dans la situation initiale la poche action est en forte moins value
latente (environ 160 M e de moins value latente), le modèle en vendant ces actifs va
réaliser une partie de ces moins value, ce qui impacte directement le montant de la NAV
et donc du SCR Action, ce qui explique la hausse du SCR action net en cas de baisse du
poids de la poche action dans l’allocation cible. La ré allocation d’un portefeuille en
moins value latente cristallise les pertes ce qui impacte le SCR.
Afin d’obtenir des résultats exploitables, nous avons donc décidé d’adapter notre méthodologie d’étude à l’algorithme d’investissement de notre modèle.
4.2
Projection à partir d’une situation initiale modifiée
Nous avons décidé d’effectuer nos projections, non plus sur la situation initiale d’actifs,
mais sur une situation modifiée. Lors de la première partie de l’étude, nous avions conclu
qu’il fallait diminuer le poids de la poche action en faveur de la poche taux fixe. Nous
avons donc décidé de modifier directement l’allocation initiale en la faisant directement
coller à l’allocation cible. Nous avons également choisi de ne pas modifier la richesse du
portefeuille d’une allocation à l’autre, les montants de plus ou moins value latente sont
donc identiques sur chaque allocation testée. De même nous avons fait le choix de ne pas
modifier la structure de la poche de taux initiale, la modification de l’allocation globale
du portefeuille a donc été effectuée en modifiant la valeur bilan et la valeur marché des
éléments de la poche action du portefeuille afin de faire varier le poids de celle ci. En
contrepartie nous avons fait modifier par homothétie les nominaux et valeur boursière des
actifs de taux afin que la valeur globale du portefeuille reste inchangée d’une allocation
testée à l’autre.
Nous avons utilisé les mêmes hypothèses de projections que précédemment.
Nous avons testé les six allocations décrites en figure 42 et 43 sur les deux jeux de
scénarios.
Sur la base du jeu de scénario créé à partir de la courbe de référence centrale, la modification de méthodologie nous permet d’obtenir les résultats décrits en figure 44 et 45.
La première chose que l’on constate est le fait que contrairement à l’étude réalisée sur
la situation initiale, les allocations les plus favorables en termes de SCR brut
et net sont celles qui possèdent l’allocation action la plus basse. En effet en
déformant directement l’allocation initiale et en conservant la même richesse pour toutes
les allocations testées, il n’y a plus de moins value réalisée qui viennent impacter défavorablement le SCR action net. Nous allons analyser en détail l’évolution du SCR.
Tout d’abord, nous pouvons constater que d’une allocation à l’autre, les SCR contrepartie sont égaux. Cela s’explique par le fait que les éléments soumis à ce risque sont
les mêmes d’une allocation à l’autre. En effet on retrouve dans tous les cas les mêmes ex-
101
Figure 42 – Allocations d’actifs testées à partir de la situation déformée
Figure 43 – Allocations d’actifs testées à partir de la situation déformée
positions de type 1 (couverture CAPs présente dans notre société d’étude, le montant de
cash en banque, les prêts de titres...) et de type 2 (créances nées d’opérations d’assurance,
nées d’opérations diverses ou sur divers débiteurs).
Globalement en analysant la décomposition des SCR bruts et nets, nous notons que la
composante marché est la plus couteuse en SCR essentiellement à cause du SCR action,
taux et spread. Nous notons également que le SCR marché brut et net augmente en même
temps que le poids de l’allocation action.
Les SCR action bruts et nets diminuent linéairement en fonction que l’exposition en action diminue, cela s’explique simplement par le fait que le coût en SCR
action est forfaitaire et grâce à la déformation initiale de l’actif, il n’y a plus de moins
value réalisée qui viendrait alourdir ces SCR action.
Comme la diminution de la poche d’action est effectuée au profit de la poche taux, il
est tout à fait naturel que lorsque les SCR action bruts et nets diminuent, les SCR taux
102
Figure 44 – Décomposition des SCR bruts et nets
Figure 45 – Décomposition des SCR bruts et nets
bruts et nets augmentent. Néanmoins il convient de noter que la poche action est plus
pénalisante que la poche taux. En effet pour le passage de l’allocation 5 % à l’allocation
7 %, le SCR action brut augmente de 306,7 Me, contre une diminution de seulement
17,1 Me pour le SCR taux brut. De même pour le SCR net action, celui-ci augmente de
103
67,3 Me contre une diminution de seulement 21,6 Me du SCR taux net (l’effet est moins
important sur le SCR net grâce à un important ajustement Participation aux bénéfices).
