Correction du Bac Blanc de février 2016

Terminale ES-L
Corrigé du Bac Blanc de février 2016
Correction du Bac Blanc de février 2016
Exercice 1 :
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
1. La direction d’une entreprise décide de diminuer de 6 % par an pendant 5 ans, le budget consacré aux frais de
déplacements de ses commerciaux.
Diminuer de 6 % revient à multplier par 0,94. Ainsi, une dininution de 6 % par an pendant 5 ans revient à
multiplier par 0,945 ≈ 0,734, soit une baisse de 26,6 % environ ((1 − 0,734) × 100).
2. Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La production mensuelle varie entre 0 et 10 000
clés.
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la fonction B définie sur l’intervalle
[0 ; 10] par B(x) = −x2 + 10x − 9, où x représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.
a) Dressons le tableau de signe de B(x) sur l’intervalle [0 ; 10].
Il s’agit d’un polynôme du second degré :
∆ = b2 − 4ac = 102 − 4 × (−1) × (−9) = 64
∆ > 0, donc√il existe deux √
solutions réelles distinctes.
−b − ∆
−10 − 64
−10 − 8
−18
x1 =
=
=
=
=9
2a
2 × (−1)
−2
−2
√
√
−10 + 64
−10 + 8
−2
−b + ∆
=
=
=
=1
x2 =
2a
2 × (−1)
−2
−2
D’où le tableau de signes de B(x) sur [0 ; 10] :
x
0
−x + 10x − 9
2
a=−1<0
1
−
9
+
0
0
10
−
b) B est dérivable sur [0 ; 10] et B ′ (x) = −2x + 10, ∀x ∈ [0 ; 10].
−2x + 10 = 0 ⇐⇒ x = 5
D’où le tableau de variation de B(x) sur [0 ; 10] :
x
−2x + 10
0
5
+
a=−2<0
0
10
−
16
B(x)
−9
−9
B est croissante sur [0 ; 5] et décroissante sur [5 ; 10].
c) D’après la question 2) a, le nombre de clés USB à produire et à vendre pour que le bénéfice mensuel soit
positif est compris entre 1 000 et 9 000.
d) D’après la tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 10], le bénéfice mensuel est maximal pour une
production de 5 000 clés USB et ce bénéfice maximal est alors de 16 000 e.
3. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = (1 + x)e3x+1 .
a) f (x) > 0
⇐⇒
1+x>0
car e3x+1 > 0 sur R
S =] − 1 ; +∞[.
⇐⇒
x > −1.
b) f est dérivable sur R comme produit et composée de fonctions dérivables
f ′ (x) = 1 × e3x+1 + (1 + x)(3e3x+1 )
= (1 + 3 + 3x)e3x+1
= (4 + 3x)e3x+1
Ainsi, f ′ (x) = (4 + 3x)e3x+1 ,
http://mathematiques.ac.free.fr
∀x ∈ R.
1/5
27 février 2016
Terminale ES-L
Corrigé du Bac Blanc de février 2016
Étudions le signe de f ′ (x) sur R :
∗ 4 + 3x = 0
x = − 34
⇐⇒
∗ e3x+1 > 0 sur R donc le signe de f ′ (x) dépend du signe de 4 + 3x sur R.
∗ D’où le tableau de variation de f sur R
x
f ′ (x)
− 43
−∞
−
a=3>0
0
+∞
+
3×(− 43 )+1
f (− 43 ) = (1 − 43 )e
f (x)
= − 31 e−3
− 13 e−3
f est décroissante sur ] − ∞ ; − 43 ] et croissante sur [− 34 ; +∞[.
3×(− 13 )+1
c) f (− 13 ) = (1 − 13 )e
= 23 e0 =
2
3
=⇒
f (− 13 ) = 23 .
Exercice 2 :
Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan
sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes, et d’ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon
informatique propose une extension de garantie.
Le responsable constate que 28 % des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48 % pour un ordinateur portable.
Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable,
ordinateur fixe, et qu’il peut souscrire ou non une extension de garantie.
Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5 % ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant
acquis un ordinateur fixe, 12,5 % ont souscrit une extension de garantie.
On choisit au hasard un de ces acheteurs.
On note :
T l’évènement « l’acheteur a choisi une tablette » ;
M l’évènement « l’acheteur a choisi un ordinateur portable » ;
F l’évènement « l’acheteur a choisi un ordinateur fixe » ;
G l’évènement « l’acheteur a souscrit une extension de garantie ».
