Approche théorique des essais aggravés Theoretical

Approche théorique des essais aggravés
Theoretical approach of design maturity testing
Fabrice Guérin – Pascal Lantieri - Bernard Dumon
Institut des Sciences et Techniques de l’Ingénieur d’Angers – Angers
Résumé
Nous proposons dans cet article de présenter des aspects théoriques des essais HALT. Plus particulièrement, nous montrerons
l’analyse statistique réalisable avec les résultats des essais permettant de définir les différentes zones caractéristiques d’un produit :
fonctionnement optimal, fonctionnement dégradé et défaillance.
Abstract
We propose in this paper to present the theoretical aspects of HALT tests. In particular, we will show the statistical analysis of test
results which permit to define the different characteristic areas of product : optimal operating, degraded operating, failure.
Notations :
λ(t)
LIS
LIO
LID
LSS
LSO
LSD
µLIO(s)
σLIO(s)
µLID(s)
σLID(s)
taux de défaillance
Limite Inférieure de la Spécification
Limite Inférieure Opérationnelle
Limite Inférieure de Destruction
Limite Supérieure de la Spécification
Limite Supérieure Opérationnelle
Limite Supérieure de Destruction
Moyenne de la LIO pour le stress s
Ecart-type de la LIO pour le stress s
Moyenne de la LID pour le stress s
Ecart-type de la LID pour le stress s
µLSO(s)
σLSO(s)
µLSD(s)
σLSD(s)
LIO(s) i
LSO(s) i
LID(s) i
LSD(s) i
(1-α)
φ(u)
Moyenne de la LSO pour le stress s
Ecart-type de la LSO pour le stress s
Moyenne de la LSD pour le stress s
Ecart-type de la LSD pour le stress s
Valeur du stress s de la LIO pour le produit i
Valeur du stress s de la LSO pour le produit i
Valeur du stress s de la LID pour le produit i
Valeur du stress s de la LSD pour le produit i
niveau de confiance
la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
1. INTRODUCTION
Les enjeux actuels de compétitivité industrielle en termes d’innovation, de délai de développement, de fiabilité, …
imposent de mettre en œuvre des stratégies de qualification de produit de plus en plus efficaces. Sans revenir sur les
différents outils utilisables dans ce contexte, nous allons nous intéresser plus particulièrement aux essais aggravés (ref 1
et 2) dont le plus connu est l’essai HALT (Highly Accelerated Life Testing). Ces essais sont utilisés en phase de
conception afin d’aboutir à un produit mature en mettant en évidence un certain nombre de faiblesses pour lesquelles on
apporte des corrections afin de les éliminer pour augmenter la fiabilité (voir Figure 1).
λ(t)
Produit avant
fiabilisation
Produit après
fiabilisation
Fiabilisation
t
Figure 1 : Maturation des produits par les essais aggravés
Pour mettre en évidence les points faibles, on soumet le produit à des sollicitations échelonnées (climatiques,
vibratoires, électriques, …) en augmentant les niveaux jusqu’à apparition d’une défaillance (voir Figure 2). A chaque
défaillance on effectue les analyses technologiques de défaillance pour montrer si celle-ci est la conséquence d’une
faiblesse latente (action corrective) ou si la limite de résistance de technologie est atteinte.
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Stress
*
*
Limite de destruction
Limite de fonctionnement
**
*
Limite de spécification
t
0
Figure 2 : Profil du test
Au cours de l’essai on peut également s’intéresser à la limite de fonctionnement au delà laquelle le produit fonctionnera
en mode dégradé. Ainsi, lors de l’essai HALT nous pouvons mettre en évidence 4 zones caractéristiques (Figure 3) du
produit (ref 2 et 4) :
− Zone correspondant à la spécification
− Zone de fonctionnement optimal
− Zone de fonctionnement dégradé
− Zone de destruction (défaillance)
Conformité
(Spécification)
Vibration
Température
Robustesse
(Marge)
…
Fonction dégradée
(domaine réversible)
Chocs thermiques
Défaillance
(domaine irréversible)
Stress combinés
(Température+Vibration)