Cela se vérifie sur chacune des allocations testées, en moyenne nous constatons que, pour
1 % de taux transféré en action, le SCR action brut augmente environ 20 fois
plus vite que ne diminue le SCR taux brut (cela est réduit à environ 3 fois
sur les SCR net) et donc clairement, sous Solvabilité 2, les actions sont défavorisées par
rapport aux produits de taux.
En analysant les SCR spread, nous constatons que le SCR spread brut et le SCR spread
net n’évoluent pas de la même façon d’une allocation testée à l’autre. Nous notons que le
SCR spread brut augmente lorsque la part action dans l’allocation diminue et
donc la part taux augmente (le SCR spread brut passe de 1036 Me à 1080 Me lorsque
l’allocation action passe de 9 % à 7 %). Cela s’explique aisément par l’augmentation de la
poche obligataire. Néanmoins le SCR spread net évolue de façon inverse, à savoir
qu’il diminue lorsque la part action dans l’allocation diminue (le SCR spread net passe
de 271 Me à 248 Me lorsque l’allocation action passe de 9 % à 7 %). Cela s’explique par
le fait que la capacité d’absorption du choc soit supérieure dans l’allocation à 7 % que
dans l’allocation à 9 %. Dans la situation où la poche action pèse 7% du portefeuille, des
richesses plus importantes permettent une meilleure absorption du choc ce qui explique
l’évolution du SCR spread net par rapport au SCR spread brut. Nous constatons donc
que l’analyse de l’évolution du SCR spread net, nous confirme l’intérêt, sous
Solvabilité 2, de réduire la poche action.
Le SCR immobilier brut est, lui indépendant de l’allocation testée. En effet, comme la
poche immobilière est identique d’une allocation à l’autre, il est tout à fait normal
que les montants de SCR immobilier brut soient identiques. Cependant, les montants de SCR immobilier net varient d’une allocation à l’autre, à savoir qu’il diminue
lorsque l’allocation action diminue (passage de 75 Me à 70 Me lorsque l’allocation
action passe de 9 % à 7%). Cela s’explique par les mêmes raison que l’évolution du SCR
spread net, à savoir une plus forte capacité d’absorption du choc. Nous voyons donc que,
même pour les classes d’actifs non affectées en soi par la modification de la poche action,
une meilleure capacité d’absorption du choc pour les allocations à faible niveau d’action, incite à réduire le poids de la poche action.
Contrairement aux SCR marché bruts et nets qui augmentent en même temps que l’exposition action, on peut remarquer que les SCR vie bruts et nets diminuent lorsque
l’allocation action augmente, le SCR net passe de 148,9 M e à 143,05 M e lorsque
l’allocation passe de 5 % à 7 % d’action (de 637,6 M e à 619,5 M e pour le SCR brut).
Nous constatons que l’ensemble des composantes du SCR vie brut et net (mortalité, rachat, frais et catastrophe) évolue de la même façon. Cela s’explique par le fait que le SCR
vie est calculé sur la base du passif (choc sur le taux de décès appliqué au passif, choc sur
le taux rachat appliqué au montant des encours ...) et non sur la base de l’actif, comme
le SCR marché. Or dans les projections effectuées avec des allocations actions faibles, le
taux de revalorisation du passif est globalement inférieur à celui des projections réalisées
104
avec une allocation d’action plus élevée (le rendement action est globalement supérieur
au rendement taux), ce qui permet de moins subir les chocs vie et donc d’obtenir un SCR
vie brut et net plus faible. Néanmoins cette diminution des SCR vie bruts et nets est
très largement inférieure à l’augmentation des SCR actions.
L’analyse des allocations testées à partir de la situation initiale modifiée, sur la base
du jeux de scénario central, nous a permis de constater que la réforme Solvabilité 2
est extrêmement pénalisante pour les allocations ayant une part action élevée.
Nous allons essayer de confirmer cette analyse à partir des résultats obtenus grâce aux
projections effectuées sur la base des scénarios choqués. Les figures 46 et 47 présentent la
décomposition des SCR bruts et nets obtenus sur le jeux de scénario choqué.
