Options Exotiques - Options Digitales

Options Exotiques - Options Digitales
Daniel Herlemont
L’objectif de ce TP est de se familiariser avec les options digitales :
– Evaluer ce type produit par différentes méthodes :
– formes explicites, méthodes binomiales, simulation de Monté Carlo,
– dans un environnement Excel/VBA et/ou C++.
– pour des options Européennes ou Américaines,
– Etudier les grecques et mettre en évidence les difficultés de couverture (discontinuité
des payoffs).
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Options Digitales
L’option digitale Cash-Or-Nothing paye 1 euro si le prix de l’actif est supérieur au strike
K à l’échéance T .
Sous la probabilité risque neutre Q, l’actif suit un processus lognormal :
1
ST = Se(r− 2 σ
2 )T +σT 1/2 z
avec z ∼ N (0, 1) et S le prix de l’actif à la date 0.
La valeur de l’option est :
−rT
V (S, T ) = e
−rT
EQ [1ST ≥K ] = e
Z
ST ≥K
dQ = e−rT PQ [ST ≥ K]
En effectuant un calcul analogue a celui de l’option vanille, on obtient :
VDigitalCashOrN othing (S, T ) = e−rT N (d2 )
Montrer que :
2
∆digital
e−rT e−d2 /2
∂V
= √
=
∂S
S 2πσ 2 T
1
2 RÉALISATION EN EXCEL/VBA
et
−d2
2
Γdigital
∂2V
−e−rT e 2
√ d1 .
=
−
=
∂S 2
S 2 σ 2 T 2π
avec
d1 =
log(SerT /K) 1 √
√
+ σ T
2
σ T
et
log(SerT /K) 1 √
√
− σ T
2
σ T
Tout lorsqu’on est loin de l’échéance, le prix de l’option et Delta sont petits.
Lorsque T → 0 et S ≈ exp(−rT )K, Delta et Gamma tendent vers la fonction de Dirac.
Au fur et à mesure que l’on s’approche de l’expiration, il devient de plus en plus difficile de
couvrir cette option, en raison de Delta et Gamma non bornés. Une autre conséquence est
le ”pin risk”. Si le prix du sous-jacent oscille autour du strike, il faut acheter ou vendre de
grandes quantités du sous-jacent. La couverture devient très sensible à de faibles variations
du sous jacent et donc très risquée.
d2 =
2
Réalisation en Excel/VBA
Réaliser une fonction en VBA pour calculer le prix d’une option digitale sous la forme
’Cash-or-nothing call option
’params
’ S price of underlying
’ K Strike (or barrrier)
’ T time to maturity
’ r risk free rate
’ v volatility of underlying
’returns the price of derivative
Public Function CashOrNothingCall(S As Double, K As Double, T As Double, _
r As Double, v As Double) As Double
...
’Cash-or-nothing call option - Delta
Public Function CashOrNothingCallDelta(S As Double, K As Double, T As Double, _
r As Double, v As Double) As Double
Daniel Herlemont
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2 RÉALISATION EN EXCEL/VBA
’Cash-or-nothing call option - Delta
Public Function CashOrNothingCallGamma(S As Double, K As Double, T As Double, _
r As Double, v As Double) As Double
Utiliser ces fonctions pour calculer le prix, le Delta et Gamma de l’option CashOrNothing
pour les paramètres suivants
Asset price S=100.00
Strike price K=80.00
Time to maturity T=0.75
Risk-free rate r=5.00%
Volatility v=35.00%
(indication de résultat, le prix doit être égal à 0.73264)
Représenter le Delta sous forme graphique en fonction de la maturité pour des strike
proches de la valeur du sous jacent.
Pour cela, on pourra utiliser la fonction CND comme une excellente approximation de la
fonction de distribution gaussienne.
’ The cumulative normal distribution function
Public Function CND(X As Double) As Double
Dim L As Double, K As Double
Const a1 = 0.31938153
Const a2 = -0.356563782
Const a3 = 1.781477937
Const a4 = -1.821255978
Const a5 = 1.330274429
L =
K =
CND
(a1
Abs(X)
1 / (1 + 0.2316419 * L)
= 1 - 1 / Sqr(2 * Pi) * Exp(-L ^ 2 / 2) *
* K + a2 * K ^ 2 + a3 * K ^ 3 + a4 * K ^ 4 + a5 * K ^ 5)
If X < 0 Then
CND = 1 - CND
End If
End Function
Daniel Herlemont
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3 ETUDE DES GRECQUES
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Etude des grecques
Réaliser des fonctions VBA pour le calcul des grecques (delta et gamma). Représenter
graphiquement l’évolution du Delta lorsque lorsqu’on s’approche de l’échéance pour différente
valeurs du sport proches de e−rT K.
Commentaires ?
On pourra si on le souhaite réaliser la représentation graphique en 3D en utilisant R
(R-project).
Daniel Herlemont
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