Untitled - Math France

EXERCICE 2
Partie A
1. On sait que pour tout nombre complexe non nul z, arg(z100 ) = 100 arg(z) [2π]. Donc un argument de z100 est
Or
100π
.
3
4π 96π
4π
4π
100π
=
+
=
+ 32π =
+ 16 × 2π
3
3
3
3
3
et un argument de z100 est aussi
4π
. Cet argument n’est pas de la forme kπ, k ∈ Z et donc z100 n’est pas réel.
3
La proposition 1 est fausse.
2. Soit M un point du plan d’affixe z 6= 1. On note A le point d’affixe 1.
z = 1 ⇔ |z| = 1 ⇔ |z| = |1 − z| et z 6= 1 ⇔ OM = AM et M 6= A
z ∈ (E) ⇔ 1 − z
|1 − z|
⇔ M ∈ med[OA] et M 6= A.
La médiatrice de [OA] est parallèle à l’axe des imaginaires purs et n’est donc pas parallèle à l’axe des réels.
La proposition 2 est fausse.
π
3. L’expression complexe de la rotation de centre K et d’angle − est z ′ = e−iπ/2 (z − zK ) + zK . Notons O ′ l’image du
2
π
π
+ i sin −
= −i et donc
point O par r. On a e−iπ/2 = cos −
2
2
√
√
√
√
√ √ zO ′ = (−i)(0 − 1 − i 3) + 1 + i 3 = − 3 + i + 1 + i 3 = 1 − 3 + i 1 + 3 .
La proposition 3 est vraie.
4. Le discriminant de cette équation est
∆ = 4 cos2
π
π
− 4 = 4 cos2
− 1 = −4 sin2
.
5
5
5
π
Donc ∆ < 0 et l’équation (E) admet deux solutions non réelles conjuguées z1 et z2 = z1 . Le produit de ces deux solutions
vaut 1 mais aussi z1 z1 ou encore |z1 |2 . Donc |z1 |2 = 1 puis |z1 | = 1. On a aussi |z2 | = |z1 | = |z1 | = 1.
La proposition 4 est vraie.
Partie B
−→ −→
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
5. AG.BD = (AC + CG).BD = AC.BD + CG.BD.
−→ −→
Maintenant, les diagonales du carré ABCD sont perpendiculaires et donc AC.BD = 0. D’autre part, la droite (CG) est
−→ −→
perpendiculaire au plan (ABC) et donc orthogonale à toute droite de ce plan. On en déduit que CG.BD = 0.
−→ −→
Finalement, AG.BD = 0.
Maintenant, on vient en fait de montrer de manière plus générale que la diagonale (AG) du cube est orthogonale à la
diagonale qui ne passe pas par A d’une face ayant A pour sommet et donc, en échangeant les rôles des points B, D et E,
−→ −
→
on a aussi AG.BE = 0. La droite (AG) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (BDE). On en déduit que la
−→
droite (AG) est perpendiculaire au plan (BDE) ou encore que le vecteur AG est normal au plan (BDE).
La proposition 5 est vraie.
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3
c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.
−
→ −→
−→ −→ −→ −−→
−→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→
6. EB.ED = (EA + AB).(EA + AD) = EA.EA + EA.AD + EA.AB + AB.AD = 1 + 0 + 0 + 0 = 1.
−
→ −→
[ est droit et donc, en remontant
Donc EB.ED 6= 0 et les droites (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires (l’angle BAD
« verticalement » de A à E, l’angle droit disparaît).
La proposition 6 est fausse.
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