Figure 46 – Décomposition des SCR brut et net
Commençons par analyser les différences entre les deux séries de projection. Tout
d’abord nous constatons que globalement les SCR bruts et nets sont plus élevés
dans les projections choquées. Cela est dû à la forte augmentation de la composante SCR vie, elle même causée par l’augmentation du risque SCR rachat, passage de
75,6 Me pour le SCR rachat net pour l’allocation 9 % avec la courbe des taux de référence
initiale, à 292,6 Me pour le SCR équivalent avec la courbe des taux de référence choquée
(les SCR mortalité, frais et catastrophe sont globalement stables dans les deux jeux de
projections). Cela s’explique par l’augmentation des rachats massifs. En effet, dans
les projections réalisées avec les courbes choquées, le taux commercial, calculé grâce aux
courbes des taux des scénarios, sera bien plus élevé que le taux que notre société d’étude
va pouvoir servir et donc cela entrainera une insatisfaction de nos assurés qui auront une
105
Figure 47 – Décomposition des SCR brut et net
plus forte tendance à racheter.
La composante SCR marché net a globalement diminué par rapport aux projections centrales réalisées contrairement aux SCR marché bruts qui eux ont augmenté.
La diminution des SCR marché net s’explique par s’explique par la diminution du
coût des options (financement des taux minimum garanti et taux annuel garanti ainsi
que la garantie en capital) dans les projections réalisées sur un jeu de scénario choqué à
la hausse, ce qui entraine une augmentation de la capacité d’absorption du choc. Cependant cette diminution est bien plus faible que l’augmentation du SCR marché net, ce qui
explique l’augmentation du SCR global.
Nous allons maintenant essayer de confirmer les analyses réalisées sur le premier jeu
de projection.
Nous constatons que l’ensemble des conclusions issues du premier jeux de résultats
se vérifient sur ces projections. En effet nous constatons que globalement les SCR bruts
et nets augmentent en même temps que la part actions dans l’allocation d’actifs. Cela
est encore causé par une augmentation des SCR action bien que faiblement réduit par la
baisse des SCR taux et SCR vie.
Nous pouvons donc conclure que, sur les deux courbes des taux de référence
utilisées pour la création des jeux de scénarios, la réforme Solvabilité 2, incite fortement à une réduction de l’allocation action.
106
4.3
Taux de couverture Solvabilité 2
A partir des SCR nets calculés dans la partie précédente, nous allons maintenant nous
intéresser aux taux de couverture afin d’analyser l’impact de l’allocation d’actifs sur ces
ratios.
Description des éléments éligibles
Nous allons présenter les éléments qui constituent les fonds propres éligibles à la couverture du SCR. La figure 48 représente les éléments éligibles obtenus pour l’allocation
contenant 9 % d’action.
Figure 48 – Description des éléments éligibles associés à l’allocation 9 % calculés à partir
du jeux de scénarios central
Nous constatons que les fonds propres éligibles, avant Grandfathering, sont composés
de fonds propres Tier 1 et Tier 3 uniquement, pour un total d’environ 966 Me . En
analysant la composition de ce montant, nous pouvons remarquer que les limites de Tier
3 sont atteintes.
La clause de Grandfathering, permet de faire basculer les 274 Me de TSDD Tier 3 en
Tier 2 et ainsi d’augmenter considérablement le montant global de fonds propres éligibles.
De la même façon, nous allons étudier le montant de fonds propres éligibles pour
l’ensemble des allocations testées.
D’une allocation à l’autre, seul le poste réserve de réconciliation va varier.
En effet le capital social, les Autres réserves (composé des bénéfices non redistribués, des
réserves pour fonds de garantie ...), le montant de TSDD et de TSDI sont des caractéristiques de la société d’étude et ne varient pas d’une allocation à l’autre.
107
La réserve de réconciliation est composée des ajustements sur l’actif, sur les provisions
techniques et sur les autres passifs. Dans les différentes allocations testées, cette réserve
varie car les montants d’impôts différés actif ou passif, qui la composent, varient et ce à cause de l’évolution des montants de Best Estimate et de valorisation de
l’actif .
Le montant total de fonds propres éligibles Tier 1 va donc évoluer. Le montant total
de fonds propres éligibles Tier 2 et Tier 3 ne variera pas d’une allocation d’actif à l’autre,
cependant comme le montant global de fonds propres éligibles va évoluer, la limite de
Tier 3 admissible (15 % du montant total) va elle aussi évoluer et donc une plus grande
quantité d’éléments Tier 3 sera acceptée pour couvrir le SCR.