Figure 3 : Définition des zones caractéristiques du produit
Ainsi, l’essai de croissance de fiabilité en phase de conception HALT nous permet d’obtenir :
- les limites inhérentes aux technologies utilisées
- un produit mature dès le début du cycle de production
- l’amélioration de la fiabilité opérationnelle
Nous proposons dans cet article de définir plus précisément les différentes zones caractéristiques du produit en
définissant les limites par leur distribution statistique.
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2. ANALYSE STATISTIQUE DES ESSAIS HALT
2.1. Introduction
Marge
Marge
opérationnelle
opérationnelle
Limite
supérieure de
destruction (LSD)
Limite supérieure
opérationnelle (LSO)
Limite supérieure
de la spécification
(LSS)
Limite inférieure
de la spécification
(LIS)
Limite inférieure
opérationnelle (LIO)
Limite inférieure
de destruction (LID)
Si on considère un seul axe de la figure en radar (Figure 3), les différentes zones caractéristiques du produit peuvent se
décrire par le schéma suivant (dans le cas où le stress se caractérise par des limites inférieures et supérieures comme par
exemple la température) :
Marge de destruction
Marge de destruction
Stress
Figure 4 : Définition des zones caractéristiques du produit
Chaque limite intrinsèque au produit sera entachée d’une certaine variabilité que l’on peut caractériser par une loi
normale. Ainsi, au cours d’une campagne d’essai HALT, l’objectif est de définir le plus précisément ces différentes lois
normales.
2.2. Définition des limites statistiques de zone
Dans cet article, nous allons nous intéresser aux essais réalisés selon 2 stress indépendants : la température et la
vibration.
2.2.1 Limites opérationnelles dans le cas de la température
Pour déterminer les limites opérationnelles supérieure et inférieure d’un produit sous l’effet de la température on
procède par des essais en contrainte échelonnée (Figure 5) où progressivement on augmente le niveau de température
(échelon de 1 à 10 °C et durée de palier de 1 à 10 min) jusqu’à constater le dysfonctionnement du produit (performance
dégradée mais réversible si l’on diminue la température). Ainsi, on obtient la limite supérieure de fonctionnement
LSO(T). On opère de la même manière pour déterminer la limite inférieure LIO(T) avec le même produit puisque le
phénomène associé aux limites opérationnelles est réversible. Cette opération est répétée pour l’ensemble de
l’échantillon afin de définir les lois normales associées aux limites (ref 3 et 4).
LSO(T) i
120
Température (°C)
80
40
0
t
-40
-80
LIO(T) i
Figure 5 : Cycle de température pour estimer LIO et LSO
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Cette opération est répétée pour l’ensemble de l’échantillon afin de définir les lois normales associées aux limites. Nous
déduisons les paramètres des lois normales (moyenne et écart-type) :
n
i
(T ) = 1 ∑ LIO ( T)
LIO
n i=1
µ
σ
[1.]
n
i
2
1
 LIO (T ) −µ ( T) 
∑
n −1i =1
LIO 
(T ) =
LIO
n
i
(T ) = 1 ∑ LSO( T)
LSO
n i =1
µ
σ
( T) =
LSO
[2.]
[3.]
n
i
2
1
 LSO( T) −µ
(T ) 
n −1 ∑
LSO 
[4.]
i =1
2.2.2. Limite opérationnelle dans le cas de la vibration
Pour déterminer la limite opérationnelle supérieure sous l’effet de la vibration (ref 3 et 4) on procède de la même façon
que pour la température par des essais en contrainte échelonnée (Figure 6) où progressivement on augmente le niveau
de vibration (échelon de 1 à 10 Grms et durée de palier de 1 à 10 min) jusqu’à constater le dysfonctionnement du
produit permettant d’obtenir la limite supérieure de fonctionnement LSO( Grms).
LSO(Grms)i
50
Vibration (Grms)
40
30
20
10
t
0
Figure 6 : Cycle de vibration pour estimer LSO
Les paramètres de la loi normale LSO(Grms) sont définis par :
µ
n
σ
( Grms ) =
LSO
i
(Grms ) = 1 ∑ LSO( Grms )
n i=1
LSO
[5.]
n
i
2
1
 LSO(Grms ) − µ ( Grms ) 
∑
n −1 
LSO