On note aussi F , M , T , G les évènements contraires.
1.
0,05
G
0,95
G
?
G
?
G
0,125
G
0,875
G
T
0,28
0,48
M
0,24
F
La probabilité d’un chemin est égale au produit des poids situés sur les branches de ce chemin.
2. P (F ) = 1 − P (T ) − P (M ) = 1 − 0,28 − 0,48 = 0,24
P (F ∩ G) = PF (G) × P (F ) = 0,125 × 0,24 = 0,03.
http://mathematiques.ac.free.fr
2/5
=⇒
P (F ) = 0,24
27 février 2016
Terminale ES-L
Corrigé du Bac Blanc de février 2016
3. On sait de plus que 12 % des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie
c’est-à-dire P (M ∩ G) = 0,12
0,12
P (M ∩ G)
=
= 0,25.
PM (G) =
P (M )
0,48
La probabilité qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie est 0,25.
4. T , M et F forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totates,
P (G) = P (G ∩ T ) + P (G ∩ M ) + P (G ∩ F )
= PT (G) × P (T ) + PM (G) × P (M ) + PF (G) × P (T )
= 0,05 × 0,28 + 0,25 × 0,48 + 0,125 × 0,24
= 0,164
Ainsi, P (G) = 0,164.
Exercice 3 :
Partie A
4
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe
C représente une fonction f définie sur l’ensemble R
des nombres réels.
C
3
2
La tangente T à la courbe C au point A (0 ; −4)
passe par le point B (2 ; −6).
On désigne par
f′
la fonction dérivée de f .
1. a) f (0) = −4 car A (0 ; −4) ∈ C .
−2
∆y
=
= −1.
b) f ′ (0) = ∆x
2
2. a) On admet qu’il existe deux réels a et b tels que,
pour tout réel x, f (x) = (x + a)ebx .
f est dérivable sur R comme produit et composée de fonctions dérivables
1
T
−4
−3
−2
−1 O
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4 × A
f ′ (x) = 1 × ebx + (x + a)(bebx )
−5
= (1 + bx + ba)ebx
−6
= (bx + ab + 1)ebx
−7
∆x = 2
B
×
∆y = −2
donc pour tout réel x, f ′ (x) = (bx+ab+1)ebx .
b) On sait que f (0) = −4. On a f (0) = (0 + a)eb×0 = a d’où a = −4
De plus, f ′ (0) = −1. On a f ′ (0) = (b× 0+ ab+ 1)eb×0 = ab+ 1 = −4b+ 1 d’où −4b+ 1 = −1 ⇐⇒ b = 21 .
1
x
Ainsi f (x) = (x − 4)e 2 .
Partie B
On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = (x − 4)e0,5x .
1. f est dérivable sur R comme produit et composée de fonctions dérivables
f ′ (x) = 1 × e0,5x + (x − 4)(0,5e0,5x )
= (1 + 0,5x − 2)e0,5x
= (0,5x − 1)e0,5x
Ainsi, f ′ (x) = (0,5x − 1)e0,5x , pour tout réel x.
Étudions le signe de f ′ (x) sur R :
∗ 0,5x − 1 = 0
http://mathematiques.ac.free.fr
⇐⇒
x=2
3/5
27 février 2016
Terminale ES-L
Corrigé du Bac Blanc de février 2016
∗ e0,5x > 0 sur R donc le signe de f ′ (x) dépend du signe de 0,5x − 1 sur R.
∗ D’où le tableau de variation de f sur R
x
f ′ (x)
−∞
+∞
2
−
a=0,5>0
+
0
f (2) = (2 − 4)e0,5×2 = −2e
f (x)
−2e
f est décroissante sur ] − ∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[.
2. a) f ′ est dérivable sur R comme produit et composée de fonctions dérivables
f ′ (x) = 0,5 × e0,5x + (0,5x − 1)(0,5e0,5x )
= (0,5 + 0,25x − 0,5)e0,5x
= 0,25xe0,5x
Ainsi, pour tout réel x, f ′′ (x) = 0,25xe0,5x .
b) f ′′ (x) = 0
x
f ′′ (x)
⇐⇒
−∞
−
a=0,25>0
0,25x = 0
+∞
0
0
car e0,5x > 0 sur R
⇐⇒
x = 0.