Pour les différentes allocations testées avec une situation initiale déformée, nous obtenons donc les montants de fonds propres éligibles décrits dans la figure 49.
Figure 49 – Description des éléments éligibles associés aux différents allocations testées
A première vue, nous notons que le montant global d’éléments éligibles augmente au fur et à mesure que l’allocation action diminue et ce pour les deux jeux
de scénarios. Comme expliqué précédemment, nous pouvons constater que ces évolutions
sont causées essentiellement par les mouvements de la réserve de réconciliation (les éléments de Tiers 3 varient seulement car la part admissible varie). La variation
sur le montant de réserve de réconciliation s’explique essentiellement par une variation
de la valeur de l’ajustement sur les provisions techniques. Cet ajustement est calculé en
sommant l’ensemble des différences entre la valorisation des provisions techniques sous
Solvabilité 2 et la valorisation de ces mêmes provisions en French Gaap (dans notre cas
d’étude il s’agit essentiellement de la différence entre les provisions mathématiques euro
et le Best Estimate euro associé). Or dans les allocations possédant une part action plus
élevée, le passif aura tendance à être mieux revalorisé et donc le Best Estimate du passif
sera supérieur. L’écart entre la valorisation French Gaap et le Best Estimate Solvabilité
2 sera plus faible entrainant une diminution de la réserve de réconciliation est donc des
éléments éligibles.
En analysant les écarts de montant d’éléments éligibles entre le scénario centrale
et le scénario choqué, nous constatons que ceux ci sont supérieurs pour les projections effectuées sur le scénario choqué. Cela s’explique par le fait que dans le calcul
108
des Best Estimate, les valeurs des encours sont actualisées à des taux plus élevés et donc
le Best Estimate, qui correspond à la somme de ces actualisations sera inférieur, ce qui
augmente l’écart entre la valorisation Solvabilité 2 et French Gaap et par conséquent la
réserve de réconciliation.
Maintenant que nous disposons du coût en capital associé à chaque allocation testée
ainsi que du montant d’éléments éligibles associé, nous allons calculé le taux de couverture
obtenue pour chacune des allocations testées. Le figure 50 présente les résultats obtenues.
Figure 50 – Description des Taux de couverture associés aux différents allocations testées
Nous constatons que quelque soit l’allocation d’actif testée, le taux de couverture après
Grandfathering est supérieur à 1. En effet cette clause est très favorable pour le montant
d’éléments éligibles et donc sur le taux de couverture. Par contre, nous notons que, avant
Grandfathering, sur le scénario central, deux allocations d’actifs entrainent un taux de
couverture inférieur à 1 (94,4 % pour l’allocation 10 % et 80,6 % pour l’allocation 11 %),
ce qui prône pour une réduction de la poche action pour arriver à une part action inférieur
à 10%.
Les taux de couverture calculé sur le scénario choqué sont globalement supérieur et
ce malgré des SCR nets en hausse, grâce à un montant d’éléments éligibles bien supérieur.
4.4
Synthèse des résultats
Les projections effectuées sur la situation initiale déformée mettent en avant l’impact
d’une diminution de la poche action sur le SCR de la société d’étude et donc sur son
taux de couverture. En effet on constate que le poids de la composante action du SCR de
marché net diminue de plus de moitié, soit environ 280 Me entre l’allocation 11 % d’action
et l’allocation 5 % d’action, alors que dans le même temps le poids de la composante taux
n’augmente que de 80 Me .
Concernant le taux de couverture, nous constatons que quelque soit l’allocation d’étude,
après clause de Grandfathering, celui ci est supérieur à 100 % (au minimum égale à 112 %
pour l’allocation 11 % d’action). Néanmoins hors clause de Granffathering, nous constatons que le taux de couverture n’est supérieur à 100 % qu’à partir de l’allocation 9 %
d’action), donc au vue du caractère temporaire de cette clause il convient de réduire
109
le poids de la poche action pour que celle ci soit inférieur à 9 % afin d’être suffisamment couvert même avant clause de grandfathering. De plus l’analyse des résultats
obtenus à partir de la courbe de taux choquée montre la forte volatilité du taux de couverture, les scénarios utilisés ont un réel impact sur ce taux et donc une situation
moins favorable économiquement pourrait handicaper ce ratio de couverture,
ce qui milite pour une réduction encore plus grande de la part action dans l’allocation
d’actifs.
