TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu

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TS Physique
Satellite à la recherche de sa planète
Exercice résolu
Enoncé
Remarques :
- Certaines des données fournies ne sont pas nécessaires à la résolution.
- Tous les calculs demandés seront effectués avec les unités du Système International.
- Pour les questions 2 et 3, les détails des calculs n’apparaîtront pas sur la copie.
C’est à partir des observations de Tycho Brahé (1546-1601) réalisées à l’observatoire de
l’île de Hveen (Danemark) que Kepler (1571-1630) établit empiriquement ses lois sur le
mouvement des planètes. Peu de temps après, Newton (1643-1727) publie ses « Principia » où il
expose sa théorie de la gravitation universelle.
Cavendish (1731-1810) détermine
expérimentalement la valeur de la constante gravitationnelle.
Deux des lois de Kepler peuvent se formuler actuellement de la façon suivante :
1ère loi (loi des orbites – 1609) : un corps céleste, satellite d’un astre attracteur, décrit
autour de cet astre une orbite elliptique dont le centre O de l’astre cental occupe un des foyers.
3ème loi (loi des périodes – 1619) : le carré de la période T de révolution d’un satellite
autour d’un astre attracteur de masse M est proportionnel au cube du demi grand axe a de sa
T2
4π2
trajectoire elliptique. Ce qui se traduit par l’expression : 3 = Cte =
(G : constante de
G.M
a
gravitation universelle).
Ces lois peuvent s’appliquer pour divers corps célestes, satellites, gravitant autour d’un
même astre attracteur. Les corps célestes Titan, Néréide, Io et Galatéa-N6, sont chacun
satellite de l’une des planètes suivantes : Jupiter, Neptune et Saturne. On sait que Néréide est
un satellite de Neptune.
Données :
• Masse de la Terre : MT = 5,98 x 1024 kg
• Constante de gravitation : G = 6,67 x 10-11 N.m2.kg-2
TABLEAU N°1 : SATELLITES
Satellites
Diamètre Demi-grand
du satellite
axe
(km)
(km)
Néréide
Titan
340
5140
5510000
1222000
Io
Galatea-N6
3630
160
422000
61944
Période
orbitale
360 jours
16,0 jours
TABLEAU N°2 : PLANETES
Planètes Demi-grand
axe
Terre
Jupiter
1,0000
5,2026
1,77jours Saturne
10,3 heures Uranus
9,5386
19,2184
Période
sidérale
Masse
365,256 jours 1,0000
11,862 ans
317,892
29,460 ans
84,020 ans
95,168
14,559
T2
4π2
=
est homogène.
G.M
a3
T2
2. Compléter le tableau (1) en annexe en calculant le rapport 3 pour chaque satellite.
a
Conclusion ?
4π2
3. Compléter le tableau (2) en annexe en calculant le rapport
pour chaque planète.
G.M
Conclusion ?
4. Déterminer la masse MN de Neptune et comparez-là à celle de la Terre.
1. Par une analyse dimensionnelle, montrer que l’expression
Satellite à la recherche de sa planète
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Annexe
TABLEAU (1)
TABLEAU (2)
2
Satellites
T
en ………………….
a3
Planètes
Néréide
Terre
Titan
Jupiter
Io
Saturne
Galatea-N6
Uranus
Satellite à la recherche de sa planète
4π2
en ……………….
G.M
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Corrigé
1. Par une analyse dimensionnelle, montrer que l’expression
T 2 4π2
=
est homogène.
a3 G.M
2
2
 T 2  T  [T ]
T2 
2 -3
=
=
.
Or
:
[T]
=
T
et
[a]
=
L
=>
 3
 3  = T .L
3
[ a ]3
 a   a 
a 
 π2 
 4 π2 
. Or : [π] = 1 ; [M] = M ; [G] = M.L.T-2.L2.M-2 = L3.T-2.M-1 =>

=
 G.M  [G ] . [M ]
T2.L-3
 T 2   4 π2 
On a bien  3  = 
 : l’expression est homogène.
 a   G.M 
 4 π2 
-3 2
-1

 = L .T .M.M =
 G.M 
2 et 3.Compléter les tableaux (1) et (2) en annexe. Conclusion ?
TABLEAU (1)
TABLEAU (2)
2
T
en s2.m-3
a3
Planètes
5,78 x 10-15
Terre
9,89 x 10-14
1,05 x 10-15
Jupiter
3,11 x 10-16
Io
3,11 x 10-16
Saturne
1,04 x 10-15
Galatea-N6
5,79 x 10-15
Uranus
6,79 x 10-15
Satellites
Néréide
Titan
4π2
en s2.m-3
G.M
Tableau (1) : les valeurs trouvées pour Néréide et Galatea-N6 sont identiques. Ces deux
satellites gravitent autour de la même planète et, puisque Néréide est un satellite de Neptune,
Galatea-N6 est un satellite de Neptune.
Tableau (2) : les valeurs trouvées pour Titan et Saturne d’une part, et Io et Jupiter d’autre part,
sont identiques. Titan est donc un satellite de Saturne et Io un satellite de Jupiter.
4. Déterminer la masse MN de Neptune et la comparer à celle de la Terre.
Néréide est un satellite de Neptune. On peut donc écrire :
T2
4 π2
4 π2 .a3
=
=> MN =
3
G.MN
a
T 2 .G
(T et a : caractéristiques de l’orbite de Néréide)
4π2
= 1,02 x 1026 kg
5, 78 × 10 × 6, 67 × 10 −11
M
1, 02 × 1026
On a donc : N =
= 17,1.
MT
5, 98 × 1024
Soit : MN =
−15
La masse de Neptune est environ égale à 17 fois celle de la Terre.
Satellite à la recherche de sa planète
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