[6.]
i =1
2.2.3. Limites de destruction dans le cas de la température
Pour estimer les limites de destruction supérieure et inférieure d’un produit (ref 3 et 4) sous l’effet de la température on
réalise un essai identique au cas de l’évaluation des limites opérationnelles (Figure 7) mais on augmente le niveau de
température jusqu’à destruction du produit (état irréversible). Ainsi, on obtient la limite supérieure de destruction
LSD(T). On opère de la même manière pour déterminer la limite inférieure LID(T)
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120
120
80
80
Température (°C)
Température (°C)
LSD(T)i
40
0
t
-40
-80
40
0
t
-40
LID(T) i
-80
Figure 7 : Cycles de température pour estimer LID et LSD
Les paramètres des lois normales LID(T) et LSD(T) sont obtenus par :
n
i
(T ) = 1 ∑ LID ( T)
n i=1
µ
[7.]
LID
σ
n
i
2
1
 LID (T ) − µ (T ) 
∑
n −1 
LID 
( T) =
LID
n
i
(T ) = 1 ∑ LSD( T)
LSD
n i =1
µ
σ
( T) =
LSD
[8.]
i =1
[9.]
n
i
2
1
 LSD( T) −µ
(T ) 
∑
n −1 
LSD 
[10.]
i =1
2.2.4. Limite de destruction dans le cas de la vibration
L’estimation de la limite supérieure de destruction LSD(Grms) se fait selon l’essai défini par la Figure 8.
LSD(Grms)i
Vibration (Grms)
50
40
30
20
10
t
0
Figure 8 : Cycle de vibration pour estimer LSD
Les paramètres de la loi normale LSD(Grms) sont définis par :
n
i
(Grms ) = 1 ∑ LSD( Grms )
LSD
n i=1
µ
σ
( Grms ) =
LSD
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[11.]
n
i
2
1
 LSD(Grms ) − µ ( Grms ) 
∑
n −1 
LSD

i =1
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[12.]
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Limite supérieure
opérationnelle (LSO(s))
Limite supérieure
de la spécification
(LSS(s))
2.2.5. Définition des marges
Connaissant les distributions des différentes limites, il est possible de définir les marges que nous avons entre les
spécifications et les limites opérationnelles (Figure 9).
Marge
opérationnelle
Pourcentage %ppm
de la production
défaillante dans les
spécifications
σLSO(s)
x.σLSO(s)
µ LSO (s)
Stress
Figure 9 : Définition de la marge opérationnelle
Ainsi, pour le cas d’un stress, la marge opérationnelle entre la spécification supérieure et la limite supérieure
opérationnelle (définie par une loi normale) s’écrit :
Marge opérationnelle = µLSO(s) - LSS(s)
[13.]
Nous pouvons également déduire une autre caractéristique associée à la marge qui est la proportion %ppm de produits
défectueux dans la zone de spécification :
 LSS( s)− µ ( s) 
LSO  [14.]
%ppm = prob(LSO(s)≤ LSS(s ))=φ

σ
( s)


LSO

avec φ(u) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
(Nota : On déduit de la même manière les autres marges opérationnelles)
Lors d’un essai HALT, nous recherchons les modifications nécessaires pour obtenir une marge suffisante. C’est ainsi
que l’on peut se fixer un objectif de proportion de défaut %ppm (ref 4).et de déduire la marge nécessaire exprimée en
nombre x d’écart type σLSO(s) . Ainsi, la relation [8] devient :
(s) − x.σ
(s) −µ
(s) 
µ
LSO
LSO =φ(− x)
%ppm=φ LSO
[15.]