Il convient toutefois d’attendre des conditions de marché plus favorable pour
effectuer cette diminution car, comme montré dans la partie "Projection à partir de la
situation initiale", la réalisation de moins value lors de cession d’actif impacte
fortement le SCR action et donc le taux de couverture.
110
Conclusion
La reforme Solvabilité 2 amène chaque assureur à adapter son niveau de fonds propres
en fonction de son profil de risque. Elle bouleverse le modèle économique de l’assurance
par la constatation, en fonds propres, des variations instantanées des marches financiers
alors que le modèle économique des assureurs vie repose sur le long terme. Pour mesurer la
volatilité des capitaux propres des sociétés d’assurance, de nombreux tests sont effectués
(test Qis, test Long Term Guarantee Assessment).
La reforme Solvabilité 2 incite donc aujourd’hui les assureurs à remettre en cause leur
allocation d’actifs afin de limiter la volatilité des leurs fonds propres.
Dans le cadre de ce mémoire d’actuariat, nous avons essayé d’analyser cette évolution
à travers une application sur une société d’assurance vie.
A partir des outils et hypothèses retenues et sur le fondement des normes actuelles,
les différentes simulations ont permis de mettre en exergue les éléments suivants :
- L’analyse des indicateurs de performance/risques vision assuré et vision actionnaire
incite à réduire l’allocation action de notre société au profit de la poche taux (pour arriver
à environ 9 % d’action).
- Le SCR taux, fonction croissante de la duration et du rating, est très favorable aux
obligations d’état mais défavorable aux obligations ayant un rating BBB ou inférieur et/ou
une duration élevée.
- D’après l’analyse du couple rendement/risque, la prise de risque (augmentation du
SCR taux) ne rémunère que jusqu’à un certain seuil (aux alentours d’un SCR brut de 8%
dans l’échantillon d’étude). De plus, pour améliorer le rendement, il est préférable, sous
le scope de Solvabilité 2, d’opter pour des obligations ayant un rating inférieur plutôt que
d’investir sur des durations longues.
- L’analyse des taux de couverture met en avant leur forte volatilité et confirme la
nécessité de réduire le poids de la poche actions.
Cependant l’analyse des SCR à partir de la situation initiale a montré que la réallocation cristallise les pertes et a un fort impact sur le niveau des SCR. Il convient donc
d’attendre des conditions plus favorables pour se désensibiliser en actions.
L’ensemble de ces résultats apportent un éclairage quantitatif sur le risque encouru par
les compagnies d’assurance. Néanmoins ils restent fonction des hypothèses initialement
retenues.
Les normes n’étant pas encore définitives, une amélioration éventuelle pourrait être la
mise en place des éléments amortisseurs (prime contra cyclique) pour limiter la volatilité.
111
Bibliographie
Documentation Barry and Hilbert
- StochasticV olatilityJ umpD if f usionC alibrationD ynamicsI mplementation.pdf
- TechnicalN ote1 9981 1AC alibrationo fa2F actorV asicekM odel[1].pdf
- LiborM arketM odel−M arketC onsistentC alibrationM ethodology.pdf
Mémoires
- Modélisation et allocation stratégique d’actifs dans le cadre du référentiel Solvabilité
2 par L . ALLAG, 2008
- Allocation stratégique d’actifs et ALM pour les régimes de retraite par A. FALEH ,
2011
- Pourquoi et comment calibrer le risque de marché sous Solvabilité 2 ? Le rôle central
du générateur de scénarios économiques par M.DRUAIS, 2012
- Évaluation du risque de marché d’un contrat d’épargne en euros sous Solvabilité II :
formule standard et portefeuille répliquant par L.DELAGE 2011
- Eurodiversifié : allocation stratégique d’actifs sous Solvabilité 2 par A. MAZURIE,
2011
- Allocation d’actifs stratégique et diversification entre scénarios macroéconomiques
par Pola GIANNI, 2013
Présentations
-
Modèles de la courbe des taux d’intérêt, ENSAE, P. PRIAULET
Merton’s Jump Diffuction Model, Bloomberg LP, P.CARR
Allocation d’actifs, Théorie VS pratique, Goldman Sachs Asset management
Draft Implementing measures Solvency 2
Gestion d’actifs et Solvabilité par C.DESCURE et C.BOREAN
Sites Internet
http ://www.ffsa.fr
https ://eiopa.europa.eu/
http ://www.acam-france.fr/
http ://www.qis5.fr/
http ://www.ressources-actuarielles.net/memoires
http ://www.acp.banque-france.fr/international/les-grands-enjeux/solvabilite-ii.html
112
Annexes
Articles du Code des Assurances
Article A. 132-1
Les tarifs pratiqués par les entreprises pratiquant des opérations mentionnées au 1˚de
l’article L. 310-1, en ce compris celles mentionnées à l’article L. 143-1 doivent être établis
d’après un taux au plus égal à 75 % du taux moyen des emprunts de l’État français calculé
sur une base semestrielle sans pouvoir dépasser, au-delà de huit ans, le plus bas des deux
taux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus. Pour les contrats à primes
périodiques ou à capital variable, quelle que soit leur durée, ce taux ne peut excéder le
plus bas des deux taux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus.
