equations - Maths et tiques

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EQUATIONS
But : Trouver x !
C'est-à-dire : isoler x dans l’équation.
x = nombre
Les différents éléments d’une équation sont liés ensemble par des opérations.
Nous les désignerons « liens faibles » (+ et -) et « liens forts » (x et :). Ces derniers marquent
en effet une priorité opératoire. Pour signifier que le lien est fort, le symbole « x » peut être
omis.
Dans l’équation ci-dessus, par exemple, 2x et 5x sont juxtaposés par le lien faible « − ». Par
contre, 2 et x sont juxtaposés par un lien fort « x » qui est omis.
Dans l’équation 2x + 5x − 4 = 3x + 2 + 3x, on reconnaît des membres de la famille des x et
des membres de la famille des nombres juxtaposés par des « liens faibles ».
Pour obtenir « x = nombre », on considèrera que la famille des x habite à gauche de la
« barrière = » et la famille des nombres habite à droite.
Résoudre une équation, c’est clore deux petites réceptions où se sont réunis des x et des
nombres. Une se passe chez les x et l’autre chez les nombres. La fête est finie, chacun rentre
chez soi.
On sera ainsi menés à effectuer des mouvements d’un côté à l’autre de la « barrière = » en
suivant des règles différentes suivant que le lien est fort ou faible.
I. Résolution d’équations « avec liens faibles »
Méthode:
Résoudre : 3x - 4 = 2x + 2
On reconnaît des membres de la famille des x et des membres de la
famille des nombres juxtaposés par « des liens faibles » : + ou La famille des x habite à gauche de la « barrière = » et la famille des
nombres habite à droite de la « barrière = ».
1ère étape : chacun rentre chez soi !
3x -4 = 2x +2
3x -2x = 2 +4
2e étape : réduction (des familles)
x=6
Pour un lien faible, chaque déplacement par dessus « la barrière = » est
accompagné par un changement de signe.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
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Exercices conseillés
Ex
« Equations »
n°1 (page 4)
II. Résolution d’équations « avec liens forts »
1) Liens forts uniquement
Méthode:
Résoudre les équations suivantes :
1)
2)
3)
1) 2 x x = 6
x = 6 :2
x=3
Pour isoler x, il faut casser le dernier lien fort ; ici 2 x.
Pour cela, on balance la multiplication du nombre, ici 2 x, de l’autre côté
de la « barrière = » ce qui se traduit par une « inversion » de l’opération
déplacée, soit :2
2) 5x = 12
x = 12 :5
x = 2,4
3) 7x = 21
x = 21 :7
x=3
Exercices conseillés
http://euler.acversailles.fr/webMat
hematica/pi/equation
s/latex/equations13.j
sp
En devoirs
http://euler.acversailles.fr/webMathe
matica/pi/equations/la
tex/equations13.jsp
2) Liens forts et liens faibles dans la même équation
Méthode:
Résoudre :
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3
1.
2.
3.
4.
Etapes successives :
1. Chacun rentre chez soi : liens faibles
2. Réduction
3. Casser le dernier lien fort
4. Simplification (si besoin)
Exercices conseillés
Ex
« Equations »
n°2 (page 4)
En devoirs
http://euler.acversailles.fr/webMathe
matica/pi/equations/la
tex/equations5.jsp
Exercices complémentaires
Ex1 (page4)
p108 n°34, 35
p108 n°26 à 33 p113 n°104
p108 n°38, 39
p108 n°42
p109 n°45
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar
Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en débarrasser au
plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée
chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
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EQUATIONS
EXERCICE 2 :
Résoudre les équations : 1) −8x − 4 = 7x 2) 5x + 10 = −4 3) −2x − 3 = 7 − 9x 4) x − 8 = 6x − 5 5) 2x − 6 = −10x − 6 6) 1 − 9x = 5 − 4x 7) −3x = 1 8) 3x + 10 = 7x 9) 6 − 7x = 8x + 1 10) −3x − 10 = 10x + 4 11) 4x + 10 = 2x + 3 12) −8x − 9 = 2 13) 2x + 9 = x − 1 14) 5x + 8 = 4x + 2 15) 3 − 3x = 9x − 1 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de
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