σ
( s)


LSO

De cette dernière équation, nous pouvons déduire le pourcentage %ppm en fonction de la marge exprimée par x :
x
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
%ppm
158655,26
66807,23
22750,06
6209,68
1349,97
232,67
31,69
3,40
0,29
Tableau 1 : % ppm en fonction de la marge x
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α/2
LSO(T)
LSS(T)
LIS(T)
α/2
LSHASS(T)
σLIO(T)
LIHASS(T)
LIO(T)
2.2.6. Définition des niveaux de stress pour les essais de déverminage de type HASS
Les résultats des essais HALT peuvent également servir à définir les essais de déverminage HASS réalisés lors de la
production (ref 2 et 3).. Pour cela, on considère les lois normales des limites opérationnelles (Figure 10) définies lors de
l’essai HALT. Le cycle de température de l’essai HASS est défini par 2 valeurs extrêmes estimées pour un niveau de
confiance donné (1-α).
σLSO (T)
Température T
µ LIO(T)
µ LSO(T)
Figure 10 : Définition du cycle de température pour l’essai HASS
Les 2 températures inférieure et supérieure du cycle HASS sont définies par :
LIHASS (T) = µLIO(T) + u 1-a/2 µLIO(T) [16.]
LS HASS (T) = µLSO (T) - u 1-a/2 µLSO (T) [17.]
Les valeurs u 1-α/2 sont tirées du tableau 2 :
1-α/2
0,95
0,96
0,97
0,98
0,990
0,9990
0,9999
1-α
0,95
0,96
0,97
0,98
0,990
0,9990
0,9999
u 1-α/2
1,64
1,75
1,88
2,05
2,33
3,09
3,72
u 1-α
1,64
1,75
1,88
2,05
2,33
3,09
3,72
Tableau 2 : valeurs de u 1-α/2 et u 1-α en fonction de 1-α/2 et 1-α
α
LSO(Grms)
LSHASS(Grms)
LSS(Grms)
Le cycle de vibration se déduit de la même manière, en considérant la loi normale de la limite supérieure opérationnelle
LSO(Grms) (Figure 11).
σLSO(Grms)
Vibration Grms
µLSO (Grms)
0
Figure 11 : Définition du cycle de vibration pour l’essai HASS
Le niveau de vibration du cycle HASS est défini par :
LS HASS (Grms) = µLSO(Grms) - u 1-a µLSO(Grms)
(Les valeurs u 1-α sont tirées du tableau 2)
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[18.]
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2.3. Exemple
Prenons le cas où des données sont simulées selon les paramètres suivants :
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
n = 21 produits (taille de l’échantillon)
LSS(T) = 55 °C
LIS(T) = -25 °C
LSS(Grms) = 15 Grms
µLSO (T) = 80 °C
σLSO (T) = 5 °C
µLIO(T) = -45 °C
σLIO(T) = 5 °C
µLSO (Grms) = 35 Grms
σLSO (Grms) = 5 Grms
µLSD (T) = 120 °C
σLSD (T) = 6 °C
µLID(T) = -80 °C
σLID(T) = 6 °C
µLSD (Grms) = 50 Grms
σLSD (Grms) = 6 Grms
Le plan d’essai sera conduit de la manière suivante (Figure 12) :
1. dans un premier temps nous simulons les données correspondant aux différentes limites opérationnelles
(LIO(T), LSO(T) et LSO(Grms)) des 21 produits,
2. ensuite l’échantillon de 21 produits est réparti en 3 sous-échantillons de 7 produits afin de simuler les
différentes limites de destruction (LID(T), LSD(T) et LSD(Grms))
LSD(Grms)i
50
40
LSO(Grms) i
Vibration (Grms)
LSO(T)i
120
Température (°C)
80
40
30
20
10
0
0
t
-40
-80
LIO(T)i
Figure 12 : Conduite de l’essai HALT
Nous obtenons pour l’échantillon complet les résultats suivants :
Produit i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
LSO(T) i
80 85 80 85 80 85 70 75 75 85 70
LIO(T) i -40 -45 -50 -45 -40 -50 -50 -35 -45 -45 -45
LSO(Grms)
30 35 25 30 25 35 30 40 35 30 30
i
i
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
80 80 80 80 70 80 75 75 75 85
-40 -50 -50 -40 -45 -35 -45 -45 -45 -35
40
i
35
40
40
35
35
40
35
25
40
i
Tableau 3 : Données simulées de LSO(T) , LIO(T) et LSO(Grms) pour l’ensemble de l’échantillon
De ces données, nous pouvons déduire les paramètres des lois normales (moyenne µ et écart-type σ) caractérisant les
différentes limites opérationnelles LSO(T), LIO(T) et LSO(Grms) :
µLSO (T) = 78,57 °C
σLSO (T) = 5,03 °C
µLIO(T) = -43,80 °C
σLIO(T) = 4,97 °C
µLSO (Grms) = 33,80 Grms
σLSO (Grms) = 5,22 Grms
Ensuite, nous simulons les données de limites de destruction :
produit i
1
2
3
4
5
6
7
i
LSD(T)
130
115
110
120
125
125
130
Tableau 4 : Données simulées de LSD(T)i pour le sous-échantillon 1(produits 1 à 7)
produit i
8
9
10
11
12
13
14
LID(T) I
-85
-85
-75
-90
-75
-80
-85
i
Tableau 5 : Données simulées de LID(T) pour le sous-échantillon 2(produits 8 à 14)
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Approche théorique des essais aggravés
produit I
15
16
17
18
19
20
21
LSD(Grms) I
45
50
60
55
60
45
50
Tableau 6 : Données simulées de LSD(Grms)i pour le sous-échantillon 3(produits 15 à 21)
De ces données, nous pouvons déduire les paramètres des lois normales (moyenne µ et écart-type σ) caractérisant les
différentes limites de destruction LSD(T), LID(T) et LSD(Grms) :
µLSD (T) = 122,14 °C
µLID(T) = -82,14 °C
µLSD (Grms) = 52,14 Grms
σLSD (T) = 7,56 °C
σLID(T) = 5,67 °C
σLSD (Grms) = 6,36 Grms
La simulation montre la démarche à conduire lors d’une campagne d’essais HALT. Plus particulièrement, nous
constatons la bonne précision des estimations des paramètres des lois normales associées aux différentes limites
opérationnelles et de destruction.
De ces résultats, nous pouvons réaliser des analyses plus évoluées et en particulier des estimations de proportions de
produits défectueux dans la zone de spécification :
 LSS(T )− µ ( T)   55 − 78 ,57 
LSO =φ
%ppm = prob(LSO(T) ≤ LSS( T) )=φ
=1, 4 ppm [19.]