En ce qui concerne les contrats libellés en devises étrangères, le taux d’intérêt technique
ne sera pas supérieur à 75 % du taux moyen des emprunts d’État à long terme du pays
de la devise concernée calculé sur base semestrielle ou, à défaut, de la référence du taux à
long terme pertinente pour la devise concernée et équivalente à la référence retenue pour
l’euro.
Pour les contrats au-delà de huit ans, le taux du tarif ne pourra en outre être supérieur au plafond établi par les réglementations en vigueur dans le pays de chaque devise
concernée, pour les garanties de même durée, sans pouvoir excéder 60 % du taux moyen
visé à l’alinéa précédent. Il en est de même pour les contrats à primes périodiques.
Le taux moyen des emprunts d’État à retenir est le plus élevé des deux taux suivants :
taux à l’émission et taux de rendement sur le marché secondaire.
Les règles définies au présent article sont à appliquer en fonction des taux en vigueur
au moment de la souscription et ne sont pas applicables aux opérations de prévoyance
collective visées au chapitre Ier du titre IV du livre IV du code des assurances. Dans le
cas de versements non programmés aux termes du contrat, ces règles sont à apprécier au
moment de chaque versement.
Article L. 132-20
L’assureur n’a pas d’action pour exiger le paiement des primes. Le défaut de paiement
d’une prime n’a pour sanction, après accomplissement des formalités prescrites par l’article
L. 113-3, que la résiliation pure et simple de l’assurance ou la réduction de ses effets.
Dans les contrats d’assurance en cas de décès faits pour la durée entière de la vie de
l’assuré, sans condition de survie, et dans tous les contrats où les sommes ou rentes assurées sont payables après un certain nombre d’années, le défaut de paiement ne peut avoir
pour effet que la réduction du capital ou de la rente assurée, nonobstant toute convention
contraire, pourvu qu’il ait été payé au moins trois primes annuelles.
Article A. 132-3
113
I.-Pour un exercice donné, le montant total de participations aux bénéfices garanti par
l’entreprise au titre de l’article A. 132-2 devra être inférieur à un plafond calculé comme
la différence, lorsqu’elle est positive, entre :
-80 % du produit de la moyenne des taux de rendement des actifs de l’entreprise
calculée pour les deux derniers exercices, par les provisions mathématiques des contrats
relevant des catégories 1, 2, 3, 4, 5 et 7 mentionnées à l’article A. 344-2 au 31 décembre
de l’exercice précédent ; et
-la somme des intérêts techniques attribués aux contrats mentionnés au tiret précédent
lors de l’exercice précédent.
Pour le calcul mentionné au premier tiret, l’entreprise substitue aux provisions mathématiques au 31 décembre de l’exercice précédent les provisions mathématiques estimées
au 31 décembre de l’exercice si celles-ci apparaissent devoir être plus faibles.L’entreprise
substitue alors pour le même calcul la somme des intérêts techniques estimée au 31 décembre de l’exercice à la somme des intérêts techniques lors de l’exercice précédent.
II.-Les taux garantis mentionnés à l’article A. 132-2 sont exprimés sur une base annuelle et sont fixés sur une durée continue au moins égale à six mois et au plus égale à la
période séparant la date d’effet de la garantie de la fin de l’exercice suivant.