+
Ainsi, f ′′ s’annule et change de signe uniquement en 0. Donc le point d’abscisse 0 de la courbe C , c’està-dire le point A, est le seul point d’inflexion de la courbe C .
c) f (0) = −4 et f ′ (0) = −1.
T : y = f ′ (0)(x − 0) + f (0)
T : y = −1(x − 0) + (−4)
T : y = −x − 4
Une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est y = −x − 4.
3. On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = f (x) + x + 4. On admet que la fonction g est
croissante sur R.
a) g(0) = f (0) + 0 + 4 = −4 + 0 + 4 = 0 =⇒ g(0) = 0
Puisque g est strictement croissante sur R et s’annule en 0, g est négative sur ] − ∞ ; 0] puis positive sur
[0 ; +∞[.
x
−∞
g(x)
+∞
0
−
0
+
b) Pour étudier la position de la courbe C par rapport à sa tangente T , on étudie la signe de la différence
f (x) − (−x − 4) = f (x) + x + 4 = g(x).
g(x) < 0 sur ] − ∞ ; 0] donc f (x) < −x − 4 sur ] − ∞ ; 0]. La courbe C est en-dessous de la tangente
T sur ] − ∞ ; 0].
g(x) > 0 sur [0 ; +∞[ donc f (x) > −x − 4 sur [0 ; +∞[. La courbe C est au-dessus de la tangente
T sur [0 ; +∞[.
Exercice 4 :
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra
contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l’ouverture prévue le 1er janvier 2016, la médiathéque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l’ancienne
bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abı̂més, et d’acheter
6 000 ouvrages neufs.
http://mathematiques.ac.free.fr
4/5
27 février 2016
Terminale ES-L
Corrigé du Bac Blanc de février 2016
On appelle un le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2016 + n).
On donne u0 = 42.
1. Diminuer le stock de 5 % revient à le multiplier par 0,95. De plus, 6 000 ouvrages neufs sont achetés. Donc,
pour tout entier naturel n , on a un+1 = un × 0,95 + 6.
2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Variables
:
Initialisation :
Traitement :
Sortie
:
N est un entier naturel
U est un réel
Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur 42
Tant que U < 100, faire :
Affecter à U la valeur U × 0,95 + 6
Affecter à N la valeur N + 1
Fin Tant que
Afficher N
Cet algorithme calcule et affiche le plus petit entier naturel n tel que un > 100. Cette valeur de n correspond
au nombre d’années nécessaires pour que le stock dépasse 100 000 ouvrages.
3. À l’aide de la calculatrice, u26 ≈ 99,45 et u27 ≈ 100,47. La valeur affichée est donc 27.
Partie B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages
par an au lieu des 6 000 prévus.
On appelle vn le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2016 + n).
1. Il faut modifier l’instruction « Affecter à U la valeur U × 0,95 + 6 » par « Affecter à U la valeur U × 0,95 + 4 ».
2. On admet que vn+1 = vn × 0,95 + 4 avec v0 = 42.
On considère la suite (wn ) définie, pour tout entier n, par wn = vn − 80.
wn+1 = vn+1 − 80
= 0,95vn + 4 − 80
= 0,95vn − 76
76
= 0,95 vn −
0,95
= 0,95 (vn − 80)
= 0,95 × wn
Ainsi, wn+1 = 0,95 × wn pour tout entier n. On en déduit que la suite (wn ) est une suite géométrique de
raison q = 0,95 et de premier terme w0 = v0 − 80 = −38.
3. a) La suite (wn ) est une suite géométrique de raison q = 0,95 et de premier terme w0 = −38
donc wn = w0 q n d’où wn = −38 × 0,95n , pour tout entier n.
wn = vn − 80
⇐⇒
−38 × 0,95n = vn − 80
⇐⇒
Ainsi, vn = 80 − 38 × (0,95)n , pour tout entier n.
b) 0 < 0,95 < 1 donc
vn = 80 − 38 × 0,95n
lim 0,95n = 0. Par opérations sur les limites, on a
n→+∞
lim vn = 80.
n→+∞
c) Au bout d’un très grand nombre d’années, le stock approchera les 80 000 ouvrages.
Cela signifie ((wn ) étant croissante (à démontrer)) que le stock n’atteindra jamais la capacité maximale (100 000
ouvrages) de la bibliothèque.
http://mathematiques.ac.free.fr
5/5
27 février 2016