σ
(T )
  5 ,03 

LSO

 LIS ( T) −µ ( T)   −25 + 43 ,8 
LIO
=φ
%ppm = prob(LIO ( T)≤ LIS (T ))=φ
= 77 ,6 ppm [20.]

σ ( T)
  4, 97 

LIO

 LSS(Grms )− µ ( Grms )   15 −33 , 8 
LSO
=φ
%ppm = prob(LSO(Grms ) ≤LSS( Grms ) )=φ
=158 ,2 ppm [21.]

σ
(Grms )
  5, 22 

LSO

Nous pouvons également préciser les 2 températures inférieure et supérieure ainsi que le niveau de vibration du cycle
HASS définis pour le niveau de confiance 98% :
LIHASS (T) = µLIO(T) + u 99% µLIO(T)= -43,8+2,33x4,97= -32,2°C
[22.]
LS HASS (T) = µLSO (T) – u99% µLSO(T)= 78,57-2,33x5,03=66,8°C
[23.]
LS HASS (Grms) = µLSO(Grms) – u 98% µLSO(Grms) = 33,8-2,05x5,22= 23,1 Grms [24.]
3. CONCLUSION
Nous avons indiqué comment mener une analyse statistique des résultats d’essai HALT. Celle-ci permet de définir les
différentes zones caractéristiques du produit et d’estimer les paramètres des lois normales associées aux limites. A
l’aide de ces distributions, il est possible d’évaluer les différentes marges et de déduire les cycles pour les essais HASS.
4. BIBLIOGRAPHIE
1.
2.
3.
4.
W. Nelson, « Accelerated Testing : Statistical Models, Test Plans and Data Analyses », Editeur Wiley
Intersience Publication, 1990
“Le rôle des essais dans la maîtrise de la fiabilité », Editeur ASTE, Nov 93
« Highly Accelerated Life Testing », Test Procedure Analysis-General Motor, GMW8287
Mc Lean, “Managing HALT issues”, 1998 NEPCOM proceedings
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