Toutefois cette durée peut être inférieure à six mois pour un souscripteur ou adhérent
donné, dès lors que l’ensemble des assurés d’un contrat collectif ou de contrats individuels
ayant les mêmes conditions d’affectation de la participation aux bénéfices bénéficie de
cette garantie depuis le début de l’exercice.
III.-Les taux garantis mentionnés au II ne peuvent excéder le minimum entre 150 % du
taux d’intérêt technique maximal défini aux articles A. 132-1 et A. 132-1-1 par référence
à 75 % du taux moyen des emprunts d’Etat à la date d’effet de la garantie et le plus élevé
des deux taux suivants :
120 % de ce même taux d’intérêt technique maximal et
110 % de la moyenne des taux moyens servis aux assurés lors des deux derniers exercices
précédant immédiatement la date d’effet de la garantie.
Le taux moyen servi aux assurés est défini à chaque exercice pour l’ensemble des
contrats relevant des catégories 1, 2, 3, 4, 5 et 7 mentionnées à l’article A. 344-2 comme
le montant cumulé des intérêts techniques et des participations aux bénéfices attribuées
aux assurés rapporté à la moyenne annuelle des provisions mathématiques.
IV.-Par dérogation aux dispositions des I et III, jusqu’à la clôture du deuxième exercice
suivant la délivrance de son agrément, une entreprise peut proposer des taux d’intérêt tels
que ceux mentionnés au II qui ne doivent pas excéder 120 % du taux d’intérêt technique
maximal défini aux articles A. 132-1 et A. 132-1-1 par référence à 75 % du taux moyen
des emprunts d’Etat à la date d’effet de la garantie.
V.-Le montant total de participations aux bénéfices garanti au titre de l’article A.
132-2 pour l’exercice en cours mais également le cas échéant pour l’exercice suivant doit
être imputé sur le montant mentionné au premier alinéa du I.
114
Toutefois, seul le montant de participations aux bénéfices garanti au titre de l’exercice
en cours s’impute sur le montant mentionné au premier alinéa du I lorsque l’entreprise
propose un taux dont elle n’a pas fixé explicitement la valeur.
Article A. 331-6
Le compte financier mentionné à l’article A. 331-4 comprend, en recettes, la part du produit net des placements calculée suivant les règles mentionnées à l’article A. 331-7 et,
en dépenses, sur autorisation de l’Autorité de contrôle prudentiel et après justifications,
la part des résultats que l’entreprise a dû affecter aux fonds propres pour satisfaire au
montant minimal réglementaire de la marge de solvabilité.
Article A. 331-7
Pour l’établissement du compte défini à l’article A. 331-6, la part du résultat financier
à inscrire en recettes de ce compte est égale à la somme des deux éléments suivants :
1. Le produit du montant moyen au cours de l’exercice des provisions techniques brutes
de cessions en réassurance des contrats des catégories mentionnées aux 1 à 7 de l’article
A. 344-2, et diminuées de la valeur, calculée conformément aux articles R. 332-19 et R.
332-20, des actifs transférés mentionnés au 2, par le taux de rendement des placements
(tableaux a à h) figurant à l’annexe à l’article A. 344-3 (point 1.4 A du modèle d’annexe) ;
2. Le montant total des produits financiers nets afférents à des actifs transférés avec
un portefeuille de contrats par une entreprise mentionnée au 1˚ de l’article L. 310-1 et
affectés du code T dans l’état détaillé des placements figurant à l’annexe à l’article A.
344-3 (point 1.4 A du modèle d’annexe) autres que ceux mentionnés au 12 de l’article A.
344-2.
Le taux de rendement prévu au 1 du présent article est égal au rapport :
- du produit net des placements considérés, figurant à l’annexe à l’article A. 344-3,
au compte technique de l’assurance vie, à la rubrique II.2 "Produits des placements"
diminuée de la rubrique II.9 "Charges des placements", déduction faite des produits des
placements mentionnés aux a, b et c du I de l’article R. 344-1 ;
- au montant moyen, au cours de l’exercice, des placements mentionnés dans les tableaux a à h de l’état détaillé de la même annexe, autres que ceux mentionnés aux a, b
et c du I de l’article R. 344-1.
Résultats Allocations Gestion Alternative, Private Equity
et Immobilier
115
Figure 51 – Nuage de points Allocation Gestion Alternative et Private equity - Moy VA
Résultats
Figure 52 – Nuage de points Allocation Immobilier - Moy taux PPE
116