Rigidité et relativité, observatrice accélérée, structure de groupe

Paris 7
PH042
–
CHAMPS CLASSIQUES
Exercices, feuille 2
1
La transformation de Lorentz graphiquement (révision)
Chloé et Colin sont tous deux inertes et ont un événement commun dans leurs vies respectives. Ils ne
s’intéressent qu’aux événements sur leurs trajectoires.
1. Représenter les axes de temps et d’espace de Chloé et de Colin. . .
i ) dans l’espace-temps de Chloé,
ii ) dans l’espace-temps de Colin.
2. Sur le graphe d’espace-temps de Chloé,
i ) choisir un événement quelconque, et représenter l’ensemble des événements simultanés pour Chloé,
ii ) représenter les constructions graphiques des coordonnées de temps de ces divers événements pour
Colin. Sont-ils simultanés ?
3. Colin progresse, par rapport à Chloé, bras tendu en avant. Des mesures légales l’ont convaincu
que son bras à une longueur l0 = 1 m.
i ) Sur le graphe d’espace-temps (x0 , t0 ) de Colin, représenter les lignes d’univers de l’épaule et de la
main de Colin, et les ensembles d’événements {x0 = l0 }, {t0 = 0}, {x02 − t02 = l02}.
ii ) En déduire les représentations des mêmes lignes d’univers et ensembles d’événements sur le graphe
d’espace-temps (x, t) de Chloé.
iii ) Que dit Chloé de la longueur du bras de Colin telle qu’elle l’observe ?
2
Un vieux paradoxe (heureusement faux, mais indétordable sans graphes d’espace-temps)
Luke est dans son vaisseau, à la dérive, qui se dirige vers son hangar d’entretien à l’entrée duquel se
tient Leia. Le hangar a bien entendu la longueur du vaisseau lorsque celui-ci s’y trouve au repos.
Leia ferme la porte d’entrée du hangar lorsque l’arrière du vaisseau franchit cette entrée, en se disant
que, comme chacun sait, la relativité “contracte les longueurs”, et donc que l’avant du vaisseau ne
touche pas encore le fond du hangar. Mais pour Luke aussi, la relativité contracte les longueurs, en
particulier celle du hangar, qui est donc plus courte que la longueur du vaisseau ; l’avant du vaisseau
doit donc avoir déjà défoncé le fond du hangar.
Discutez et débrouillez cette contradiction au moyen d’un graphe d’espace-temps, dans le repère de
Leia par exemple, sur lequel vous représenterez les lignes d’univers de l’entrée et du fond du hangar,
de l’avant et de l’arrière du vaisseau, et les événements que vous jugez notables.
3
Rigidité, relativité, causalité
Un mètre, prétendu étalon, est inerte. Vous décidez de pousser cette règle longitudinalement par une
de ses extrémités. Représentez l’allure des lignes d’univers de chacune des deux extrémités de la règle.
4
Le monde de Sophie
Sophie n’est pas inerte. Elle sait déjà, grâce à la notion de repère propre, se doter en toute légalité
d’un temps propre τ . Pour pouvoir attribuer une valeur de τ à chaque événement du vaste monde,
elle a encore besoin d’une notion de simultanéité qui peut être empruntée, elle aussi, au repère propre.
Sophie se meut sur une trajectoire rectiligne passant par Albert inerte.
1. Représenter, sur un graphe d’espace-temps dans le repère d’Albert (la seule classe de repères
où l’on soit à peu près sûrs des notions d’espace, de temps, de trajectoire rectiligne, etc.), l’allure des
lignes d’univers de Sophie et d’Albert.
2. Soient S1 et S2 deux événements dans la vie de Sophie, voisins. Représenter les ensembles
d’événements respectivement simultanés avec S1 et avec S2 pour Sophie.
3. Soient A1 et A2 les événements dans la vie d’Albert qui sont simultanés, pour Sophie, avec S1
et S2 . Comparer qualitativement, selon la position de Sophie par rapport à Albert, et selon le sens de
son accélération, les différences de temps tA1 − tA2 et τA1 − τA2 attribuées respectivement par Albert
et par Sophie aux deux événements.
2
5
Champs classiques, PH042 Paris 7
Composition des vitesses (en (3 + 1) dimensions)
Ada et Van sont tous deux inertes et conviennent de repères respectifs en configuration standard.
1. Une mouche s’agite autour de Van. Etablir les composantes de la vitesse instantanée de la
mouche par rapport à Ada, en fonction des composantes de la vitesse par rapport à Van et de la
vitesse de Van par rapport à Ada.
2. En déduire la forme vectorielle de la loi de composition des vitesses.
3. Pour vérification :
i ) Rétablir la forme vectorielle de la transformation spéciale de Lorentz.
ii ) En déduire directement la loi de composition des vitesses sous forme vectorielle.
6
Qu’ont-elles de si spécial ?
Ada, inerte, observe Van. Elle lui trouve, entre autre, une vitesse constante, dont les composantes valent
(1/2, 1/3, 1/4) sur le trièdre spatial (x̂, ŷ, ẑ) dont elle use. Quelles instructions doit-elle transmettre
à Van qui, de son côté, observe Ada, pour que celui-ci construise son trièdre (x̂0 , ŷ 0 , ẑ 0 ) en sorte que
la relation entre les coordonnées qu’ils affectent à un événement soit une transformation spéciale de
Lorentz.
7
Structure de groupe
Soit l’ensemble des transformations de Lorentz, en unités légales :

t − vx/c2

 t0 = p

1 − v2 /c2
,

 x0 = p x − vt

1 − v 2 /c2
où c est une constante — fondamentale — et v un paramètre dans ] − c, c[.
1. Montrez explicitement comment on parvient à écrire ces transformations en unités relativistes.
2. Quel est le résultat de la composition de deux transformations de paramètres β1 et β2 ?
3. Vérifiez que les transformations de Lorentz en (1+1) dimensions constituent un groupe. Est-il
abélien ?
8
Les transformations spéciales de Lorentz forment-elles un groupe ?
En (3 + 1) dimensions...
1. Les transformations spéciales de Lorentz admettent-elles élément neutre et inverses ?
2. Etablir la transformation de coordonnées résultant de la composition d’une transformation
spéciale de Lorentz selon l’axe des x, suivie d’une transformation de Lorentz toute aussi spéciale selon
l’axe des y 0 .
3. Cette transformation est-elle de Lorentz ? Est-elle spéciale ?